济南大学2016～2017年高数上试卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科）数学试题一、单选题（本大题共10小题，每小题____分，共____分。
）1.设集合，则=（）A. B. C. D.2.若复数，其中i为虚数单位，则=（）A. 1+IB. 1−IC. −1+ID. −1−i3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.若变量x，y满足则的最大值是（）A. 4B. 9C. 10D. 125.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离8.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（）A. B. C. D.9.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)= （）A. -2B. -1C. 0D. 210.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x3二、填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
）11.执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．12.观察下列等式：；；；；……照此规律，_________．13.已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．14.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．15.已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
【山东省济南】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题
山东省济南市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷答 案1~5．CDDAB 6~10．ADCAB 11．1- 12．43 13．5 14．2 15．(],1∞-16．解：（1）∵2sin cos A a B =，sin sin A Ba b=，b =∴2sin B B ，即tan B =∴sin B =∵2c =，∴csin 2sin 3B C b ==． （2）由（1）得2cos 3B =，∴2242523343a c ac ac ac ac =+≥-=-，即有152ac ≤，可得：ABC △面积的最大值为：11522⨯=． 17．证明：（1）在梯形ABCD 中，∵AD DC CB a ===，60ABC ︒∠=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ︒∠=∠=，120DCB ∠= ∴90ACB ∠=，∴AC BC ⊥又∵平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ， ∴BC ⊥平面ACFE ．解：（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ， 过C 作CG FO ⊥，G 为垂足，连结BG ，由（1）得BC ⊥平面ACEF ，则BGC ∠为所求二面角的平面角，在Rt ABC △中，BC a =，60ABC ︒∠=，则2AB a =，AC =，∵//AB DC ，CD a =，∴12CD CO AB AO ==，则2AO CO =， ∵AE CF a ==，∴FO =，则2CF CO a CG FO ==， ∴tan 2BC BGC CG∠==，∴sin BGC ∠=．∴平面BDF 与平面ACFE ．18．解：（1）∵12n +，n S ，a 成等差数列()*n ∈N ．∴122n n S a +=+， 当1n =时，124a a =+，当2n ≥时，112n n n n a S S -==-﹣． ∵数列{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，解得2a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）得()()()()211log 2121n n n n b a a a n n +=-=+-，∴()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11122111111233521n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21nn +． 19．解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．()124236115C C P Cξ===；()214236325C C P C ξ===；()304236135C C P C ξ===； 考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…()1027P η==；()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3283327P η⎛⎫===⎪⎝⎭． 考生乙正确完成题数η的分布列为：16120123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．… （Ⅱ）因为()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-=，23D npq η==．所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大． 20．解：（1）()()11,0ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞递减，0a >时，由()0f x '>，得：1x a>，由()0f x '<得10x a <<，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（2）∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈， 使得()()120f x g x +=， ∴对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()21g x f x =-， 设()()h x f x =-在()1,2上的值域是A ， 函数()g x 在()1,2上的值域是B ，则A B ⊆， 当()1,2x ∈时，()10xh x x-'=<， 即函数()h x 在()1,2上递减， ∴()()ln 22,1h x ∈--，()()()211g x bx b b x x '==+--，①当0b <时，()g x 在()1,2是减函数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵A B ⊆，又2013b -≥>-，∴2ln 223b ≤-， 即3ln 232b ≤-，②当0b >时，()g x 在()1,2上是指数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵A B ⊆，∴2ln 223b -≤-，∴()33ln 223ln 222b ≥--=-，综上可得b 的范围是33,ln 33ln 2,22⎛⎤⎡⎫∞---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭-． 21．解：（1）设1PF m =，2PF n =． ∵212PF F F ⊥，1232a PF PF -=， ∴2224m n c =+，32am n -=，2m n a +=，225a c =+，解得：220a =，215c =．∴椭圆G 的方程为221205x y +=．（2）（i ）把4x =代入椭圆方程可得：221165x y +=，解得1y =±，则()4,1C ．设直线l 的方程为：y x m =+，1CM k k =，2CN k k =，()11,M x y ，()22,N x y ．联立221205y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22584200x mx m -++=，()2264204200m m ∆=-->，解得55m -<<．1285m x x +=-，2124205m x x -=．()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子()()()()()()()1221121214142581x m x x m x x x m x x m =+-++-=++-+---=()()242082581055m m m m -⎛⎫⨯+-⨯-+-= ⎪⎝⎭． ∴120k k +=，∴直线CM 与CN 关于直线4x =对称．（ii ）2BF M △与2N BF △的面积的比值为2，可得：∴122F M F M =，即122y y =﹣，①，当直线l 为x轴时，不和题意，舍去． 当直线l 的斜率存在时，设方程为x k=()22450k y --+=，∴12y y +=，②12254y k y -=+，③由①②③联立解得2423k =，即k =∴存在直线l的方程为：0x y ±=，使得2BF M △与2N BF △的面积的比值为2．山东省济南市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜﹣1，即A=（﹣4，﹣1），∵B=（﹣∞，﹣2），∴∁R B=[﹣2，+∞），则A∩（∁R B）=[﹣2，﹣1），故选：C．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的实部为0．故选：D．3．【考点】系统抽样方法．【分析】求出系统抽样间隔，即可得出结论．【解答】解：从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样，间隔相同，故选D．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此可求出f（﹣1），可得结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，∴f（1）=21+a﹣1，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣21+a+1=，∴a=﹣3．故选：A．5．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=+=．故选B．6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为y=2sin（2x﹣+φ），又∵所得图象经过点（，﹣），即：﹣=2sin（﹣+φ），可得：sin（﹣+φ）=﹣，∴解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故选：A．7．【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得￢p．再由绝对值三角不等式，可得答案．【解答】解：∵命题p：∃x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|≥6，∴￢p为：∀x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|＜6，故A，B，C全错误；根据|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）+（﹣x﹣2）|=3，故￢p为真命题，故D正确；故选：D8．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．9．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B到直线AF的距离为BC=，求出cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出结论．【解答】解：设B到直线AF的距离为BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=，∴cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，∴p=1，∴此抛物线的方程为y2=2x．故选A．10．【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=e|x|，∴f（x﹣2）=e|x﹣2|，在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：由图可得：当x=1时，f（x﹣2）=g（x）=e，当x=4时，f（x﹣2）=e2＜g（x）=4e，当x＞4时，由f（x﹣2）=e x﹣2≤g（x）=4e5﹣x得：e2x﹣7≤4，解得：x≤ln2+，对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m∈（1， +ln2]，故选：B11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量=（3，m），=（1，﹣2），若•=2，则3﹣2m=5，∴m=﹣1，故答案为：﹣1．12．【考点】二项式系数的性质．【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k 即可得出．【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．13．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，S=1时，n=1；S=2时，n=2；S=时，n=4；S=＞10，n=5；终止循环，输出n=5．故答案为：5．14．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l的方程为y=（x﹣a），利用圆F被直线l所截得的弦长为c，可得圆心F到直线l的距离为=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设直线l的方程为y=（x﹣a），即ax﹣by﹣=0．