2020塘沽一中高三第二次模拟考试数学答案

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天津市滨海新区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析

2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合UA B 是( )A. {1,3,5,6}B. {1,3,5}C. {1,3}D. {1,5}【答案】D 【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求出集合UA B .【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6UB =，因此，{}1,5UA B =.故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B 【解析】【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．故选：B ．【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象5.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（） A. 8π B. 9πC. 10πD. 11π【答案】A 【解析】【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得：BC == ∴222AC BC AB +=，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点，设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 2AB==1，又11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 13=，所以可得AA 1＝2，因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（12AA ）2＝12+12＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．6.已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c ＜a ＜b B. b ＜c ＜a C. a ＜c ＜b D. b ＜a ＜c【答案】C 【解析】【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论．【详解】由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log 12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log 12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln 1212e =，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ．故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数．下列判断正确的是（）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D. 函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增【答案】D 【解析】试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则；,2T πω==, 又函数()12f x π+是偶函数，可知；()sin(2())sin(2),,()sin(2)12633f x x x f x x ππππϕϕϕ=++=++==+则得；A 错误，B ，图像对称点横坐标为；2,,362k x k x k Z ππππ+==-+∈错误； C ，图像的对称直线方程为；2,,32122k x k x k Z πππππ+=+=+∈，错误； D ，函数的增区间为；5222,,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈ 71,,1212k x πππ=≤≤+3[,]4ππ为它的子集．正确．考点：三角函数的性质的综合运用．8.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（）A.B.+1C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，将其代入双曲线方程可求得y ，当确定点P 的坐标后就能得到点M 的坐标，由于△OFM 为等腰直角三角形，可根据|MF |＝|OF |建立a 、b 、c 的关系式，再结合b 2＝c 2﹣a 2和1ce a=＞即可得解．【详解】抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有22221c y a b -=，解得2b y a=，∴点P 的坐标为2b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点M 为线段PF 的中点，且F （﹣c ，0），∴M （﹣c ，22b a），∵△OFM 为等腰直角三角形，∴22b c a=即2ac ＝b 2＝c 2﹣a 2，∴2()210c c aa -⋅-=，解得1c a =（舍负），∴1c a=+ 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m的取值范围是（） A ()1,2,04⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦B. ()12,0,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)12,0,4⎛⎤--+∞⎥⎝⎦D. [)1,20,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】()()g x f x x m =-+恰有三个零点则()f x x m =-的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.【详解】根据()22,01,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图像,取绝对值可知()f x x m =-如图.当()f x x m =-的函数图像有三个交点时分两种情况①当直线y x m =-与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为y x m =-过原点时,此时0m =,以及与抛物线相切,此时2220x x x m x x m -=-⇒--=判别式11404m m ∆=+=⇒=-,故1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦②当直线y x m =-与抛物线部分相交于1个点,与1y x=-相交于两点,此时临界条件为直线y x m =-与1y x =-相切,此时2110x m x mx x-=-⇒-+=判别式2402m m ∆=-=⇒=±,由图得y x m =-中0m <,故2m =-为临界条件. 故此时(),2m ∈-∞-综上所述, ()1,2,04m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.）6的展开式中常数项是_____．【答案】-160 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为0得常数项．【详解】展开式的通项为T r +1＝362r r rC x --（）令3﹣r ＝0得r ＝3所以展开式的常数项为3362C -（）＝﹣160 故答案为：﹣160．【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12.已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____．【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 【解析】【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．【详解】由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（32-，12），又12312AB k --==--+，∴AB 的垂直平分线方程为113232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即x ﹣3y +3＝0．联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．故答案：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____．【答案】 (1). 950 (2). 35【解析】【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105⨯=．故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______．【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y yx y y y y -∴+=+=--, 令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111334551999t t t t x y t t t t ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+=（）（, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案：1(1)2(2)1 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32MN =，若()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅=______. 【答案】2- 【解析】【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.【详解】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，可得1()2MN MO ON AB DC =+=+，平方可得()()2222119242444MN AB DC AB DC DC AB DC =++⋅=++⋅=，即有25122AB DC DC ⋅=-，3()2MN AD BC ⋅-=，即有1()()2AB DC AB BD BC +⋅+-()()2221113()()42222AB DC AB CD AB CD CD =+⋅+=-=-=，解得21CD =，所以2151522222AB CD DC ⋅=-=-=-，故答案为：−2.【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为22（Ⅰ）求a 及sinC 的值；（Ⅱ）求π26cos A -（）的值．【答案】（Ⅰ）3a = ，42sinC =（Ⅱ4273-）【解析】【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且21221,,133b c cosA sinA cos A -==∴=-=, ABC的面积为122222,6,3,22233bc bc sinA bc bc b c ⋅=⋅==∴=∴==, 22129423233a b c bc cosA ∴=+-⋅=+-⋅⋅⋅=．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,922sinC sinC =∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA ∴==⨯⨯=） 272219cos A cos A =-=-,故734214273222666929218cos A cos Acossin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【解析】【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=，由AE 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，(1,1,3)PC =-，11(,,0)22BC =，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =-，则1y =，z =(n =-，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，cos ,1mn m n m n⋅<>===⨯，∴平面P AD 与平面PBC ；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD =，AP =，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+(，又平面PBC的一个法向量是(n =-， ∴1)0AE n λ⋅=--+=，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）()211543()2n n b n -=-+⋅．【解析】【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．【详解】（1）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20，即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20，解得a 1＝1，q ＝2，所以12n na ；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1．由（1）可知12n na ，所以()11141()2b b n -+-=-⋅n n n ，故()21145()22n n b b ---=-⋅≥，n n n ，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）()()2310111145()49()7()3()2222n n --=-⋅+-⋅++⋅+⋅n n ，设()()013211113()7()49()45()22222T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅≥，n n n ，所以()()2211111137()49()45()22222n T n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅n n n ，相减可得()22111111344()4()45()22222T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅n n n =3+4•211122112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（4n ﹣5）•（12）n ﹣1，化简可得()211443()22T n n -=-+⋅≥，n n ，又b 1＝1，所以()211543()2n n b n -=-+⋅．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.已知点A ，B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=，且该椭圆的离心率为12；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为OP k ，直线MN 的斜率为MN k ，且28OP MNb k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程. 【答案】（1）22:143x y C +=（2）3260x y ±+=【解析】【分析】（1）依题意表示出BA ，BF ，根据1BA BF ⋅=，和离心率为12，求出,a b 的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 联立直线方程与椭圆方程，消去y 即可用含k 的式子表示P 、H 的坐标，即可表示出AP 中垂线方程，求出N 的坐标，最后根据28OP MN b k k a⋅=-求出参数k 即可得解.【详解】解：（1）依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--，(,)BF c b =-，则21BA BF ac b ⋅=-+=，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=.（2）由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+ 所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=221612(2)34P k x k-∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭2634P OP P y k k x k∴==-，222234234MNk k k k kk +==+ 22263481234OP MNk k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+，即3260x y ±+=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 20.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =--所以定义域为0,6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x > 令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-==得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即2ln 02g a a e =-<⇒>；因为10x <<2x >21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a tx t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。

天津市滨海新区塘沽第一中学2020届高三毕业班第二次模拟数学试题及答案

保密★启用前
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座号
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
温馨提示：疫情期间，受时间和地域限制，此次考试采用线上测试方式，答卷时，考生务必将答案选出上传，拍照上传部分的试题按要求，拍照清楚，在规定时间内完成上传。特殊时期，请各位考生珍惜实战演练机会，独立作答！
数学
第Ⅱ卷
二．填空题(每小题 5 分，共 30 分，将每道小题的结果标清题号按顺序分别拍图片上传）
10．函数 f (x) log0.5(4x 3)的定义域是 ____________．
11.已知二项式
x2
2 x
n
的展开式中各项的二项式系数和为 512 ，其展开式中第四项的系数
____________．
4 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取 12 名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
人数
12
9
丙
丁
6
9
（1）从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一个小组的概率；
12．已知 F 是抛物线 C : y2 2x 的焦点，是 C 上一点，F 的延长线交 y 轴于点．若为
F 的中点，则 F ____________．
13．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，

2020届天津市滨海新区高考二模数学试题解析

绝密★启用前2020届天津市滨海新区高考二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是() A ．{1,3,5,6}B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}答案：D利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð.解： Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð，因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D.点评：本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：C分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果.解：解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件.故选：C.点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）A ．18B ．36C ．54D ．72答案：B 由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．故选：B ．点评：本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（） A ． B ． C ．D ．答案：D先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可解：由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x x x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因为()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D点评：本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象5．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π答案：A由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得：BC === ∴222AC BC AB +=，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点，设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 2AB ==1，又111222ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=，所以V 柱＝S △ABC •AA 1=AA 1＝2，因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（12AA ）2＝12+12＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．点评：本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．6．已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln 32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c 答案：C由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论．解：由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log 12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log 12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln 1212e =，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ．故选：C ．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数．下列判断正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增答案：D 试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则；,2T πω==,又函数()12f x π+是偶函数，可知；()sin(2())sin(2),,()sin(2)12633f x x x f x x ππππϕϕϕ=++=++==+ 则得；A 错误，B ，图像对称点横坐标为；2,,362k x k x k Z ππππ+==-+∈错误； C ，图像的对称直线方程为；2,,32122k x k x k Z πππππ+=+=+∈，错误； D ，函数的增区间为；5222,,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈ 71,,1212k x πππ=≤≤+3[,]4ππ为它的子集．正确．【考点】三角函数的性质的综合运用． 8．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（）AB 1C ．12D ．2 答案：B根据抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，将其代入双曲线方程可求得y ，当确定点P 的坐标后就能得到点M 的坐标，由于△OFM 为等腰直角三角形，可根据|MF |＝|OF |建立a 、b 、c 的关系式，再结合b 2＝c 2﹣a 2和1c e a=＞即可得解．解：抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有22221c y a b -=，解得2b y a =，。

2020届天津市滨海新区塘沽一中高三二模考试数学试卷及答案

}
的前
n
项和为 Tn
；若对 n
N*
均满足 Tn
m 2020
，求整数
m
的最大值;
n
（3）是否存在数列 cn ,满足等式 (ai 1)cn1i 2n1 n2成立，若存在,求出数列 cn 的通项 i1
公式；若不存在，请说明理由.
20. (本题满分 16 分)已知 f ( x) a sin(1 x) ln x ，其中 a R .
243
）
70
B．
243
80
C．
243
38
D．
243
第2页共5页
9．已知函数
f
x
xlnx2x,x x2 2x,x 0
0
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y 1的对称
点在 y kx 1的图像上，则实数 k 的取值范围是（）
A．
1 2
,1
B．(0,1)
C．
1 2
,0
D．(-1,0)
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数学
第Ⅱ卷
二．填空题(每小题 5 分，共 30 分，将每道小题的结果标清题号按顺序分别拍图片上传）
10．函数 f (x) log0.5(4x 3)的定义域是 ____________．
11.已知二项式
x2
2 x
n
的展开式中各项的二项式系数和为 512 ，其展开式中第四项的系数
____________．
AB 4
(m2 9)2 (m2 12)2
,
MF
m2 9
MF
MF 1 AB 4
m2
9
9 m2
9

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。

2023年天津市滨海新区十二校联考塘沽一中等高考数学模拟试卷(二)+答案解析(附后)

