幂函数及函数应用(讲义)

幂函数及函数应用（讲义）

➢ 知识点睛

一、幂函数

1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

2. 函数图象及图象性质

（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3

，12

y x =，1y x -=的图象：

（2）图象性质

（3）幂函数图象的画法

第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．

①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如

1

2

y x =；

③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．

① 当m

n

α=

（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m

n

α=-

（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

3. 幂函数指数变化与图象分布规律

函数y x α=在第一象限的图象：

①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a

二、函数的零点

1. 对于函数()y f x =，我们把_____________________叫做函数()y f x =的零

点．

2. 方程()0f x =有实数根

⇔_________________________________ ⇔_________________________________

1. 下列函数是幂函数的是（ ）

A ．y =(x +2)2

B ．y =

C ．12

y x -

=

D ．y =3x

2. 若函数2

223()(1)m m f x m m x --=-+是幂函数，且()()f x f x -=，则实数m 的值

为（ ）

A ．0或1

B ．1

C ．0

D ．

12

± 3. 函数y x α=（x ≥1）的图象如图所示，则α满足的条件是（ ）

A ．α<-1

B ．-1<α<0

x

【参考答案】

➢ 知识点睛 二、函数的零点 1. 使()0f x =的实数x

2. 函数()y f x =的图象与x 轴有交点

函数()y f x =有零点 3. ()()0f a f b <⋅，()a b ，，存在()c a b ∈，，()0f c = ➢ 精讲精练 1. C 2. B 3. C 4. A 5. C

6.

（1）[0)+∞R ，

， （2）(0)(0)(0)(0)-∞+∞-∞+∞，

，，，， （3）(0)(2)-∞+∞，

， 7. （1）1

()2

-+∞，；（2）-1，1，3，5

8.C

9.D

10.（1）>；（2）<；（3）>；（4）>

11.B

12.A

13.B

14.B

15.B

16.C