北京交通大学海滨学院线性代数复习

合集下载

线性代数前四章复习PPT课件

(
A)1
=
1
A1(
0)
A1 = A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法（2）伴随矩阵法（3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
-
9
5. 初等变换
对调变换、倍乘变换、倍加变换
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．
矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,
4 ) Amn , Bnp r( AB) r( A) r(B) n
当 AB = 0 时，r( A) r(B) n
5)
A 0
r
0
B
=
r(
A)
r(B)
6) r( A B) r( A) r(B)
Ⅳ、秩的求法： 1）初等变法： A 阶梯形T
2）若P可逆，则秩AP = 秩A
-
13
3) A 有r阶子式不为0
20
(2) 极大无关组的证明
方法1：利用定义 1,2 , ,r 线性无关；其它向量都可由 1,2 , ,r 线性表示。（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）
方法2：已知 1,2 , ,r 是向量组A的一个极大无关组，又A中部分组 l1 ,l2 , , lr 与 1,2 , , r 等价，则 l1 , l2 , , lr 也是A的一个极大无关组。
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：
乘法满足：( AB)C = A(BC );
( AB) = (A)B = A(B), (其中为数);
A(B C ) = AB AC , (B C )A = BA CA;

数值分析(交通类)讲义_第五章

（2）回代过程
( n) 若 ann 0, 则
( n) a ( n) xn bn nn
(k ) n ( k ) ( k ) xk bk akj x j akk , (k n 1,,1) j k 1
BJTU
说明: 若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。
1.00 105 x 1.00 y 1.00 5 5 1.00 10 y 1.00 10
BJTU
x 0.00, y 1.00
解法2：
5 1 . 00 10 x 1.00 y 1.00 1.00 x 1.00 y 2.00 5 5 ( 1 . 00 1 . 00 10 ) y ( 1 . 00 2 . 00 10 ) 1.00 x 1.00 y 2.00 1.00 y 1.00
(1) x b (1) a1 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) x2 b a22 a2 n 2 . ( n) ( n) x 0 ann bn n (1) a12
其中
( 2) (1) (1) aij aij mi1 a1 j , (i, j 2,3,, n)
(1) bi( 2) bi(1) mi1 b1 , (i 2,3,, n)
第2步：若 „ „
BJTU
( 2) a22 0,
用„ „.
Байду номын сангаас
第k步：若
(k ) akk 0,
例1（见板书）
一般地,顺序高斯消去法:
BJTU

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

以专业需求为导向的大学数学教学改革研究--以沧州交通学院为例

（2）与专业课教师沟通探讨，对高年级学生在后续学习中遇到的问题进行调查了解，调整教学内容和教学重点，使数学课程能够真正实现服务于各专业的人才培养目标。数学教研室领导与教师一直比较注意与专业课教师沟通“数学课如何才能更好地服务于专业课”的问题，深入了解各专业对数学的需求情况，了解各专业的人才培养方案、市场定位、就业去向、专业特色和知识构成。数学教师在讲课过程中，尽量结合专业实例进行教学，通过问题使学生了解学习的目的，以及如何学以致用，为学生利用所学知识解决相关问题打下基础。
响，课上及课下注意力被严重分散，在有限的课时内，教学质量难以得到保证。针对以上问题，我校大学数学课程的改革一直在持续进行中。
2 学校所做的具体工作
（1）编写了适用于应用型本科学生的数学教材，并配套相应 PPT、教学大纲。目前现有的大学数学各科目教材理论性和学术性较强，实践性和应用能力培养相对薄弱，已经不能满足国家对地方应用型本科院校的定位和应用型人才培养目标的需求[1]。
我校数学教研室全体成员通过教学实践和多方面的调查研究，于 2012 年编写了适用于应用型本科学生的《高等数学》上下册教材。教材力求严谨，注重应用，概念的引入尽量从实际问题出发，将概念延伸到应用中去，书中还多处联系了物理、经济等应用问题，渗透了数学建模思想。2019 年出版了符合我校学生特点的《线性代数》教材，坚持“主线统一、弱化理论、注重应用、循序渐进”的原则，在每章最后一节加入了应用实例和数学实验内容，突出了对学生应用能力的培养，解决了学生在学习过程中容易产生的“线性代数有什么用”的困惑。2020 年出版了符合我校学生特点的《概率论与数理统计》教材，本书在习题上设置节后习题供学生基础练习、章后习题供学生考研练习，满足了不同学生的需求，并在最后一章加入了数学实验与应用，让学生体会 MATLAB 给数值计算带来的便捷。