2023年天津市滨海新区十二校联考塘沽一中等高考数学模拟试卷（二）1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 设向量，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的大致图象为.( )A.B.C.D.4. 已知，，若，则n的值为( )A. B. 5 C. D. 255. 下列说法正确的是( )A.若，，，则B. 若将6名教师分到3所中学任教，每所学校至少一名教师且人数互不相同，则有320种不同的分法C. 一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分位数是156D. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为奇数，事件两次的点数之和为，则6. 已知函数，，下列命题中：①的最小正周期是，最大值是；②；③的单调增区间是；④将的图象向右平移个单位得到的函数是偶函数.其中正确个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点.以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为( )A. B. C. D.8. 如图，图是某机械零件的几何结构，图是几何结构内部示意图，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，则这个几何体的体积为( )A. 32B.C.D.9. 已知函数则下列说法中正确的是( )①函数有两个极值点；②若关于x的方程恰有1个解，则；③函数的图象与直线有且仅有一个交点；④若，且，则无最值.A. ①②B. ①③④C. ②③D. ①③10. i是复数单位，化简的结果为______ .11. 若展开式中所有项的系数和为256，其中a为常数，则该展开式中项的系数为______ .12. 已知圆M：与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆M的切线，则切线长为______.13. 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重单位：数据绘制成频率分布直方图如图由图中数据估计100名男生体重的平均数为______ ；若要从体重在三组内的男生中，用分层抽样的方法选取了12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为______ .14. 平面四边形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，，则的最小值为______ .15. 已知函数，当时，不等式的解集是；若关于x的方程恰有三个实根，则实数a的取值范围为 .16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知求的值；若，求的值；求的值.17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，平面平面ABCD，且求证：平面PDC；求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求点A到平面HBC 的距离．18. 已知等差数列的前n项和为，公差为1，且满足数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前n项和为求数列和的通项公式；若…，求正整数n的值；记，求数列的前n项和19. 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：与椭圆E相切于点求椭圆E的离心率；求椭圆E的标准方程及点T的坐标；设O为坐标原点，直线平行于直线OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，那么是否存在常数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.20. 设函数求的单调区间；已知a，，曲线上不同的三点，，处的切线都经过点证明：若，则；若，，则注：…是自然对数的底数答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，所以故选：根据题意，先将集合A，B化简，然后根据交集的运算即可得到结果．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由条件可知，，得，化简得，得或，即或，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：首先根据，求的值，再判断充分，必要条件．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的图象，也考查了函数的奇偶性，属于基础题．由函数的奇偶性排除BD选项，再根据时排除C得【解答】解：因当时，，则，当时，，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD；因为当时，，，故，所以C选项不满足，A选项满足．故选：4.【答案】D【解析】解：，，，，，，即故选：先把指数式化为对数式，再利用对数的换底公式求解即可．本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A，函数，当时是减函数，函数，当时是增函数，，，，A错误；对于B，依题意将6名教师分为3组，各组的人数分别为1，2，3，共有种分法，再将3组教师分配到3所中学，有种分法，所以总共有种分法，B错误；对于C，对于给定的数据，一共是12个，所以中位数是，在的右边有6个数据，所以上四分位数是，C错误；对于D，设两次投掷的点数为，则事件，事件，根据条件概率的定义，D正确．故选：根据相关的定义和计算方法以及函数的单调性逐项分析．本题考查不等式比较大小，考查排列组合，考查百分位数的计算，考查条件概率，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由于函数，，故函数的最小正周期为，最大值为，故①正确；由于，故②正确；令，，求得，，可得的单调增区间是，故③正确；将的图象向右平移个单位得到的函数是，不是偶函数，故④错误．故答案为：由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图像和性质，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：不妨设以为直径的圆的圆心为M，且与直线直线相切于点N，则，以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，则，即，又，，，则，又，则，由勾股定理可得，即，即，即，双曲线C与抛物线有共同的右焦点，，则，即抛物线的标准方程为，故选：结合已知条件，由勾股定理可得，然后求解即可．本题考查了双曲线的性质及抛物线的性质，重点考查了运算能力，属中档题．8.【答案】D【解析】解：根据题意两个四棱柱的体积为，又交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍，在等腰三角形ABS中，，底边SB上的高为2，，根据该几何体的对称性知四棱锥的底面是边长为的菱形，设AC的中点为H，又，，，，又，，这个几何体的体积为，故选：该几何体的体积为两个四棱柱的体积减去这两个四棱柱交叉部分的体积．本题考查空间想象力，几何体的对称性，棱柱的体积与棱锥的体积的体积公式，属中档题．9.【答案】D【解析】解：对于①，当时，，恒成立，所在上单调递增；当时，，恒成立，所以，在上单调递减；当时，，恒成立，所以，在上单调递减．综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确；对于②，作出的图象如下图，由图可知，若关于x的方程恰有1个解，则或，故②错误；对于③，由①知，当时，，因为，所以，所以，当且仅当，当时，；当时，，因为，所以，所以，当且仅当，综上所述，，有恒成立．又直线可化为，斜率为，所以函数的图象与直线有且仅有一个交点，故③正确；对于④，由图可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点．则有，所以，所以，令，则令，则在上恒成立，所以，在上单调递增．又，，根据零点存在定理可知，使得，且当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误．综上所述，①③正确．故选：求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出与有3个交点时，m的范围．然后用m表示出，即可得出，，，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④．本题考查函数的零点，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题．10.【答案】【解析】解：故答案为：复数的乘除运算法则计算即可．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．11.【答案】28【解析】解：展开式中所有项的系数和为 256，，解得，展开式中项的系数与展开式中的项的系数相同．而展开式的通项，令，得，所以展开式中项的系数为故答案为：根据所有项的系数和为 256，令，建立方程求出a的值，然后根据多项式乘积关系进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据所有项系数和，求出a的值，然后求出通项公式，根据次数关系建立方程是解决本题的关键，是中档题．12.【答案】【解析】解：由题知圆M：，圆心到直线的距离，所以，解得故圆M的方程为所以切线长为切线长为：故答案为：先求出圆心到直线的距离，根据圆被直线截得的弦长求出a，再结合勾股定理即可求解结论．本题主要考查直线和圆的位置关系以及切线段长的求解，根据弦长求得a是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：体重的平均值为：，在三组内的男生中抽取的人数之比为：：：2：1，故这三组内的男生中抽取的人数分别为，，，所有的选法有种，这两人体重不在同一组内的选法有种，故这两人体重不在同一组内的概率为故答案为：；用每一组的体重的平均乘以该组的频率，相加即得所求体重的平均值；先求出这三组内的男生中抽取的人数，根据所有的选法有种，这两人体重不在同一组内的选法有44种，由此求得两人体重不在同一组内的概率．本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，属于中档题．14.【答案】【解析】解：以D为原点，以DC为x轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以，，，，所以，，所以，所以，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为故答案为：以D为原点，DC为x轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用求出与的关系，再利用基本不等式求的最小值．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．15.【答案】或【解析】解：当时，，当时，由得，当，不等式等价为，即此时不等式不成立，当时，不等式等价为，得，当时，由由得，得，得，此时无解，综上不等式的解集，当时，的最小值为，在上的最大值为，当时，函数是开口向下的抛物线对称轴为，顶点为，当时，最多有两个零点，当时，最多有两个零点，则要使恰有三个实根，则当时，有两个零点，时有一个零点，或当时，有一个零点，时有两个零点，①若当时，有两个零点，则，得，即，此时当时只能有一个零点，若对称轴a满足，此时当时，必有一个零点，则只需要当时，，即，得，此时，若对称轴a满足，此时在上为增函数，要使此时只有一个零点，则即，得，此时，②若当时，有一个零点，此时，即时，此时当时，函数的对称轴，要使时有两个零点，则即，得舍或，此时，综上实数a的取值范围是或，故答案为：，或结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的应用，结合绝对值函数和一元二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．16.【答案】解：由，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得；若，则，即有由于，即，又B为锐角，所以A为锐角，，，；，，则【解析】由三角形的正弦定理和余弦定理计算可得所求值；由三角形的正弦定理可得，由同角公式可得，，再由和角的正切公式可得的值；由二倍角公式与和角的正弦公式可得的值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角函数的同角公式、二倍角公式与和角的正弦公式、正切公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，，平面PDC，平面所以平面四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC，平面ABQ，平面ABQ，，平面平面DCP，平面ABQ，平面解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面PBC的法向量，则，取，得，，得，设平面PBQ的法向量，则，取，，，得，设二面角的大小为，由图形得为钝角，则，因为为钝角，，二面角的大小为解：点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设，，则，，，，，解得，线段DH的长为设平面HBC的法向量，因为，，则，取，得，又，所以【解析】先证明平面平面DCP，再根据面面平行的性质可得平面PDC；以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果．本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．18.【答案】解：等差数列的前n项和为，公差为1，且满足，，解得，数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，，，化为，，由可得：，，…，…，，化为，，解得，设数列的前n项和为，数列的前n项和为，则…，…，相减可得：…，化为…，数列的前n项和【解析】等差数列的前n项和为，公差为1，且满足，利用求和公式可得，即可得出根据数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，可得，于是，解得q，即可得出由可得：，，利用求和公式可得…，代入…，即可得出，设数列的前n项和为，数列的前n项和为，利用错位相减法可得，利用裂项求和方法可得本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】解：依题意，，则，所以所以椭圆E的离心率为由知，，则椭圆E的方程为由方程组，得①方程①的判别式为，由，得，此时方程①的解为，所以椭圆E的方程为，点T坐标为由已知可设直线的方程为，联立，可得，所以P点坐标为，设点A，B的坐标分别为，由方程组，可得则，解得由根与系数的关系可知，所以，同理，所以故存在常数，使得【解析】由题意可得，由离心率的公式求解即可．利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；设直线的方程为，由方程组，解出P点的坐标，求出，把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，，再把用，表示出来，即可得出答案．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：函数，，，由，得，在上单调递增；由，得，在上单调递减．证明：设经过点的直线与函数的图象相切时切点坐标为，则切线方程为l：，，切线l的方程为，，令，，曲线上不同的三点，，处的切线都经过点，函数有三个不同的零点，，，，或时，，单调递增，时，，单调递减，从而，，①，且②，由②得，由①有，，要证明，只需证明，即，令，则，单调递增，，，综上，若，则；证明：由知有三个不同的零点，设，则化为，在三个不同的零点，，，且，，，，解得，③要证明结论，只需证明，即，把③式代入得只需证明，即，令，由题意得，当时，，，只需证明，，，【解析】求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．设经过点的直线与函数的图象相切时切点坐标为，求出切线l的方程为，令，，由题意得到函数有三个不同的零点，推导出，，，要证明，只需证明，令，则，利用导数性质能证明，则；有三个不同的零点，设，则化为，在三个不同的零点，，，且，推导出要证明结论，只需证明，由此能证明本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份)

2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（将每道小题的答案选项直接上传） 1．（5分）已知集合{|21x A y y ==+，}x R ∈，1{|0}2x B x x +=-…，则()(R A B =⋂ð ) A ．[2，)+∞B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(-∞，1]2．（5分）函数2cos ()x xx xf x e e --=+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=相切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足11()2OE OP OF =+u u u r u u u r u u u r，||3OE =u u u r ( )A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=5．（5分）定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1]时，()21x f x =-，设1a lnπ=，25lnb e-=，0.11()3c -=，则( )A ．f （a ）f <（b ）f <（c ）B ．f （b ）f <（c ）f <（a ）C ．f （b ）f <（a ）f <（c ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）6．（5分）已知()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++，0ω>，||2πϕ<，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( )A ．()f x 在3(,)88ππ上单调递减B ．()f x 在(0,)4π上单调递减C ．()f x 在(0,)4π上单调递增D ．()f x 在3(,)88ππ上单调递增7．（5分）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则E ξ等于( ) A ．4B ．4.5C ．4.75D ．58．（5分）已知M 是边长为1的正ABC ∆的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MNu u u u r u u u u r g 的取值范围是( )A ．3[4-，23]64-B ．3[4-，1]2-C ．2[5-，1]5-D ．3[5-，1]2-9．（5分）已知函数32()32f x x x =-+，函数22(3)1,0()1()1,02x x g x x x ⎧-++<⎪=⎨-+⎪⎩…，则关于x 的方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根个数取得最大值时，实数a 的取值范围是( )A ．(1，5]4B ．5(1,)4C ．[1，5]4D ．[0，5]4二、填空题（每小题5分，共30分，将前三道题的结果直接上传，后三道结果标清题号按顺序分别拍图片上传） 10．（5分）i 是虚数单位，则(34)(1)||1i i i+-=+ ．11．（5分）已知9(a x 的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为．12．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线5:2l x =-，点M 在抛物线C 上点A 在准线l 上，若MA l ⊥，直线AF 的倾斜角为3π，则||MF = ． 13．（5分）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是，三棱柱的体积是．14．（5分）已知正实数x ，y 满足22412x y xy +=+，则当x = 时，121x y xy ++的最小值是．15．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin()22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ．将函数2()3sin ()14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a = ，h （8）=．三、解答题（共5个大题，共75分，将每道大题的解题过程按规定顺序拍图片分别上传）16．（14分）已知函数2()(4cos2)sin2cos4f x x x x=-+，x R∈．（1）求函数()f x的单调区间，并求当[0x∈，]4π时，函数()f x的最大值和最小值：（2）设A，B，C为ABC∆的三个内角，若22cos B=，()12Af=-，且角A为钝角，求cos C的值．17．（15分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD CD⊥，//AB CD，112AB AD CD===，点M在线段EC上．（Ⅰ）若点M为EC的中点，求证：//BM平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为6时，求AM的长．18．（15分）已知nS是数列{}na的前n项和，12a=，且14n n nS a a+=g，数列{}nb中，114b=，且1(1)nnnnbbn b+=+-，*n N∈．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设*1233()2nnnban N+=∈ð，求{}nð的前n项和nT．19．（15分）已知函数2()(1)xf x x a e=-+．（1）当2a=时，求曲线()y f x=在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）讨论函数()f x的单调的单调性；（3）已知1x，2x是()f x的两个不同的极值点，12x x<，且1212||||1x x x x+-…，若12111()()(2)xg x f x x e=+-，证明：126()g xe„．20．（16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP u u u u r u u u rg 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份) (含答案解析)