∵圆F被直线l所截得的弦长为c，∴圆心F到直线l的距离为=，∴=，∴（c﹣a）（c﹣2a）=0，∴c =2a ，∴e =2， 故答案为2．15．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令f ′（x ）≥0在[1，e ]上恒成立，对b 进行讨论得出b 的范围． 【解答】解：f ′（x ）=lnx +=lnx ﹣+1，∵f （x ）在[1，e ]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[1，e ]上恒成立， 若b ≤0，显然f ′（x ）＞0恒成立，符合题意， 若b ＞0，则f ′′（x ）=+＞0，∴f ′（x ）=lnx ﹣+1在[1，e ]上是增函数，∴f ′（x ）≥f ′（1）≥0，即﹣b +1≥0，解得0＜b ≤1， 综上，b 的范围是（﹣∞，1]． 故答案为（﹣∞，1]． 16．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求2sinB =cosB ，利用同角三角函数基本关系式可求tanB ，进而可求sinB ，由正弦定理即可求得sinC 的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosB ，利用余弦定理，基本不等式可求ac ≤，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵2sin cos A a B =，sin sin A Ba b=，b =∴2sin B B ，即tan B =∴sin B =∵2c =，∴csin 2sin 3B C b ==． （2）由（1）得2cos 3B =，∴2242523343a c ac ac ac ac =+≥-=-，即有152ac ≤，可得：ABC △面积的最大值为：11522⨯=．17．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ACFE ．（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ，过C 作CG ⊥FO ，G 为垂足，连结BG ，则∠BGC 为所求二面角的平面角，则平面BDF 与平面ACFE 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在梯形ABCD 中，∵AD DC CB a ===，60ABC ︒∠=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ︒∠=∠=，120DCB ∠=∴90ACB ∠=，∴AC BC ⊥又∵平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴BC ⊥平面ACFE ．解：（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ，过C 作CG FO ⊥，G 为垂足，连结BG ，由（1）得BC ⊥平面ACEF ，则BGC ∠为所求二面角的平面角，在Rt ABC △中，BC a =，60ABC ︒∠=，则2AB a =，AC =，∵//AB DC ，CD a =，∴12CD CO AB AO ==，则2AO CO =， ∵AE CF a ==，∴FO =，则2CF CO a CG FO ∙==，∴tan 2BC BGC CG ∠==，∴sin BGC ∠=．∴平面BDF 与平面ACFE ．18．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得b n =（1﹣an ）log 2（a n a n +1）=（2n +1）（2n ﹣1），可得==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵12n +，n S ，a 成等差数列()*n ∈N ．∴122n n S a +=+， 当1n =时，124a a =+，当2n ≥时，112n n n n a S S -==-﹣．∵数列{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，解得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）得()()()()211log 2121n n n n b a a a n n +=-=+-， ∴()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11122111111233521n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ =21n n +． 19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．…()124236115C C P C ξ===；()214236325C C P C ξ===；()304236135C C P C ξ===； … 考生甲正确完成题数ξ的分布列为1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．… 设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…()1027P η==；()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫==∙∙= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫==∙∙= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3283327P η⎛⎫=== ⎪⎝⎭．… 考生乙正确完成题数η的分布列为：0123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．…（Ⅱ）因为()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-=， (23)D npq η==．… 所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…20．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设h （x ）=﹣f （x ）在（1，2）上的值域是A ，函数g （x ）在（1，2）上的值域是B ，则A ⊆B ，根据函数的单调性分别求出集合A 、B ，从而求出b 的范围即可．【解答】解：（1）()()11,0ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞递减，0a >时，由()0f x '>，得：1x a>，由()0f x '<得10x a <<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； （2）∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()120f x g x +=，∴对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()21g x f x =-，设()()h x f x =-在()1,2上的值域是A ，函数()g x 在()1,2上的值域是B ，则A B ⊆，当()1,2x ∈时，()10x h x x-'=<， 即函数()h x 在()1,2上递减，∴()()ln 22,1h x ∈--，()()()211g x bx b b x x '==+--，① 当0b <时，()g x 在()1,2是减函数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵A B ⊆，又2013b -≥>-， ∴2ln 223b ≤-， 即3ln 232b ≤-， ② 当0b >时，()g x 在()1,2上是指数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵A B ⊆， ∴2ln 223b -≤-， ∴()33ln 223ln 222b ≥--=-， 综上可得b 的范围是33,ln 33ln 2,22⎛⎤⎡⎫∞---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭-． 21．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．由PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|﹣|PF 2|=，可得m 2=n 2+4c 2，m ﹣n =，m +n =2a ，又a 2=5+c 2，解出即可得出．（2）（i ）把x =4代入椭圆方程可得： =1，解得y ，可得C （4，1）．设直线l 的方程为：y =x +m ，k CM =k 1，k CN =k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x 2+8mx +4m 2﹣20=0，△＞0，k 1+k 2=+=，把根与系数的关系代入分子=0．即可证明．（ii ）△BF 2M 与△BF 2N 的面积的比值为2，可得：|F 1M |=2|F 2M |，即y 1=﹣2y 2，①，当直线l 为x 轴时，不和题意，舍去．当直线l 的斜率存在时，设方程为x =k +，代入椭圆方程化为：（k 2=4）y 2+2ky ﹣5=0，可得y 1+y 2=，②y 1•y 2=，③由①②③联立解出即可得出．【解答】解：（1）设1PF m =，2PF n =． ∵212PF F F ⊥，1232a PF PF -=，∴2224m n c =+，32a m n -=，2m n a +=，225a c =+， 解得：220a =，215c =． ∴椭圆G 的方程为221205x y +=． （2）（i ）把4x =代入椭圆方程可得：221165x y +=，解得1y =±，则()4,1C ． 设直线l 的方程为：y x m =+，1CM k k =，2CN k k =，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立221205y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22584-200x mx m ++=，()2264204200m m ∆=-->，解得55m -<<． 1285m x x +=-，2124205m x x ∙-=． ()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子()()()()()()()1221121214142?581x m x x m x x x m x x m =+-++-+-+-+-=- =()()242082581055m m m m -⎛⎫⨯+-⨯-+-= ⎪⎝⎭． ∴120k k +=，∴直线CM 与CN 关于直线4x =对称．（ii ）2BF M △与2N BF △的面积的比值为2，可得： ∴122F M F M =，即122y y =﹣，①，当直线l 为x 轴时，不和题意，舍去． 当直线l的斜率存在时，设方程为x k =()22450k y --+=，∴12y y +=，②12254y k y -=+∙，③由①②③联立解得2423k =，即k = ∴存在直线l的方程为：0x y ±=，使得2BF M △与2N BF △的面积的比值为2． 天津市南开区2016-2017学年高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案1~5．ABADC6~8．BAC9．2710．72911．()1,20,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭--12． 13．4314．231,⎤⎥⎦15．解：（Ⅰ） ()π2cos sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2cos sin cos cos sin 33x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin22x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…5分 2ππ2T ∴==，…6分 ∴令π2π3x k +=，k ∈Z ，解得：ππ26k x =-，k ∈Z ，即函数的对称中心为：ππ,026k ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，k ∈Z …7分 （Ⅱ）ππ,3x ⎡⎥∈⎤⎢⎣⎦， ()f x ∴在区间7π12π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间7π12,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， πsin π03f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π3πsin 1122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()ππsin 3f ==，∴函数()f x 在区间π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1,⎡-⎢⎣⎦…13分16．解：（1）πtan 24C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1tan 21tan C C -∴=+（2分）tan C ∴在ABC △中，0πC <<π3C ∴= （2）2222cos c a b ab C =-+ ()22273253a b ab a b ab ab ∴=+=+=---（8分）6ab ∴=1sin 2ABC S ab C ∴==△12分） 17．解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC △≌△，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO △≌△， AC BD ∴⊥．而PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥面PAC ， 又BD ⊂面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0D，)0C，设()0,0,P λ，所以1,63G λ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2PB λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由AG PB ⊥得， 311,,0632AG PB λλ⎛⎫⎫∙=∙--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得212λ=，所以λ=． P ∴点坐标为0,0,2⎛ ⎝⎭， 面PBD的一个法向量为(63,1,m AG ==， 设面PCD 的一个法向量为()(),,,3,0,0,0,1,2n x y zCD PD ⎛==-=- ⎝⎭ 00n PD n CD ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩即00z-==⎪⎩，(0,1,2n ∴=，0,1,cos ,n mn m n m ∙∙===， 所以二面角B PD C --18．（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意，112b =，2112d b +=，31212d b +=， 123164b b b =， 112611112222d d ++∴∙∙=， ()()11126d d ∴++++=，解得：1d =，()11n a n n ∴=+-=；（Ⅱ）证明：n a n =，12n nb ∴=， 12n n na b n =∙， 记11222311111232232n n n n T a b a b a b n =++⋯+=∙+∙+∙++∙， 则()2311111112122222n n n T n n +∙=∙+∙++-∙+∙， 两式相减得：231111*********n n n T n +∙=++++-∙ 11111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∙- 111122n n n +=--∙， 111112122222n n n n n n T n +-⎛⎫∴=--∙=-- ⎪⎝⎭，112222n nn ---<， 11222n n a b a b a b ∴++⋯<+． 19．解：（1）椭圆()222210x ya b a b +=>>椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，e 224c a a ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩，解得2a =，b∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）过圆222x y t +=上一点(2,M 处切线方程为260x -=， 令()111,Q x y ，()222,Q x y ， 则22226022x x y b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -= ()212121218426185b y y x x x x -=++=-， 由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=， 解得29b =，即3b =±，310b > 3b ∴=．20．解：（Ⅰ）由()e x f x ax =-得()e x f x a '=-．又()011f a '=-=-，2a ∴=，()e 2x f x x ∴=-，()e 2x f x '=-．由()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当ln 2x =时，()f x 有极小值为()ln 2ln 22ln 22ln 4f e -==-． ()f x 无极大值．（Ⅱ）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（1）得，()()()ln 2ln 22ln 22ln 40g x f x f e -'=≥==->，即()0g x '>，∴当0x >时，()()00g x g >>，即2e <x x ；（ III ）对任意给定的正数c ，取00x =>，由（ II ）知，当0x >时，2e x x >， 2222e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=∙>∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x x >时，2222224e e e 222x x x x x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙>∙>∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，恒有2e x x c <．天津市南开区2016-2017学年高三（上）期末数学试卷（理科）解析1.【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ =，∴复数的虚部是1．故选：B．3.【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，∴命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q均为真命题．故选：A．4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．故选D．5.【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．6.【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B7.【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．【解答】解：∵y=f（x）=x2，∴f'（x）=2x，即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，∴切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，y=2tx﹣t2，作出对应的图象，则曲线围成的面积S====，∵0＜t＜1，∴当t=时，面积取的最小值为．故选：A．8.【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【解答】解：函数f（x）=，f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，如图：可知两个函数的图象由三个交点，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．故选：C．9.【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．10.【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S =9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S =9×9×9的值．∵S =9×9×9=729故答案为：72911.【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设x ＜0，则﹣x ＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x ＜0时的解析式，再对x 分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x ＜0，则﹣x ＞0，∵当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=log 2x ，∴f （﹣x ）=log 2（﹣x ），∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ），①当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＜﹣1，即log 2x ＜﹣1=，解得0＜x ＜，②当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜﹣1，即﹣log 2（﹣x ）＜﹣1，则log 2（﹣x ）＞1=log 22，解得x ＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：()1,20,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭--． 12.【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C 的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k =，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．【解答】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣6x +8=0的圆心为（3，0），半径r =1∴当直线y =kx 与圆C 相切时，点C （3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：13.【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=， =，则=+， =+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．【解答】解：设=， =，则=+， =+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案为：43．14.【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当a﹣b=1时的最值，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a+b=1时， +b才有可能取到最大值，即+1﹣a ≤+1﹣=，当a ﹣b =1时，+b 才有可能取到最小值， 即+a ﹣1≥2﹣1=﹣1， （当且仅当=a ，即a =时，等号成立）， 结合图象可知，+b 的取值范围是2231,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 15.【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）=sin （2x +），利用三角函数周期公式可求T ，令2x +=k π，k ∈Z ，解得函数的对称中心． （Ⅱ）由范围x ∈[，π]，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ） ()π2cos sin 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππ2cos sin cos cos sin 33x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin22x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…5分 2ππ2T ∴==，…6分 ∴令π2π3x k +=，k ∈Z ，解得：ππ26k x =-，k ∈Z ，即函数的对称中心为：ππ,026k ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，k ∈Z …7分 （Ⅱ）ππ,3x ⎡⎥∈⎤⎢⎣⎦， ()f x ∴在区间7π12π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间7π12,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，πsin π03f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π3πsin 1122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()ππsin 3f ==，∴函数()f x 在区间π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1,2⎡-⎢⎣⎦…13分 16.【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC 的值，即可求出∠C ；（2）先利用c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，求出ab ，然后根据△ABC 的面积公式absinC ，求出面积．【解答】解：（1）πtan 24C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1tan 21tan C C -∴=+（2分）tan C ∴在ABC △中，0πC <<π3C ∴= （2）2222cos c a b ab C =-+ ()22273253a b ab a b ab ab ∴=+=+=---（8分）6ab ∴=1sin 2ABC S ab C ∴==△12分） 17.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】第（1）问，要证平面PBD ⊥平面PAC ，只需证平面PBD 经过平面PAC 的一条垂线，观察可看出应选直线BD 作为平面PAC 的垂线，由PA 垂直于底面可得PA 垂直于BD ，再根据底面ABCD 中已知条件借助三角形全等可证AC 垂直AC ，则第一问可证；第（2）问，先确定P 点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P 点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC △≌△，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO △≌△，AC BD ∴⊥．而PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥面PAC ，又BD ⊂面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0D ，)0C ，设()0,0,P λ，所以1,63G λ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2PB λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由AG PB ⊥得，311,,0632AG PBλλ⎛⎫⎫∙=∙--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得212λ=，所以2λ=． P ∴点坐标为0,0,⎛ ⎝⎭， 面PBD的一个法向量为(63,1,m AG ==， 设面PCD 的一个法向量为()(),,,3,0,0,0,1,n x y z CDPD ⎛==-= ⎝⎭ 00n PD n CD ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩即00z -==⎪⎩，(0,1,2n ∴=，0,1,cos ,n mn m n m ∙∙===， 所以二面角B PD C --18.【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【分析】（I ）通过b 1=、b 2=、b 3=，利用b 1b 2b 3=计算即得结论； （Ⅱ）通过a n =n 可知a n b n =n •，利用错位相减法计算即得结论． 【解答】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，112b =，2112d b +=，31212d b +=， 123164b b b =，112611112222d d ++∴∙∙=， ()()11126d d ∴++++=，解得：1d =，()11n a n n ∴=+-=；（Ⅱ）证明：n a n =，12n nb ∴=， 12n n na b n =∙， 记11222311111232232n n n n T a b a b a b n =++⋯+=∙+∙+∙++∙， 则()2311111112122222n n n T n n +∙=∙+∙++-∙+∙， 两式相减得：231111*********n n n T n +∙=++++-∙ 11111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∙- 111122n n n +=--∙， 111112122222n n n n n n T n +-⎛⎫∴=--∙=-- ⎪⎝⎭， 112222n nn ---<， 11222n n a b a b a b ∴++⋯<+． 19.【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程． （2）过圆x 2+y 2=t 2上一点M （2，）处切线方程为，令Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），则，化为5x 2﹣24x +36﹣2b 2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）椭圆()222210x y a b a b +=>> 椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，e 224c a a ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩，解得2a =，b∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）过圆222x y t +=上一点(2,M处切线方程为260x +-=，令()111,Q x y ，()222,Q x y ，则22226022x x y b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -= ()212121218426185b y y x x x x -=++=-， 由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=， 解得29b =，即3b =±，310b > 3b ∴=．20【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a ，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g （x ）=e x ﹣x 2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g （x ）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x 0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）由()e x f x ax =-得()e x f x a '=-．又()011f a '=-=-，2a ∴=，()e 2x f x x ∴=-，()e 2x f x '=-．由()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；31 / 31当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当ln 2x =时，()f x 有极小值为()ln 2ln 22ln 22ln 4f e -==-． ()f x 无极大值．（Ⅱ）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（1）得，()()()ln 2ln 22ln 22ln 40g x f x f e -'=≥==->，即()0g x '>，∴当0x >时，()()00g x g >>，即2e <x x ；（ III ）对任意给定的正数c，取00x =>，由（ II ）知，当0x >时，2e x x >， 2222e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=∙>∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x x >时，2222224e e e 222x x x x x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙>∙>∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，恒有2e x x c <．。
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 〔1〕【2016年山东，理1，5分】假设复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数为单位，则z =〔 〕〔A 〕12i + 〔B 〕12i - 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i -- 【答案】B【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-，所以1,2a b ==-，故选B ． 【点评】此题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 〔2〕【2016年山东，理2，5分】已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A B =〔 〕〔A 〕()1,1- 〔B 〕()0,1 〔C 〕()1,-+∞ 〔D 〕()0,+∞【答案】C【解析】由题意()0,A =+∞，()1,1B =-，所以()1,AB =-+∞，故选C ．【点评】此题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 〔3〕【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是〔 〕〔A 〕56 〔B 〕60 〔C 〕120 〔D 〕140 【答案】D【解析】由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ．【点评】此题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．〔4〕【2016年山东，理4，5分】假设变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是〔 〕〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕12 【答案】C【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 〔5〕【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为〔 〕〔A 〕1233+π 〔B 〕1233+π 〔C 〕1236+π 〔D 〕216+π【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26π，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236+π，故选C ．【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的〔 〕〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】此题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题． 〔7〕【2016年山东，理7，5分】函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔 〕〔A 〕2π〔B 〕π 〔C 〕32π 〔D 〕2π【答案】B【解析】由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，最小正周期是π，故选B ．【点评】此题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．〔8〕【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>= ，假设()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔 〕〔A 〕4 〔B 〕4- 〔C 〕94 〔D 〕94-【答案】B【解析】因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=，由()n tm n ⊥+，有()20n tm n tmn n +=+=，即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4t =-，故选B ．【点评】此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 〔9〕【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =〔 〕〔A 〕2- 〔B 〕1- 〔C 〕0 〔D 〕2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．【点评】此题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 〔10〕【2016年山东，理10，5分】假设函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．以下函数具有T 性质的是〔 〕〔A 〕sin y x = 〔B 〕ln y x = 〔C 〕x y e = 〔D 〕3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】此题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分 〔11〕【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，假设输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为 ． 【答案】3【解析】i 1=时，执行循环体后1,8a b ==，a b >不成立；i 2=时，执行循环体后3,6a b ==，a b >不成立；i 3=时，执行循环体后6,3a b ==，a b >成立；所以i 3=，故填 3.【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．〔12〕【2016年山东，理12，5分】假设52ax ⎛+ ⎝的展开式中5x 的系数是80-，则实数a = ．【答案】2-【解析】由()2322235555C C 80ax a x x ==-，得2a =-，所以应填2-．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．〔13〕【2016年山东，理13，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为 ．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．〔14〕【2016年山东，理14，5分】在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 ．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为32，所以所求概率为33224=． 【点评】此题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．〔15〕【2016年山东，理15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，假设存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，． 