线性代数知识点

第一讲基本知识二．矩阵和向量1．线性运算与转置考研数学知识点－线性代数反对称矩阵A T= − A 。

① A + B = B + A ② (A + B ) + C = A + (B +C )③ c ())三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵⎧初等行变换初等变换分 ⎨A +B = cA + cB(c + d A = cA + dA④ c ( ) ( ) cd A⑤ cA = 0 ⇔ c = 0 或 A = 0 。

向量组的线性组合α1,α2,Λ ,αs，⎩初等列变换三类初等行变换①交换两行的上下位置A → B②用非零常数 c 乘某一行。

③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵ααα⎛ 4 1 0 2 0⎞ 1 1+c 22Λc+ + c ss 。

⎜ ⎟ 1 0 转置⎜ 0 − 1 2 5 1⎟ ⎜ ⎟ 2 1A 的转置 A T（或 A ′ ）⎜⎜0 0 2 3 ⎟⎟ 4 3( )T= A(A ± B )T=T ±T⎝ 0 0 0 0 0⎠①如果有零行，则都在下面。

②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格单调上升。

A B( )T= c ( )。

3． n 阶矩阵n 行、 n 列的矩阵。

对角线，其上元素的行标、列标相等⎛* 0 0⎞a 11, a 22,Λ 或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调上升，直到全为 0 。

台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。

简单阶梯形矩阵：3．台角位置的元素都为 14．台角正上方的元素都为 0。

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单⎜ ⎟阶梯形矩阵。

对角矩阵 ⎜0 * 0⎟⎜ ⎟ 如果 A 是一个 n 阶矩阵⎝0 0 *⎠ ⎛ 3 0 0⎞如 A 是阶梯形矩阵 ⇒ A 是上三角矩阵，反之不一定，⎜ ⎟数量矩阵 ⎜0 3 0⎟ = 3E⎛ 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟⎝⎜00 3⎟⎠⎛1 0 0⎞ ⎜ 0 1 0 ⎟ 是上三角，但非阶梯形 ⎜00 1 ⎟⎠⎝⎜ ⎟单位矩阵 ⎜0 1 0⎟E 或I⎜ ⎟四．线性方程组的矩阵消元法⎝0 0 1 ⎠⎛* * *⎞用同解变换化简方程再求解三种同解变换：⎜⎟①交换两个方程的上下位置。

大学课程《线性代数》综合练习题集及答案

02N不等价.03A D.03B 1.03C_n.
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.

线性代数第3版习题全解(上海交通大学)

分享以下“线性代数第3版习题全解(上海交通大学)”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解习题1.11.计算下列行列式：c o s x -s i x ; (1)；(2)s i n x c o x 1574xy x +y xx +y x yx y x zy；(4)x2cos x 1012cos x 1012cos x(3)zy；(5)解：y x +y。(1)7415=7×5−1×4=31；(2) D =1；x +y +zy x z y z -yz x zy zz yx(3) D =x +y +zx +y +z10y =(x +y +z )x=(x +y +z )0x -yy -z =x 3+y 3+z 3-3xyz。x -z2cos x (4)12cos x 1012cos x01-4cos 2x -2cos x =102cos x 112cos x 10=-1-4cos 2x -2cos x12cos x=8cos 3x -4cos x。x y x +y xx +y x y(5) y x +y=x (x +y ) y +yx (x +y ) +yx (x +y ) -(x +y ) 2(x +y )-y 3-x 3=-2x 3-2y 32.用行列式方法求解下列线性方程组：⎧2x 1-x 2+3x 3=1⎧3x +y =-1⎪(1) ⎨；(2) ⎨4x 1+2x 2+5x 3=4。⎩5x +2y =8⎪x +x 3=3⎩1解：1上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解2(1) 123111311, 10, 2