2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若集合A={x|x2−5x−6>0}，B={x|2x>1}，则(∁R A)∩B=A. {x|−1≤x<0}B. {x|0<x≤6}C. {x|−2≤x<0}D. {x|0<x≤3}2.函数f(x)=ln(x2+4)−e x−1的图象大致是()A. B. C. D.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知S20192019−S1919=500，则d的值为()A. 4B. 2C. 12D. 144.从双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|−|TM|=()A. b−a2B. b−a C. a+b2D. a+b25.已知函数y=f(x+1)关于直线x=−1对称，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，a=f(−log315)，b=f(−2−0.3)，c=f(2log32)，则a，b，c的大小关系是()．A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. b<c<a6.已知函数f(x)=3sin(ωx−π4)(ω>0)，函数相邻两个零点之差的绝对值为π2，则函数f(x)图象的对称轴方程可以是()A. x=π8B. x=−π8C. x=5π8D. x=−π47.袋中有10个大小相同的小球，其中记上0号的有4个，记上n号的有n个(n=1,2，3).现从袋中任取一球．X表示所取到球的标号．则E(X)=()A. 2B. 32C. 45D. 758. 在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 是线段DC 上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x)={log 5(1−x)(x <1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f(x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 10. i 是虚数单位，复数Z =1+2i 2−i，则|Z|= ______ ．11. 设抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|FA|=3，则直线FA 的倾斜角为______．12. 要将一个圆锥形橡皮泥，揉捏成一个球．若这个圆锥的底面半径为2，高为1，则球的半径为__________．13. 已知二次函数f(x)=cx 2−4x +a +1的值域是[1,+∞)，则1a +9c 的最小值是______ ． 14. 若函数f (x )=(x −1)3−1x−1与g (x )=−x +m 的图象交点的横坐标之和为2，则m 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知二项式(x 2+2√x )n (n ∈N ∗)展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：(Ⅰ)n 的值；(Ⅱ)展开式中的常数项．16. 已知函数f(x)=2cos 2x −2√3sinxcosx −1．(1)求f(π4)的值；(2)求f(x)在[0,π2]上的单调区间．17.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD.底面ABCD为梯形，AB//DC，AB⊥BC.PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCB；(Ⅱ)求证：PD//平面EAC；(Ⅲ)求二面角A−EC−P的大小．18.已知数列{a n}满足：a n>0，a1=1，a n=a n+1(2a n+1)(n∈N∗).(1)求证：{1a n}为等差数列，并求出a n；(2)设b n=1a n+1(n2+n)2(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n≥9991000成立，求正整数n的最小值．19.已知f(x)=a(x−ln x)+2x−1x．(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，其左、右焦点分别为F1，F2，且F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6．(1)求椭圆E的方程；(2)若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算，化简∁R A={x|x2−5x−6≤0}={x|−1≤x≤6}，B={x|x>0}，从而解得．解：∁R A={x|x2−5x−6≤0}={x|−1≤x≤6}，B={x|2x>1}={x|x>0}，则(∁R A)∩B={x|0<x≤6}，故选B．2.答案：A解析：解：函数的定义域为(−∞,+∞)，排除B，f(0)=ln4−1e>0.排除C，当x→+∞，f(x)→0，排除D，故选：A．结合函数的定义域，f(0)的符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，特殊值的符号以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质求解．解：在等差数列{a n}中，S nn =a1+n−12d=d2n+(a1−d2)，所以{S nn }是公差为d2的等差数列，所以由条件可得S20192019−S1919=2000×d2=500，解得d=12，故选C．4.答案：B解析：解：∵FT与⊙O相切于点T，∴OT⊥FT．∴|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c2−a2=b．∵点M是线段FP的中点，∴|OM|=12|PF1|，|TM|=12|PF|−|FT|．又|PF|−|PF1|=2a，∴|OM|−|TM|=12(|PF1|−|PF|)+|FT|=12×(−2a)+b=b−a．故选：B．利用圆的切线的性质可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c2−a2=b.再利用三角形的中位线定理、双曲线的定义可得：|OM|=12|PF1|，|TM|=12|PF|−|FT|，|PF|−|PF1|=2a，即可得出．本题考查了圆的切线的性质、三角形的中位线定理、双曲线的定义、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：D解析：本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题．根据题意，可得f(x)关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递增，因而在(−∞,0)上单调递减，根据对数与指数函数的性质并结合f(x)的性质即可判断a、b、c的大小关系．解：因为y=f(x+1)关于直线x=−1对称，所以f (x )关于y 轴对称，因为f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (x )在(−∞,0)上单调递减，a =f (−log 315)=f (log 35)，b =f (−2−0.3)=f [−(12)0.3]，c =f (log 34)，因为log 35>log 34>1，−1<−(12)0.3<0，根据函数对称性及单调性可知b <c <a ，故选D ．6.答案：B解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的性质是解题关键，属于基础题．根据函数图象的性质求出f(x)的周期得出f(x)的解析式，根据对称轴公式解出f(x)的对称轴．解：∵函数相邻两个零点之差的绝对值为π2， ∴f(x)的周期T =π，∴ω=2πT=2．∴f(x)=3sin(2x −π4).令2x −π4=π2+kπ，k ∈Z ，解得x =3π8+kπ2，k ∈Z ，∴当k =−1时，f(x)的对称轴为x =−π8．故选：B ．7.答案：D解析：由题意知X =0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．解：由题意知X =0，1，2，3， P(X =0)=410=0.4，P(X =1)=110=0.1， P(X =2)=210=0.2，P(X =3)=310=0.3，∴E(X)=0×0.4+1×0.1+2×0.2+3×0.3=1.4=75．故选：D ．8.答案：C解析：解：如图，过D 作AB 的垂线，垂足为O ，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则由题意得：A(−12,0),B(32,0)，设OD =d ，M(x,d)，0≤x ≤1；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +12,d)；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +1； ∵0≤x ≤1；∴x =1时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值3．故选：C ．可过D 作AB 的垂线，垂足为O ，从而便可以O 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A ，B 点的坐标，并设OD =d ，从而可设M(x,d)，且0≤x ≤1，从而可以求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +1，由x 的范围即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标坐标运算，一次函数的单调性．9.答案：B解析：解：令x+1x−2=t，则f(t)=a，做出y=f(x)的函数图象如图所示：由图象可知：当1<a<2时，关于t的方程f(t)=a有3解．不妨设3个解分别为t1，t2，t3，且t1<t2<t3，则−24<t1<−4，1<t2<2，2<t3<3，当x+1x−2=t1，即x2−(2+t1)x+1=0，∵−24<t1<−4，∴△=(2+t1)2−4>0，∴方程x+1x−2=t1有2解，同理：方程x+1x −2=t2有2解，x+1x−2=t3有2解，∴当1<a<2时，关于x的方程f(x+1x−2)=a有6解．故选B．令x+1x−2=t，则f(t)=a，结合f(x)的函数图象可知关于t的方程f(t)=a的解的个数和解的范围，利用t的范围得出关于x的方程x+1x−2=t的解的个数即可得出答案．本题考查了函数的零点的个数判断与函数图象的关系，属于中档题．10.答案：1解析：解：复数Z=1+2i2−i，则|Z|=|1+2i2−i |=|1+2i||2−i|=√5√5=1．故答案为：1．直接利用分式求模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．11.答案：π3或2π3解析：解：设该A坐标为(x,y)，抛物线C：y2=3x的焦点为F(34,0)，根据抛物线定义可知x+34=3，解得x=94，代入抛物线方程求得y=±3√32，故A坐标为：(94,±3√32)，AF的斜率为：±3√3294−34=±√3，则直线FA的倾斜角为：π3或2π3．故答案为：π3或2π3．先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．12.答案：1解析：本题考查了圆锥与球的体积公式，是基础的计算题．由圆锥与球的体积相等，结合圆锥与球的体积公式，可得球的半径．解：设球的半径为R，由题意得，，解得R=1，则球的半径为1．故答案为1．13.答案：3解析：本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用，属于基础题．判断抛物线的开口方向，利用二次函数的最小值，推出a，c的关系式，然后利用基本不等式即可求解最值．解：∵二次函数f(x)=cx2−4x+a+1的值域是[1,+∞)，故其开口向上，∴c>0且4c(a+1)−164c=1，即ac=4．∴a>0∴1a +9c≥2√1a⋅9c=3，当且仅当1a=9c且ac=4，即c=6，a=23时取等号．∴1a +9c的最小值为3．故答案为：3．14.答案：1解析：本题考查了函数与方程的应用，属于中档题．根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m的值．解：∵f(x)=(x−1)3−1x−1的图象关于点(1,1)对称，函数f(x)=(x−1)3−1x−1与g(x)=−x+m的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y=−x+m经过点(1.1)，∴m=1．故答案为1．15.答案：解：(Ⅰ)C n0+C n1+C n2=56⇒1+n+n(n−1)2=56⇒n2+n−110=0⇒n=10，n=−11(舍去)．故n=10(Ⅱ)(x22√x )10展开式的第r+1项是C10r(x2)10−r(2√x)r=C10r(12)r x20−5r2令20−5r2=0⇒r=8，故展开式中的常数项是C 108(12)8=45256．解析：(Ⅰ)据二项式系数是二项展开式中的组合数列方程求解(Ⅱ)据二项展开式的通项公式得第r +1项，令x 的指数为0得展开式的常数项．本题考查二项展开式的通项公式和展开式的二项式系数．注意二项式系数与项系数的区别．16.答案：解：f(x)=2cos 2x −2√3sinxcosx −1=cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)．(1)f(π4)=2cos(2×π4+π3)=−2sin π3=−√3； (2)由0≤x ≤π2，得2x +π3∈[π3,4π3].由2x +π3=π，可得x =π3，∴当x ∈[0,π3]时，f(x)为减函数，当x ∈[π3,π2]时，f(x)为增函数．即f(x)的减区间为[0,π3]；增区间为[π3,π2].解析：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． (1)直接利用三角函数的诱导公式求f(π4)的值； (2)由复合函数的单调性求f(x)在[0,π2]上的单调区间．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象和性质，是中档题．17.答案：证明：(Ⅰ)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥BC ．又AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ， ∴BC ⊥平面PAB.(2分) 又BC ⊂平面PCB ， ∴平面PAB ⊥平面PCB.(4分) (Ⅱ)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD.(5分)在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=π4，∴∠DCA=∠BAC=π4．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．∴DC=√2AC=√2(√2AB)=2AB．连接BD，交AC于点M，则DMMB =DCAB=2.(7分)在△BPD中，PEEB =DMMB=2，∴PD//EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD//平面EAC.(9分)(Ⅲ)在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，∴AN⊥平面PBC．在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．∴∠AHN就是二面角A−CE−P的平面角．(12分)在Rt △PBC 中，设CB =a ，则PB =√PA 2+AB 2=√2a ，BE =13PB =√23a ，NE =16PB =√26a ，CE =√CB 2+BE 2=√113a ，由NH ⊥CE ，EB ⊥CB 可知：△NEH∽△CEB ， ∴NH NE=CB CE．代入解得：NH =√22．在Rt △AHN 中，AN =√22a ，∴tanAHN =ANNH =√11(13分)即二面角A −CE −P 的大小为arctan √11.(14分) 解法二：(Ⅱ)以A 为原点，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．设PA =AB =BC =a ，则A(0,0，0)，B(0,a ，0)，C(a,a ，0)，P(0,0，a)，E(0,2a 3,a 3).(5分)设D(a,y ，0)，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,a),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,y,0)，∵CP ⊥AD ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2−ay =0，解得：y =−a.∴DC =2AB ．连接BD ，交AC 于点M ，则DMMB =DCAB =2.(7分) 在△BPD 中，PEEB =DMMB =2， ∴PD//EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD//平面EAC.(9分)(Ⅲ)设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，1)为平面EAC 的一个法向量，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴{ax +ay =02ay3+a3=0.解得：x =12,y =−12，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,1).(11分)设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x′,y′,1)为平面EBC 的一个法向量，则n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 3,a3)，∴{ax′=0−ay′3+a 3=0解得：x′=0，y′=1，∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1).(12分)cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ , n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ || n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36(13分) ∴二面角A −CE −P 的大小为arccos √36.(14分)解析：法一：(Ⅰ)证明平面PAB ⊥平面PCB ，只需证明平面PCB 内的直线BC ，垂直平面PAB 内的两条相交直线PA ，AB ，即可证明BC ⊥平面PAB ，就证明了平面PAB ⊥平面PCB ； (Ⅱ)证明平面EAC 外的直线PD ，平行平面EAC 内的直线EM ，即可证明PD//平面EAC ； (Ⅲ)在等腰直角△PAB 中，取PB 中点N ，连接AN ，在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连接AH ，.说明∠AHN 就是二面角A −CE −P 的平面角，解Rt △AHN ，求二面角A −EC −P 的大小．法二：(Ⅱ)以A 为原点，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明PE EB =DMMB ，从而证明PD//EM.PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，PD//平面EAC ．(Ⅲ)求出平面EAC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，平面EBC 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ ，利用cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36，求二面角A −EC −P 的大小．本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．18.答案：解：(1)∵a n =a n +1(2a n +1)，∴a n −a n+1=2a n a n+1，a n >0，等式两边同时除以a n a n+1，得1an+1−1a n=2，∴数列{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴1a n=1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n −1(n ∈N ∗). (2)∵b n =1an+1(n 2+n )2=2n+1n 2(n+1)2=1n 2−1(n+1)2，∴S n =(112−122)+(122−132)+⋯+[1n 2−1(n+1)2]=1−1(n+1)2，令1−1(n+1)2≥9991000，∴1(n+1)2≤11000，即(n +1)2≥1000，当n =30时，312=961<1000;当n =31时，322=1024>1000， ∴n ≥31．故使不等式S n ⩾9991000成立的正整数n 的最小值为31．解析：本题主要考查了等差数列的证明方法，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题． (1)将已知递推式整理后左右两边同时除以a n a n+1即可得证； (2)将b n 整理裂项，用裂项相消法求出S n ，再解不等式S n ⩾9991000即可．19.答案：解：(1)f(x)=a(x −lnx)+2x−1x，x >0，∴f′(x)=a(1−1x )+1x 2， ∵函数f(x)在x =2处取得极值， ∴f′(2)=a(1−12)+14=0，解得a =−12，经检验，当x =2时函数取得极值， ∴f(x)=−12(x −lnx)+2x−1x，f′(x)=−12(1−1x )+1x 2，∴f(1)=−12+1=12，f′(1)=1，∴曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y =x −12． (2)∵f′(x)=a(1−1x )+1x 2=ax 2−ax+1x 2，x >0，令y =ax 2−ax +1，①当a =0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增， ②△=a 2−4a >0时，即a <0或a >4时，令f′(x)=0，解得x =a±√a 2−4a2a，(i)当a <0时，a+√a2−4a2a<0，(舍去)，a−√a 2−4a2a >0，∴当0<x <a−√a 2−4a 2a 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x >a−√a2−4a2a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，(ii)当a >4时，a+√a 2−4a2a>0，a−√a 2−4a2a>0，当a−√a2−4a2a<x <a+√a 2−4a2a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x <a−√a2−4a2a，和x >a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，③△=a 2−4a ≤0时，即0<a ≤4时，函数f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，综上所述：当0≤a ≤4时，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a <0时，f(x)在(0,a−√a2−4a2a)上单调递增，在(a−√a2−4a2a,+∞)上单调递减，当a >4时，f(x)在(0,a−√a2−4a2a )，(a+√a 2−4a2a,+∞)上单调递增，当(a−√a 2−4a 2a,a+√a 2−4a2a)上单调递减．解析：本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，以及导数的几何意义，考查了分类讨论的能力，属于中档题;(1)根据导数的和函数极值的关系即可求出a 的值再根据导数的几何意义即可求出切线方程， (2)先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调性区间．20.答案：解：(1)设点F 1，F 2的坐标分别为(−c,0)，(c,0)(c >0)，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c,1),F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−c,1)，故F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c)(3−c)+1=10−c 2=−6，解得c =4，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=√(3+4)2+12+√(3−4)2+12=6√2，所以a =3√2,b 2=a 2−c 2=18−16=2，所以椭圆E 的方程为x 218+y 22=1．(2)设M ，N 的坐标分别为(5,m)，(5,n)，则F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,m),F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,n)，因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+mn =0，即mn =−9，又因为圆C 的圆心为(5,m+n 2)，半径为|m−n|2，所以圆C 的方程为(x −5)2+(y −m+n 2)2=(|m−n|2)2，即(x −5)2+y 2−(m +n)y +mn =0，即(x −5)2+y 2−(m +n)y −9=0，令y =0，可得x =8或2，所以圆C 必过定点(8,0)和(2,0)．解析：(1)根据题意分别写出F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c)(3−c)+1=10−c 2=−6，解得c =4，再结合椭圆的定义可得a 得数值，进而得到椭圆E 的方程．(2)设M ，N 的坐标分别为(5,m)，(5,n)，则得到F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+mn =0，即mn =−9，并且得到圆C 的方程为(x −5)2+(y −m+n 2)2=(|m−n|2)2，化简可得(x −5)2+y 2−(m +n)y −9=0，令y =0，可得x =8或2，即可得到答案．此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生分析问题与解决问题的能力．。

2020届天津市滨海新区高考数学二模试卷(含解析)