【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m m m -<是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2016年山东，理16，12分】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，2sin sin sin C B C =+， 由正弦定理，得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab +≥的应用，不等式的性质．〔17〕【2016年山东，理17，12分】在如下图的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====，求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC ⊂平 面ABC ，MH ⊄平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH ⊂平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ，AB BC =OA OB ∴⊥，以为O 原点，分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====，22()3OO BF BO FO '=--=，于是有()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,23,0B ，()0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-， ()23,23,0CB =，于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-，又平面ABC 的 一个法向量为()20,0,1n =，设二面角F BC A --为θ， 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． 【点评】此题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．〔18〕【2016年山东，理18，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．【点评】此题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．〔19〕【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： 〔1〕“星队”至少猜对3个成语的概率；〔2〕“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==； 1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 【点评】此题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．〔20〕【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－)，当0a ≤时，x ∈(0,1)，()0f x '>，()f x单调递增， x +∞∈(1,)，()0f x '<，()f x 单调递减当0a >时，()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛-+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a <<1>，x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈，()0f x '>，()f x单调递增，x ⎛ ⎝∈，()0f x '<，、()f x 单调递减；②当a =２1=， x ∈+∞(0,)，()0f x '≥，()f x 单调递增， ③当a >２时，01<，x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,，()0f x '>，()f x 单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭1，()0f x '<， ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时，221()ln x f x x x x=+－－，2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－， 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-，[1,2]x ∈令()g ln x x x =-，2332h()x x x x=-++-11，[1,2]x ∈，于是()()g(()f x f x x h x '-=+）， 1g ()10x x x x-'=-=≥1，()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=，设()2326x x x θ=--+，[1,2]x ∈，因为()11θ=，()210θ=-，所以必有0[1,2]x ∈，使得()00x θ=，且01x x <<时，()0x θ>，()h x 单调递增；02x x <<时，()0x θ<，()h x 单调递减；又()11h =，()122h =，所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 【点评】此题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．〔21〕【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12SS 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：〔1，有224a b =，又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12b =，于是1a =，所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =得y x '=，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22m y mx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，()00,D x y ，将22m y mx =-代入2241x y +=，得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+，312022214x x m x m +==+， 又()220022214m m y mx m -=-=+，于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =，得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中，令0x =，得22m y =-，即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有 ()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+， 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-，当112t =时，即2t =时，12S S 取得最大值94．此时212m =，2m =，所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． 【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
济南大学大一上学期高等数学试题
济南大学大一上学期高等数学试题高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ；3、曲线45y x=-在（-1，-4）处的切线方程是； 4、已知3()f x dx x C =+?，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是；9、201x dx -?= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim x x x -→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +?2、2sec x xdx ?3、40?4、2201dx a x +四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>- （本题8分）2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是； 2、设函数sin 0()20x x f x x a x x ?3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是；4、已知2()f x dx x C =+?，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线x y xe =的拐点是；9、302x dx -?= ； 10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++r r r r r r r r ，且a b r r P ，则λ= ；12、311lim x x x -→= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()UA B =（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}【答案】A 【解析】试题分析：由已知，{13,5}{3,4,5}{1,3,4,5}A B ⋃=⋃=，，所以(){1,3,4,5}{2,6}U U C A B C ⋃==，选A.考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一. （2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=，选D. 考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以 22max ()10x y +=，选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）12+π36 （D ）21+π6 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但 “平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. （7）已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是22M 与圆N ：22(1)1x y （-1）的位置关系是（ ）（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是22222222211a ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()()2201212MN =-+-=123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )bc a b A ,则A =（ ）（A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6【答案】C 考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.(9) 已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2【答案】D 【解析】试题分析： 当12x >时，11()()22f x f x +=-，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(山东卷,解析版)