(完整版)线性代数复习——选择题.doc

《线性代数》复习一：选择题a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131.如果a21 a22 a23 = M，则2a21 2a22 2a23 = （）a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33A. 8MB. 2MC. MD.6M2. 若 A，B 都是方阵，且 |A|=2， |B|=-1，则 |A -1B|= （）A. -2B.2C. 1/2D. –1/23. 已知可逆方阵 A 1 3 7则 A （）1 2A. 2 7B.2 7C.3 7D.3 7 1 3 1 3 1 2 1 24. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A.AOB. r(A)> 0C. r(A)< nD. r( A) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 A O 且 AB O 则下列结论必成立的是（）A. BA OB. B OC. (A B)( A B) A2 B2D. (A B)2 A2 BA B26. 下列各向量组线性相关的是（）A. 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1)B. 1 (1 2 3) 2 (4 5 6) 3 (2 1 0)C. 1 (1 2 3) 2 (2 4 5)D. 1 (1 2 2) 2 (2 1 2) 3 (2 2 1)7. 设 AX b 是一非齐次线性方程组 1 2 是其任意 2 个解则下列结论错误的是（）A. 1 2是 AX O 的一个解 B. 1 12是 AX b 的一个解+ 2 1 2C. 1 2是AX O 的一个解D.2 1 2是AX b 的一个解8. 设 A为 3阶方阵 A的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 3 6 9C.12 3D. 1 1/2 1/39. 设 A 是 n 阶方阵且 |A| 2 A*是 A 的伴随矩阵则 |A*| （）A. 1B. 2nC. 1D. 2n 12 2 n 11 y 210. 若 x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案 :1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设30 ，则取值为（）2 1A. λ=0 或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0 且λ≠ -3D. λ≠02. 若 A 是 3 阶方阵，且 |A|=2， A* 是 A 的伴随矩阵，则 |A A* |=（）A. -8B.2C.8D. 1/23. 在下列矩阵中可逆的是（）0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 A. 0 1 0B.2 2 0 C. 0 1 1D. 1 1 10 0 10 0 1 1 2 11 0 14. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A+3E O 则 A 1 （）A. EB. 1C. 2A 3ED. A(2E A)31 a a a5. 设 Aa 1 a aa a 1 a ,若 r(A) 1, 则 a （）aaa 1A.1B.3C.2D.46.x 1 x 2 x 3 0,若齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 有非零解则常数（）x 1 x 2 x 3 0A.1B.4C.2D.1 7. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论正确的是（）A. BA ABB.(A B)2 A 2BA ABB 2C. (A B)(A B) A 2B 2D. (A B)2A 22 AB B 28. 已知 1(10 0) 2(200)3 (0 0 3) 则下列向量中可以由123 线性表示的是（）A. (1 2 3)B.(12 0)C. (0 2 3)D. (3 0 5)9. n 阶方阵 A 可对角化的充分条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B.A 的不同特征值的个数小于 nC. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为fy 12y 223 y 32 ，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4 阶方阵，且 |A|=2，则 |-2A |=（）A. 16B. -4C. -32D. 32 2. 3 4 6行列式 k 5 7 中元素 k 的余子式和代数余子式值分别为（）1 2 8A. 20， -20B.20，20C. -20，20D. -20，-203. 已知可逆方阵 A2 7则 A1）1 3 （A.2 7B.2 7C.3 7 D.371 31 31 2 124. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A | 0则下列正确的是（）A.AOB. r (A )> 0C. r(A)< nD. r(A ) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论中正确的是（）A. (A B)(A B) A2 B 2B. (AB )k A k B kC. |kAB | k|A | |B |D. |(AB )k| |A |k |B|k6. 设矩阵 A n n的秩 r(A ) n 则非齐次线性方程组 AX b（）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解7. 设 A 为 n 阶方阵 A 的秩 r(A) r n 那么在 A 的 n 个列向量中（）A.必有 r 个列向量线性无关B.任意 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出8.已知矩阵 A4 4的四个特征值为 4， 2， 3， 1，则 A =（）A.2B.3C.4D.249. n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性无关的特征向量10. n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是（）A. A 的秩为 nB. |A| 0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案 : 1.D 2. A 3. D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D3 4 61. 行列式 2 5 7 中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）y x 8A. 2，-2B. –2， 2C. 2，2D. -2， -22. 设 A B 均为 n(n 2)阶方阵则下列成立是（）A. |A+B| |A |+|B|B. AB BAC. |AB | |BA |D. (A+B) 1 B 1+A 13. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A E 则(A-2E ) 1 （）A. AB. 2 AC. A+2ED. A-2E4. 矩阵A 1 1 1 12 2 2 2 的秩为（）3 3 3 3A.1B.3C.2D.45. 