2020届天津市滨海新区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|1<x<3}，集合B={x|x2>4}，则集合A∩B等于()A. {x|2<x<3}B. {x|x>1}C. {x|1<x<2}D. {x|x>2}2.已知i为虚数单位，则复数(2+i)(1+i)=()A. 1+3iB. 3+3iC. 2iD. 13.现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布N(520,σ2)，已知P(470≤ξ≤570)=0.8，则成绩高于570的学生人数约为()A. 1200B. 2400C. 3000D. 15004.阅读如图所示的程序框图，当输出的结果S为3时，判断框中应填()A. k<6B. k<7C. k<8D. k<95.已知α∈(π2,π)，且tan(α+π4)=，则sinα+cosα的值是()A. 15B. −15C. −43D. −346.下列命题中是假命题的是()A. ;B. 使得函数是偶函数；C. 使得；D. 是幂函数，且在上递减；7.若函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=4的x1、x2，有|x1−x2|的最小值为π6，则φ=()A. π3B. π6C. π3或2π3D. π6或5π68.已知双曲线x2−y24=1上点P与左焦点F1的连线的中点M恰好在y轴上，则|OM|等于()A. 2B. 3C. √3D. 149. 正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB =90°，则GM 的长为( )A. 12B. √22C. √33D. √6610. 一个几何体的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该几何体的侧面中面积最大的侧面的面积等于( )A. √7B. √6C. 2D. √311. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则p 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数f(x)={2,(x <1)x 2+ax,(x ≥1)，若f(f(0))=4a ，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 4二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若二项式(x 2−1x )n 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为______ ． 14. 记不等式{x −y +1≥03x −y −3≤0x +y −1≥0所表示的平面区域为D ，若对任意(x 0,y 0)∈D ，不等式x 0−2y 0+c ≤0恒成立，则c 的取值范围是______．15. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)={e x +lgx,0<x ≤3−1f(x−3),x >3，则f(2020)= ______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 在△ABC 中，∠B =45°，AC =2，O 为△ABC 的外接圆圆心，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1) ，△ABC 的面积最大值为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知a 1=1，a 2=4，a n+2=4a n+1+a n ，b n =a n+1a n，n ∈N ∗(Ⅰ)求b 1，b 2，b 3的值；(Ⅱ)设c n =b n b n+1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n ≥17n ．18. 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；(Ⅱ)以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽取的学生成绩不低于90分的人数为，求的分布列和期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD.平面PCD⊥平面ABCD．(1)证明，PD⊥平面ABCD；(2)若E为PC的中点，DE⊥PC，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，求二面角D−BE−C的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32)，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于M，N两点．(1)证明：当a2+9b2取得最小值时，椭圆C的离心率为√22．(2)若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=13x3−ax−3(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在区间[−2,3]的最值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值点；22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2． (Ⅰ)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=xln(x +√2a +x 2(a >0)为偶函数．(1)求a 的值；(2)求g(x)=ax 2+2x +1在区间[−6,3]上的值域．【答案与解析】1.答案：A解析：解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|x2>4}={x|x<−2或x>2}，则集合A∩B={x|2<x<3}．故选：A．解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：原式=2−1+i+2i=1+3i．故选：A．利用复数的乘法法则即可得出．本题考查了复数的乘法法则，属于基础题．3.答案：A解析：解：成绩ξ服从正态分布N(520,σ2)，可得曲线关于直线x=520对称，×0.8=0.4，P(470≤ξ≤570)=0.8，可得P(520≤ξ≤570)=12则P(ξ>570)=1−0.4=0.1，成绩高于570的学生人数约为12000×0.1=1200．故选：A．×0.8=0.4，P(ξ>570)=1−0.4=由题意可得曲线关于直线x=520对称，P(520≤ξ≤570)=120.1，即可得到所求人数．本题考查正态曲线的对称性和运用，考查运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：执行程序框图，有k=2，S=1执行循环体，S=log 23，k=3满足判断条件，执行循环体，S=log 23⋅log43，k=4满足判断条件，执行循环体，S=log 23⋅log43⋅log54，k=5满足判断条件，执行循环体，S=log 23⋅log43⋅log54⋅log65，k=6满足判断条件，执行循环体，S=log 23⋅log43⋅log54⋅log65⋅log76，k=7满足判断条件，执行循环体，S=log 23⋅log43⋅log54⋅log65⋅log76⋅log87=3，k=8由题意，此时应该不满足判断条件，退出循环，输出S的值为3，比较各个选项，从而判断框中应填k<8，故选：C．执行程序框图，写出每次循环得到的s，k的值，当s=3，k=8时应有不满足判断条件，退出循环，输出S的值，从而得解．本题主要考察了程序框图和算法，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．5.答案：A解析：试题分析：由题意可得tanα+11−tanα=−17，解得tanα=−43，再根据α的范围，利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，从而求得sinα+cosα的值．6.答案：A解析：答案A当时，，所以该命题是假命题，选A．考点：全称命题与特称命题真假判断．7.答案：C解析：解：因为将函数f(x)=2sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)−g(x2)|=4的可知，两个函数的最大值与最小值的差为4，有|x1−x2|min=π6，不妨x1=π4，x2=π12，即g(x)在x2=π12，取得最小值，sin(2×π12−2φ)=−1，此时φ=π3−kπ，k∈Z，结合0<φ<π，可得φ=π3，满足题意．x1=π4，x2=5π12，即g(x)在x2=5π12，取得最小值，sin(2×5π12−2φ)=−1，此时φ=2π3−kπ，k∈Z，结合0<φ<π，可得φ=2π3，满足题意．故选：C．利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可得解．本题主要考查了三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答，属于中档题．8.答案：A解析：解：双曲线x2−y24=1上点P与左焦点F1的连线的中点M恰好在y轴上，可知PF2⊥x轴，|PF2|=b2a =41=4，则|OM|=2．故选：A．求出双曲线的通径，利用已知条件转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：D解析：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．由题意可知，三角形AMB是等腰直角三角形，求得MA，然后求得MG．解：∵点G是正△ABC的中心，∴AG=BG=√3，3M在AB垂直平分线上，MA=MB=√2，2MG=√MA2−AG2=√6；6故选D．10.答案：B解析：本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，属于基础题．还原几何体，结合图中数据求出该四棱锥侧面中的最大面积．解：根据三视图知，该几何体如图所示；×2×√22−12=√3，则该四棱锥P−ABCD中，各侧面的面积为S△PAB=12×1×2=1，S△PAD=12×2×2=2，S△PBC=12△PCD中，CD=PD=√5，PC=2√2，×2√2×√5−2=√6，S△PCD=12即各侧面中面积最大的面的面积是√6．故选B．11.答案：A解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．假设k 存在，设AB 方程为：y =k(x −p2)，代入椭圆方程，可得根与系数的关系，由∠NBA =90°，可得|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ，再利用焦点弦长公式即可求得p 的值．解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，设两交点为A(x 2,y 2)，B(x 1,y 1)，当直线AB 的斜率不存在时，NF ⊥AB ，不符合题意; 当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为：y =k(x −p2)， {y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2+2)px +k 2p 24=0， ∵NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠NBA =90°，∴NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∴(x 1−p2)(x 1+p 2)+y 12=0，∴x 12+y 12=p 24，∴x 12+2px 1−p 24=0(x 1>0)， ∴x 1=√5−22p ，x 2=2+√52p ，∴|AF|−|BF|=(x 2+p 2)−(x 1+p 2)=2p ，即2p =4，则p =2，故选A ．12.答案：C解析：解：函数f(x)={2,(x <1)x 2+ax,(x ≥1)，f(0)=2，f(f(0))=4a ，可得f(2)=4a ，即22+2a =4a ，解得a =2．故选：C ．利用分段函数列出方程，求解即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．13.答案：15解析：解：2n =64，n =6，二项式(x 2−1x )6的展开式中常数项为C 64(−1)4=15．故答案为：15．由二项式定理可以直接确定n 的值，进而确定常数项．本题考查了二项式定理，属于基础题．14.答案：(−∞,−1]解析：解：由已知得到可行域如图：由图可知，对任意(x 0,y 0)∈D ，不等式x 0−2y 0+c ≤0恒成立，即c ≤−x +2y 恒成立，即c ≤(−x +2y)min ，当直线z =−x +2y 经过图中A(1,0)时 z 最小为−1，所以c ≤−1；故答案为：(−∞,−1]．画出平面区域，由对任意(x 0,y 0)∈D ，不等式x 0−2y 0+c ≤0恒成立，即求−x +2y 的最小值，利用其几何意义求得即可．本题考查了简单线性规划与恒成立问题；由恒成立得到实质是求−x +2y 的最小值，借助于数形结合的思想解答．15.答案：−1e解析：解：根据题意，当x >3时，f(x)=−1f(x−3)，则有f(x)=−1−1f(x−6)=f(x −6)，(x >6)则f(2020)=f(4+6×336)=f(4)=−1f(1)，又由f(1)=e +lg1=e ，则f(2020)=−1f(1)=−1e ，故答案为：−1e ．根据题意，变形分析可得当x >6时，f(x)=f(x −6)，据此可得f(2020)=f(4+6×336)=f(4)=−1f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及指数、对数的计算，属于基础题．16.答案：0√2+1解析：解：由，∠B =45°，则∠AOC ，即OA ⊥OC ； ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0；又由余弦定理|AC|2=|AB|2+|BC|2−2|AB|⋅|BC|cos∠B ≥2|AB|⋅|BC|−√2|AB|⋅|BC|；即|AB|⋅|BC|≤2−√2=2√2(√2+1)； S △ABC =12|AB||BC|sinB ≤12×2√2(√2+1)×√22=√2+1；故答案为：0，√2+1；(1)直接由圆心角是对应圆周角的2倍，可得OA ⊥OC ；(2)由余弦定理可得|AB|⋅|BC|≤2−√2=2√2(√2+1)，再用三角形的面积公式可求得三角形面积是最大值；本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查利用均值不等式求最值；属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由于a 1=1，a 2=4，a n+2=4a n+1+a n ，所以a 3=4a 2+a 1=17，a 4=4a 3+a 2=72，又b n =a n+1a n，n ∈N ∗，所以b 1=4，b 2=174，b 3=7217； (Ⅱ)证明：由a n+2=4a n+1+a n ，得an+2a n+1=4+ana n+1，即b n+1=4+1b n，所以当n ≥2时，b n >4，于是c 1=b 1b 2=17，c 2=b 2b 3=18，c n =b n b n+1=4b n +1>17(n ≥2) 所以S n =c 1+c 2++c n ≥17n ．解析：(Ⅰ)由a1=1，a2=4，a n+2=4a n+1+a n，可求得a3=17，a4=72，又b n=a n+1a n，n∈N∗，于是可求b1，b2，b3的值；(Ⅱ)由a n+2=4a n+1+a n，得a n+2a n+1=4+a na n+1，即b n+1=4+1bn，由c n=b n b n+1，可求得c1=b1b2=17，当n≥2时，b n>4，c n=b n b n+1=4b n+1>17(n≥2)，于是易证S n≥17n．本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查运算与求解能力，属于难题．18.答案：(Ⅰ)92分；(Ⅱ)分布列详见解析，．解析：试题分析：本题主要考查频率分布直方图的读图能力和计算能力，以及离散型随机变量的分布列与数学期望.第一问根据频率分布直方图，求该校高三学生本次数学考试的平均分，解决实际问题，公式为：每一个区间的中点×每一个长方形的高×组距，把所得结果相加即可；第二问利用频率=高×组距，求出样本中成绩不低于90分的频率，通过分析发现人数符合二项分布，利用二项分布的概率计算公式：来计算每种情况的概率，列出分布列，由于，所以利用上面的公式计算期望．试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为5分(Ⅱ)样本中成绩不低于90分的频率为，所以从该校高三学生中随机抽取1人，分数不低于90分的概率为.7分由题意，，()，其概率分布列为：X0123P0.0640.2880.4320.21610分的期望为．考点：1.频率分布直方图；2.分布列；3.数学期望．19.答案：(1)证明：过B 作BF ⊥CD 于F ，过B 作BG ⊥AD 于G ．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，BF ⊂平面ABCD ，BF ⊥CD ，∴BF ⊥平面PCD ，∴BF ⊥PD ．同理可得BG ⊥PD ，又∵BG ∩BF =B ，∴PD ⊥平面ABCD ．(2)解：以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，又DE ⊥PC ，E 为PC 的中点，∴PD =DC ．不妨假设PD =2，则D(0,0，0)，B(√3,1,0)，E(0,1，1)，C(0,2，0)．可知BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)．设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面BDE 的法向量，则{m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x +z =0√3x +y =0．令x =1，得y =−√3，z =√3．可知平面BDE 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3) 同理可得平面BEC 的一个法向量n ⃗ =(1,√3,√3)． ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=17，又二面角D −BE −C 为钝角， ∴二面角D −BE −C 的余弦值为−17．解析：(1)过B 作BF ⊥CD 于F ，过B 作BG ⊥AD 于G.证明BF ⊥CD ，BF ⊥PD.BG ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD ．(2)以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，平面BEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)方法一：由椭圆过点(1,32)，则1a 2+94b 2=1，a 2+9b 2=(a 2+9b 2)(1a 2+94b 2)=1+9a 24b 2+9b 2a 2+814≥2√9a 24b 2×9b 2a 2+814=1214，当且仅当9a 24b 2=9b 2a 2时，即a =√2b ，a 2+9b 2取得最小值，所以椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，方法二：由方法一可知：1a 2+94b 2=1，则1=1a 2+8149b 2≥(1+92)2a 2+9b2，所以a 2+9b 2≥1214，当且仅当1a 2=929b 2，即a =√2b ，a 2+9b 2取得最小值，所以椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22， (2)存在定圆x 2+y 2=127，使得定圆与直线MN 总相切，理由如下：椭圆的焦距为2，所以a 2−b 2=1，所以由(1)可知1a 2+94b 2=1，解得：a 2=4，b 2=3，当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设M(x 0,x 0)，M(x 0,−x 0)，因为M ，N 在椭圆上，解得x 02=127，所以O 到直线MN 的距离d =|x 0|=2√217，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 24+y 23=1，消去y ，整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由△=(8km)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，所以(k 2+1)(4m 2−123+4k 2)+km(−8km3+4k 2)+m 2=0，即7m 2=12(k 2+1)，所以O 到直线MN 的距离d =√1+k2=2√217，综上可知，O 到直线MN 的距离为定值，且定值为2√217，故存在定圆O ：x 2+y 2=127．解析：(1)方法一：将点代入椭圆方程，利用“1”代换及基本不等式即可求得a 与b 的关系，求得椭圆的离心率；方法二：由方法一：转化，利用权方和不等式，求得a 与b 的关系，即可求得椭圆的离心率； (2)由(1)及c =1求得椭圆方程，分类讨论，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得7m 2=12(k 2+1)，根据点到直线的距离公式求得O 到直线，MN 的方程为定值，即可判断定圆与直线MN 总相切．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式及权方和不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.答案：(Ⅰ)解：a =1时，f′(x)=x 2−1，由f′(x)>0，可得x >1或x <−1；由f′(x)<0，可得−1<x <1，即有f(x)在(−1,1)递减，在[−2,−1]，[1,3]，递增， f(−2)=−113，f(1)=−113 f(−1)=−73，f(3)=3，∴函数f(x)在区间[−2,3]的最大值为f(3)=3，最小值为f(−2)=f(1)=−113 (Ⅱ)解：f′(x)=x 2−a当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，无极值；当a >0时，令f′(x)=0，x =±√a ，f(x)在(−∞,−√a)，(√a,+∞)单调递增，在(−√a,√a)递减， ∴函数f(x)的极大，小值点分别为−√a ，√a ．解析：(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数大于0可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到f(x)的最值；(Ⅱ)f′(x)=x 2−a ，分a ≤0，a >0讨论，本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，消去参数t ，转换为直角坐标方程为(x +5)2+(y −3)2=2．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2.整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x −y +2=0．(2)直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A(−2,0)，B(0,2)．所以|AB|=√22+(−2)2=2√2点P(−5+√2cosα,3+√2sinα)到直线l的距离d=√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|√2，当cos(α+π4)=−1时，d max=√2=2√2，所以S△PAB=12×d max×|AB|=12×2√2×2√2=4．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由题意知f(x)是偶函数，∵a>0，∴√2a+x2>√x2=|x|≥−x，所以函数f(x)定义域为R，则有：f(1)=f(−1)，即ln(1+√2a+1)=−ln(−1+√2a+1)，∴1+√2a+1=√2a+1−1，即2a+1−1=1，a=12；(2)g(x)=12(x+2)2−1，开口向上，对称轴为x=−2，∴g(x)关于x在[−6,−2]上递减，则g(−2)≤g(x)≤g(−6)，g(x)关于x在(−2,3]上递增，则g(−2)<g(x)≤g(3)，又g(−2)=−1，g(3)=232，g(−6)=7，g(x)的值域为[−1,232].解析：(1)根据函数的奇偶性，求出a的值即可；(2)求出g(x)的表达式，根据函数的单调性求出g(x)在值域即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．。

2020届天津市滨海新区塘沽一中高三毕业班下学期复课模拟检测数学答案

1 绝密★启用前
天津市滨海新区塘沽一中
2020届高三毕业班下学期复课模拟检测
数学试题参考答案
一、选择题
1-4 CDAC 5-9 DAABD
二、填空题 10.52 11；.22216y x ； 12. 32，1027 13；827 14 7
7. 15 8
16.【答案】解：设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件A ，
则
现有放回地随机抽取4箱,设抽到一级品的个数为, 则
, 所以恰好抽到2箱是一级品的概率为
．设方案二的单价为,则单价的期望为
,
因为, 所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱,其中珍品4箱,非珍品6箱, 则现从中抽取3箱,则珍品等级的数量X 服从超几何分布,
则X 的所有可能取值分别为0,1,2,3,。

2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷

2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷一、选择题1．（5分）设复数z 满足(1)21(z i i i +=+g 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合{|0}3xA x Z x =∈+„，则集合A 真子集的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．83．（5分）已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)20l m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为( )A B ．5 C D ．54 5．（5分）已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=，则12312(a a a a +++⋯+= )A ．0B ．55C ．66D ．786．（5分）设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x …时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，(b f =-，c f =（3）的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >>7．（5分）已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0ω>，(0,)2πθ∈，其图象关于直线6x π=对称，对满足12|()()|2f x f x -=的1x ，2x ，有12||2min x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是( ) A ．[6k ππ-，]()2k k Z ππ+∈ B ．[k π，]()2k k Z ππ+∈C ．[3k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈ D ．[12k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈ 8．（5分）袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是( ) A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．（5分）已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象．上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-二.填空题（每小题5分，共30分）10．（5分）设函数()f x =的定义域是．11．（5分）已知二项式22()n x x-的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数．12．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．13．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，则球O 的体积为．14．（5分）若ABC ∆的面积为2221()4a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c a的取值范围是．15．（5分）已知0a >，0b >，2c >，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为．三.解答题（共5个大题，共75分）16．（14分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X 表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（15分）如图，已知四边形ABCD 的直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，4AD =，2DC BC ==，G 为线段AD 的中点，PG ⊥平面ABCD ，2PG =，M 为线段AP 上一点(M不与端点重合）．（1）若AM MP =， ()i 求证：//PC 平面BMG ；()ii 求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足AM AP λ=u u u u r u u u r，使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为10，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点(2,0)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为C 的左焦点，点M 为直线4x =-上任意一点，过点F 作MF 的垂线交C 于两点A ，B ．()i 证明：OM 平分线段AB （其中O 为坐标原点）； ()ii 当||||MF AB 取最小值时，求点M 的坐标． 19．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比数列{}n b 的前3项（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n nb a a +的前n 项和n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n mT >，求整数m 的最大值；（3）是否存在数列{}n c ，满足等式111(1)22n n i n i i a c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知()sin(1)f x a x lnx =-+，其中a R ∈．（1）当0a =时，设函数2()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；（3）证明：211sin32(2)nk ln ln k =<-+∑．。