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）一、选择题1．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z= （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B ．【考点】注意共轭复数的概念．2．设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C ．【考点】本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] ．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】试题分析：自习时间不少于22．5小时为后三组，其频率和为7.05.2)04.008.016.0(=⨯++，故人数为1407.0200=⨯人，选D ．【考点】频率分布直方图4．若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A （0,-3）,B （0,2）,C （3,-1）为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC=,故选C ．【考点】线性规划求最值5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为311423V π=⨯⨯=⎝⎭,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C ．【考点】根据三视图求体积． 6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A ．【考点】直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断．7．函数f （x ）=）–sinx ）的最小正周期是 （A ）2π （B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B ． 【考点】三角函数化简求值，周期公式8．已知非零向量m ，n 满足4│m│=3│n│，cos<m ，n>=13．若n ⊥（tm+n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==> ，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm m n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B ．【考点】平面向量的数量积9．已知函数f （x ）的定义域为R ．当x<0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- ．则f （6）= （A ）−2 （B ）−1 （C ）0 （D ）2【答案】D【解析】试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D ．【考点】本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键．10．若函数y=f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（A ）y=sinx （B ）y=lnx （C ）y=e x （D ）y=x 3【答案】A【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A ．【考点】本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1．二、填空题 11．执行右边的程序框图，若输入的a,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．【答案】3【解析】试题分析：第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=． 【考点】循环结构抓住结束点是关键． 12．若（ax 2）3的展开式中x 3的系数是—80，则实数a=_______． 【答案】-2【解析】试题分析：因为5102552155()rr rrr rr T C ax C ax---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-【考点】二项展开式13．已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______． 【答案】2【解析】试题分析：易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以离心率为2． 【考点】把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ． 【答案】34【解析】试题分析：直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，d 3=<，解得33k 44-<<，而[1,]k ?，所以发生的概率33224=．【考点】直线与圆位置关系；几何概型概率15．已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________． 【答案】(3,)+∞【解析】试题分析：由题意画出函数图像为图时才符合，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根应24m m m -<解得m 3>，即(3,)+∞．【考点】能够准确画出函数的图像是解决本题的关键．三、解答题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cosC 的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+． 因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=． 从而sin sin =2sin A B C +． 由正弦定理得2a b c +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=,所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立． 故 cos C 的最小值为12． 【考点】两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式．17．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．（Ⅰ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （Ⅱ）已知EF=FB=12AC=．求二面角F BC A --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面平行找到平面ABC 内与GH 平行的直线即可； （Ⅱ）解法（1）建立空间直角坐标系求解；（2）找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解．试题解析：（Ⅰ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI , 在CEF ∆,因为G 是CE 的中点， 所以,GI F //E又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB ∆中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC 又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI 所以//GH 平面ABC ．（Ⅱ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得B，(C -，过点F 作FM OB ⊥于点M ，所以3,FM ==可得F故((0,BC BF =--=． 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量．由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面BCF的一个法向量(m =-因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==，所以二面角F BC A --．解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO ,又'OO ⊥平面ABC ，可得3,FM ==过点M 作MN BC ⊥于N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角． 又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以0sin 45MN BM ==从而FN =，可得cos FNM ∠= 所以二面角F BC A --． 【考点】空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 18．已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n ． 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T ．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 即等差数列的通项公式求解； （Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{{}n c }的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和．试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321， 即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ， 所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ， 以上两式两边相减得222143223]2)1(12)12(44[3]2)1(22222[3++++⋅-=+---+=+-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n n n n n n T。
《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。
A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。
A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。
A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。
A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。
A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。
2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。
3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。
4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。
5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。
三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。
(精校版)2016年山东文数高考试题文档版(word含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð= （A ）{2,6}（B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}（2）若复数21i z =-，其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+i（B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33 （B ）12+π33 （C ）12+π36 （D ）21+π6（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A= （A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x)= —f(x)；当x ＞12时，f(x+12)=f(x —12).则f(6)=（A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是学科&网（A ）sin y x= （B ）ln y x=（C ）e xy = （D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016-2017年山东省济南市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1}D．{﹣3，3} 2．（5分）命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（）A．若＞1，则lnx≤0B．若≤1，则lnx＞0C．若≤1，则lnx≤0D．若lnx＞0，则＞13．（5分）双曲线y2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±7x C．y=±x D．y=±x 4．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件6．（5分）双曲线﹣=1的焦距的最小值为（）A．B．2C．5D．107．（5分）抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8B．7C．6D．58．（5分）命题p：∃x∈R，2＜，命题q：若M为曲线y2=4x2上一点，A （，0），则|MA|的最小值为，那么下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧（￢q）B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）10．（5分）飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）kmB．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）kmD．（15﹣20sin18°sin78°）km二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）命题“∃x∈R，tanx≥0”的否定是．12．（5分）若x＞0，y＞0，+=，则x+4y的最小值为．13．（5分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有盏灯．14．（5分）设x，y满足不等式组，且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n（整点是指横坐标，纵坐标均为整数的点），则z=nx﹣3y﹣1的最大值为．15．（5分）直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=，sinB=，c＞4．（1）求b；（2）求△ABC的周长．17．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，3a7=a42，a2=2a1，在等差数列{b n}中，b3=a4，b15=a5（1）求证：S n=2a n﹣3（2）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．20．