设 n 元齐次线性方程组AX O 的系数矩阵 A 的秩为 r 则方程组 AX 0 的基础解系中向量个数为（）A. rB. n- rC. nD. 不确定6. 若线性方程组x1 x2 2x3 1无解则等于（）x1 x2 x3 2A.2B.1C.0D. 17. n 阶实方阵 A 的 n 个行向量构成一组标准正交向量组，则 A 是（）A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D.| A |= n8. n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于 nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设 1 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的任意 2 个解则下列结论错误的是（）A.1+ 2 是 Ax =0 的一个解 B. 1 η1η2 1 2 2是 Ax =b 的一个解C.12 是 Ax =0 的一个解D. 2 1 2 是Ax=b的一个解10.设二次型的标准形为f y12y223y32，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1. D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A10.D1.a b 0设 D b a 0 0 ，则 a， b 取值为（）1 0 1A. a=0， b≠ 0B. a=b=0C. a≠ 0， b=0D. a≠0， b≠ 02. 若 A 、B 为 n 阶方阵且AB=O 则下列正确的是（）A. BA OB. |B | 0 或|A| 0C.B O或A OD. (A B)2 A2 B23. 设A是3 阶方阵，且 | A | 2，则|A 1|等于（）A. 2B. 1C.2D.1 2 24. 设矩阵 A B C满足AB AC 则 B C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵5. 如果 n 阶方阵 A O 且行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A. 0<r( A) < nB. 0 r(A) nC. r(A )= nD. r(A) 07 x1 8x2 9x3 06. 若方程组x2 2 x3 0 存在非零解则常数 b （）2 x2 bx3 0A.2B.4C.-2D.-47. 设 A 为 n 阶方阵且 |A| 0 则（）A.A 中必有两行 (列 )的元素对应成比例B.A 中任意一行 (列 )向量是其余各行 (列) 向量的线性组合C.A 中必有一行 (列 )向量是其余各行 (列 )向量的线性组合D.A 中至少有一行 (列 ) 的元素全为零8. 设A为 3阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 369C.123D. 1 1/2 1/39. 如果 3阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2 ，则下列命题正确的是（）A. A 不能对角化B. A 0C. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为 f y12 y22 3 y32，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案:1.B 2.B 3. B 4. C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D10.Ca11 a12a13 4a a a a11 11 12 131. 如果 a21 a22a23 =M，则 4a21 a21 a22 a23 =（）a31 a32a33 4a31a31a32a33A. -4MB. 0C. -2 MD. M2. 设 A ij 是 n 阶行列式 D |a ij |中元素 a ij的代数余子式则下列各式中正确的是（）nB. n nD.nA. a ij A ij 0 a ij A ij 0 C. a ij A ij D a i1A i 2 Di 1 j 1 j 1 i 11 0 02 0 03. 已知A 0 1 0 ，B 2 2 1 ，则 |AB |=（）3 0 1 3 3 3A.18B.12C.6D.364. 方阵 A 可逆的充要条件是（）A.AOB. |A| 0C. A* OD. |A| 15. 若 A 、B 为 n 阶方阵 A 为可逆矩阵且 AB O 则（）A. B O 但 r( B) nB. B O 但 r(A) n, r (B ) nC. B OD. B O 但 r(A) n, r(B) n6. 设 1 2 是非齐次线性方程组AX b 的两个解则下列向量中仍为方程组解的是（）A. 1 2B. 1 2C. 1D.+2(β1 2β2)7. n 维向量组 1 2 s线性无关为一 n 维向量则（）A. 12 s 线性相关B. 一定能被12C. 一定不能被12 s 线性表出D. 当 s n 时一定能被8. 设 A 为三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 2 则A 2E 的特征值为（3β2β1 25s线性表出12s 线性表出）A. 212B.-4-10C.124D.41-49.若向量α=（ 1， -2，1）与β=（ 2， 3， t）正交，则 t=（）A.-2B.0C.2D.41 y 210. 若x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案:1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C3 4 6中元素 x 的余子式和代数余子式值分别为（1. 行列式 2 5 7 ）y x 8A. –9， -9B. –9，9C. 9， -9D. 9，91 1 1 12.2 3 4 53 3 3 3 =（）4 3 4 4A.2B.4C.0D.1 3. 设A 为4 阶矩阵 |A | 3 则其伴随矩阵A *的行列式 |A *| （）A.3B.81C.27D.9 4. 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T A T +B TB.(A +B) 1 A 1+B 1C.(AB)1B 1A 1D. (AB )T B T A T 5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A +EO 则(A+E ) 1（）A. AB. -(A+E )C. –AD. -(A 2+A )6. 设 n 阶方阵 A B 则下列不正确的是（）A. r(AB )r(A)B. r(AB )r(B)C. r( AB ) min{ r(A )， r(B )}D. r(AB )>r (A )7. 已知方程组 AX b 对应的齐次方程组为 AX O ，则下列命题正确的是（）A. 若AX O 只有零解则 AX b 有无穷多个解B. 若AX O 有非零解则 AX b 一定有无穷多个解C. 若AX b 有无穷解则 AX O 一定有非零解D. 若AXb 有无穷解则 AXO 一定只有零解8.10 1已知矩阵 A 02 0 的一个特征值是 0 则 x （）1 0 xA.1B.2C.0D.31 09.与A02 1 相似的对角阵是（）0 1 21111A.Λ1B.Λ2C. Λ1 D. Λ 1 333 410. 设 A 为 3 阶方阵 A 的特征值为 1 0 3则A 是（）A. 正定B.半正定C.负定D. 半负定参考答案 : 1. C 2. C3. C4. B5. C6. D7. C8.A 9.A 10.B1. 设 A B 都是 n 阶方阵A. 若|A| 0 则A Ok 是一个数 B. |kA|则下列（|k| |A |）是正确的。

