《相似三角形的应用》练习题1
初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48 mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80﹣x) mm，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48 mm．2.【答题】如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A. 32米B. 米C. 36米D. 米【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA. ∴，即，∴MN＝32（m），∴楼房MN的高度为32m．选A.3.【答题】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A.4.【答题】如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）m.A. 2B. 2C.D. 2【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6 m，∴AB（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF AB（m）．选C．5.【答题】如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A. 5mB. 6mC. 125mD. 4m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.7 m，AN＝25 m，BC＝0.14 m，∴EF5（m）．选A．6.【答题】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵A，D两个端点之间的距离为10 cm，∴BC＝15 cm，选C．7.【答题】如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）A. 60mB. 50mC. 40mD. 30m【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝40，选C．8.【答题】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为______米．【答案】7【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC＝7（米），故答案为7．9.【答题】如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为______米．【答案】2.5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作BF⊥OE于点F交CD于点G，根据题意得：AB＝CG＝OF＝1.5米，BF＝10米，BG＝5米，DG＝CD﹣CG＝2﹣1.5＝0.5米，∵DG∥EF，∴，∴，解得EF＝1，∴EO＝EF+OF＝1+1.5＝2.5（米），故答案为2.5．10.【答题】如图，小亮要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度AB＝1.6 m，BE＝1.4 m，DE＝14.7 m，则钟塔的高度CD为______m．【答案】16.8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝16.8 m，故答案为16.8．11.【答题】如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米．【答案】8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，∠CPD＝90°，QC＝4 m，QD＝16 m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC＝90°，∴∠C+∠QPC＝90°，而∠C+∠D＝90°，∴∠QPC＝∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴，即，∴PQ＝8，即旗杆的高度为8 m．故答案为8．12.【题文】某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32 m的点C处（即AC＝32 m），然后沿直线AC 后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5 m，CD＝3 m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）【答案】16 m．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴，∵DE＝1.5 m，CD＝3 m，AC＝32 m，∴，解得AB＝16，答：旗杆AB的高度为16 m．13.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即，解得x＝6.6.∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．14.【答题】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A. 1.2mB. 1.3mC. 1.4mD. 1.5m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，∴，解得AG＝1.2（m），选A．15.【答题】如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴，即，∴CD＝6cm．选C．16.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．17.【答题】《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C 往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A. 360步B. 270步C. 180步D. 90步【答案】A【解答】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．选A．18.【答题】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米【答案】D【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，即，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．选D．19.【答题】如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A. 4mB. mC. 5mD. m【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴，∴，解得MH．选B．20.【答题】用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压______cm．【答案】32【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知△APM∽△BPN；∴，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．故答案为32．。
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
相似三角形应用题
相似三角形练习题一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC_________AB•CE（用两种方法）．2、如图，在△ABC中，D是AC上的一点，已知AB2=AD•AC，∠ABD=35°，则∠C=_________度．3、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO=_________ cm，DO=_________cm．4、如图，已知∠ABC=∠ACD，若AD=3cm，AB=7cm，则AC=_________cm．5、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）则cosB的值为_________．6、如图，在平行四边形ABCD中，过顶点A的直线AF交CD于E点，交BC的延长线于F点．（1）则△ADE_________△FBA；（2）若E点为CD中点，则的值为_________．7、如图，在△ABC中，点D是AB中点，点E在边AC上，且∠AED=∠ABC，如果AE=3，EC=1，那么边AB=_________．8、如图，已知AB：AD=BC：DE=AC：AE，则∠ABD与∠ACE的关系_________．9、如图，已知△ABC中，点E、F分别是AC、AB边上的点，EF∥BC，AF=2，BF=4，BC=5，连接BE，CF相交于点G．（1）则线段EF=_________；（2）则=_________．10、如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF ∥AB交BC于F点．（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，CE=_________；（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，CE=_________．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC⊥CD，若AD=9，BC=4，则AC的长为_________．12、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD=CE，则AB•CD_________AC•BD．13、（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD=_________度（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC=_________米（精确到0.01米）．14、（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，楼高AB是_________m（结果精确到0.1m）．15、（2009•德城区）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．住宅楼的高度为_________米．16、（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM=_________ m．17、（2005•济南）如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距_________米．（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是_________m/s（精确到0.1m/s）．18、如图，一油桶高AE为1m，桶内有油，一根木棒AB长为1.2m，从桶盖的小口（A）处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端与小口（A）齐平，抽出木棒，量得棒上未浸油部分AC长为0.48m．桶内油面的高度DE=_________m．19、如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，此路灯高有_________米．20、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米．（1）一个实际或现实的问题只有数学化后，才有可能用数学的思想方法解决．请你认真读题，画出示意图，并在示意图上标注必要的字母和数字．（2）利用示意图，树的高度是_________米．21、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．