排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合

1. 排列组合公式

quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。

quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：

Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!

begin{aligned}

amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}

amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}

end{aligned}

Anr=n(n1)(nr1)=(nr)!n!Cnr=r!Anr=r!(nr)!n!

quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=1

2. 二项式及公式推广

quad二项式展开公式为：

(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^n

C_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?i

quad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}

中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。

quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^n

C_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；

quad(2)

Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?

quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j)

∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。

3. 应用举例

quad(1) 甲乙比赛胜利概率分别为p、1?pp 、1-pp、1?p，n场比赛中甲赢m场的概率:：Cnmpm(1?p)n?mC_n^mp^m(1-p)^{n-m}Cnm?pm(1?p)n?m；

quad(2) 箱子含nnn个白球、mmm个红球，从中随机取kkk球，恰好取到k′k#x27;k′个红球（0≤k≤m0leq k leq m0≤k≤m）的概率：

quadquad - 先从红球中抽k′k#x27;k′个红球，共Cmk′C_m^{k#x27;}Cmk′?，再从白球中抽k?k′k-k#x27;k?k′个白球，共Cnk?k′C_n^{k-k#x27;}Cnk?k′?;

quadquad - 从n+mn+mn+m个球中抽kkk个球，共Cn+mkC_{n+m}^kCn+mk?，故P=Cmk′Cnk?k′-Cn+mkP=C_m^{k#x27;}C_n^{k-k#x27;}-C_{n+m}^kP =Cmk′?Cnk?k′?-Cn+mk?；

quad(3) 将nnn个不同物品分为kkk堆，各堆物品数为r1,?ThinSpace;,rkr_1,cdots, r_kr1?,?,rk?，总分法：Cnr1Cn?r1r2?Cn?r1?rk?1rk=n!-(r1!?rk!)C_n^{r_1}C_{n-{r_1}}^{ r_2} cdots C_{n-r_1-cdots-r_{k-1}}^{r_k}=n!-(r_1! cdots r_k!)Cnr1?Cn?r1?r2?Cn?r1?rk?1?rk?=n!-(r1rk?!);

quad(4) 将nnn 双不同的鞋随机分为nnn堆，每堆222只，则每堆均成一双鞋的概率：

quadquad由(2)知，总计分法(2n)!-2n(2n)!-2^n(2n)!-2n种，其中所有堆均成一双鞋的分法有n!种，故P=n!2n-(2n)!P=n!2^n-(2n)!P=n!2n-(2n)!

quad(5) 将nnn个男孩，mmm个女孩(m≤n+1mleq n+1m≤n+1)排成一列，任意女孩不相邻的概率:

quadquad - 先将n个男生随意排为一列，有n!种排法，且相邻男生中有n+1个位置（包含列首尾）；

quadquad - m个女生在n+1个位置中随意排列，共计m!Cn+1mm!C_{n+1}^mm!Cn+1m?种排法;

quadquad - 共n!m!Cn+1mn!m!C_{n+1}^mn!m!Cn+1m?种排序满足条件，总计(n+m)!(n+m)!(n+m)!种排序；

quadquad - 故概率P=n!m!Cn+1m-(n+m)!=Cn+1m-Cn+mmP=n!m!C_{n+1}^m-(n+m)!=C_{n+1 }^m-C_{n+m}^mP=n!m!Cn+1m?-(n+m)!=Cn+1m?-Cn+mm?；

quad(6) 箱子里有红、白球各一个，有放回、等概率抽球，当抽到n+1个红球时，之前抽到n-m个白球的概率：

quadquad - 前2n+m2n+m2n+m次中抽中n?mn-mn?m个白球，共计C2n?mn?mC_{2n-m}^{n-m}C2n?mn?m?种；

quadquad - 总计∑k=02n?mC2n?mk=22n?msum_{k=0}^{2n-m} C_{2n-m}^k=2^{2n-m}∑k=02n?m?C2n?mk?=22n?m种，故P=C2n?mn?m-22n?mP=C_{2n-m}^{n-m}-2^{2n-m}P=C2n?mn?m?-22n?m；

设为1≤a1≤a2≤a3≤.≤ak≤n，因为是组合，排下序也没什么关系。

String[] m = {"A", "B", "C", "D", "E"};

题目三、hdu1171? 给出一些物品的价值和个数，分成两份，是这两份的价值相差最小

for(int i = 1; i = data.size(); i++)