线性代数复习材料

第一章行列式本章重点掌握：计算行列式常用方法：利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。

会用按行（列）展开方法计算行列式，一些常用行列式的值。

重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及等基本来简化的。

1. 行列式的性质(1) 行列式D 与它的转置行列式T D 相等。

(2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。

(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。

(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

例如：1、设1311111223212122,a a a a a b a a a a ==，则111213212223a a a a a a ++的值为【ab - 】2、设1112111231322122,a a a a a b a a a a ==，则11122131223222a a a a a a =++ 【 2a b + 】 (6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的余子式，记作ij M ；记(1)i jij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。

(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。

即可以按第i 行展开：1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=；或可以按第j 列展开：1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

《线性代数(理)》综合复习资料.doc

《线性代数（理）》综合复习资料填空题a x 1入 C]2冏 b 、 c x +勺1、已知行列式 a 2 b 2 c 2=4,则 2a 2 b 2 c 2 + b 2a 3b 3c 32a 3 伙 c 3 + h 3（1 1、2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二 ______________匕3丿4、行列式D =<0>々）、0 ,&2 = 20 ,则Q =1 9<o >1用线性表示的表达式 5=2,/表示B 的转置，贝卜Q 2 6、已知4= 0 3 J °0、2 ,齐次方程组Ar = 0有非零解，贝畀=a tb 、c }4舛 2$ - q C]7、若 a 2 b 2 c 2—1 ,则 4a 22b 2 一 c 2 c 2a3 ”3 C34曲 2b 3 — c 3 C3兀-10 x 行列式0 0a b0 -1 Xc的第4行第3列元素C 的代数余子式-1439、若徐冬是线性方程组Ax = b的两个解，则A（5+$2）= ______________alb\q2a {2b { 2q 10、设 a 2 b 2C2=a ,则 2a 22b 2 2c 2a3 /?32禺 2优 2C 3二.选择题<1 1 1 )/ 、 (1 >1、要使非齐次方程组 0 11 兀2 — 1 有无穷多个解，必须<0 0<7-2, /丿3一3丿A. a = 2, b = 3B. a = 2, b 主3C. a H 2, b = 3D. d H 2，b 壬 32、假设人B 皆为〃阶可逆方阵，则卜•列式子不成立的是 ______ A. （AB ）'1=8 ^~]B. （仙尸=川矿】 c. \AB \ = \A \\B D. \AB\^O3、设4阶方阵A 的秩为3,则下列说法正确的是 _________ A. A 的所有3阶子式都为零 B. A 的所有3阶子式都不为零 c. |A |HO% 11、设 a 2a. b 、 b 22a1 1 1<1 0 -n / 、12、齐次方程组0 1i 兀2<o 0 o 丿0 的通解（即所有解）可表示*b2$a3为 _________________D・|A|= O,但至少有一个3阶子式不为零4、设A为“阶可逆方阵，则A的秩厂必定满足_________ ；A.r = nB.r = n-lC.r <nD.r <n-\5、设为农阶方阵，则下列等式成立的是______________ ；A.AB — BAB.\A + B\=\A\+\B\C.若AB = 0则A = 0或B = 0D.若\AB\ = 0则|A| = 0或0| = 06、设3维向量ma j9a2,a3线性相关，则下列说法不正确的是______________A.其中的任意两个向量都线性相关B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42，^3必线性相关C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示D.