教学大楼的高度AB是_________米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．22、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？_________（填（1）或（2）即可）．23、如图，灯泡在圆桌的正上方，当距桌面2m时，圆桌的影子的直径为2.8m，在仅仅改变圆桌的高度，其他条件不变的情况下，圆桌的桌面再上升_________米，其影子的直径变为3.2m．24、如图，马路MN上有一路灯O，小明沿着马路MN散步，当他在距路灯灯柱6米远的B 处时，他在地面上的影长是3米，问当他在距路灯灯柱10米远的D处时，他的影长DF是_________米．25、如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①小亮在路灯D下的影长为_________m；②建筑物AD的高为_________m．26、在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行﹣千七百七十五步见木．问邑方几何．”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K 位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），小城的边长为_________步．27、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，电视塔的高ED=_________米．28、已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，此树的高是_________米．29、一位同学想利用树影测树高AB．在某一时刻测得1m的竹竿的影长为0.7m，但当他马上测树影时，发现影子不全落在地上，一部分落在了附近的﹣幢高楼上（如图）．于是他只得测出了留在墙上的影长CD为 1.5m，以及地面部分上的影长BD为 4.9m．树高是_________米．30、如图，小龙要测量楼的顶层一根旗杆的顶端距地面的距离．他在地面上放置一面镜子，若小龙的眼睛距镜面中心点2米，镜面中心点距离小龙的脚1.2米，距离大楼底部12米，这根旗杆的顶端距地面的距离为_________米．答案与评分标准一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC=AB•CE（用两种方法）．考点：相似三角形的判定与性质。
3.5相似三角形的应用练习
3.5相似三角形的应用练习
1、如图所示：有一路灯杆AB，在灯光下，
小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿
BD方向到达F处再测得自己的影长FG=4m，
如果小明的身高为1.6米，求路灯杆AB的
高度。
2、阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上
留下2.7米的亮区DE，已知亮区到窗口下的
墙角EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边
离地面的高BC为多少？
3、如图，身高1.6m的同学想测量学校旗
杆的高度，当他站在B处时，他头顶端E
的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测
得AB=2m，BC=18m，则旗杆CD的高度是多
少米？
4、如图，为测量河的宽度，小明站在河边B处以一俯角α刚好看到河对岸D，后小明原地转身180
度蹲下以同样的俯角α看到地面
E处，已知小明站立时目高
AB=1.7m,蹲下后目高BC=1.2m，
BE=9.6m。
求河宽BD是多少米？
5、为了测得某大楼的高度，小明站在楼顶用手电筒向地
面照射(电筒防护玻璃与地面平行)，后测得地面光圈的直
径DE=30m,灯珠到防护玻璃的距离0.03m,电筒口的直径
BC=0.03m，求楼顶A到地面的高度。
6、如图，某铁路经过一座小山，工程队要挖一
个隧道，施工前为了测量隧道长度在小山不远处
找了一个点O刚好可以看到隧道的出口A和入口
B，已知∠ABO=90°，∠DCO=90°，CD=100m，C0=30m，BO=300m，求隧道长AB。
九年级数学上册相似三角形的应用练习题
九年级数学上册相似三角形的应用练习题九年级数学上册的相似三角形的应用的知识点即将学完，教师们需要准备好练习题供学生们练习，下面是店铺为大家带来的关于九年级数学上册的相似三角形的应用练习题，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上册相似三角形的应用练习题目一、基础练习1.如1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D 距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m.(1) (2) (3)2.•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm.那么，•符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________.3.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，•现将它折叠，•使点B•与点C•重合，•则折痕长是______.4.如2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP， △DPA， △PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足( )A.a≥ bB.a≥bC.a≥ bD.a≥2b5.如3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______.6.如4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时，•长臂端点升高______m(杆的宽度忽略不计).(4) (5) (6)7.如5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A ′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm.8.如6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，•折线MN=________.9.如7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，•那么FG=_______cm.(7) (8)10.如8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB 的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______.二、整合练习1.如，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、C、B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：(1)借助原拼;(2)简要说明方法;(3)注明相似的两个三角形.2.如，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米?3.小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：(1)两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等;(2)两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等;(3)不等边△ABC的边长为a、b、c，那么以、、为边长的△A′B ′C 一定不能与△ABC相似.请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题?说说你的理由.九年级数学上册相似三角形的应用练习题答案一、基础练习1.4.42.3 若20与50对应，则另两边分别为24cm、32cm;若20与60对应，则另两边分别为cm;若20与80对应，则另两边分别为cm、15cm.3.因△ABC为Rt△，B与C重合，折痕DE为BC的中垂线交BC于D、AC于E、Rt△CDE∽Rt△CAB， .4.△ABP、△DPA、△PCD两两相似，即∠APD=90°，即以AD为直径的圆与BC•至少有一个交点P，所以a≥2b，选D.5.设正方形DEFG的边长为x，由FG∥BC，所以△AGF∽△ABC，设AM交GF于N， (cm).6.8m7.148.设MN与AC交于点O，MN垂直平分AC，AD=9，AB=12，AC= =15，△CON∽△CDA， .9.设FG=xcm，由△AFD∽△GAB和△AED∽△GEB，得 .10.由DE∥AC，△BDE∽△BAC，，CE=4，BE=6，DE为Rt△CDB 斜边BC上的高，△DEB∽△CED，DE2=CE•BE=24，BD2=24+36=60，BD=2 ，AD= .二、整合练习1.连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′的延长线于点F，将△DA′E绕点E旋转至△FD′E位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3.2.过P作PH⊥BD于H，由于AB⊥BD，CD⊥BD，所以AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP：PC=AB：CD=3：4，BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD， = ，所以PH= ×4= ，即点P离地面的高度为 m.(这里AB、CD相距20m为多余条件).3.真命题为(1)、(3).理由是(1)若△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，( k≠0)则 =k，△ABC的周长为AB+BC+CA，△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A′，•又AB=A′B′k，BC=B′C′k，CA=C′A′k.由周长相等，得k=1，所以AB=A′B′，BC=B ′C′，CA=C′A′，所以△ABC≌△A′B′C′.(2)是假命题，可举反例若△ABC∽△A′B′C′，设AB=1，BC=2，CA= ，A′B′= ，B′C′=2 ，C′A′=2，虽然有两组边长相等，但它们显然不全等.(3)不等边△ABC中，不妨设a>b>c，若△A′B′C′与△ABC相似，则a、b、c的对应边只能为、、，又，即 = = ，a=b=c与△ABC是不等边三角形矛盾，所以以、、构成的△A′B′C′一定不能与△ABC相似.(如果△ABC的三边长分别为a、b、c，则可让、、一定能构成△A′B′C′。
课外练习1_相似三角形应用举例
0.2 2
∴ OF=250 ·OE=250×80=20000cm.
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE的
面积是△ADE面积的3倍.求DE的长.
A
解：因为DE∥BC，所以可得
D
E
Hale Waihona Puke △ADE∥△ABC.设△ADE的 B
C
面积为x，所以△ABC的面积为
4x，由面积比等于相似比的平
1.如图为步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距 离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为2mm，目标的正 面宽度CD为50cm.求眼睛到目标的距离OF.
解： ∵AB//CD， ∴ ∠OEA=∠OFC，∠OAE=∠OCF. ∴ △OAE ∽ △OCF.
∴OF OE
=
CF = AE
50 2 =250.
方可得： 1 DE
46
所以：DE＝3.
3.如图，停车场的栏杆的短臂长为1.25m，长臂长为 16.5m，当短臂端点下降0.85m时，长臂端点升高多少？ （栏杆的宽度忽略不计）
？m
解：设长臂端点升高为x m；
1.25 0.85 16.5 x
求得：x＝11.22m 所以，长臂端点升高11.22m.
