北京交通大学海滨学院线性代数复习

线性代数复习重点

（一）行列式

行列式的定义，运用行列式的性质计算行列式，行列式按照某一行（或列）展开.

（二）矩阵及其运算

矩阵的定义及矩阵的运算，矩阵可逆的判定及求逆矩阵的伴随矩阵法.

（三）矩阵的初等变换及线性方程组

利用初等变换求矩阵的逆、矩阵的秩、解线性方程组，用矩阵秩的理论研究线性方程组的解.

（四）向量组的线性相关性

向量（或向量组）能有向量组线性表示的概念及判定，线性相关与线性无关的概念及判定，最大无关组与秩的概念，基础解系及线性方程组的通解的求法.

（五）二次型

矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，，二次型的概念及其矩阵表示，配方法化二次型为标准形的方法.

（1）写出四阶行列式11121314

21222324

31323334

41424344

a a a a a a a a a a a a a a a a 中含有1234a a 的项. （2）计算行列式1

11111a a a

（3）计算行列式6

14230

215

1

032121----（4）设4

41117653

3224321=D ，ij A 表示A 的代数余子式，求4142A A +和4443A A +

（5）计算2123101

040011

10120011-⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭

⎝⎭

（6）已知113-2

01210-1

3

-2111A B ⎛⎫

⎛⎫ ⎪==

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎝⎭

，, 验证()T T T

AB B A =. （7）已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=110021211A ，求,3,3A A 并找出A 3与A 的等式关

系.

（8）已知AB B A =+，其中⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=200012031B 求A

（9）已知4阶行列式6||=A ，求1*

11|()|,||6

6

T A A -的值.

（11）判断矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛---=111103231A 是否可逆，若可逆求出其逆矩阵.

（12）求矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=33

2102112111112

10111A 的秩，并求其一个最高阶非零子式.

（13）求可逆矩阵P , 使得112121111030P ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

为行最简形矩阵. （14）判断线性方程组123412341234124235223431321x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+-+=⎪⎨

+--=-⎪⎪+-

=-⎩是否有解，若有

解求其通解, 并求其对应的齐次线性方程组的基础解系.

（15）判断线性方程组12345123451

234512233

2222

+-+-=⎧⎪

--++=⎨⎪--++=⎩x x x x x x x x x x x x x x x 是否有解，

若有解求其通解, 并求其对应的齐次线性方程组的基础解系. （16）叙述向量组的最大无关组的定义，并求向量组

1234(2,1,31),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)=-=-=-=-T T T T a a a a

的秩，并求出其一个最大无关组，将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.

（17）判断向量组A :1232131,1,2213⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

a a a 和向量组

B :12111,011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

b b 是否等价.

（18）叙述向量组线性相关和线性无关的定义，并判断向量组

123(1,2,3),(1,1,2),(1,2,5)T T T a a a =-=-=--的线性相关性.

（19）求矩阵212533102A -⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

的特征值及对应的特征向量.

（20）将二次型222

123232334x x x x x +++化成标准形.