存在不全为零的你込,心，使得k{a{ + k2a2 + k3a3 = 07、设A,B为同阶方阵，则必有_______ :A.\A + B\=\A\+\BB.AB = BAC.\AB\=\A\\BD.(A + B)-1 = A_1+5_,8、若A为”阶方阵，且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax = b的解的情况为—A.无解B.不能断定冇解C.有唯一解D.有无穷多个解r l 1 1 r9、矩阵 2 2 2 2 的秩为<3 3 3 3/A. 1B. 2C. 3D. 41()、设A为加x n阶矩阵，则线性方程组Ax = b有解的充分必要条件为 _______ ；A.7?(A) = mB./?(A) = nC.R(A,b) = mD.R(A,b) = R(A)这里R(A), R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(A,b)的秩11、___________________________________________________________ 设4是斤阶可逆矩阵，4*是伴随矩阵，则下列等式成立的是_____________________ ；A.\A\ = A*B.|矿c. |A|H=A*D. WW12、设A是斤阶方阵，则它的〃个列向量匕，也,・・・,色线性无关的充分必要条件为_______ :A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示B.a v a2,...,a n均不为零向量C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例D.|A| = 0三、计算题2 4 11 4 3-11 1、计算行列式D =0 02 40 013<1 1 P3、已知A = 1 2 1<1 1 3丿<-4 -1() ()、了-2、 2>已知A =1 30 '*51 --1'§2 - 1<36 1；k _3><0>（1）求码,街2<r©了3、已知向最组© =-i ,也=30 ,&4 =-i/丿<0>（1）求向量组的秩;（2）给出分别与爲,§2对应的特征值人,人;求矩阵X ,使得4（E + X ） = E ；4、3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 110 111‘1 -1 7、已知4= 2 -1<-3 4‘1〕〔1)8、已知向量组Q]= 1 ,也=-1 心=3 ,夠=-1 ,（1）求向量组的秩;（2）求向量组的一个授大无关组; -1 -1 -1 -11 -1 -1 1-1)-3 ,求-1 -1< 1 -1 —1 16、已知A = 求屮;2 10 00 2 10 9、计算行列式0=“0 0 2 1 10 0/1<1 2、'a b'10、己知矩阵A =与3 =可交换，即AB = BA,求a, b ；L 1 -1; 3 2；\1 -n11、已知A = 0 1 1,且满足 A~ + AX — E = 0 ,<0 （）—i丿(1)求A -1；(2) 求矩阵X ；<1 -1 1 -1、12、已知矩阵人= 1 2 3 1<3 3 7 1 )7（1）求A 的秩;(2) 求A 的列向最组的一个最人无关组;1 0 0— 0 2 013、已知£)=0 0 3 1 2 3求其第4行元素的代数余了式Z 和，即求A 41 + A 42 + A43 + A44 ；<01 0、14、已知人= -11 ,求从屮+2A ：<0 -1 0><0 1 2、15、已知A = 1 1 4 , 求4二<2 -1°丿‘1 -13 1 -32 16、已知矩阵人=-1 0 -1 4-2、 -61()21 5 -1《线性代数(理)》综合复习资料参考答案填空题1、8(3 —1)2、1-2 14、-245、486、——37、88、X29、2b10> Sa11、-2a212、Jt(l,-l,l)r选择题题目 1 ? 3 4 5 6 答案 A B D A D A 题目7 8 9 1() 11 12 答案 C C A D B A 三、计算题2 44 3 1、计算行列式D =0 00 01-12111431 12 4 4 13 -解:D =0 0 20 0 1 1 2 41 0 -54 ~ 0 03 0 01-3211-5-3 -12 4 =-201 3一0、解：（1）対=23丿'-2、<-4 -10 ()、<5> 了-2、2、己知人= 1 3 0 -1 '§2 - 1<3 6 1丿<_3> <0>（1）求码,街2（2）给出分别与§2对应的特征值人,人；(1 1 3、已知A= 1 2J 1 1)1 ,求矩阵X ,使得A(E + X) = E；3;/解：X =A~[-E⑵码=—2鼻% 1(A£) =(11所以 X =A^]-E5 2 -1 ~2 '3 2 :-1-1-1 7~2 0 1 2)_n ~2_丄~2>< 1、（0）r 、已知向量组© =-1= 3 s =,&4 =-i/丿<0>0 ~2a0 31、<1 0 3 1 ) 解：3 0 -1 T0 3 