相似三角形的应用练习题(带答案
是矩形，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴ ∴四边形
， 为正方形．
（ 2 ）仿照勤奋小组同学的作法作图，如图 与图 所示，矩形
即为所作．
图
图
（ 3 ）如图 ，作
的高 ，交 于 ，
∵
的面积
，
∴
，
∵
，
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴矩形
的面积
，
同理，在矩形
中，若
，可求出
，
∴
，
，
∴矩形
的面积
．
．
，
，
．若点 是 边上的一点，将
， 交 于，
，则
，
D
10
【答案】
;
【解析】 作
于，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由折叠及
得：
，
∴易得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理；相似A字型
3. 如图，矩形
的顶点 在 轴的正半轴上，点 、点 分别是边 、 上的两个点．将
沿 折叠，使点 落在 边上的三等分点 上（点 靠近点 ），过点 作
，使 ， 位于边 上， ， 分别位于边 ， 上．（在备用图中完成，不写作法，保
留作图痕迹）
（ 3 ）解决问题： 在（ ）的条件下，已知
2021年中考 临考专题训练：相似三角形及其应用(含答案)
2021中考 临考专题训练：相似三角形及其应用一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则( )A. AD AB ＝12B. AE EC ＝12C. AD EC ＝12D. DE BC ＝122. 下列命题是真命题的是( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶93. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB ，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 634. （2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．5B ．2C ．4D ．255. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．57. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC ＝3，则DE 的长为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4二、填空题9. 如图，在△ABC 中，∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. (2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .13. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF14. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE ，则DF =______，BE =______．FDBE A C15. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t △ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．三、解答题 17. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．18. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.19. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.20. （2019·上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ∶DE ＝2∶3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADEABC S S 的值．21. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD 的延长线于点F . (1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，若MG=nME ，求n 的值.22. 如图，AB是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ； (2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．23. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．24. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．2021中考 临考专题训练：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AE AC ＝13，∴AE EC ＝12，故选B .2. 【答案】B3. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．4. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．5. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．6. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=，∴AD =4CD=，∴CD = 故选C ．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得x＝1，∴DE的长为1.二、填空题9. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】3【解析】∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.13.2【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:21:22．14. 【答案】25－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x－x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．15. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形， ∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥， ∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，．16. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题17. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =， 解得，2FG =．18. 【答案】解:(1)证明:∵C 是的中点，∴=. ∵AB 是☉O 的直径，且CF ⊥AB ，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG 和△CDG 中，∵∴△BFG ≌△CDG (AAS).(2)如图，过C 作CH ⊥AD ，交AD 延长线于H ，连接AC ，BC ，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.19. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.20. 【答案】解：（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1 2∠BAC，同理∠ABD＝12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝12(∠ABC＋∠BAC)＝90°－12∠C，∴∠E＝90°－(90°－12∠C)＝12∠C ． （2）解：延长AD 交BC 于点F ．∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠E ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ， ∴∠E ＝∠CBE ，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，＝，∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC ＝＝＝．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°，∴∠ABC 中必有一个内角为90° ∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E ＝12∠C ，∴∠ABC ＝∠E ＝12∠C ，∵∠ABC ＋∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时＝2－．当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E=12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°， ∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时＝2－．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，＝2－3或2－2．21. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FDBAM ＝DM∠AME ＝∠DMF， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，解图①∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 在△AEM 和△HMG 中，⎩⎨⎧AM ＝GH∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， FMG EMG ≌△△∴， ∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，解图②∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ，∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MGEM ＝ 3.∴n =322. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ， 又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°， 又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CECB，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2， ∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k >1)， ∴aa 1＝k .∴a ＝ka 1，又∵c ＝a 1，∴a ＝kc . (2)解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2. 此时a a 1＝b b 1＝cc 1＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1.(3)解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1.理由如下： 若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1. 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c ， ∴b ＝2c .(12分)∴b ＋c ＝2c ＋c ＜4c ＝a ，与b ＋c >a 矛盾， 故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2.24. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S=， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE AB S =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， 即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14， ∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形． 证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EMAB，∵AB ＝5， ∴445-，x x=解得x ＝209，21 ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ， 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。
