可靠度分配

3
n Min ∑ f j ( R j ) j =1 s.t . h( R1 , R 2 ,L, Rn ) = R0 n ∑ g ij ( R j ) ≤ bi , i = 1,2,L, r j =1 0 ≤ R j ≤ 1, j = 1,2,L, n
对于形式 (i)和 (ii), 通常可用拉格朗日 (Lagrange)乘子法求解 . 例子 (i): (可参考曹晋华书 p61-63, 例 1.) 考虑 2 个独立子系统 (单元 )组成的串联系统 , 其每个子系统的研制费用与其可 靠度的关系为: − a1 − a2 f 1 ( R1 ) = , f 2 ( R2 ) = , a1 > 0, a2 > 0 . 在给定总研制经费为 b (b > 0 ) ln R1 ln R2 的条件下, 求各子系统的可靠度使系统可靠度最大. 解 : 该问题可归结为下面的问题 . Max R1 R 2 , s.t . − a1 + − a 2 = b, ln R ln R 1 2 0 ≤ R j ≤ 1, j = 1,2. 我们引进 Lagrange 乘子 , 令 a a L( R1 , R2 ; λ ) = R1 R 2 + λ (b + 1 + 2 ) , ln R1 ln R2 即我们求 L( R1 , R2 ; λ ) 极值 . 求偏导数得 , λ a1 ∂ R 2 − R (ln R ) 2 = 0 ∂R L( R1 , R 2 ; λ ) = 0, 1 1 1 ⇒ ⇒ ∂ λ a 2 L( R1 , R2 ; λ ) = 0, R1 − =0 ∂ R R 2 (ln R 2 ) 2 2 将此结果代入 R1 = exp( − λ a1 ), (λ > 0) R = exp( − λ a ), 2 2
d (C1 , D1 ) + f1 ( D1 ) = 5 第二阶段 : f 2 (C1 ) = min 取 4; d (C1 , D 2 ) + f 1 ( D 2 ) = 4
自上而下
条件约束 可靠性预计：在按照可靠性预计手册的元器件应力分析法和有关数据求得元器件失 效率后，根据设备所用元器件数量和系统结构，可以算出设备或系统失效率和可靠 度。 可靠性的分配大致可分为两种情况 : (i). 无约束可靠性分配 ; (ii). 有约束可靠性分配 . 1. 无约束可靠性分配 * * * 假设 Ri* 为单元 i 的分配可靠度 , 只要求满足: RS ≤ R* . S ≡ f (R1, R2 ,L , Rn ) 例 1. 串联系统的可靠性分配 因为 : 系统可靠度为 R S (t ) = exp( − ∑ ∫ λ i (u) du) , 或 R S = exp( −W ) = exp( − ∑ Wi )
通常 , h( R1 , R 2 ,L , R n ) , g ij ( R j ) 和 f j ( R j ) 可能是非线性函数 . 因而 , 求解非常困难. 但下面的问题较容易 . 形式 (i). Max h( R1 , R2 ,L , R n ), s.t . n g ( R ) = b , i = 1,2,L , r. ij j i ∑ j =1 0 ≤ R j ≤ 1, j = 1,2,L , n. 形式 (ii).
R * , if i ≤ k 0 ; Ri* = 0 , k 0 为一个整数, 且 R i , if i > k0 ,
k 0 = max{ j : R j < [
* RS
i = j +1
* R0 =[
∏R
n +1
]1/ j , j = 1,2, L, n; Rn+1 ≡ 1} ,
i
* RS i
* (2). 给定系统可靠性为 RS ; 使所需的努力总代价为最小 . 努力代价函数 G ( x, y ) 满足一定(常规 )的条件, 即 ( y > x ≥ 0) . (a). G ( x, y) ≥ 0; (b). G ( x, y ) ≤ G ( x, y + ∆y ), ∆ y > 0; G ( x, y ) ≥ G( x + ∆x, y ), ∆x > 0 ; (c). G ( x, y ) + G ( y, z ) = G ( x, z), x < y < z ; (d). 及其它性质 . 问题的数学形式 : n Min G ( R i , Ri* ), ∑ i =1 s.t . n R * ≥ R* , * * to find R1* , R2 ,L , R n S ∏ i i =1 * * 0 < R1* ≤ R2 ≤ L ≤ Rn ≤ 1, * R1 , R2 ,L , R n , RS are known values; R * ≥ R , i = 1,2,L , n. i i 可以证明, 这个最优化问题有如下的唯一解 :
Q D = QE = 0.005 = 0.0707, 即得分配的结果为 : A, B, C 的可靠性为 : 1-0.005=0.995; D,E 的可靠性为 : 1-0.0707=0.9293; （当各组成单元的预计失效概率较大时的可靠性分配） 对于串联系统，组成单元失效分布均服从指数分布的情况。 λ sy = λ1 y + λ2 y + L + λ ny
λ sq = λ1 q + λ2 q + L + λnq λip = λsq λiy λ sy
ln R(t ) t （分配：资源、目标、指标、人力、等等；分配有：定性；定量两种 例如：在一个组织机构中，。。。。 例如：在质量管理中，。。。。。）
指数分布 R (t ) = e− λt ，所以 λ = −
a1
( a1 + a 2 )], R2 = exp[ −
a2
4
例子 (ii): (可参考曹晋华书 p63-64, 例 2.) 注意数学问题的改写 !!! 形式 3. 可靠性分配的 “ 努力最小算法 ” . 实际问题: 对串联系统进行可靠性分配, 约束条件为: (1). R1 ≤ R 2 ≤ L ≤ R n ;
Can you extend the result to the problems you faced ? 举例 : 一个系统由三个分系统串联组成 , 各分系统的预计可靠性为 (因为 RS = R1R2 R3 = 0.612 ), 请按努力最 R1 = 0.8, R2 = 0.85, R3 = 0.9.现要求 R* S = 0 .7 小算法作可靠性分配 . 0 .7 解 : j = 1 时 , R1 = 0.8 < ( )1 / 1 = 0.915, 0.85 × 0.9 × 1
− a1 − a2 1 + = b , 得出 λ = [ ( a1 + a2 )] 2 , 因而有 ln R1 ln R 2 b
R1 = exp[ −
( a1 + a2 )] . 系统的可靠度为 , b 1 R S = R1 R2 = exp[ − ( a1 + a 2 ) 2 ] . b (注意 : 此处与曹晋华书 p61-63 的不同 !!!) (注意：对称性！！！) b
j = 2 时 , R2 = 0.85 < (
形式 4. 动态规划法 它把问题分为 n 个阶段, 利用一种递推关系依次作出决策, 构成一个最优策略 , 达 到整个过程取得最优 . 下面通过一个例子来说明动态规划方法 .