3 0<42 14 0丿<0 2 2 一4丿‘1 0 3 1、 t 01 1 0 ()00 —2,\7所以，（1）向量纟R 的秩为3（2） a ly a 2,a 4 （或）为其一个最大无关组 3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 11 0 111解：对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式所以，A 10=(A 2)5=210E(1 -1 -1]7 > 已知A= 2 —1 -3曰44丿3 3 2 2 D = 1 00 11 0110 2 -2 00 3 0 -30 1 113 0 1 12 =-3 1 -2 0 0 -3 =-181 16、 -1 -1-1 -1 -1-1 1 -1 -1 1< 1 -1—1 1已知A =求屮;<1-1 解：A 2=-1 1 _1-1<-1-1-1 _1)-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1-1-1 1丿 —-1-1 -1 1 -1—1、-1 -10、 0 =4E求川;< 1 -1 -1 1 0 0><1 -1 -1 1 0 ()) 解:(A,E) =2 -1 -3 0 1 00 1 -1 -2 1 0<-344 0 0 1丿<0 113 00 1i_ 丄2 2 j_ 1 ~2 Lp 0所以丄11 2(5 _1丁<1><08、已知向量组e = 1 ,&2 =-1 S =3 ,也= -1 ,丄<1；.-1 \ 7(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示;仃 1 1 1、< 1 0 2 0>继续初等行变换得1-13-1—>0 1-1()J 1 1 T 丿J) 00 1丿由此，= 2a x - a 22 01 2 0 1 0 09、计算行列式D =•0 0 A 1<1 1 1 1、q1 1 1 ) 解： 1 -13 -10 -2 2 -2J 11 -1<0 0 0 -2/所以，向量组的秩为3a^a 2.a 4为其一个最大无关组2、 11 0 0 2解：利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式(a + 6 b + 4、解：AB =— 3 b _ 2丿(a + b 2a-b\ BA =54比较，得a-3 = 5./?-2 = 4,所以Q=&b = 611、已知A -1]1 , FL满足+ AX — E = O , (1)求A 1；-I求矩解：(1) (A,E) =<1 0 <0 -1-1—2、所以，A-1r l<0‘0T丿-2-roo>2 10 A D =0 01 0 0 0 01 0 _ 0A 1 - 00 A 110 -才2 1 00 2 10 0 210 -才2 1 0 =A4-1 0 2 1(\ 1()、已知矩阵4 =11 b\可交换，即AB = BA f求Q, b 2丿p -1 1 -1] 12、已知矩阵A = 12 3 1、3 3 7 1 丿<1 一1 1 -1、<1 -1 1 -1]解：A：二 1 2 3 1 T 0 3 2 23 7 1 <0 64 4丿7 \7<1 —--1 1 -1、T 0 3 2 2<o 0 0 0丿(1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个授大无关组;所以，A的秩为2A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组10 0-10 2 0 013、已知/)=0 0 3 -112 3 4求其第4行元素的代数余子式之和, 即求A4I + A42 + A43 + A44；1 0 02 解：A41 + A42 + A43 + = 0 -1 0 0 3 -1 1 11 11 0 按第2行展开= 20 31 1 -1 -1 1<0 1 014、已知A = -1 0 1<0 -1 0 求A?, A’ +24 ；=14了0 1 0、厂0 1 0、<-l 0 解：A2 =-1 0 1 -1 0 1 =0 -2 0 <o -1 0> -1 0丿<1 0 -b15、已知A -1 (3 (1)求A 的秩；(2)求A 的列向量组的一个最大无关组; <1 -1 3 -2、 <1 -1 3 -2、1 -32 -6 0 -2 -1 -4解：A = 1 5 -I 10 0 6 -4 12<3 1 4 2丿<0 4 -5 8丿 ’ 0 1 ()、(-1 0 1 、 ‘0-2 0、川= -1 0 10-2 0 = 2 0-2<0 -1 」 o i 丿<0 2 0 , -2A 所以 A 3+2A = O O'所以,A"1 12><1—2、已知矩阵4=10 解:(A,E)=-1-1-1-1-212>‘1-1 3 0-2 -1 T 00 1 、0 0 0 所以，（1） A 的秩为3 （2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组 -2、 -4 0。