人教版三角形相似的应用练习题
三角形相似的应用练习题
1、如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，
已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，
求电视塔的高ED 。
2、小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B ，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，
以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度
DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。
（根据光的反
射定律：反射角等于入射角）
3、如图,甲楼AB 高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是
1: 已知两楼相距20米,
那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
4、了测量路灯（OS ）的高度
,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
5、如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。
A h S A C B B 'O C 'A 'E D
C A G。
(精题)相似三角形应用题 含答案
相似三角形练习题一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC_________AB•CE（用两种方法）．2、如图，在△ABC中，D是AC上的一点，已知AB2=AD•AC，∠ABD=35°，则∠C=_________度．3、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO=_________ cm，DO=_________cm．4、如图，已知∠ABC=∠ACD，若AD=3cm，AB=7cm，则AC=_________cm．5、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）则cosB的值为_________．6、如图，在平行四边形ABCD中，过顶点A的直线AF交CD于E点，交BC的延长线于F 点．（1）则△ADE_________△FBA；（2）若E点为CD中点，则的值为_________．7、如图，在△ABC中，点D是AB中点，点E在边AC上，且∠AED=∠ABC，如果AE=3，EC=1，那么边AB=_________．8、如图，已知AB：AD=BC：DE=AC：AE，则∠ABD与∠ACE的关系_________．9、如图，已知△ABC中，点E、F分别是AC、AB边上的点，EF∥BC，AF=2，BF=4，BC=5，连接BE，CF相交于点G．（1）则线段EF=_________；（2）则=_________．10、如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF ∥AB交BC于F点．（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，CE=_________；（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，CE=_________．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC⊥CD，若AD=9，BC=4，则AC的长为_________．12、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD=CE，则AB•CD_________AC•BD．13、（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD=_________度（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC=_________米（精确到0.01米）．14、（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，楼高AB是_________m（结果精确到0.1m）．15、（2009•德城区）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．住宅楼的高度为_________米．16、（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM=_________ m．17、（2005•济南）如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距_________米．（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是_________m/s（精确到0.1m/s）．18、如图，一油桶高AE为1m，桶内有油，一根木棒AB长为1.2m，从桶盖的小口（A）处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端与小口（A）齐平，抽出木棒，量得棒上未浸油部分AC长为0.48m．桶内油面的高度DE=_________m．19、如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，此路灯高有_________米．20、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米．（1）一个实际或现实的问题只有数学化后，才有可能用数学的思想方法解决．请你认真读题，画出示意图，并在示意图上标注必要的字母和数字．（2）利用示意图，树的高度是_________米．21、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．教学大楼的高度AB是_________米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．22、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？_________（填（1）或（2）即可）．23、如图，灯泡在圆桌的正上方，当距桌面2m时，圆桌的影子的直径为2.8m，在仅仅改变圆桌的高度，其他条件不变的情况下，圆桌的桌面再上升_________米，其影子的直径变为3.2m．24、如图，马路MN上有一路灯O，小明沿着马路MN散步，当他在距路灯灯柱6米远的B 处时，他在地面上的影长是3米，问当他在距路灯灯柱10米远的D处时，他的影长DF是_________米．25、如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①小亮在路灯D下的影长为_________m；②建筑物AD的高为_________m．26、在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行﹣千七百七十五步见木．问邑方几何．”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K 位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），小城的边长为_________步．27、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，电视塔的高ED=_________米．28、已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，此树的高是_________米．29、一位同学想利用树影测树高AB．在某一时刻测得1m的竹竿的影长为0.7m，但当他马上测树影时，发现影子不全落在地上，一部分落在了附近的﹣幢高楼上（如图）．于是他只得测出了留在墙上的影长CD为 1.5m，以及地面部分上的影长BD为 4.9m．树高是_________米．30、如图，小龙要测量楼的顶层一根旗杆的顶端距地面的距离．他在地面上放置一面镜子，若小龙的眼睛距镜面中心点2米，镜面中心点距离小龙的脚1.2米，距离大楼底部12米，这根旗杆的顶端距地面的距离为_________米．答案与评分标准一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC=AB•CE（用两种方法）．考点：相似三角形的判定与性质。
利用相似三角形求解问题的练习题
利用相似三角形求解问题的练习题相似三角形是几何学中重要的概念之一，应用相似三角形的性质可以帮助我们解决许多问题。
以下是一些利用相似三角形求解问题的练习题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB=5cm，AC=12cm。
在AB边上选一点D，连接CD并延长至与BC边交于点E。
若BD=DE，求CE的长度。
解答：由于∠C为直角，则∠CAB和∠CBA分别为对角ABC和ACB的对应角，即∠CAB∽∠ACB。
又因为BD=DE，所以可以得到∠BDC=∠CDE，同理有∠CBD=∠CED。
根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/AC = BD/CE代入已知数值，可得：5/12 = BD/CE解方程，可得：CE = (12/5) * BD由题目可知BD=DE，所以BD=5cm，代入可得：CE = (12/5) * 5 = 12cm所以CE的长度为12cm。
练习题二：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，其中A(-2,4)、B(1,2)、C(4,-2)，直线DE与x轴和y轴分别交于点D(5,0)和E(0,-4)，求证：△ABC∽△ADE，并计算其相似比。
解答：首先，计算△ABC和△ADE的边长：△ABC的边长：AB = √[(1-(-2))^2 + (2-4)^2] = √[3^2 + (-2)^2] = √13BC = √[(4-1)^2 + (-2-2)^2] = √[3^2 + 4^2] = 5AC = √[(4-(-2))^2 + (-2-4)^2] = √[6^2 + (-6)^2] = 6√2△ADE的边长：AD = √[(-2-5)^2 + (4-0)^2] = √[(-7)^2 + 4^2] = √65DE = √[(-2-0)^2 + (4-(-4))^2] = √[(-2)^2 + 8^2] = 2√4 = 4AE = √[(-2-0)^2 + (4-0)^2] = √[(-2)^2 + 4^2] = 2√5可以发现，AB/AD = 1/√5，BC/DE = 5/4，AC/AE = √2/√5。
初中数学相似三角形应用题及答案
初中数学相似三角形应用题及答案相似三角形是初中数学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质和应用，我们可以解决很多实际问题。
本文将介绍几个常见的相似三角形应用题，并给出详细的解答。
1. 题目：甲地点的高楼上立有一块长度为6厘米的广告牌，乙地点的高楼上立有一块长度为8厘米的广告牌。
测得甲地点的高楼到乙地点的高楼的水平距离为12米。
求甲地点的高楼到乙地点的高楼的实际距离。
解答：我们可以构建两个相似三角形，分别是甲地点的高楼到广告牌的距离和甲地点的高楼到乙地点的高楼的距离。
设甲地点的高楼到广告牌的距离为x米，则根据相似三角形的性质有：x/6 = 12/8通过交叉相乘得到6x = 12*8，化简得到x = 16米。