（13分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求直线MB与直线PA的斜率之积；（2）证明：•为定值．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣（x+）对称．且：△AOB面积为，求k的值．2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1}D．{﹣3，3}【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，∵M={﹣3，﹣2，﹣1}，∴M∩N={﹣1}，故选：A．2．（5分）命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（）A．若＞1，则lnx≤0B．若≤1，则lnx＞0C．若≤1，则lnx≤0D．若lnx＞0，则＞1【解答】解：命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为命题：“若≤1，则lnx ≤0”，故选：C．3．（5分）双曲线y2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±7x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线y2﹣=1，∴双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y2﹣=0，即y=±x．故选：C．4．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a6=6，且a2=1，得a2+2d+a2+4d=6，即2+6d=6，∴d=．故选：A．5．（5分）已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：∵R＞，∴＞=＞36π．∴“R＞”是“V＞36π”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）双曲线﹣=1的焦距的最小值为（）A．B．2C．5D．10【解答】解：由题意，2c=2，∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2，故选：B．7．（5分）抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．（5分）命题p：∃x∈R，2＜，命题q：若M为曲线y2=4x2上一点，A （，0），则|MA|的最小值为，那么下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧（￢q）B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【解答】解：命题p：∵2＞＞，∴命题p是假命题．命题q：曲线y2=4x2，化为y=±2x，∴|MA|的最小值==，因此命题q为真命题．∴下列命题为真命题的是D：（￢p）∧q，故选：D．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的动点P（x，y）到定点D（a，0）的斜率，由图象知当﹣1≤a≤0时，DP的斜率没有最大值，当a≤﹣2时，DB的斜率最大，不满足条件．当﹣2＜a＜﹣1时，DA的斜率最大，此时满足条件．故选：C．10．（5分）飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）kmB．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）kmD．（15﹣20sin18°sin78°）km【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km ）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）命题“∃x∈R，tanx≥0”的否定是∀x∈R，tanx＜0．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为：∀x∈R，tanx＜0，故答案为：∀x∈R，tanx＜012．（5分）若x＞0，y＞0，+=，则x+4y的最小值为64．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=，则x+4y=4（x+4y）=4（8+）≥4=64，当且仅当x=4y=32时取等号．故答案为：64．13．（5分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有195盏灯．【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．故答案为：195．14．（5分）设x，y满足不等式组，且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n（整点是指横坐标，纵坐标均为整数的点），则z=nx﹣3y﹣1的最大值为47．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知平面区域内整点个数为16个，即n=16，则z=16x﹣3y﹣1，即y=x﹣，平移直线y=x﹣，由图象知当直线y=x﹣经过点A（3，0）时，y=x﹣的截距最小，此时z最大，此时z=16×3﹣0﹣1=47，故答案为：4715．（5分）直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=，sinB=，c＞4．（1）求b；（2）求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵a=4，cosA=，sinB=，∴sinA==，∴由正弦定理可得：b===5．（2）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=25+c2﹣2×，整理可得：2c2﹣15c+18=0，解得：c=6或（由C＞4，舍去），∴△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15．17．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，3a7=a42，a2=2a1，在等差数列{b n}中，b3=a4，b15=a5（1）求证：S n=2a n﹣3（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】（1）证明：设等比数列{a n}的公比为q，∵3a7=a42，a2=2a1，∴=，q=2．解得a1=3．∴a n=3×2n﹣1，S n==3×2n﹣3．∴S n=2a n﹣3．（2）解：设等差数列{b n}的公差为d，b3=a4=3×23=24，b15=a5=3×24=48．∴48=24+12d，解得d=2．∴b n=24+2（n﹣3）=2n+18．==2．∴数列{}的前n项和T n=2+…+=2=．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值．【解答】解：（1）∵2sin2A+sin2B=sin2C，∴由正弦定理可得2a2+b2=c2，∵b=2a=4，∴c=2，∴cosC==﹣，∴sinC=，∴△ABC的面积S==；（2）2a2+b2=c2≥2ab，∴≥2，即的最小值为2，此时b=a，c=2a，=2．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，抛物线的准线方程为x=﹣1，d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，∴d+|MD|的最小值为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴直线l的斜率k==6，故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），即18x﹣3y﹣35=0．20．（13分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求直线MB与直线PA的斜率之积；（2）证明：•为定值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，∴由题意可得，解得a=2，b=c=，∴椭圆的方程为．∴A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1），则（x1，y1），=（﹣2，y0），直线BM的方程为y=﹣（x﹣2），即y=﹣x+，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（1+）x2﹣+﹣4=0，由韦达定理，得2x1=，∴，，∴k MB•k PA==﹣×=﹣=﹣．∴直线MB与直线PA的斜率之积为﹣．证明：（2）∵（x1，y1），=（﹣2，y0），，，∴•=﹣2x1+y0y1=﹣+==4．∴•为定值4．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣（x+）对称．且：△AOB面积为，求k的值．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，即2a=2，a=，由O到直线4x﹣3y+3=0距离d==，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为，则=2，即=2，解得：b=1，∴椭圆C的方程为：；（2）由题意可知：直线l：y=﹣（x+）对称，则设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=，根据题意：△=4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）=8（k2﹣m2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则x0==﹣，y0=kx0+m=，∵点P在直线y=﹣（x+）上，=﹣（﹣+），∴m=﹣，代入△＞0，可得3k4+4k2﹣4＞0，解得：k2＞，则k＜﹣或k＞，（2）直线AB与y轴交点横坐标为m，△AOB面积S=丨m丨•丨x1﹣x2丨=•丨m丨•=，则=，整理得：k2=1，解得：k=±1，k的值±1．。
山东大学《高等数学》2016-2017学年期末试卷
山东大学《高等数学上》2016－2017学年第一学期期末A 卷一、填空题 (每题6分，共30分)1．函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−≥+=010)(2πx x e x bx a x f bx ，=−→)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。
2．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x x 1lim ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。
3．曲线⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。
4．1=−+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。
5．若22lim 221=−+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。
二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．当0→x 时，1132−+ax 与x cos 1−是等价无穷小，则（ ）（A ）32=a ， （B ）3=a ， (C). 23=a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ）（A ）可导奇函数的导数一定是偶函数；（B ）可导偶函数的导数一定是奇函数；(C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；（D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3．设xx x x f πsin )(3−=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点；(C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点；4．设x x x x f 3)(+=，则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为（ ）。
（A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）45．若0)(sin lim30=+→x x xf x x ， 则20)(1lim xx f x +→为（ ）。
（A ）。
0 （B ）61， (C) 1 （D ）∞三．（10分）求xx x x x arctan tan 211lim 0⋅−−++→ 四．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=0,0,sin )()(x a x x x x g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，0)0(=g ，1)0(='g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。
山东省济南市2016届高三上学期期末考试数学(文)试卷