线性代数考试复习提纲、知识点、例题PDF.pdf

求向量组的秩的方法：
（1）扩充法
（2）子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关，（2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，

线性代数总复习带例题

由(1)矩2R阵(A的)掌≤秩m握的in矩定{m阵义,可的n}知秩：的概念并求矩阵的秩
(2) 若矩阵A有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r (3) 若矩阵A有一个r+1阶子式不为零，则R(A)≤r
• 3规定掌零握矩阵线的性秩方为程零组。的判定方法
• 对n阶方阵 A (aij ) ，若 aij 0，则R(A)=n，称A为满秩矩阵；若 aij 0，则R(A)<n，称A为降秩矩阵。
把方程组1化成
容易求解的同
会用高斯消元法解线它简性元称方都最为简程零形组的。梯矩阵，称为最简梯矩阵，
解方程组，
即得到能直接
求出解或者能
够直接判2断其掌握矩阵的秩的概念并求矩阵的秩
无解的同解方
程组
矩阵的初等变换
3 掌握线性方程组的判定方法
ri rj ci c j ，kri kci
L
a0 xn a1xn1 L an
本课程的内容
1
行列式
2
线性方程组
3
矩阵
4
向量空间
5
相似矩阵
6
二次型
线性方程组
本章的知识点 1.满足下列两个条件的矩阵称梯矩阵。（1）若有零行则零行位于非零行下方；
（2）每个首非零元前面零的个数逐行增
基本思想是通
加。
过消元变形，
2.首非零元为1，且首非零元所在列的其
2 掌握行列式按行(列)展开定理
n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn 0, i j;
a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0,

14-15(2)线性代数总复习(内容提要、试题及讲解)

反对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为反对称矩阵.
幂等矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 A, 则称A为幂等矩阵.
首页
上页
返回
下页
结束
对合矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 E , 则称A为对合矩阵.
正交矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A A AT E , 则称A为正交矩阵.
首页
上页
返回
下页
结束
２逆序数
在一个排列 i1i2 it i s in 中，若数 it i s ，则称这两个数组成一个逆序．
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．
首页
上页
返回
下页
结束
３计算排列逆序数的方法
(5) ( A )
T 1
(6) ( A )
1
1 (A ) A. | A|
1
上页返回下页结束
首页
（3）分块对角阵的性质设 Ai(i1,…,s)都是方阵, A diag( A1,, As ).
(1) | A | | A1 | | As |;
(2) An diag( A1 , As );
p1 p2 pn

( p1 p2 pn )
a p11a p2 2 a pn n
1
首页
( p1 p2 pn ) ( q1q 2qn )
返回
a p1q1 a p2q2 a pn qn
结束
上页
下页
（2）行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变. • 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | | A | | B | .