因此，甲地点的高楼到乙地点的高楼的实际距离为16米。
2. 题目：甲、乙两地相距120公里。
已知甲地点的高楼高度为80米，乙地点的高楼高度为60米。
测得甲地点的高楼顶与乙地点的高楼顶的仰角为30度。
求甲地点的高楼底与乙地点的高楼底的水平距离。
解答：我们可以构建两个相似三角形，分别是甲地点的高楼到乙地点的高楼的距离和甲地点高楼的高度与乙地点高楼的高度的距离。
设甲地点的高楼底与乙地点的高楼底的水平距离为x米，则根据相似三角形的性质有：x/120 = 80/60通过交叉相乘得到60x = 120*80，化简得到x = 160米。
因此，甲地点的高楼底与乙地点的高楼底的水平距离为160米。
3. 题目：已知一艘船从A地点出发，以每小时20公里的速度顺水行驶，到达B地点。
然后从B地点回到A地点，以每小时16公里的速度逆水行驶。
整个行程共花费10小时。
求从A地点到B地点的距离。
解答：我们可以构建两个相似三角形，分别是从A地点到B地点的距离与船行驶的时间。
设从A地点到B地点的距离为x公里，则根据相似三角形的性质有：x/(20-16) = (10-10)/10通过交叉相乘得到4x = 0，化简得到x = 0公里。
因此，从A地点到B地点的距离为0公里。
相似三角形的应用及位似(习题及答案).
相似三角形的应用及位似（习题）➢例题示范例1：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20 米．当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6 米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴ AB=AEDC EC∴ AB=201.62.5∴AB=12.8∴大楼AB 的高为12.8 米．例2：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．解：如图，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E，则四边形BCDE 为矩形．由题意，BC=9.6，CD=2，∴BC=DE=9.6，CD=BE=2由题意，AE=ED1 1.2∴AE=8∴AB=AE+EB=8+2=10∴旗杆的高度为10 m．➢巩固练习1.如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三角形有对．2.如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求得河宽AB= m．3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m，若小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高度是．4.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A．1.25 尺B．57.5 尺C．6.25 尺D．56.5 尺5.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m 6.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m，那么该古城墙的高度是（）A．8 m B．10 mC．15 m D．18 m7.如图5，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直角边EF=60 cm，FG=30 cm，测得小明与树的水平距离BD=8 m，边EG 离地面的高度DE=1.6 m，则树高为．8.如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m，留在墙上的影子高为1 m，则旗杆的高度是．第8 题图第9 题图9.如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度为．10.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14 m，塔影长DE=36 m，小明和小华的身高都是1.6 m，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4 m，2 m，那么塔高AB= ．第10 题图第11 题图11.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m，则树高为．12.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10 cm，OA'=20 cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是．13.如图，△ABC 与△DEF，且直线AD，CF，BE 相交于点O，OA=OB=OC=2，已知AB=4，则DE 的长为．OD OE OF 314.如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C．设点B 的对应点B′的横坐标是a，则点B 的横坐标是．➢思考小结1.如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)．1 A B C D1（）将，，，的横坐标、纵坐标都乘2，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（2）将A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 1，得到四个2点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形，位似中心是，它们的相似比为．2.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．①利用阳光下的影子：②利用标杆：③利用镜子的反射：A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等B．视线与一组平行线相交，同位角相等C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等3.影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．【参考答案】➢ 巩固练习1. 32. 1003. 7.5 m4. B5. A6. A7. 5.6 m8. 8 m9. (7 + 3) m10. 20 m11. 11.8 m12. 1:213. 614. -3 +a 2➢思考小结1.（1）位似；位似中心是原点；相似比是1 2（2）位似；位似中心是原点；相似比是12（3）位似；原点；|k|．2.C；B；A。
相似三角形的应用练习
相似三角形的应用1
班级姓名学号成绩
解答题：
1，小明的身高是1.7米，他的影子长是2米，同一时刻学校旗杆的影子长是20米，求旗杆的高。
2，如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。
3，小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。
（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
4,某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。
相似三角形的应用(重点题专项讲练)(人教版)(原卷版)
相似三角形的应用【典例1】如图，身高1.5米的李强站在A处，路灯底部O到A的距离为20米，此时李强的影长AD=5米，李强沿AO所在直线行走12米到达B处．（1）请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B处时影长的线段；（2）请求出路灯的高度和李强在B处的影长．【思路点拨】（1）利用中心投影的性质画出图形即可；（2）设HO=x米，由证得△AED∽△OHD得ADDO =AEHO求出HO的值，再证明△FBC∽△HOC得到BCCO=BFHO，从而求解．【解题过程】解：（1）如图HO，BC即为所求（2）由题意知：BF=AE=1.5米，OA=20米，AB=12米，∴BO=OA−AB=20−12=8米设HO=x米∴∠HOA=∠EAD=90°又∴∠D=∠D∴△AED∽△OHD∴AD DO =AEHO即1.5x =525解得，x=7.5∴∠FBC=∠HOD=90°又∴∠FCB=∠FCO∴△FBC∽△HOC∴BC CO =BFHO即BC8+BC =1.57.5解得BC=2答：路灯高度为7.5米，BC长2米1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（）A．6m B．7m C．8m D．9m2．（2022·河北·石家庄二十三中九年级阶段练习）如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB的高度（精确到1米）为（）A．5米B．6米C．7米D．8米3．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（）A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm4．（2022·全国·九年级专题练习）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（2022·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图∴、∴把它加工成一个正方形桌面，则∴、∴中正方形的面积较大的是()A．∴B．∴C．一样大D．无法判断6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，大楼ABCD（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点M和点N处，M、N均在AD的中垂线上，且M、N到大楼的距离分别为60米和20√3米，又已知AB长40米，AD长120米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为________米．7．（2022·全国·九年级专题练习）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB=1.2厘米，托架斜面长BD=6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O 是支点且OB=OE=2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为__________cm．8．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD中点．（1）收纳盒的长BC=_______；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．9．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）如图，某种吊车由固定机架和三根连杆组成．已知连杆AB=12米，CD=10米，CE=9米，其支点A，D的距离为5米，支点B，C的距离为3米，点A，D到地面l的垂直高度分别为4米和8米．当EC和CD共线时（如图1），点E到地面l的距离为__________米；改变连杆之间的夹角使CE与l平行（如图2），此时点E到地面l的高度为___________米．10．（2022·浙江·翠苑中学九年级期中）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；(2)如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．11．（2022·河南·泌阳县光亚学校九年级阶段练习）延时课上，老师布置任务如下：让王林（AB）站在B点处去观测10m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林身高1.6m，大树高6.4m，请问如何放置平面镜P才能观测到大树的顶端？12．（2022·辽宁·沈阳市第二十三中学九年级期中）如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1,P2,O在一条直线上时，在点O处用∴号“E”（大“E”）测得的视力与用∴号“E”（小“E”）测得的视力效果相同．(1)△P1D1O与△P2D2O相似吗？请说明理由．(2)图中b1,b2,l1,l2满足的数量关系为___________．(3)若b1=3.2cm,b2=2cm，∴号“E”的测量距离l1=8m，要使得测得的视力相同，则∴号“E”的测量距离l2为___________m．