天津市塘沽区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析

天津市塘沽区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（） A ．4 B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．2．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 3．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A．2B．C ．52D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，125F F ==，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.5．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅u u u r u u u r的最小值为（） A ．-14B ．-12C ．-lD ．1【答案】A 【解析】【分析】设点2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得()22112164PQ PF y =⋅--u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得最值. 【详解】解：设点2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ， 22,0,1,44PQ P y F y y ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()22422211,01,244164164PQ P y y y y y F y ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅u u u r u u u r ，当22y =时，PQ PF ⋅u u u r u u u r 取最小值，最小值为14-.故选：A. 【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.6．使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x ()n rr C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．7．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，21[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„．故选：A ．【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 9．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案. 【详解】解：因为()cos 22x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为x ∈R ，则()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----===++，∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项，且当0x =时，()1002=>f ，排除B 选项，所以A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.10．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（）A ．3B ．5C ．6 D ．5 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，可得12m =，∴4m =， ∴双曲线的离心率5c e a ==. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.11．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π【答案】C 【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为14π2⨯=，下面圆锥的母线长为2π48π⨯=，侧面积为18π2⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()16π，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.12．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =，则a =（）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若复数z =1−2i 2+i+2，则z 在复平面内对应的点是( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)2. 定义集合运算：A ∗B ={x|x ∈A ,x ∉B}，若A ={1,3,5,7},B ={2,3,7}，则A ∗B 的真子集个数为 ( )A. 个B. 2个C. 3个D. 4个3. 直线l 1：(3+m )x +4y =5−3m ，l 2：2x +(5+m)y =8，则“m =−1或m =−7”是“l 1//l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)5. 数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n 的前n 项和S n =( )A.3n−1n+1B. 2nn+1C. 3nn+1D. 4nn+36. 定义在R 上的偶函数y =f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，则满足f (log 14x)<0 的x 的取值范围是( )．A. (0,12)∪(2,+∞) B. (12,1)∪(1,2) C. (−∞,12)∪(2,+∞)D. (12,1)∪(2,+∞)7. 将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 直线x =π2是g(x)的图象的一条对称轴B. g (π6)=√32C. g(x)的周期为2πD. g(x)为奇函数8.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1，2，3，4，5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为()A. 110B. 15C. 29D. 149.已知函数f(x)=|x|x+2−kx2 (x∈R)有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是()A. k<0B. k<1C. 0<k<1D. k>1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.函数f(x)=√4−log2(x−1)的定义域是．11.已知(x−√x)n(n∈N∗)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为______12.抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为___________．13.三棱锥P−ABC是侧棱长为2的正三棱锥，△ABC是底面，PA⊥PB，此三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为______ ．14.若△ABC的三边为a，b，c，它的面积为a2+b2−c24，则tanC=______ ．15.已知a>0，b>0，且点(a,b)在直线x+y−2=0上，若c=1a +1b，则c的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查，各活动小组人数统计如下图：(1)从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；(2)从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用X 表示抽得“演讲社”小组的学生人数，求X 的分布列．17. 如图，平面ABCD ⊥平面CDEF ，且四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，∠BAD =∠CDA =90∘,AB =AD =DE =12CD ，M 是线段DE 上的点，满足DM =2ME ．(1)证明：BE//平面MAC ；(2)求直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．18. 已知点P(0,2)，点A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交C 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =35PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求C的方程；(2)设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．19.已知数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)，数列{b n}满足b n=a n+a n+1．2(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=2a n⋅(b n−1)，求数列{c n}的前n项和T n．(a∈R).20.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简答题．解：z=1−2i2+i +2=(1−2i)(2−i)(2−i)(2+i)+2=2−i，所以在复平面上对应点为(2,−1)，故选B．2.答案：C解析：A∗B={1,5}所以真子集个数为22−1=3个.3.答案：B解析：本题考查充要条件的判定及两直线平行的条件，属于基础题．求出两条直线平行的充要条件即可得出．解：直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2：2x+(5+m)y=8，若l1//l2，则(3+m)(5+m)=8，解得m=−7或m=−1，又当m=−1时，l1:2x+4y−8=0，l2:2x+4y−8=0，此时两直线重合，则l1//l2的充要条件为m=−7，所以“m=−1或m=−7”是“l1//l2”的必要不充分条件．故选B．4.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围．解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点， ∴b a>√3，∴1+b 2a 2>4，即c 2a 2>4，∴e >2，故选：D ．5.答案：B解析：因为a n =11+2+3+⋯+n =1(1+n)n2=2(1+n)n =2(1n −1n+1)，所以S n =a 1+a 2+⋯+a n =2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1，故应选．6.答案：A解析：此题考查了若函数为偶函数，则f(|x|)=f(x)这一结论，还考查了函数的单调性及含绝对值的对数函数不等式的求解．解：因为定义在R 上的偶函数y =f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，则满足f(log 14x)<0 ⇔f(|log 14x|)<0=f(12)⇔|log 14x|>12⇔{log 14x ≥0log 14x >12或{log 14x <0−log 14x >12⇒0<x <12或x >2故选A ．7.答案：A解析：本题主要考查了函数的图像和性质，属于中档题．解题的关键首先找到f(x)平移后的表达式y=g(x)，再利用性质判断正确选项即可．解：因为将函数的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，所以，所以y=g(x)的对称轴方程为，即，故A正确；而，故B不正确；因为，故C不正确；因为，所以g(x)为偶函数，故D不正确；故选A．8.答案：B解析：解：从分别标有号码1，2，3，4，5的袋中任取三个球，基本事件数是(1、2、3)，(1、2、4)，(1、2、5)，(1、3、4)，(1、3、5)，(1、4、5)，(2、3、4)，(2、3、5)，(2、4、5)，(3、4、5)共10种；其中这三个球号码之和为5的倍数的事件为(1、4、5)，(2、3、5)共2种；所以，所求的概率为P=210=15．故选：B．用列举法求出从分别标有号码1，2，3，4，5的袋中任取三个球的基本事件数，计算所求的概率即可．本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．9.答案：D解析：本题考查了函数的零点，函数的零点个数问题往往转化为函数图象的交点问题，属基础题．解∵函数f(x)=|x|x+2−kx 2(x ∈R)有四个不同的零点，∴方程k =1|x|(x+2)有三个不同的根，即方程1k =|x|(x +2)有三个不同的根，记函数，由题意y =与y =g(x)有三个不同的交点，由图知，∴k >1，故选 D .10.答案：(1,17]解析：由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零，求出函数的定义域．解：要使函数f (x )=√4−log 2(x −1)有意义，有{x −1>04−log 2(x −1)≥0，解得1<x ≤17，所以函数f(x)的定义域是(1,17]，故答案为(1,17]．11.答案：560解析：【试题解析】解：由题意可得∁n 2=∁n 5，求得n =7，故展开式第r +1项为T r+1=∁7r⋅(−2)r ⋅x 7−32r ；r =0，1， (7)r=1⇒r=4，令7−32∴展开式中x的系数为：∁74⋅(−2)4=560，故答案为：560．利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项式展开式的通项公式令x的指数为1求出人r，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：4解析：本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．先求出焦点坐标和对应点的坐标，再求出两点间的距离即可．解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，横坐标为3的对应点坐标为(3,±√12)，∴PF=√(3−1)2+(±√12)2=4，故答案为4．13.答案：4√3π解析：解：三棱锥P−ABC是侧棱长为2的正三棱锥，△ABC是底面，PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB，三棱锥是正方体的一个角，三棱锥扩展为正方体，正三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的棱长为：2，×2√3=√3．正方体的对角线计算外接球的直径，球的半径为：12r3=4√3π．该球的体积为：4π3故答案为：4√3π．判断正三棱锥的形状，三棱锥扩展为正方体，三棱锥与正方体的外接球相同，求出外接球的半径即可求解球的体积．本题考查几何体的外接球以及球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14.答案：1解析：解：由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab ，则a 2+b 2−c 2=2abcosC ，因为三角形的面积S =a 2+b 2−c 24，所以12absinC =a 2+b 2−c 24，则12absinC =14×2abcosC ，即sinC =cosC ，所以tanC =1，故答案为：1．由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab ，则a 2+b 2−c 2=2abcosC ，利用三角形的面积公式列出方程，再代入化简即可求出tan C ．本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系，属于中档题．15.答案：2解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．由点(a,b)在直线x +y −2=0上，可得a +b =2.再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解：∵a >0，b >0，且点(a,b)在直线x +y −2=0上，∴a +b =2．∴c =1a +1b =12(a +b)(1a +1b )=12(2+b a +a b )≥12(2+2√b a ⋅a b )=2，当且仅当a =b =1时取等号． ∴c 的最小值为2．故答案为2．16.答案：解：(Ⅰ)由条件得表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为P =C 32+C 22C 62=415． (Ⅱ)X 的所有可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 21×C 42C 63=35， P(X =2)=C 22C 41C 63=15，∴X 的分布列为：X 0 1 2P 15 35 15∴E(X)=0×15+1×35+2×15=1．解析：(Ⅰ)表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，利用互斥事件概率加法公式能求出这2名学生来自同一小组的概率．(Ⅱ)X 的所有可能取值为0，1，2分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．17.答案：解：(1)连接BD ，交AC 于N ，连接MN ，由于AB =12CD ，所以DNNB =2，所以MN//BE ，由于MN ⊂平面MAC ，BE ⊄平面MAC ，所以BE//平面MAC.(2)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD,CD,DE 两两垂直，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ．设AB =1则C (0,2,0),M (0,0,23),F (0,2,1),B (1,1,0),A (1,0,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−23),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0).设平面MAC 的法向量n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −23z =0n⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，令z =3，得平面MAC 的一个法向量n ⃗ =(2,1,3)，而BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设所求角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=√4221，故直线BF 与平面MAC 所成的角的正弦值为√4221．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．(1)连结BD ，交AC 于N ，连结MN ，推导出MN//BE ，由此能证明BE//平面MAC ；(2)推导出DE ⊥平面ABCD ，从而AD ，CD ，DE 两两垂直，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．18.答案：解：(1)由题意△ABP 是等腰直角三角形，则a =2,B (2,0)，设点Q(x 0,y 0)，由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=35PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 0,y 0−2)=35(2,−2)，则x 0=65，y 0=45，代入椭圆方程解得b 2=1，∴椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +2，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则{y =kx +2x 24+y 2=1，整理可得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0， ∴Δ=(16k )2−48×(1+4k 2)>0，解得k 2>34，∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，当∠MON 为直角时，k OM ⋅k ON =−1，∴x 1x 2+y 1y 2=0，则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=(1+k 2)⋅121+4k 2+2k (−16k1+4k 2)+4=0，解得k 2=4，即k =±2，当∠MON 为直角时，直线l 的斜率为±2．解析：【试题解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)根据题意可得a =2，B(2,0)，设点Q(x 0,y 0)，由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =35PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出点Q 的坐标，代入椭圆方程即可求出b ，可得椭圆方程；(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +2，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据韦达定理和k OM ⋅k ON =−1，即可求出k 的值．19.答案：解：(1)由S n =n(n+1)2，可得：a 1=1×22=1； n ≥2时，a n =S n −S n−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n.n =1时也成立．∴a n =n ． ∴b n =a n +a n+1=n +n +1=2n +1．(2)c n =2a n ⋅(b n −1)=2n ⋅2n =n ⋅2n+1．∴数列{c n }的前n 项和T n =22+2×23+3×24+⋯+n ⋅2n+1．2T n =23+2×24+⋯+(n −1)⋅2n+1+n ⋅2n+2，∴−T n =22+23+⋯+2n+1−n ⋅2n+2=4(2n −1)2−1−n ⋅2n+2，∴T n =(n −1)⋅2n+2+4．解析：(1)由S n =n(n+1)2，可得：a 1=1×22=1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，即可得出．(2)c n =2a n ⋅(b n −1)=2n ⋅2n =n ⋅2n+1.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=lnx +1x ，∴f′(x)=x−1x2．令f′(x)=0，得x=1，又f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以当x=1时，f(x)取得极小值，极小值为1；无极大值．(2)f′(x)=a+1−ax −1x2=(ax+1)(x−1)x2(x>0,a<0)，当−1<a<0时，−1a>1，令f′(x)>0，解得1<x<−1a，令f′(x)<0，解得0<x<1或x>−1a，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减；当a<−1时，−1a<1，令f′(x)>0，解得−1a<x<1，令f′(x)<0，解得0<x<−1a或x>1，∴f(x)在(0,−1a )上单调递减，在(−1a,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；当a=−1时，f′(x)≤0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减．综上所述，当−1<a<0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减；当a=−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a<−1时，f(x)在(0,−1a )上单调递减，在(−1a,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．解析：本题考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)求导数，确定函数的单调性，即可求函数f(x)的极值；(2)求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，从而确定函数的单调区间．。

