板壳力学初步

几项假设1） 板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的； 2） 板壳是线弹性的；3） 板壳的变形是微小的；4） 直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变。

5） 法向应力很小，可以忽略；6） 板的中面没有变形。

板壳的应力、应变以及应力与应变的关系薄板壳内任一点沿z 方向的位移w A 与坐标z 无关，仅是坐标x 、y 的函数，横向剪应变γyz 和γzx 应为零， 几何方程 物理方程 或薄板的内力薄壳的内力薄板的边界条件x y xy u xv yu v y x εεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂1()1()2(1)x x y y y x xy xy EE E εσνσεσνσνγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪+⎪=⎪⎭22()1()12(1)xx y y y x xy xy E EE σενενσενεντγν⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭2222222222h hx x y y h hhxy xy h h hx xz y yz h h M zdzM zdz M zdz Q dz Q dz σστττ-----⎫⎪==⎪⎪⎪⎪=⎬⎪⎪⎪==⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2h h xx yy h h h xy yx xy h h h x xz y yz h h h h x x y y h h h xy yx xy h MzdzMzdz M M zdzQ dz Q dz N dz N dz N N dzσστττσστ----------------⎫==⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪==⎪⎪⎪==⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰简支边 0x aw==，0xx aM == 固定边 0x aw==，0x aw x=∂=∂自由边 0xy xx x ax aM V Q y ==∂⎛⎫=+= ⎪∂⎝⎭，0x x aM==薄壳的边界条件简支边 0x av==，0x aw ==，0xx aN ==，0xx aM == 固定边0x au==， 0x av==，0x aw==，0x aϕ==自由边 0xx aN ==， 0x x aM ==， 0xy xx x ay x aM V Q s ==⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭，0xy xxy x ay x aM T N r ==⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭板壳的应力计算公式薄板,,0,,y x x y z xy y x xy xz yz M b M b z z I I M bQ S Q S z II I σσστττ⎫===⎪⎪⎬⎪===⎪⎭，其中惯性矩3/12I bh =，静面矩薄壳2222232231212,120,6464y yx xx y xy xyz xy y yz x xzN M N M z z hhh h N Mzh hQ h z h Q h z h σσστττ⎫=+=+⎪⎪⎪==+⎪⎪⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭注意，在板壳弯曲问题中，数值上最大的是法向应力x σ、y σ和切向应力xy τ，因而是主要的应力，横向剪应力yz τ、xz τ数值较小，是次要的应力，一般说来，无须对它们进行计算。

2224b h S z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭圆形板的轴对称弯曲理论圆板的内力由于对称性缘故，环向横向力Q θ和扭矩M r θ都恒等于零。

这样，内力数目只有三个，即/2/2h r r h M zdz σ-=⎰，/2/2h h M zdz θθσ-=⎰，/2/2h rz h Q dz θτ-=⎰平衡方程 ()r d rQ qr dr=-，()r r d rM M rQ drθ-=几何方程 22r d w z drz dw r dr θεε⎫=-⎪⎪⎬⎪=-⎪⎭， 物理方程 22221r d w v dw M D dr r dr dw d w M D r dr dr θν⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎬⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎭，3212(1)E h D ν=-，为抗弯刚度，物理方程还可表示为331212rr M z h M z hθθσσ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭圆板小挠度理论的基本方程11d d d dw qrr r drdr r dr dr D⎛⎫= ⎪⎝⎭ 中心无孔 420241464q rw c r c D=++，3021216q rdw c r drD=+，012r Q q r =-()()2220203131,12828r D D M c q r M c q r D D θνννν++⎡⎤⎡⎤=-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中，常数c 2和c 4将由圆板边缘的支承条件求得，0q 为板上分布的均布荷载。

简支条件：当r =a 时，220,0r d w dw w M D drr dr ν⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭ 挠度 ()222205641q w a ra r Dνν+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭板中力 ()()22022003()16(3)13162r r q M a r q M a r q Q r θννν⎫=+-⎪⎪⎪⎡⎤=+-+⎬⎣⎦⎪⎪=-⎪⎭板中应力()()()()2203220322033343313434r rz q za r h q z a r h q r h z h θσνσνντ⎫=+-⎪⎪⎪⎡=+-+⎬⎣⎪⎪⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎭最大应力值 ()()()()2002max maxmax 333,84r rz q a q a hhθνσστ+===固支条件：当r =a 时， 0,0dw w dr==挠度 ()22264q w arD=-板中力()()2202201(3)16(1)1316r q M a r q M a r θνννν⎫⎡⎤=+-+⎣⎦⎪⎪⎬⎪⎡⎤=+-+⎣⎦⎪⎭板中应力()()()()22032203313431134r q z a r hq za r h θσννσνν⎫⎡=+-+⎣⎪⎪⎬⎪⎡=+-+⎣⎪⎭最大应力值 ()202m ax 34r q a hσ=承受均匀分布边缘弯曲的圆板：当r =a 时， 220d w v dw M D dr r dr w ⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎬⎝⎭⎪=⎭挠度 ()()2221M w arD ν=-+ 板中力 rMM M θ==板中应力 312r Mz hθσσ==承受中心荷载的圆板（固支）：挠度 2222ln 16Pr w a r r D a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭弯矩()()1ln 141ln 4r P a M r P a M r θνπννπ⎫⎡⎤=+-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎬⎡⎤⎪=+-⎢⎥⎪⎣⎦⎭注意，此公式只适宜于计算离荷载稍远一点的弯矩，不能用来计算圆板中心附近的弯矩。