6
B1
3
A
9 5 4 3 5 1
C1
4 2
D1
5 4
B2
C2
6 9 7 5
D2
1
0 .7 1 / 2 ) = 0.882 , 0.9 × 1 0.7 j = 3 时 , R3 = 0.9 > ( )1 / 3 = 0.888, 1 0 . 7 * 因而 , k 0 = 2, R 0 =( )1 / 2 = 0.882 .即把第一,二分系统的可靠性提高到 0.882, 而第 0 .9 × 1 三个分系统的可靠性 0.9 保持不变 .
i = k0 +1
∏R
n +1
]1 / k 0 .
How do we understand the result of the problem? Please see the Figure as follows.
5
单元可靠度
单元的预计可靠度 ( R j )
第 j 单元 (j=1,… ,7) 单元的分配可靠度 ( R * j)
可靠性分配 (Reliability Allocation)
第一节 : 可靠性分配 定义 : 把可靠性指标自上而下地分配到各分系统 --à 整机 --à元器件 , 即确定各组成 部分的可靠性定量要求, 从而使整机可靠性指标得到实现 . 可靠性分配本质是一个工程决策问题 , 是人力,物力的统一调度应用的问题 .
j 个子系统可靠度为 R j 时所花的费用 , 它是 R j 的单调递增函数 .)
n Min f j (R j ) ∑ j = 1 s.t . h( R1 , R 2 ,L, Rn ) ≥ R 0 n ∑ g ij ( R j ) ≤ bi , i = 1,2,L, r j =1 0 ≤ R j ≤ 1, j = 1,2,L, n
单元 预计可靠性 预计不可靠性 分配不可靠性 分配不可靠性 A 0.96 0.04 0.02 0.98 B 0.92 0.08 0.04 0.96 C 0.98 0.02 0.01 0.99 D 0.94 0.06 0.03 0.97 * 0.2 0.90345024 串联系统 0.1 即 R S = 0.9
2
2. 有约束可靠性分配 一般有两类形式 : 形式 1.
Max h( R1 , R 2 , L , R n ), s.t . n g ( R ) ≤ b , i = 1,2, L , r . ij j i ∑ j =1 0 ≤ R j ≤ 1, j = 1,2,L , n. 此处 , h( R1 , R 2 ,L , R n ) 为系统的可靠度 ; R j , ( j = 1,2,L , n) 为单元的可靠性;
E
2
B3
7
C3
求 A 到 E 的最短距离 (用逆推法 ), 令各阶段目标函数 (距离 ) 为 f n ( s ) , s 为状态变量, x n 为决策变量 , f n ( s) = xn . 第一阶段: f 1 ( D1 ) = 1 (从 D1 到终点 E 的距离等于 1), f 1 ( D2 ) = 2 .
g ij ( R j ) 表示第 j 个单元的可靠性为 R j 时需花费的第 i 种资源的数量 ; bi 表示第 i 种
资源的总限制数量 (i = 1,2, L , r , 例如它们可为费用, 重量 , 体积 , 功耗等 ). g ij 和 h 通常为 R1 , R2 , L, Rn 的单调递增函数 . 形式 2. (符号的意义与上面相同, 并且 R0 为预定要求系统达到的可靠度 , f j ( R j ) 是第
i =1 0
i =1
n
t
n
当 W 很小时, 我们有 1 − FS = R S = exp(−W ) = 1 − W + W 2 / 2!+ L ≈ 1 − W = 1 − ∑Wi , 即
i =1
n
得 FS ≈ ∑Wi , FS 为不可靠度 , 所以可以直接按不可靠度进行分配 .
i =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
1
例如四个单元组成的串联系统 , 要求系统的可靠度为 0.9, 各单元的可靠性预计结 果及分配为 :
0.02 = 0.1× 0.04 0.2
例 2. 有并联冗余单元时的可靠性分配 D A B C E
系统的各单元 A,B,C 的可靠性预计值均为 0.99, 单元 D,E 的预计值均为 0.96. (因此 , 系统的可靠性预计值为 : 0.96). 现要求系统的可靠性指标按理 0.98 进行分配. 先把单元 D 和 E 视为一个单元 U, 按串联系统进行分配, 可以确定单元 A,B,C,U 的 不可靠性为 0.005. 另一方面, 单元 U 的不可靠性为: QU = QD Q E , 可得出