13．（2022·陕西·西安市西航一中九年级期中）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根杆CD竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过杆的顶端C刚好看到塔顶A，若小明的眼睛E离地面1.5米，杆顶端C离地面2.4米，小明到杆的距离DF=2米，杆到塔底的距离DB=32米，E、C、H在同一直线上且EH⊥AB 于H，交CD于点G，求这座古塔的高度.14．（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF 的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E 到河岸BC的距离为60米．已知AF∴BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．15．（2022·广东·佛山市南海区南海实验中学九年级期中）九年级二班的兴趣小组想去测量学校升旗杆的高度，如图所示，小逸同学眼睛A与标杆顶点F、升旗杆顶端E在同一直线上，已知小逸眼睛距地面AB的长为1.7m，标杆FC的长为3.2m，测得BC的长为2m，CD的长为4m，求升旗杆的高ED．16．（2022·山西省运城市运康中学校九年级阶段练习）小明想用镜子测量一棵松树AB的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离EF=GH=1.7m，量得CD=12m，CF=1.8m，DH=3.8m．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，请你求出松树AB的高．17．（2022·全国·九年级单元测试）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝米，FQ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？18．（2022·全国·九年级专题练习）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．1112。
(1506)相似三角形应用题专项练习30题(有答案)
相似三角形应用题专项练习30题（有答案）1如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一颗被风吹斜的柏树与地面成30°角, 树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB是多少米.2 •铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩•某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）•已知小明的眼睛离地面 1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米•请根据以上数据求出城楼的高度.3. 如图，△ ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm , AD=30cm .从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G, H分别在AC , AB上，AD与HG的交点为M •（1）试说明：塑涇；AD EC4. 如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F,电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面 1.6米, 标杆为3.2米，且BC=1米，CD=19米，求电视塔的高ED .5. 如图，要测量某建筑物的高度AB，立两根高为2m的标杆BC和DE，两竿相距BD=38m，D、B、H三点共线，从BC退行3m，到达点F,从点F看点A , A、C、F三点共线，从DE退行5m到达点G,从点G看点A , A、E、G三点也共线，试算出建筑物的高度AB及HB的长度.[A■_____________ 乙H B F D G6. 如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王(C D)的影长DB与身高一样，现在他沿0D方向走10米，到达E 处.(1)请画出小王在E处的影子EH ;(2)求EH的长.7. 已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面, 此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C,求此树的高.8如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起 1米咼的直杆 MN ，量得其影长 MF 为0.5米，量得电线杆AB 落在地上的影子 BD 长3米，落在墙上的影子 CD 的高为2米.你能利用小明测量的数据算 出电线杆AB的高吗？9.如图，大刚在晚上由灯柱 A 走向灯柱B ，当他走到M 点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱 A 的底部, 当他向前再走12米到N 点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱 B 的底部，已知大刚的身高是 1.6米，两根灯柱 的高度都是9.6米，设AM=NB=x 米.求：两根灯柱之间的距离.10 .如图，小李晚上由路灯 A 下的B 处走到C 时，测得影子 CD 的长为2米，继续往前走3米到达E 处时，测得11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水 平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm ,EF=20cm,测得边DF 离地面的高度AC=1.5m , CD=10m ，求树高 AB .CM 为1.5米，求路灯A 的高度AB .12. 为了测量被池塘隔开的A , B两点之间的距离.根据实际情况，作出如下图形，其中AB丄BE, EF丄BE , AF 交BE于D, C在BD上，实际可测量①BC;②CD;③DE ;④EF;⑤DB ;⑥/ ACB ;⑦/ ADB等数据.你会选择测量哪些数据？请说出你的方案，并列出求AB长的表达式.13. 如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B,先从B出发与AB 成90°方向向前走50米，至U C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°,沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？14•在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF 表示旗杆，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6m , CD=2m，人与标杆之间的距离BD=1m，标杆与旗杆之间的距离DF=30m，求旗杆EF的高度.15.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳. 如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角 / CAD的度数（精确到1°）;（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.Ctt A.J--r L \ V A A16 .如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m ；丙在C i处也直立3m高的竹竿C i D i，乙从E 处退后6m到E i处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D I与旅杆顶端B也重合，测得C i E i=4m .求旗杆AB的高.17.如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm,要做一个与其相似的钢筋框架.现有长为30cm 和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出.18•某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度•一天，在阳光下，一名同学测得一根长为I米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为 4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？19.如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m ,蹲下来，则身影AC=0.5m ,已知小明的身高AD=1.6m , 蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH .20 •如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一段亮区•已知亮区一边到窗下的墙脚距离 AB=1.2m ，窗口底边离地面的高度BC=1.5m ，求亮区ED 的长.21.如图，△ ABC 是一块三角形余料， AB=AC=13cm , BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一 边在△ ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上•试求正方形的边长是多少？22•阳光通过窗口照射到室内， 在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m ,窗口高AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高BC .23.已知：CD 为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框 G 距地面1米，CD 在地面上留下的最大影长 CF 为2米,现欲在距C 点7米的正南方A 点处建一幢12米高的楼房AB (设A , C , F 在同一水平线上). (1) 按比例较精确地作出高楼 AB 及它的最大影长 AE ; (2) 问若大楼AB 建成后是否影响温室 CD 的采光，试说明理由.K1\ AcF24 •—个钢筋三角架三边长分别是30厘米、75厘米、90厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为CE=3.6m ，窗高45厘米和75厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由.25•有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（ 2 ）•两种情形下正方形的面积哪个大？26 •求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值.27•某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房.该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼•当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°寸.（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）28•如图，有一路灯杆AB (底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度.29. 如图，点D、E 分别在AC、BC 上，如果测得CD=20m , CE=40m , AD=100m , BE=20m , DE=45m , (1) △ ABC与厶EDC相似吗？为什么？30. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.(1)______________________________________________________________________________________________ 在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为__________________________(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子；(3)当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高(AB )为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m ?