承受对称线布荷载的圆板（简支）： 挠度()()()()()2222222222ln 13ln 421bQ b a b r r w r b H r b r b r b D a a b ννν⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎡⎤=+----+-+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭承受对称线布弯矩的圆板（简支）： 挠度()()2222221312ln 2ln 141M b r b r w r bH r b b r D aa b ννν⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=---++++-+-⎨⎬⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭承受均匀分布边缘弯矩的环形板（简支）：边界条件：当r =b 时，22210d w dw M D dr r dr d d dw D r dr r dr drν⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-= 当r =a 时，222w d w dw M D dr r dr ν=⎫⎪⎛⎫⎬=-+ ⎪⎪⎝⎭⎭则()()()()()()()()()()22221222122222222221222222222212221ln 1210r r a b M M M b M a r w a r a D a b Q M a r b M b r a M r a b M a r b M b r a M r a b θνν⎫⎡⎤--=--⎪⎢⎥-+-⎪⎣⎦⎪=⎪⎪---⎬=⎪-⎪⎪+-+⎪=⎪-⎭讨论几种特殊情况：1）若M 1=M 2=M ，那么()()22210r r M w arD Q M M Mθν⎫=-⎪+⎪⎪=⎬⎪==⎪⎪⎭最大挠度在r =b 的内边缘处，为()()22max21M a bwD ν-=+2）M 1=0，()()2222222222222222222ln 211011r r M aa rb r w k a D a b Q M a b M a b r M a b M a b r θνν⎫⎡⎤-=-⎪⎢⎥+--⎪⎣⎦⎪=⎪⎪⎬⎛⎫=-⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=+ ⎪-⎪⎝⎭⎭最大挠度在r =b 的内边缘处，为()()()222max 221ln 211M a bb w D a a b νν⎛⎫⎪=- ⎪+--⎝⎭最大弯矩是位于内边缘处的环向弯矩，为()22max222M a M a bθ=-若M 2=0，则()()()()()()222212222212222221222ln 1210r r M ba r a r w a D ab Q M b r a M r a b M b r a M r a b θνν⎫⎡⎤-=-⎪⎢⎥-+-⎪⎣⎦⎪=⎪⎪-⎬=⎪-⎪⎪+⎪=-⎪-⎭此时，最大挠度在内边缘处，为()()22221m ax 22ln 121M ba b a b w a D a b νν⎡⎤-=-⎢⎥-+-⎣⎦ 最大弯矩为内边缘处的环向弯矩，为()()()2221m ax222M b abM ra b θ+=--承受均匀分布内边缘横向力的环形板（简支）：边界条件 当r =b 时，2201d w dw D dr r dr d d dw D r Pdr r dr dr ν⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎬⎪-=-⎪⎭当r =a 时，220,0d w dw w D drr dr ν⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 板中力()()()()()2222222222222222231311ln ln ln ln 222112411,1ln ln 2111ln ln 21r r a P b b b r abr b w r D a b a a a b a a P b P b ba b r Q M ra b a a r P b ba b r M a b a a r θνννννννννν⎧⎫⎡⎤+++⎪⎪⎛⎫=+-+-+⎨⎬⎢⎥⎪-+--+⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤+⎛⎫=-=--+⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⎛⎫-=-++-⎢⎥⎪-+⎝⎭⎣⎦最大挠度为内边缘的挠度，为()()()()()22222max2213ln 2411a b Pb b w a b D a a b νννν⎡⎤++⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦最大弯矩为内边缘的环向弯矩，为()()2max 22121ln 21Pb a b M a ba θννν+⎡⎤-=--⎢⎥-+⎣⎦ 矩形板的弯曲理论 平衡方程,0,0y yxyxyx xy x Q M M M Q M q Q Q xyyxxy∂∂∂∂∂∂+=-+-=+-=∂∂∂∂∂∂几何方程 22222,,x y xy w w w zzzxyx yεεγ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂物理方程 ()222222222,,1xyxy w w w w w M D M D M D x y y x x y ννν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂=-+=-+=-- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭矩形板的挠度曲面的微分方程：44442242w w w q xx yyD∂∂∂++=∂∂∂∂。