2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷含解析

2020年高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）1．设复数z满足z•（1+i）＝2i+1（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，则集合A真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．83．已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0关于双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．5C．D．5．已知数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+…+a12＝（）A．0B．55C．66D．786．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[k，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象．上，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（﹣1，0）二.填空题10．设函数的定义域是．11．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数．12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．13．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，则球O的体积为．14．若△ABC的面积为，且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．15．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则的最小值为．三.解答题（共5个大题）16．4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC＝2，G 为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP，（i）求证：PC∥平面BMG；（ii）求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．已知椭圆C b＞0）的焦距为2，且过点P（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为C的左焦点，点M为直线x＝﹣4上任意一点，过点F作MF的垂线交C 于两点A，B．（i）证明：OM平分线段AB（其中O为坐标原点）；（ii）当取最小值时，求点M的坐标．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足，a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n；若对∀n∈N*均满足，求整数m的最大值；（3）是否存在数列{c n}，满足等式成立，若存在，求出数列{c n}的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，其中a∈R．（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2，求函数g（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上递增，求a的取值范围；（3）证明：．参考答案一、选择题1．设复数z满足z•（1+i）＝2i+1（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由z•（1+i）＝2i+1，得z＝，∴，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．2．已知集合，则集合A真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．解：已知集合，解得：＝{x∈Z|﹣3＜x≤0}＝{﹣2，﹣1，0}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个，故选：C．3．已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当m＝1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣2＝0满足l1∥l2，即充分性成立，当m＝0时，两直线方程分别为y﹣1＝0，和﹣2x﹣2＝0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒＝≠，由＝得m2﹣3m+2＝0得m＝1或m＝2，由≠得m≠2，则m＝1，即“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件，故选：A．4．已知圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0关于双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．5C．D．【分析】由圆的方程可得圆心坐标，由双曲线的方程可得渐近线的方程，因为圆关于直线对称是直线过圆心，将圆心代入渐近线的方程可得a，b的故选，进而求出离心率．解：圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心坐标为：（2，1），有题意圆关于渐近线的对称，可得圆心在直线上，而由双曲线的方程可得，渐近线的方程为：y＝x，所以1＝•2，即＝，所以离心率e＝＝＝，故选：A．5．已知数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+…+a12＝（）A．0B．55C．66D．78【分析】本题先分n为奇数和偶数两种情况计算出sin（π）的值，可进一步得到数列{a n}的通项公式，然后代入a1+a2+a3+…+a12＝转化计算，再根据等差数列求和公式可计算出结果．解：由题意，可知当n为奇数时，sin（π）＝sin（nπ+）＝sin（π+）＝sin＝﹣1；当n为偶数时，sin（π）＝sin（nπ+）＝sin＝1．∴a n＝．故a1+a2+a3+…+a12＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣112+122＝22﹣12+42﹣32+…+122﹣112＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+（12+11）（12﹣11）＝1+2+3+4+…+11+12＝＝78，故选：D．6．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】根据函数y＝f（x+1）是偶函数得到函数关于x＝1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．解：∵y＝f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数f（x）关于x＝1对称．∵当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1为减函数，∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log3），且﹣＝2＝log34，log34＜log3＜3，∴b＞a＞c，故选：C．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[k，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）得解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递减区间．解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x 的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】获奖的概率P1＝＝，由此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率．解：∵袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，基本事件总数为，获奖包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），获奖的概率P1＝＝，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是：P＝＝．故选：C．9．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象．上，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（﹣1，0）【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．解：∵已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，∴已知函数的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得，x＝1；故k AC＝﹣1；设直线AB与y＝x2+2ax相切于点B（x，x2+2x），y′＝2x+2，故2x+2＝，解得，x＝﹣1；故k AB＝﹣2+2＝0，故﹣1＜﹣k＜0，故0＜k＜1，故选：B．二.填空题10．设函数的定义域是（，1]．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．解：要使函数有意义，则，解得＜x≤1，则函数的定义域是：（，1]．故答案为：（，1]．11．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数﹣672．【分析】令x＝1可得，其展开式各项系数的和，又由题意，可得2n＝512，解可得n＝9，进而可得其展开式的通项，即可得答案．解：在中，令x＝1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可得2n＝512，解可得n＝9，则二项式的展开式的通项为T r+1＝C9r（x2）9﹣r（﹣）r＝（﹣2）r•C9r x18﹣3r，r＝0，1， (9)令r＝3，则其展开式中的第4项的系数为：（﹣2）3•＝﹣672，故答案为：﹣672．12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|＝2|FM|＝2＝6．故答案为：6．13．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，则球O的体积为8π．【分析】可得三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．解：∵PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可得∠APC＝∠APB＝∠BPC，∵PA⊥PC，故三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是棱长为2长方体的外接球，长方体的对角线的长为：2∴半径为．所以球的体积V＝πR3＝8π．故答案为：8π．14．若△ABC的面积为，且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是（）．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求B，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简后，结合正切函数的性质可求．解：因为S＝，由题意可得＝ac cos B═，所以sin B＝cos B即B＝，因为C＝，所以，所以0＜tan A＜1由正弦定理可得，＝＝＝．故答案为：，（）15．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则的最小值为+．【分析】由2＝，先将+﹣变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+＝[（c﹣2）++1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则＝c（+﹣）+＝+，由2＝，可得＝＝≥＝，当且仅当b＝a时，取得等号．则原式≥c+＝[（c﹣2）++1]≥[2+1]＝+．当且仅当c＝2+时，取得等号．则所求最小值为+．故答案为：+．三.解答题（共5个大题，共75分）16．4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本基本事件总数n＝＝66，这2人来自同一个小组包含的基本事件个数m＝＝13，由此能求出这2人来自同一个小组的概率．（2）已抽取的甲、丙两个小组的学生分别有4人和2人，从中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查，甲组抽取：12×＝4人，乙组抽取：12×＝3人，丙组抽取：12×＝2人，丁组抽取：12×＝3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本基本事件总数n＝＝66，这2人来自同一个小组包含的基本事件个数m＝＝13，∴这2人来自同一个小组的概率p＝．（2）已抽取的甲、丙两个小组的学生分别有4人和2人，从中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X012P数学期望EX＝＝．17．如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC＝2，G 为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP，（i）求证：PC∥平面BMG；（ii）求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）（i）连结AC，交BG于点O，连结OM，CG，由题意得四边形ABCG 是平行四边形，推导出AO＝OC，MO∥PC，由此能证明PC∥平面BMG．（ii）推导出BG⊥GD，以G为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值．（2）设＝＝（0，2λ，2λ），λ∈（0，1），求出平面BMG的法向量，利用向量法能求出存在实数λ＝满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为．解：（1）（i）证明：连结AC，交BG于点O，连结OM，CG，由题意得四边形ABCG是平行四边形，∴AO＝OC，∵PM＝MA，∴MO∥PC，∵MO⊂平面BMG，PC⊄平面BMG，∴PC∥平面BMG．（ii）解：如图，在平行四边形BCDG中，∵BG∥CD，CD⊥GD，∴BG⊥GD，以G为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，则G（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，﹣1，1），∴＝（2，0，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，﹣1，1），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，﹣1，1），平面PAD的法向量＝（1，0，0），设平面BMD的法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝1，得＝（1，1，3），设平面PAD与平面BMD所成的锐二面角为θ，则平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值cosθ＝＝＝．（2）设＝＝（0，2λ，2λ），λ∈（0，1），∴M（0，2λ﹣2，2λ），＝（﹣2，2λ﹣2，2λ），＝（﹣2，0，0），设平面BMG的法向量＝（a，b，c），则，取b＝λ，得＝（0，λ，1﹣λ），∵直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，∴＝＝，解得．∴存在实数λ＝满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为．18．已知椭圆C b＞0）的焦距为2，且过点P（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为C的左焦点，点M为直线x＝﹣4上任意一点，过点F作MF的垂线交C 于两点A，B．（i）证明：OM平分线段AB（其中O为坐标原点）；（ii）当取最小值时，求点M的坐标．【分析】（1）由题意可得c＝1，a＝2，由a，b，c的关系求得b，即可求椭圆C的标准方程；（2）（i）设M（﹣4，3m），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），k MF＝﹣m，设直线PQ的方程为x＝my﹣1，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；（ii）利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法和对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点M的坐标．解：（1）由焦距为2，且过点P（2，0），可得c＝1，a＝2，b＝＝，则椭圆方程为+＝1；（2）设M（﹣4，3m），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），k MF＝﹣m，（i）证明：由F（﹣1，0），可设直线PQ的方程为x＝my﹣1，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，于是N（﹣，），则直线ON的斜率k ON＝﹣，又k OM＝﹣，∴k OM＝k ON，∴O，N，M三点共线，即有OM平分线段AB；（ii）由两点间距离公式得|MF|＝＝3，由弦长公式得|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝•＝，∴＝，令t＝（t≥1），则＝＝（3t+），由g（t）＝3t+在[1，+∞）递增，可得t＝1，即m ＝0时，g（t）取得最小值4，所以当取最小值时，点M的坐标为（﹣4，0）．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足，a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n；若对∀n∈N*均满足，求整数m的最大值；（3）是否存在数列{c n}，满足等式成立，若存在，求出数列{c n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由a n+12＝2S n+n+4，（n∈N*）①，可得a n与S n﹣1之间的关系，a n2＝2S n+（n﹣1）+4，（n≥2，n∈N*）②，把这两个等式相减，化简得，a n+1＝a n+1，公差为﹣11，因为a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项，得a32＝（a2﹣1）a7，化简计算得a1＝2，进而得数列{a n}的通项公式，再计算出a2﹣1＝2，a3＝4，a7＝8，进而可得等比数列{b n}的首项，公比，写出通项公式．（2）令c n＝＝，（n∈N*），化简计算得c n+1﹣c n＞0，所以数列{c n}即{}是递增的，若对∀n∈N*均满足，只要T n最小值大于即可，T n最小值为T1＝c1＝，所以m＜≈673.3，进而得出答案．（3）有题意可得（a1﹣1）c n+（a2﹣1）c n﹣1+（a3﹣1）c n﹣2+…+（a n﹣1）c1＝2n+1﹣n﹣2，即c n+2c n﹣1+3c n﹣2+…+nc1＝2n+1﹣n﹣2，（n∈N*）③，c n﹣1+2c n﹣2+3c n﹣3+…+（n﹣1）c1＝2n﹣（n﹣1）﹣2，（n≥2，n∈N*）④，再③﹣④得，c n+c n﹣1+c n﹣2+…+c1＝2n﹣1，（n∈N*）⑤，进而可得c n﹣1+c n﹣2+c n﹣3+…+c1＝2n﹣1﹣1，（n≥2，n∈N*）⑥，⑤﹣⑥得，c n＝2n﹣1（n∈N*）．进而得出答案．解：（1）a n+12＝2S n+n+4，（n∈N*）①a n2＝2S n﹣1+（n﹣1）+4，（n≥2，n∈N*）②①﹣②得，a n+12﹣a n2＝2a n+1，a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，因为a n＞0，所以a n+1＝a n+1，所以数列{a n}是等差数列，公差d＝1，因为a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项，所以a32＝（a2﹣1）a7，即（a1+2d）2＝（a1+d﹣1）（a1+6d），把d＝1代入得，a1＝2，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，此时a2﹣1＝2，a3＝4，a7＝8，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b n＝2×2n﹣1＝2n，（2）令c n＝＝，（n∈N*）c n+1﹣c n＝﹣＝（）＝•＝•＞0，所以数列{c n}即{}是递增的，若对∀n∈N*均满足，只要T n最小值大于即可，T n最小值为T1＝c1＝，所以m＜≈673.3，所以整数m的最大值为673．（3）（a i﹣1）c n+1﹣i＝2n+1﹣n﹣2，（a1﹣1）c n+（a2﹣1）c n﹣1+（a3﹣1）c n﹣2+…+（a n﹣1）c1＝2n+1﹣n﹣2，c n+2c n﹣1+3c n﹣2+…+nc1＝2n+1﹣n﹣2，（n∈N*）③c n﹣1+2c n﹣2+3c n﹣3+…+（n﹣1）c1＝2n﹣（n﹣1）﹣2，（n≥2，n∈N*）④③﹣④得，c n+c n﹣1+c n﹣2+…+c1＝2n﹣1，（n∈N*）⑤c n﹣1+c n﹣2+c n﹣3+…+c1＝2n﹣1﹣1，（n≥2，n∈N*）⑥⑤﹣⑥得，c n＝2n﹣1（n∈N*）．所以存在这样的数列{c n}，c n＝2n﹣1（n∈N*）．20．（16分）已知f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，其中a∈R．（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2，求函数g（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上递增，求a的取值范围；（3）证明：．【分析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数f（x）在区间（0，1）上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取a＝﹣1得到sin（1﹣x）＜ln，取1﹣x＝，可得sin＜ln，累加和根据对数的运算性质和放缩法即可证明．解：（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x＞0，∴g′（x）＝﹣2x＝＝，令g′（x）＝0，解得x＝，当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x＝时，函数取的极大值，即极大值为g（）＝﹣ln2﹣，无极小值；（2）∵f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，∴f′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+，∵函数f（x）在区间（0，1）上递增，∴f′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，∴a≤在（0，1）上恒成立，当a≤0时，a≤在（0，1）上恒成立，当a＞0时，≥x cos（1﹣x），设h（x）＝x cos（1﹣x），x∈（0，1），∴h′（x）＝cos（1﹣x）﹣x sin（1﹣x）＞0在（0，1）上恒成立∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴≥1，即a≤1，综上所述a≤1；（3）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递增，取a＝﹣1，∴f（x）＝﹣sin（1﹣x）+lnx＜f（1）＝0，∴﹣sin（1﹣x）＞lnx，∴sin（1﹣x）＜ln取1﹣x＝，∴sin＜ln，∴sin+sin+…+sinsin＜ln[××…×ln]＝ln（）＜ln＝ln3﹣ln2，∴．。

天津市塘沽一中2020届高三毕业班第二次模拟考试及答案解析：数学

2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试数学第 I 卷注意事项:本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