相似三角形性质和判定专项练习 30题参考答案:1 解：如图，CD=3.6m ,•••△ BDC FGE ,亠仝，即基亠,CD GE 3. & 1. 2••• BC=6,在 Rt △ ABC 中，•/ Z A=30 ° • AB=2BC=12 , 即树长AB 是12米.2 .解：过点 A 作AM 丄EF 于点M ，交CD 于点N ,由题意可得： AN=2m , CN=2 - 1.65=0.35 (m ), MN=40m , •/ CN // EM , • △ ACN AEM ,■/ AB=MF=1.65m ,故城楼的高度为：7.35+1.65 - 1.7=7.3 （米）， 答：城楼的高度为 7.3m .3. (1)证明：•••四边形EFGH 为矩形, • EF // GH , • Z AHG= Z ABC , 又•/ Z HAG= Z BAC , • △ AHGABC ,•励融(2)解：设 HE=xcm , MD=HE=xcm ,■/ AD=30cm ,• AM= (30 - x ) cm , •/ HG=2HE , (2x ) cm , 可得：丄-门AD~BC 乩「40’ 解得，x=12,•宽HE 的长为12cm .4. 解：过A 点作AH 丄ED ，交FC 于G ,交ED 于H .• HG=由(1) BD F解得：EH=9.6米.••• ED=9.6+1.6=11.2 米.5. 解：设BH=x , AH=y ，根据题意可得: BC // AH , DE // AH , 则厶 FCB FAH , △ EDG AHG ,•0B=8 米（4 分）， • OE=16.4 米. EF EH （ 5 分、 --- = ---- （5 分）OA 0H• EH=4.1 米. （8 分）7 .解：•/ CD 丄 AB , EB 丄 AD , • EB // CD ,1. & EH 呂= 丄 J —：.即 （7分） 答：建筑物的高度 AB 为40m 及HB 的长度为57m .（2 分）.•△ ABE ADC ,••• CD=14 .答：此树高为14米.8解：过C 点作CG 丄AB 于点G , • GC=BD=3 米，GB=CD=2 米. •/ / NMF= / AGC=90 ° NF // AC , • / NFM= / ACG , • △ NMF AGC , •冊MF •.蕊云， • AG==厶=6,MF 0. 59•解：由对称性可知 AM=BN ，设AM=NB=x 米, •/ MF // BC , • △ AMF ABC1.69.6 2x+12• x=3经检验x=3是原方程的根,• AB=2x+12=2 X 3+12=18答：两个路灯之间的距离为10. 解：•••小李的身高：小李的影长=路灯的高度：路灯的影长， 当小李在 CG 处时，Rt △ DCG s Rt △ DBA ，即 CD ： BD=CG : AB ,当小李在 EH 处时，Rt △ FEH s Rt △ FBA ，即 EF : BF=EH : AB=CG : AB , • CD : BD=EF : BF ,••• CG=EH=1.5 米，CD=1 米，CE=3 米，EF=2 米， 设 AB=x , BC=y ,1 __2-一卍，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根.8 米.并且符合题意.(m).18米.AB=3 , AD=21 ,，故电线杆子的高为1 5 i|•/ CD : BD=CG : AB，即——=,解得x=6米.即路灯A 的高度AB=6米.11. 解：I/ DEF= / BCD=90 ° D= / D :,△ DEF s △ DCB■/ DE=40cm=0.4m , EF=20cm=0.2m , AC=1.5m , CD=10m ,-- .100.2 0_4• BC=5 米，• AB=AC+BC=1.5+5=6.5 米 •树高为6.5米.12. 解：选择 ①⑥，可由公式 AB=BC Xtan /ACB 求出A 、 选择③④⑤ 可以证得△ DEFDBA ，则丄=」，可求得AB AB13. 解：•••先从B 处出发与AB 成90°角方向， • / ABC=90 °•/ BC=50m , CD=10m , / EDC=90 ° • △ ABC EDC , • AB=5DE ,•••沿DE 方向再走17米，到达 E 处，即DE=17 , • AB=5 X17=85. •河宽为85米14 .解：过点 A 作AH 丄EF 于H 点，AH 交CD 于G , •/ CD // EF , • △ ACG AEH , .AG _CG •阳-EH ，• EH=12.4 .• / ABE H 2°, （4 分）1 2 -1.^ 1+31厂 EE即:B 两点间的距离； AB 的长为丄」叮丄.DE15 .解：（1） •/ AD=0.66 , • AEUAD =0.33，在 Rt △ ABE 中，（1 分） •/ sin / ABE=」丄=「一'1=.” ，•EF=EH+HF=12.4+1.6=14 , •旗杆的高度为14米.•/ / CAD+ / DAB=90 ° / ABE+ / DAB=90 ° ••• / CAD= / ABE=12 °•••镜框与墙壁的夹角 / CAD 的度数约为12° （ 5分） （2）解法一： 在 Rt △ ACD 中， •/ sin / CAD=4,AD• CD=AD ?sin / CAD=0.66 冶in12 ° 0.14, （7 分） 解法二： •/ / CAD= / ABE , / ACD= / AEB=90 ° • △ ACD BEA , （6 分）•镜框顶部到墙壁的距离 CD 约是0.14米.（8分） 16 .解：设 BO=x , GO=y . •/ GD // OB , • △ DGFBOF ,• 1.5: x=3 : （ 3+y ） 同理 1.5: x=4: （y+6+3） 解上面2个方程得经检验x=9 , y=15均是原方程的解, •旗杆AB 的高为9+15=24 （米）. 17•解：有两种不同的截法：（1）如图（一），以30cm 长的钢筋为最长边，设中边为 x ，短边长为y ,则有，①二 60 50解得x=25 ,②30, y.「‘ - |， （2）如图（二），以30cm 长的钢筋为中边,设长边为x ,短边长为y ,解得x=36 ,解得y=10, 所以从50cm 长的钢筋上分别截取 10cm 、25cm 的两段；（6 分）②「50 20解得y=l2.所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段.(12分)(3)若以30cm长的钢筋为短边, 设长边为x,中边长为y.从而FC=BD=4.6 , BF=CD=0.3 ,所以EF=4.6+0.2=4.8 ,1 一0,'解得AF=8 , AB=AF+FB=8.3 (米).19 .解：因为AD // PH ,•••△ ADB HPB ；△ AMC HPC••• AB : HB=AD : PH, AC : AM=HC : PH, 即1.125:(1.125+AH ) =1.6 : PH ,0.5: 0.8= (0.5+HA ) : PH, 解得：PH=8m.即路灯的高度为8米20 .解：根据题意，易得△ DCB ACE ,• CD : CE=BC : CA ,又因为AB=1.2 米，CE=3.6 米，BC=1.5 米, 所以(3.6- ED) :3.6=1.5: (1.2+1.5).门~，18.解：如图，设树的高度为延长EC交AB于F，则四边形BDCF是矩形,AB , BD为落在地面的影长, CE为落在台阶上的影长, CD为台阶高所以树的高度AB为8.3米.解得ED=1.6米.21.解：•/△ ABC 中，AB=AC=13cm , BC=10cm ,••• AD=12 ,•••四边形DEFG是正方形，•ED // BC , DE=GF , （1 分）•△ AED s △ ACB , （1 分）又•/ AN 丄BC, •AN 丄DE , DG=ED=EF , （1 分）设DE=x，贝U AM=12 - x,解得：X= —.1122 .解:•/ AE // BD ,•△ ECA DCB ,•显卫■/ EC=8.7m , ED=2.7m ,•CD=6m .■/ AB=1.8m ,•AC=BC+1.8m ,.EC 二6•丨，’1一： ~，•BC=4 ,即窗口底边离地面的高为4m23.解：如图，•/ HE // DF , HC // AB ,•△ CDFABE CHE ,•AE : AB=CF : DC ,•AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米,由比例可知：CH=1.5米〉1米，故影响采光..12K'12 ^10,（1分）J厘米11（1分）答：这个正方形的边长为24 .解：设截成的两边的长分别为 xcm 、ycm , ① 45cm 与30cm 是对应边时， 新做三角架的两边之和一定大于 75cm ，不符合;② 45cm 与75cm 是对应边时， •••两三角架相似，解得 x=18 , y=54 , ■/ 18+54=72cm v 75cm ,•••从75cm 长的钢筋截取18cm 和54cm 两根; ③45cm 与90cm 是对应边时， •••两三角架相似，解得 x=15 , y=37.5 ,T 15+37.5=52.5cm v 75cm ,•从75cm 长的钢筋截取15cm 和37.5cm 两根； 综上所述，共有两种截法：方法一：从75cm 长的钢筋截取18cm 和54cm 两根，方法二：从75cm 长的钢筋截取15cm 和37.5cm 两根. 25 .解：(1)因为△ ABC 为直角三角形，边长分别为 3cm 和4cm ，则AB=J/ + 4，=5.作AB 边上的高CH ，交DG 于点Q .千曰 5CH.3X4故CH — 易得：△ DCG ACB , 故: 设正方形DEFG 的边长为xcm ,(2)令AC=3cm ，设正方形边长为 ycm .易得：△ ADE ACB ,12 =直 12 "5 5得:解得：X 」.于是：AILDEAC3 7=.73 =4’解得：y』.?即MB= ——pg. b _□同理BN= - - b _a27.解：（1如图1所示: 过F点作FE丄AB于点E,•/ EF=15 米，/ AFE=30 °•AE=5 一米，•EB=FC= （20-5 .二）米.•/ 20 - 5 一；〉6,•超市以上的居民住房采光要受影响;（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从•/ AB=20 米，/ ACB=30 °• BC= =」'-20 米• BC=,「「一「=2°.米•••第二种情形下正方形的面积大.CD、EF为路灯高度, AB为该人高度, BM、BN为该人前后的两个影子.•MB+BN=匸土（DB+FB）=常数（定值）A直射到C处.答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距 20. 一;米.•••可以得到△ CDF ABF , △ ABG EFG ,又•/ CD=EF , .DF_FG•.丽育•/ DF=3, FG=4, BF=BD+DF=BD+3 , BG=BD+DF+FG=BD+7DB-hS' 飞 D+7'BD=9 , BF=9+3=12 ,L6AB ~ 12’解得，AB=6.4m .29 .解：（1） •/ CD=20m , CE=40m , AD=100m , BE=20m , DE=45m ,• AC=AD+CD=100+20=120m , BC=BE+CE=20+40=60m ,(2) •/ △ CDE CBA ,解得 AB=135m .30•解：(1 )因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达 O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；(2) 如图所示，BE 即为所求；(3) 先设 OP=x ，则当 OB=4.2 米时，BE=1.6 米，•迺BE 即 1. 6=1.6 • OP =丽即-r ="+L 6，• - x=5.8 米；当OD=6米时，设小亮的影长是 y 米，40 .1 -' 120 3 CD = 20 .1 BC | 60 3/ C= / C ,•-（米）•即小亮的影长是米.。
相似三角形的综合应用习题训练
能求AB吗？
（2）若CD=6，BC=4，BD=3，求AD
D
A
B
C
例1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， 过点C的切线与AB的延长线交于点D,. （1）求证：△ACD∽△CBD （2）若BD=2，DC=4，求BC的长；
例1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， 过点C的切线与AB的延长线交于点D.
