第二章 函数的插值

第二章函数的

插值

学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。

§2.1 多项式插值

一、插值问题的基本概念：

设有函数 ，只知道它在n+1个不同的点

上的函数值，y 是另外一点。

不知道，如何求它的近似值？插值就是一种办法，它的思想是：找一个简单的已知解析表达式的函数 ，使得

（1）

并且 容易计算，我们就用 来代替

。 )(x f 121,,,+n x x x )(y f )(x p ,

1,,2,1),()(+==n i x f x p i i )(y p )(y p )(y f 称为插值函数， 称为被插值函数， 称为节点或结点。如果限制 为n 次多项式，那么上述问题称为多项式插值， 称为 的n 次插值多项式。 )(x p )(x f 1

21,,,+n x x x )(x p )(x p )(x f 本节主要介绍插值问题的基本概念、方法和理论。

对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题： 插值问题是否可解，如果有解，解是否唯一？ 插值多项式的常用构造方法有哪些？

插值函数逼近的误差如何估计，即截断误差的估计； 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 。 本节主要讨论前三个问题。

二、多项式插值的方法

令

是n 次多项式：

(1)

考察（1）式，就有方程组： (2)

n

n n

k k k x a x a a x a x p +++==∑= 100

)(1,,2,1,0

+==∑=n i f x a i n

k k

i k )(x p )(x f

刚巧是一个具有n+1个未知量 ,n+1个方程的线性方程

组，它的系数矩阵为：

n a a a ,,,10 ⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡=

+++n n n n n n

x x x x x x x x x A 121

1

222212

1

1111 而 恰为范德蒙达(Vandermonde) 行列式。由线性代数知：

)det(A 0

)()det(1

1≠-=

∏+≤<≤n j i i j

x x

A 因而方程组（2）有唯一解

存在，也即由插值条件（1）可以唯一确定一个n 次多项式。

n a a a ,,,10

定理1 由n+1个不同的点

可以唯一确定一个n 次多项式 ，且满足条件（1）。 121,,,+n x x x )(x p 注意：定理1解决了n 次插值多项式的存在、唯一性。以下我

们主要讨论 的具体求法： )(x p （3）

首先，从方程组（2），由克莱姆(Cram)法则我们知道：

)

det(A d a k k =其中

是将系数矩阵A 的第k 列换为方程组（2）的右端向量形成的矩阵行列式 。

k d 从（3）式求

，从而求得 ，从数学上来说是很清楚的，但从计算来看工作量太大了。因为计算一个行列式是不

容易的，花的代价较大。以下我们介绍常用的求

的方法 k a )(x p )(x p

§1.1 拉格朗日途径

考虑特殊的n 次多项式:

)())(())(()

())(())(()(1112111121++-++-----------=

n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x q 它满足：

⎩⎨

⎧≠==k

i k

i x q i k ,0,1)(则： 若记 ∏+=-=1

1)

()(n i i x x x w )

()()

()(k k k x w x x x w x q '-=

由此看出多项式 ： ∑+=1

1

)

(n k k k x q f 是一个n 次多项式，在 处恰为 i

x i

f ，因此满足条件（1），由定理1知

的这种表示称为拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，其中， (k=1,2,…,n+1)称为拉格朗日基本插值多项式。

∑+==1

1

)

()(n k k k x q f x P （4）

)(x q k 例1

5

)(,1)(,8)(,4,2,1321321======x f x f x f x x x 求二次插值多项式。 )(x P 21

1635

)24)(14()2)(1(1)42)(12()4)(1(8)41)(21()4)(2()(2

+-=----+----+----=x x x x x x x x x P 解 按拉格朗日方法，有：

§1.2 内维尔途径

内维尔途径是一种由两个n-1次插值多项式构造一个n 次插值多项式的方法。

记 是 在 上的一次插值多项式，同样 是 在 上的一次插值多项式，那么 上的二

次插值多项式为

)(2

,1x P )(x f 21,x x )(3,2x P )(x f 32,x x 321,,x x x )

()(1

)()()(3,23

2,11133,21312,11333,2,1x P x x x P x x x x x P x x x x x P x x x x x P ---=

--+--=这是很容易证明的。因为 显然是二次多项式，且 ，由定理1就知道 是唯一的 在

上的二次插值多项式。 )(3,2,1x P )

(3,2,1x P )3,2,1)(()(3,2,1==i x f x P i

i )(x f 321,,x x x