一、选择题1. 设复数 z 满足z ·(1+i)=2i+1 (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合 A ={x ∈ Z |xx + 3≤ 0}, 则集合A 真子集的个数为( ) A.3 B.4C.7D.83.已知 m 为实数,直线l 1 : mx + y -1 = 0,l 2 : (3m - 2)x + my - 2 = 0, 则“m=1”是“ l 1 / /l 2 ”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件22y 2 x 2 4. 已知圆 x + y - 4x + 2y +1 = 0 关于双曲线 C ： - a 2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线对称,则双曲线 C 的离心率为()A .B.5C.52D.5 45. 已知数列{a }的通项公式是a = n 2 sin(2n +1π ), 则a + a + a + + a = ()nn21 2 3 12A.0B.55C.66D.786. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y= f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时, f (x ) = ( 1)x -1, 则 2a = f (log 2),b = f (-log 1), c=f(3)的大小关系是( )3 3 2A. a>b>cB. b>c> aC. b>a>cD. c>b>a7. 已知函数 f(x)=sin(ωx+θ), 其中 0>0, θ ∈ π (0, ), 2其图象关于直线x = π 6对称，对满足| f (x ) - f (x ) |= 2 的 x , x , 有| x - x | = π , 将函数 f(x)的图象向左平移 π个单位长度得到函数 g(x)的1 2 1 21 2 min 2 6图象，则函数 g(x)的单调递减区间是()5⎨x 2+ 2x , x ≤ 0 A . [k π - π , k π + π](k ∈ Z )6 2 B . [k π , k π + π](k ∈ Z )2 C . [k π + π , k π + 5π](k ∈ Z )D . [k π + π , k π + 7π| (k ∈ Z )3 612 128. 袋中装有标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 且大小相同的 6 个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是 3 的倍数，则获奖，若有 5 人参与摸球，则恰好 2 人获奖的概率是()A. 40243B. 243C. 243D.243 9. 已知函数 f (x ) = ⎧x ln x - 2x , x > 0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y=-1 的对称点在 y= ⎩kx-1 的图像.上，则实数 k 的取值范围是( )1 A . ( ,1)2B. (0,1)C . (- 1, 0) 2D. (-1,0)第 II 卷二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)10. 函数 f (x ) =log 0.5 (4x - 3) 的定义域是11. 已知二项式(x 2 -2)n 的展开式中各项的二项式系数和为 512，其展开式中第四项的系数 x12. 已知 F 是抛物线C : y 2 = 2x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|=13. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上, PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,PA ⊥PC,则球O 的体积为14. 若△ABC 的面积为1 (a2 + c 2 - b 2 ) ,且∠C 为钝角,则∠B= 4 ; c的取值范围是 .a15.已知 a>0,b>0,c≥4,且 a+b=2,则 ac + c - c +的最小值为b ab 三.解答题(共 5 个大题，共 75 分) 16. (本题满分 14 分)2 c - 24 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:5(1)从参加问卷调查的12 名学生中随机抽取2 人，求这2 人来自同一个小组的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2 人，用X 表示抽得甲组学生的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.(本题满分15 分)如图，已知四边形ABCD 的直角梯形, AD// BC, AD⊥DC，AD=4,DC= BC=2, G 为线段AD 的中点, PG ⊥平面ABCD, PG=2, M 为线段AP 上一点(M 不与端点重合).(1)若AM=MP,(i)求证:PC//平面BMG ;(ii)求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数λ 满足AM =λAP, 使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为10, 若存在，确定λ 的值，若不存在，请说明理由. 5nk =1x 2 y 218. (本题满分 15 分)已知椭圆 C : a 2 + b2 (1) 求椭圆 C 的方程;= 1 (a > b>0)的焦距为 2,且过点 P(2,0) .(2) 设 F 为 C 的左焦点，点M 为直线 x=-4 上任意一点,过点 F 作 MF 的垂线交C 于两点 A, B(i)证明: OM 平分线段AB (其中O 为坐标原点); (ii) 当| MF |取最小值时,求点 M 的坐标.| AB |19. ( 本题满分 15 分 ) 已知各项均为正数的数列 {a n }的前 n 项和为 S n , 满足a 2 = 2S + n + 4, a -1, a , a , 恰为等比数列{b }的前 3 项n +1n237n(1) 求数列{a n }, {b n }的通项公式;(2) 求数列{nb n }的前 n 项和T ;若对∀n ∈ N * 均满足T > m , 求整数 m 的最大值; a n a n +1n2020 (3) 是否存在数列{c }，满足等式∑a -1)c= 2n +1 - n - 2 成立，若存在,求出数列{c }的通项公式;n若不存在，请说明理由.i =1i n +1-in20. (本题满分 16 分)已知 f(x)= asin(1-x)+lnx,其中 a ∈R. (1)当 a= 0 时，设函数 g (x ) = f (x ) - x 2, 求函数 g(x)的极值. (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上递增，求 a 的取值范围;n1(3)证明:∑sin (2 + k )2< ln 3 - ln 2 .n122020 届塘沽一中高三毕业班线上二模考试试题一．选择题：（每小题 5 分，共计 45 分） DCAAD ,CBCB二．填空：（每小题 5 分，共计 30 分）3数学参考答案310.( ,1] 4；11. -672 ；12.213.6π 14. 45ο( 2, +∞)15.三．解答题16.（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3（人），从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法2= 66共有（种），抽取的两名学生来自同一小组的取法共c 2 + 2 c 2+ c 2 = 13有（种），43所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为2P =1366（2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 4 人、2 人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 X 的可能取值为 0,1,2所求 X 的期望为4317.（Ⅰ）（i ）证明：连接 AC 交 BG 于点O ，连接OM ， CG ，依题意易证四边形 ABCG 为平行四边形. ∴ AO = OC 又∵ PM = MA ，∴ MO ∏ PC 又∵ MO ⊂ 平面 BMG ， PC ⊄平面 BMG ， ∴ PC ∏ 平面 BMG .5 5 2c X 01 2 P 1/158/156/15（ii）解：如图，在平行四边形BCDG 中∵ BG ∏CD ，CD ⊥GD ，∴BG ⊥GD以G 为原点建立空间直角坐标系O -xyz则G (0, 0, 0), P (0, 0, 2), D (0, 2, 0)，A(0, -2, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), M (0, -1,1)∴PB =(2, 0, -2),GB =(2, 0, 0),GM =(0, -1,1 )平面 PAD 的法向量为（1,0,0）平面 BMD 的法向量为锐二面角的余弦值为11 （1,1,3）11（Ⅱ）设AM =λAP =λ(0, 2, 2)=(0, 2λ, 2λ),λ∈(0,1) ∴ M (0, 2λ- 2, 2λ)平面BMG 的法向量为(0,λ,1-λ)（过程略）解得18.（1）x2+y2=λ=134 3（2）(i)设点 M 的坐标为(-4,m）当m = 0 时，AB 与x 轴垂直，F 为 AB 的中点,OM 平分 AB 显然成立当m ≠ 0 由已知可得：KMF3=-m,∴K =33 AB m则直线 AB 的方程为：y =(x +1)m联立消去y 得：(m2+12)x2+ 24x - 4m2+12 = 0 ，由韦达定理得AB 中点P 的坐标为(-12,m2+123m)m2+12又因为直线y =-mx4OM：所以 P 在直线 OM 上.综上 OM 平分线段 AB. 12 1 4m 2 + 9 + 9m 2+ 9 + 6 n n +1 n n nn n n c n 1 (ii )当 m = 0= 2时，当m ≠ 0 时，由(i) 可知 AB= 4 , MF == > 1又<12∴m=0 时，最小，点 M 的坐标为(-4,0)19.(1) 由题,当 n = 1 时, a2= 2S+ 5 ,即 a 2 = 2a + 5当 n ≥ 2 时,2n +1 2= 2S n 12+ n + 4 …① 1a 2= 2Sn -1+ n + 3 …②①-②得a 2 - a 2 = 2a +1,整理得 a2 n +1 +1)2,又因为各项均为正数的数列{a }.故 a n +1 = a n + 1 ,{a n }是从第二项的等差数列,公差为 1. 又 a 2 -1 , a 3 , a 7 恰为等比数列{b n }的前 3 项,故 a 2 = (a -1) a ⇒ (a +1)2= (a -1)(a + 5) ,解得a = 3 .又 a 2= 2a + 5 , 32722222 1故 a 1 = 2 ,因为 a 2 - a 1 = 1也成立.故{a n }是以 a 1 = 2 为首项,1 为公差的等差数列.故 a n = 2 + n -1 = n +1 .即 2, 4,8 恰为等比数列{b }的前 3 项,故{b }是以b = 2 为首项,公比为 4= 2 的等比数列.nn12故b = 2n .综上 a = n +1, b = 2n(2）nb n= a n a n +1 2n +1 -n + 2 2nn +1前 n 项和为2n +1， {T }单增，所以T 的最小值为 1/3 T n = n + 2 -1所以m <2020 ，所以 m 的最大整数是 673. 3（3）过程略n ≥ 3, c 所以c = 2n -1= 2n -1 ，又 = 1, c = 2 符合 MFAB (m 2 + 9)2 (m 2 +12)2m 2+ 9 MFABMFAB a = (a n n nn220. （1）极大值 ln2 - 1无极小值； 2 2(2)即 a ≤1x c os (1- x )在区间(0,1) 上恒成立.设t ( x ) = x c os (1- x ) ，则t '( x ) = cos (1- x ) + x s in (1- x ) > 0 在区间(0,1) 上恒成立. 所以t (x ) = x cos (1- x ) 在(0,1) 单调递.增，则0 < t ( x ) < 1 ，所以 a ≤ 1.(3) 由（2）可知当 a = 1 时，函数G ( x ) = sin (1 - x ) + ln x 在区间(0,1) 上递增，所以sin (1- x )+ ln x < G (1) = 0 ，即sin (1 - x ) < ln 1x(0 < x < 1) ，所以sin 1 (2 + k )2 = sin[1- (k +1)(k + 3) (2 + k )2] < ln (2 + k )2 . (k +1)(k + 3).求和即可得证（略）。

2020年天津市塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试数学(版)(含答案)

1 k )2
ln 3 ln 2 .
kx-1 的图像 . 上，则实数 k 的取值范围是 ( )
1 A. ( ,1)
2
B. (0,1)
二 . 填空题 ( 每小题 5 分 , 共 30 分 )
1 C. ( ,0)
2
第 II 卷
D. (-1,0)
10. 函数 f ( x) log 0.5 (4x 3) 的定义域是 ___
11. 已知二项式 ( x2 2 )n 的展开式中各项的二项式系数和为 x
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4. 已知圆 x2
y2
y2 4x 2 y 1 0 关于双曲线 C： a2
x2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线对称 , 则双曲
线 C 的离心率为 ()
A. 5
B.5
5 C.
2
5 D.
4
5. 已知数列 { an} 的通项公式是 an n 2 sin( 2n 1 ), 则 a1 a2 a3 L 2
512，其展开式中第四项的系数 ____
12. 已知 F 是抛物线 C : y2 2 x 的焦点， M是 C上一点， FM的延长线交 y 轴于点 N.若 M为 FN 的中点 ,
则|FN|=___
13. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上 , PA=PB=PC, △ABC是边长为 2 的正三角形 ,PA⊥ PC,
2
6
g(x)
的图象，则函数 g(x) 的单调递减区间是 ()
A. [ k
,k
]( k Z )
6
2
B. [k ,k

天津市滨海新区塘沽一中高三下学期二模数学试题(解析版)