谈谈你这节课的收获
过点C的切线与AB的延长线交于点D. （1）求证：△ACD∽△CBD
（2）若BD=2，DC=4求BC的长；
勾股定理？ 相似三角形？
（2）ΔACD ∽ ΔCBD
∴ BD = CD
又CDADAD8，CD 4，
42 8 • BD
BD 2
∴AB = AD - BD = 8- 2 = 6 ΔDCB∽ ΔDAC ∴AC = CD = 4 = 2
BC BD 2
∴AC=2BC
令BC=x,则AC=2x
在RtΔABC 中，由勾股定理得
AC2 + BC 2 = AB2 ∴（2x）2 x2 62
解得 : BC = 6 5 5
练习：如图，点C⊙O的切线； （2）若AD=6，tanDCB 2:3 ，求CD的长；
（1）求证：△ACD∽△CBD
（1）证明：连结OC
DC与圆O相切于点C
∴OC⊥ DC
∴∠OCB BCD 90
AB是圆O的直径
∴∠ACB 90
∴∠ACO OCB 90
ACO BCD OA OC
∴∠ACO ∠A
又∠D =∠D
∴ΔACD∽ ΔCBD
∴∠A ∠BCD
例1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，
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3.5 相似三角形的应用（1）
【知能点分类训练】
知能点1 测量问题
1．在一张比例尺为1：30 •000•的地图上，•一多边形地区的周长为70cm，•面积为340cm2，那么该地区的实际周长为______km，面积为_______km2．
2．一个三角形的三边长分别为9cm，10cm，18cm，另一个与它相似的三角形的最长边为6cm，则另两条边的边长为________．
3．某一时刻量得电线杆的影长为2.7m，而垂直于地面的1m•高的小树的影长为0.3m，则电线杆的高为________．
4．有两块相似的多边形的菜地，两较短边的比为2：3，•经测量较小的菜地面积为820m2，则另一块菜地的面积为_________．
5．AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚B距墙是1.5m，梯子上一点C到墙的距离是1.2m，BC长为0.5m，则梯子AB的长为______m．
知能点2 设计问题
6．设离小孔M 20cm处有一支长为16cm的蜡烛AB，经小孔M成像，在小孔M后面30cm 的屏幕上所成像A′B′的长为_________cm．
7．小明打网球时要使球恰好能打过网，而且
落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为
（）．
A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m
8．把一根长50cm的细铁丝截成两段，把每段折为一个等边三角形，两个等边三角形的高的比为3：2，则它们的边长分别为________和________．
9．比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使转动点固定在所要求的刻度上，如在刻度4上，然后张开两脚，•使比例规的两脚分别放在线段a的两个端点上，这时比例规的另外两个脚的端点所代表的线段就是线
段a长的1
4
，你知道为什么吗？
【综合应用提高】
10．在某时刻1.6m高的人的影长为2m，此时距墙2m远的大树的影子落在墙上的部分为1m，求这棵树的高度．
11．一条河的两岸可以看做平行，在河的这岸每隔4m有一棵树，•在河的对岸每隔50m
有一根电线杆，在离这岸20m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有4棵树，求河宽．
12．一易拉罐中还有部分饮料未喝完，小明为了知道还有多少饮料，•他把一根长18cm 的吸管插入罐内，一端与底面边缘相接触，这时量得露在罐外的吸管长为6cm，吸管被饮料浸湿的部分长为6cm，易拉罐的高度为12cm，求罐中所剩饮料的高度．
13．你能利用相似的知识，在一块直角三角形的铁板上截出一个面积尽可能大的正方形（整块）吗？如果直角三角形的两直角边分别为60cm，80cm，•求这个正方形的边长，画图表示你的作法．
14．为测一池塘的宽AB，小明只准备了一皮尺，你认为他能否测出池塘的宽（不能下水）？若能，请你说出他是怎样做的；若不能，请你说出他还需要什么工具．
【开放探索创新】
15．你能否利用平面镜、•皮尺这两种工具来测量一塔的高度（塔顶不可到达）？说说
你的做法．除了你想到的办法外，和同学们一起探索是否还有其他办法，验证它的可行性．
【中考真题实战】
16．（金华）如下左图，小明从路灯下向前走了5m，发现自己在地面上的影子长DE是2m，如果小明的身高为1.6m，那么路灯离地面的距离AB是_______m．
17．（河北）如上右图铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m 时，长臂端点升高________m（杆的粗细忽略不计）．
18．（大连）张华同学的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为2m，•与他邻近的一棵树的影长为6m，则这棵树高为（）．
A．3.2m B．4.8m C．5.2m D．5.6m
19．（江西）身高为1.6m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（ •）．
A．6.4m B．7.0m C．8.0m D．9.0m
20．
（济南）如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C 的路线以3m/s的速度跑向C地，当他出发4s后，张华有东西需要交给他，•就从A地出发
沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地32
3
m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重
叠在同一条直线上，此时，A•处有一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）?
（2）•求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）?
参考答案1．21 30.6
2．3cm 10
3
cm
3．9m 点拨：同时刻物高与影长成比例．
4．1845m2 5．2.5
6．24 点拨：物、像平行两三角形相似，对应高之比等于对应边之比．
7．A 8．10cm 20
3
cm
9．利用△OCD∽△OAB，且OA=4OD，OB=4OC，∴CD=1
4 AB．
10．如图，利用光的直线传播．
∵△CDE∽△ABE，∴CD DE
AB BE
=①．
同一时刻物高与影长成比例，得1.6
2
AB
BE
=②，
由①②得AB=2.6m．
11．根据题意画出图形．
AF=20m，BC=20m，DE=50m．∵△ABC∽△ADE，
∴BC AF
DE AG
=，∴AG=50m，
∴河宽GF=30m．
12．如图，过D 作DM ∥AB 交EF 于N ，交BC 于M ．
∵△DNF ∽△DMC ，
∴
DN DF
DM DC
=
， ∴DF=6，∴FC=6cm ．
∴所剩饮料的高度为6cm ． 13．（1）如图，设所截的正方形边长为x cm ，则△CDG ∽△CAB ，
48,48100CM DG x x
CN AB -∴
=∴=
， ∴x =1200
37
cm ，
则这个正方形的边长为1200
37
cm ．
（2）如图，设正方形的边长为x′， △ADE ∽△ACB ，
`60`
,8060
DE AD x x BC AC -==
， ∴x ′=240
7
cm ，∴x ′>x ．
∴应用第二种方案，正方形的边长为
240
7
cm ． 14．能．在陆地上确定一点O ，使O 可直接到达A ，B ，
连结OA 并延长至A′，
使OA=1
2OA′，连结OB ，并延长至B′， 使OB=1
2OB′，量出A′B′的长，
则AB=1
2
A′B′，从而可以确定（方法不唯一）．
15．如图所示．
A 处放平面镜，人站在BC 处，使塔的顶点M 正好反射到人眼
B 处，
量得AC ，AN ，BC 的长，利用
CA BC
AN MN
=
可得MN ，即塔高．（方法不唯一） 16．5.6
17．4 18．B
19．C 点拨：由题意得
AC
AB
=该学生的身高旗杆的高度，解得旗杆高度为8.0m ．
20．（1）由阳光与影子的性质可知DE ∥AC ，
∴∠BDE=∠BAC ，∠BED=∠BCA ，
∴△BDE ∽△BAC ，∴
DE AC
BD AB
=
． ∵AC=22
3040+=50（m ），BD=83
（m ），AB=40（m ）．
∴DE=10
3
（m ）．
（2）BE=22
DE BD -=2．
王刚到达E 点所用时间为
402
3+=14（s ），张华到达D 点所用时间为14-4=10（s ），张华追赶王刚的速度为（40-8
3
）÷10≈3.7（m/s ）．。