天津市滨海新区塘沽一中高三下学期二模数学试题一、单项选择题1．全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}11A x x =∈-≤N ，{}1,2B =-，那么()UA B =〔〕 A ．{}2- B ．{}1- C ．{}1,3- D ．{}1,2,3-【答案】B【分析】首先求解集合A ，再求集合的混合运算. 【详解】由题可得{}0,1,2A =，那么{}1,3UA =-，因此(){}1U AB =-.应选：B ．p ：220x x --<q ：01x <<的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断. 【详解】22012x x x --<⇔-<<，所以pq ，反之q p ⇒.故p 是q 的必要不充分条件. 应选：B3．函数()21x xx f x e e--=-的图象可能是〔〕 A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】从定义域、奇偶性、特殊值出发，逐一排除即可．【详解】易知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x xx x x f x e e x e f ex ----=----=--=，所以()f x 是奇函数，排除选项C ，D ；当1x >时，()0f x >，故排除A ．应选：B ．【点睛】此题需要学生通过函数解析式抽象出函数图象的特征，并据此对四个选项进行分析，以此考查学生灵活运用所学知识判断函数图象特征的能力，潜移默化中渗透对数学探索学科素养的考查．n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50)(：元)，其中支出在[10，30)(：元)的同学有33人，其频率分布直方图如下列图，那么支出在[40，50](：元)的同学人数是〔〕A ．100B ．120C ．30D ．300【答案】C【分析】根据频率分布直方图得到支出在[10，30)的频率，再由支出在[10，30)的同学有33人，求得n ，再由支出在[40，50]的频率求解. 【详解】支出在[10，30)的频率为()0.010.023100.33+⨯=，又支出在[10，30)的同学有33人，所以330.33n=，解得100n =，支出在[40，50]的频率为()10.010.0230.037100.3-++⨯=，所以支出在[40，50]的同学人数是1000.330⨯=，应选：C5．设0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．b a c << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】利用对数函数的性质推导出01a <<，0b <，利用指数函数的性质推导出1c >，由此能求出结果．【详解】0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71a =<=<=，1.1 1.1log 0.9log 10b =<=，0.901.1 1.11c =>=，b ac ∴<<．应选A ．【点睛】6．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且AB ⊥平面BCD ，AB =4AC AD ==，CD =，那么球O 的外表积为〔〕A ．20πB ．18πC ．36πD ．24π【答案】A【分析】根据AB ⊥平面BCD ，得到AB BC ⊥，AB BD ⊥，再由AB =4AC AD ==，CD =，得到BC BD ⊥，那么三棱锥A BCD -截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BC ⊥，AB BD ⊥，∴2BC BD ===，在BCD △中，CD =， ∴222CD BC BD =+，∴BC BD ⊥. 如下列图：三棱锥A BCD -的外接球即为长方体AGFH -BCED 的外接球，设球O 的半径为R ，那么2R =222222(23)2225BA BC BD ++++解得5R =所以球O 的外表积为20π，应选：A.7．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦点在1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ､N 两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，那么双曲线E 的离心率e =〔〕A ．5B 3C 23D 6【答案】C【分析】由题意知1F N ON ⊥，11132F MMN F N F P ===，即1Rt MPF △中11sin 2PMF ∠=，进而求出1PMF ∠，又Rt MNO 中可求MON ∠，可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率.【详解】由题意，可得如下示意图：其中，||||ON OP =知：11OPF ONF ≅，又1F P OM ⊥，13MN F N=，即1F N ON ⊥且11132F MMN F N F P ===， ∴1Rt MPF △中，有1111sin 2F P PMF F M ∠==，得16PMF π∠=，∴在Rt MNO 中，3MON π∠=，假设by x a =与x 轴夹角为α，即23πα=， ∴3tan 3b a α==，由222+=a b c ，即可得233c e a ==. 应选：C【点睛】关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数a 、b 的数量关系，即可求离心率. 8．函数()()sin 22πϕϕπ⎛⎫+<<⎪⎝⎭=x x f 的图象向左平移ϕ个后得到函数()g x 的图象，假设88f g ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()(),f x g x 的图象不重合，那么 A ．()g x 图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()g x 的图象关于直线316x π=-C ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．8π是()g x 的极小值点【答案】B【分析】首先根据条件求出ϕ得值，进而可得()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调性、最值逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】由()sin(2)f x x ϕ=+向左平移ϕ个后得()()sin 23g x x ϕ=+，所以sin 84f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 384g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由88f g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()(),f x g x 的图象不重合，可知3244()k k Z ππϕϕππ+++=+∈，所以128k πϕπ=+，因为2ϕπ<<π，所以1k =，5288πππϕ=+=，()15sin 2sin 288g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对于选项A ：由248k πππ⨯-≠， 40g π⎛⎫⎪⎭≠⎝可得选项A 错误；对于选项B ：令321682k ππππ⎛⎫⨯--=+ ⎪⎝⎭()k Z ∈可得1k =-，可得选项B 正确；对于选项C ：当02x π<<时，72888x πππ-<-<，因为sin y x =在,82ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在7,28ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以() g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，应选项C 不正确；sin 218888g sin ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选项D 不正确；应选：B.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键点是根据两个函数图象不重合得出两角之和等于()2k k Z ππ+∈，结合ϕ的范围求出ϕ的值即得()g x 解析式.9．假设关于x 的方程12x a a x---=恰有三个不同的解，那么实数a 的取值范围为〔〕 A ．[)1,-+∞ B ．[]1,1-C ．(][],11,2--∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】原题等价于方程12x a a x--=±恰好有三个不同的解，作出函数()f x x a a =--的图象，观察图象即可得解.【详解】方程12x a a x---=，即12x a a x --=±恰有三个不同的解，即函数()f x x a a =--与12y x=±有三个不同的交点. 函数,()2,x x af x x a a x a x a-<⎧=--=⎨-≥⎩的图象是顶点(),P a a -在直线y x =-的“V 〞型函数；函数12y x=+，211y x '=-=-得斜率为-1的切线的切点()1,1-，()1,3，即切线为y x =-和4y x =-+，故y x =-与12y x=+相切于点()1,1A -；函数12y x =-，211y x'=-=-得斜率为-1的切线的切点()1,3--，()1,1-，即切线为4y x =--和y x =-，故y x =-与12y x=-相切于点()1,1B -；作图12y x=±，()f x x a a =--，y x =-如下：由图象可知，P 沿直线yx =-在,A B 之间滑动时()f x x a a =--与12y x=±有三个不同的交点，故11a -≤≤. 应选：B.【点睛】关键点点睛：此题的解题关键是发现y x =-与12y x =+和12y x =-分别相切于点,A B ，且()f x 的顶点(),P a a -在直线y x =-，结合图象即突破难点.二、填空题 10．复数3(1iz i i-=+为虚数)，那么||z =___________.【分析】先利用复数的除法化简复数z ，再利用模的公式求解. 【详解】因为()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z ==11．假设2nx ⎛⎝的展开式中第5项为常数项，那么该常数项为______〔用数字表示〕．【答案】35【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得n 、r 的值，可得结论．【详解】解：2(n x x -的展开式的通项公式为7221(1)r n r rr nTC x-+=⋅-⋅，展开式中第5项为常数项，故当4r =时，7202rn -=，7n ∴=，该展开式的常数项为447(1)35C ⋅-=，故答案为：35．12．圆C 的圆心是抛物线2 4x y =的焦点，直线43 2 0x y --=与圆C 相交于AB 、两点，且6AB =，那么圆C 的标准方程为____ 【答案】()22110x y +-=【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，得圆心以及圆心到直线43 2 0x y --=的距离，根据勾股定理求得圆的半径，那么圆的方程可得. 【详解】依题意可知，抛物线的焦点为()0,1，即圆C 的圆心坐标为()0,1，直线43 2 0x y --=与圆C 相交于AB 、两点，且6AB =，∴1=，∴=那么所求圆C 的方程为221()10x y +-=. 故答案为：221()10x y +-=.【点睛】此题主要考查了抛物线的应用，涉及了圆的根本性质，点到直线的距离，数形结合思想等问题，是根底题. 13．12ab =，a ，()0,1b ∈，那么1211a b +--的最小值为___. 【答案】10 【分析】由可得，12b a=，代入到所求式子后，利用乘1法，结合根本不等式即可求解. 【详解】解：12ab =，a ，()0,1b ∈， ∴112b a=<，112a <<.∴121214122111112112112a a b a a a a a a +=+=+=++--------，()()222222122221222221a a a a a a ⎛⎫=++=+-+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭()()22122266102221a a a a --=++≥=--当且仅当2221a a -=-即3243a b ==时取等号，此时有最小值10. 故答案为：10. 【点评】此题考查了“乘1法〞与根本不等式的性质，属于根底题. 14．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，假设M ，N分别是边BC ，CD 上的点,且满足CN CDBM BC=，那么AM AN ⋅的取值范围是_________．【答案】[2]5, 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【详解】解：建立如下列图的直角坐标系，那么(2,0)B ，(0,0)A ，13,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]0,1λ∈，那么(22M λ+，3)λ，5(22N λ-，3)，所以(22AM AN λ=+，35)(22λλ-，22353)542544λλλλλλ=-+-+=--+，因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]0,1λ∈时，[]2252,5λλ--+∈．故答案为：[2]5,【点睛】此题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．三、双空题15．某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动〞满意度调查〔结果只有“满意〞和“不满意〞两种〕，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：班号一班二班三班四班五班六班频数 4 5 11 8 10 12 满意人数 328566X ，那么随机变量X 的数学期望是___________ 【答案】1021 95；【分析】第一空：利用古典概型的概率公式计算即可；第二空：X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出分布列，进而通过数学期望计算公式即可得出.【详解】解：第一空：从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，那么选中的4人中恰有2人不满意的概率为2245491021C C P C ==；第二空：在高一年级全体学生中随机抽取1名学生，其满意概率为3285663505P +++++==，X 的所有可能取值为0，1，2，3．()32805125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()2133236155125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，分布列如下：()3654279231251251255E X =+⨯+⨯=. 故答案为：1021；95. 【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.四、解答题16．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .,a b c ≠=22cos cos cos cos .A B A A B B -=〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设4sin 5A =，求ABC ∆的面积.【答案】〔1〕3C π=；〔2〕S =．【详解】试题分析：〔1〕求角C 的大小，由22cos cos cos cos .A B A A B B -=，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得1cos 21cos 22222A B A B ++-=，移项整理，112cos 22cos 222A AB B -=-，有两角和与差的三角函数关系，得sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，可得23A B π+=，从而可得3C π=；〔2〕求ABC ∆的面积，由c =4sin 5A =，且3C π=，可由正弦定理求出85a =，可由1sin 2S ac B=求面积，故求出sin B 即可，由4sin 5A =，3C π=，故由()sin sin B A C =+即可求出sin B ，从而得面积．〔1〕由题意得，1cos 21cos 22222A B A B ++-=，112cos 22cos 222A AB B -=-， sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=；〔2〕由c =4sin 5A =，sin sin a cA C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==．点评：此题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等根底知识，同时考查运算求解能力．17．如图，菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BEAF ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点〔Ⅰ〕求证：D E BC P A 平面；〔Ⅱ〕求二面角D EF A --的余弦值；〔Ⅲ〕设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=，假设直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为39，求AG 的长.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ531；〔Ⅲ〕233AG = . 【详解】试题分析：〔Ⅰ〕要证线面平行，就要证线线平行，考虑到P 是DF 中点，因此取AD 中点Q ，可得PQ 与BE 平行且相等，从而可证得//PE BQ ，所以可证得线面平行；〔Ⅱ〕求二面角，可建立空间直角坐标系，用向量法求解，考虑到平面ABCD 与平面ABEF 垂直，ABCD 是菱形，因此取AB 中点O ，那么有CO AB ⊥，因此CO ABEF ⊥平面，所以可作//OM AF ，以,,OB OM OC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角可得二面角；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的坐标系，利用AG AD λ=得G 点坐标，从而可得向量FG 的坐标，利用向量FG 与平面ABEF 的法向量夹角的正弦值可求得λ，最后可得AG 的长度. 试题解析：〔Ⅰ〕取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，那么PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ，那么PE ∥平面ABCD .〔Ⅱ〕取AB 中点O ，连接CO ，那么CO AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，那么CO ⊥平面ABEF作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，那么(()()3,1,4,0,1,2,0D F E --于是()()1,4,3,2,2,0DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(),,m x y z = ，那么430{220x y z x y +=-+= 令1x =，那么1,3y z ==平面AEF 的法向量()0,0,1n =所以5313cos ,313m n 〈〉== 又因为二面角D EF A －－531. 〔Ⅲ〕()()()1,0,0,1,0,3,3,A AD AG λλ-=-=-那么()3G λλ-- ，(),3FG λλ=-- ，而平面ABEF 的法向量为()0,0,1m =，设直线FG 与平面ABEF 所成角为θ，于是2339sin 164λθλ==+ 于是3λ=23AG = . 18．等差数列{}()n a n N +∈中，1n n a a +>，29232a a =，4737a a += 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设将数列{}n a 的项重新组合，得到新数列{}n b ，具体方法如下：11b a =，223b a a =+，34567b a a a a =+++，4891015b a a a a =+++⋅⋅⋅+，⋯，依此类推，第n项n b 由相应的{}n a 中12n -项的和组成. 〔i 〕求数列{}n b 的通项公式；〔ii 〕求数列124n nb ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】〔1〕32n a n =+；〔2〕〔i 〕229228n n n b -=⋅+；〔ii 〕()3412nn T =-. 【分析】〔1〕设{}n a 的公差为d ，利用等差数列性质知4729a a a a +=+，由此构造方程组求得29,a a ，由等差数列通项公式可求得公差d ，由此可得n a ；〔2〕〔i 〕采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式可求得n b ；〔ii 〕由〔i 〕得到124nn b -⋅的通项，由等比数列求和公式可求得结果. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由1n n a a +>知0d >，29472923237a a a a a a =⎧⎨+=+=⎩且92a a >，29829a a =⎧∴⎨=⎩，()92137d a a ∴=-=， ()()2283232n a a n d n n ∴=+-=+-=+；〔2〕〔i 〕由题意得：1111122122221n n n n n n b a a a a -----+++=+++⋅⋅⋅+-，即()()()()()1111132232532832321n n n n n n b -----=⋅++⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅-()()1111232258324321n n n n ----⎡⎤=⨯⋅++++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-⎣⎦()()1125324321n n --++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-是首项为2，公差为3的等差数列的12n -项的和，()()()11111232212253243212233224n n n n n n n -------∴++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-=⋅+⨯=⋅+，22232222223393232222222488n n n n n n n n n b -----∴=⋅+⋅+=⋅+⋅+=⋅+；〔ii 〕由〔i 〕知：2192248n n n b -⋅=⋅，()()41493418142n n n T -∴=⋅=--. 【点睛】关键点点睛：此题考查等差和等比数列通项和求和问题，解题关键是能够根据n b 的形式，采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式，求得n b 的通项公式.19．抛物线24x y =的焦点与椭圆C ：22221x y a b+=的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆C〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设椭圆C 的上顶点为A ，过A 作斜率为(0)k k >的直线l 交椭圆C 于另一点B ，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆于点N ，ABN 的面积为k ，求k 的值.【答案】(1)2214x y +=【详解】分析：〔1〕根据抛物线的性质可得椭圆中的1b =，再根据三角形的面积求出c ，根据2224a b c =+=，即可求出椭圆方程，〔Ⅱ〕过点A 的直线方程为1(0)y kx k =+>，代入到由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()224180kc kx ++=，可求出B 点的坐标，再求出M 的坐标和N 的坐标，以及|AB和点N 到直线AB 的距离，根据三角形的面积求出k 的值．详解：〔1〕因为抛物线24x y =的焦点()0,1与椭圆C 的一个顶点重合，∴1b =，又椭圆C∴bc =c =∴2224a b c =+=故椭圆的方程是2214x y +=.〔2〕由题意设直线l 的方程为1(0)y kx k =+>，设点()00,B x y由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()224180k c kx ++= 解得20022814,4141k k x y k k --==++ ∴2222281441,,,41414141k k kB M k k k k ⎛⎫---⎛⎫ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，∴2841AB k ==+直线OM 斜率2211414441OMk k k k k +==--+，直线OM 的方程为14y x k =-，由221444y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得N ⎛⎫ ⎝ 点N 到直线l ：10kx y -+=的距离为d ===)2411241ABNk SAB d k ===+∵ABNS k=，∴)24141kk k =+，又0k >，∴)24141k=+令t =2440t t -+=，解得2t =2=，∴234k =，解得k=k =〔舍〕∴k 点睛：此题考查椭圆方程、椭圆性质、直线方程、理、弦长公式等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 20．函数()()()21ln 1,02f x x ax a x a R a =-+-∈≠. 〔1〕当1a <-时，求函数()f x 的单调递增区间；〔2〕记函数()F x 的图象为曲线C ，设点()11,A x y 、()22,B x y 是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在()00,M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，那么称函数()F x 存在“中值相依切线〞.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，说明理由. 〔3〕当1a =，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式()2320mxf x x mx e ++≤恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】〔1〕10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,+∞；〔2〕不存在“中值相依切线〞，理由见解析；〔3〕2e . 【分析】〔1〕求得函数()f x 的定义域，求得()()()11ax x f x x+-+'=，解不等式()0f x '>，可求得函数()f x 的单调递增区间；〔2〕假设函数()f x 存在“中值相依切线〞，可得出21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设211x t x =>，分析可得出()21ln 1t t t -=+，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，其中1t >，利用函数()h t 的单调性判断方程()21ln 1t t t -=+在1t >时无解，由此可得出结论；〔3〕由题意可知，不等式32ln 0mx x mx e +≤对任意的10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，分析得出0m >，变形可得2211ln mx mxe x x ≤，构造函数()ln F x x x =，可得出函数()F x 为()1,+∞上的增函数，可得出2ln mx x ≤-，可得2ln x m x ≤-，构造函数()2ln xg x x =-，利用导数求出函数()2ln x g x x =-在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数m 的最大值. 【详解】〔1〕函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x-+-++-+'=-+-==. 令()0f x '=可得1x =或1x a=-，1a <-，那么101a <-<.由()0f x '>，可得10x a<<-或1x >. 那么()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,+∞；〔2〕假设函数()f x 存在“中值相依切线〞，()00011f x ax a x '=-+-，()()()()22212121211221211ln ln 1ln ln 1212ABx x a x x a x x x x k a x x a x x x x ---+---==-++---21021ln ln 1x x ax a x x -=-+--，由题设条件，有()0AB f x k '=，即2121012ln ln 12x x x x x x x -==-+，即()2211221211212ln 1x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++，不妨设210x x >>，设211x t x =>，可得()21ln 1t t t -=+，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，其中1t >，那么()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以，函数()h t 在区间()1,+∞上为增函数，那么()()10h t h >=，即方程()21ln 1t t t -=+在()1,t ∈+∞上无解，因此，函数()f x 不存在“中值相依切线〞；〔3〕当1a =时，()21ln 2f x x x =-，即32ln 0mx x mx e +≤恒成立， 0m ≤时显然恒成立，只需考虑0m >，即22ln 0mx x mxe x +≤恒成立，即2222ln 11ln mxx mxe x x x≤-=，令()ln F x x x =，那么()21mxF eF x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1mx e >，211x >，当1x >时，()ln 10F x x '=+>，所以，函数()F x 在()1,+∞上为增函数，所以，21mxex ≤，即2ln mx x ≤-，那么2ln xm x-≤恒成立.令()2ln x g x x =-，其中10x e <<，那么()()22ln 10x g x x -'=<，()g x 单调递减，那么()12g x g e e ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，那么2m e ≤.综上所述，m 的最大值为2e .【点睛】结论点睛：利用参变量别离法求解函数不等式恒〔能〕成立，可根据以下原那么进行求解：〔1〕x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；〔2〕x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；〔3〕x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；〔4〕x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。

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2020 届塘沽一中高三毕业班线上二模考试试题
数学参考答案
一．选择题：（每小题 5 分，共计 45 分）
DCAAD ,CBCB
二．填空：（每小题 5 分，共计 30 分）
10.
( பைடு நூலகம் ,1] ； 4
11. -672 ；
3
12.
2
13. 6
14. 45
( 2, )
15. 5 5 2
三．解答题
16.（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3（人），
所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 X 的可能取值为 0,1,2
X
0
1
2
P
1/15
8/15
6/15
4 所求 X 的期望为 3 17.（Ⅰ）（i）证明：连接 AC 交 BG 于点 O ，连接 OM ， CG ，依题意易证四边形 ABCG 为平行四边形. ∴ AO OC 又∵ PM MA ， ∴ MO PC 又∵ MO 平面 BMG ， PC 平面 BMG ，
①-②得
a2 n1
an2
2an
1 ,整理得
a2 n1
an 1 2 ,又因为各项均为正数的数列
an
.
故 an1 an 1 ,an 是从第二项的等差数列,公差为 1.
又 a2 1 , a3, a7 恰为等比数列bn 的前 3 项,
故 a32 a2 1 a7 a2 12 a2 1 a2 5 ,解得 a2 3 .又 a22 2a1 5 ,
∴ PC 平面 BMG .
数学第 1 页（共 17 页）
（ii）解：如图，在平行四边形 BCDG 中∵ BG CD ， CD GD ， ∴ BG GD 以 G 为原点建立空间直角坐标系 O xyz
则 G 0,0,0, P 0,0, 2, D0, 2,0 ，
A0, 2,0, B 2,0,0,C 2, 2,0, M 0, 1,1
(2)
即a
1
x cos 1 x
在区间 0,1 上恒成立.
设 t x x cos1 x ，则 t x cos1 x x sin 1 x 0 在区间 0,1 上恒成立.
所以 t x x cos1 x 在 0,1 单调递.增，则 0 t x 1 ，
所以 a 1.
(3) 由（2）可知当 a 1 时，函数 G x sin 1 x ln x 在区间 0,1 上递增，
故 a1 2 ,因为 a2 a1 1也成立.
故an 是以 a1 2 为首项,1 为公差的等差数列.故 an 2 n 1 n 1 .
即
2,
4, 8
恰为等比数列 bn 的前
3
项,故bn 是以
b1
2
为首项,公比为
4 2
2
的等比数列.
故 bn 2n .综上 an n 1, bn 2n
(2） nbn 2n1 2n anan1 n 2 n 1
c 从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法
2 12
66
共有（种），
c c c 抽取的两名学生来自同一小组的取法共
2 4
2
2
3
2 2
13
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为
P 13
66
有（种），
（2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 4 人、2 人，
所以 sin 1 x ln x G 1 0 ，即 sin 1 x ln 1 0 x 1 ，
x
所以
sin
1 (2 k)2
sin[1
(k
1)(k (2 k)2
3)
]
ln
(2 k)2 (k 1)(k 3)
.
.
求和即可得证（略）
数学第 1 页（共 17 页）
由韦达定理得 AB 中点 P 的坐标为
(
m
12 2
12
,
m
3m 2 12
)
又因为直线
y m x OM： 4
所以 P 在直线 OM 上.综上 OM 平分线段 AB.
数学第 1 页（共 17 页）
ii 当 m 0
MF 2 时， AB 2
当 m 0 时，由 (i) 可知
AB 4
(m2 9)2 (m2 12)2
（过程略）解得 1 3
18.
（1） x2 y2 1 43
（2） i 设点 M 的坐标为(-4,m）
当 m 0 时，AB 与 x 轴垂直，F 为 AB 的中点,OM 平分 AB 显然成立
当 m 0，由已知可得：
K MF
m 3
,
K
AB
3 m
则直线 AB 的方程为： y 3 (x 1) m
联立消去 y 得： (m2 12)x2 24x 4m2 12 0 ，
,
MF
m2 9
MF
MF 1 AB 4
m2
9
9 m2
9
6
1
又
2 1 ∴m=0 时， AB 最小，点 M 的坐标为(-4,0) 2
19.
(1)由题,当 n 1 时, a22 2S1 5 ,即 a22 2a1 5
当 n 2 时,
a2 n1
2Sn
n
4
…①
an2 2Sn1 n 3 …②
前
n
项和为
Tn
2n1 n2
1， Tn 单增，所以 Tn
的最小值为
1/3
所以 m 2020 ，所以 m 的最大整数是 673. 3
（3）过程略 n 3, cn 2n1 ，又 c1 1, c2 2 符合所以 cn 2n1
数学第 1 页（共 17 页）
20. （1）极大值 ln 2 1 无极小值； 22
∴ PB 2, 0, 2,GB 2, 0, 0 ,GM 0, 1,1
平面 PAD 的法向量为
（1,0,0）平面 BMD 的法向量为锐二面角的余弦值为
11 （1,1,3） 11
（Ⅱ）设 AM AP 0, 2, 2 0, 2, 2 , 0,1
∴ M 0, 2 2, 2 平面 BMG 的法向量为 (0, ,1 )