高三教学质量调研考试数学(文科)本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：锥体的体积公式：，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A. B. C. D.2.复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为A. B. C. D.4.已知向量，若垂直，则A. B.3 C. D.85.已知x、y满足约束条件则z=3x+2y的最大值A.6B.8C.10D.126.下列说法错误的是A.若，且，则至少有一个大于2B.“”的否定是“”C. 是的必要条件D. 中，A是最大角，则C是“为钝角三角形的充要条件”7.已知函数，的值为A. B. C. D.8.将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为A. B. C. D.9.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.10.已知函数是定义在R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数x，有，则A. B.C. D. 大小不确定第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.执行右图的程序框图，则输出的S=________.12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________.13.如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为________.14.已知M,N是圆与圆的公共点，则的面积为________.15.已知的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设，则的最小值是______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）根据我国发布的《环境空气质量指数（AQI）技术规定》：空气质量指数划分为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显.专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动.以下是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：（I）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；（II）一外地游客在12月来济南旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率.17. （本小题满分12分）已知向量，设.（I）求函数的解析式及单调增区间；（II）在中，分别为内角A,B,C的对边，且，求的面积.18. （本小题满分12分）直三棱柱中，，M为的中点，N是的交点.（I）求证：MN//平面；（II）求证：平面.19. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项.（I）求数列的通项公式；（II）设，其前n项和为，若对于恒成立，求实数m的取值范围.20. （本小题满分12分）设函数.（I）当时，求函数的极值；（II）当时，讨论函数的单调性.21. （本小题满分12分）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为.（I）求椭圆C的标准方程；（II）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点M,N.（i）求证：；（ii）求面积的最大值.2016届高三教学质量调研考试文科数学参考答案一、选择题CDBAD CACBA二、填空题（11）26 （12）（13）2 （14）（15）三、解答题（16）（17）解：（I）= ……………………………3分由可得……………………………5分所以函数的单调递增区间为[],……………………………6分（II）……………………………9分由可得…………………10分……………………………12分（18）（19）解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，等比数列，公比为.由题意可知：， ……………………………2分所以.得.…………………………………………4分（Ⅱ）令，…………………………………5分………………………………………8分相减得……………………………10分=……………………………12分（20）解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．……….1分当a＝3时，f(x)＝－x2＋3x－ln x，f′(x)＝＝－，………2分当<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<及x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．……4分所以f(x)极大值＝f(1)＝2，f(x)极小值＝f＝＋ln 2…………………………6分(2)f′(x)＝(1－a)x＋a－＝＝，…………9分当＝1，即a＝2时，f′(x)＝－≤0，f(x)在定义域上是减函数；…………10分当0<<1，即a>2时，令f′(x)<0，得0<x<或x>1；令f′(x)>0，得<x<1………11分当>1，即1<a<2时，由f′(x)>0，得1<x<；由f′(x)<0，得0<x<1或x>，…12分综上，当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；当a>2时，f(x)在和(1，＋∞)单调递减，在上单调递增；当1<a<2时，f(x)在(0，1)和单调递减，在上单调递增．…………13分（21）解：（1）, 又,…………………………（2分）所以.所以椭圆的标准方程为……………………………（4分）（II）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得,则，所以， ………………………………（6分），即………………………………（9分）（ii）当且仅当，即.（此时适合△＞0的条件）取得等号.三角形面积的最大值是………………………………（14分）方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，设，联立，整理得,则，所以， ………………………………（6分），即………………………………（9分）（ii）点到直线的距离为，=.令，则，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即三角形面积的最大值是………………………………（14分）。
2017山东卷高考数学试题(Word版本)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1） 设函数A ，函数y=的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知i 是虚数单位，（A ）i 或-1 （B （C ） （D（3）已知命题p:()＞,log 1＞0+x x；命题q ：若a ＞b ，则＞a ba b ，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ） p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ （4）已知x,y 满足31,+11⎧-+≤⎪+≤⎨⎪⎩x y 2x y ，则z=x+2y 的最大值是（A ） （B ） （C ） （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，学|科网根据散点图可以看出y 与x 之间有相关关系，直线方程为y=bx+a 已知∑=225，∑=1000，b=1该班某学生的脚长为，据此估计身高为（A ）160（B ）183（C ）（D ）170(6)执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为，则第一次，第二次输出的的值分别为（A ）0,0（B ）1,1（C ）0,1（D ）1,0（7）若a >b >0，且ab=1，则下列不等式成立的是（A ）2a 1b a log (a b)2+〈〈+b（B ）2a b 1log (a b)a 2〈+〈+b（C ）2a 1b a log (a b)2+〈+〈b （D ）2a 1b log (a b)a 2+〈+〈b （8）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取Z 次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ） （B ） （C ） （D ）（9）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（A ）a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D) B=2A(10)已知当x []01∈，时，函数y=(mx-1)2 的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）（0，1）[2,+] （B ）（0，1）[3,+ ] （C ）（0，[2,+] (C) （0，[3,+]第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知（1+3x ）n 的展开式中含有x -1的系数是54，则n =（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若 123-e e 与12+3e e 夹角为 则实数λ的值是（13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4(0)＞＞2222x y +=a b a b 与焦点为F 的抛物线()2x =2py p >0 交于A,B 两点，若AF +BF =OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________.（15）若函数y=f(x)，本题请等后更新。
2016-2017学年山东省高三(上)期末数学联考试卷(理科)Word版(解析版)
2016-2017学年山东省高三（上）期末联考试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm34．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称5．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1 B．C．D．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且（x+1），则f（31）=（）当x∈[0，1]时，f（x）=log2A．0 B．1 C．﹣1 D．27．（5分）下列说法正确的是（）A．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充要条件B．“∀x≥2，x2﹣3x+2≥0”的否定是“∃x＜2，x2﹣3x+2＜0”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.88．（5分）设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知变量x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）取到最大值6，则a的值为（）A．2 B．C．或2 D．﹣210．（5分）已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪[0，2] B．（﹣，﹣2]∪[0，2] C．（﹣，﹣2]∪[0，2）D．（﹣，﹣2]∪[0，2）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．12．（5分）（ a+x ）（1+）5的展开式中 x 2项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是．13．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则= ．14．（5分）如图，长方形的四个顶点为O（0，2），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线y=经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是．15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．17．（12分）已知数列已知数列{an }的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log4（1﹣Sn+1）（n∈N+），Tn=++…+，求Tn的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．（Ⅰ）求AN的长；（Ⅱ）求二面角M﹣NC﹣A的余弦值．19．（12分）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲地区：乙地区：（Ⅰ）计算x，y的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．20．（13分）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2，（k≥0，且k≠1）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）当k=0时，设f（x）在区间[0，n]（n∈N）上的最小值为bn ，令an=ln（1+n）﹣bn，求证：++…＜﹣1，（n∈N*）．2016-2017学年山东省高三（上）期末联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•大庆校级二模）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A ∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2015•湖北二模）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2016•湖南模拟）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．4．（5分）（2016秋•历下区校级期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）（2016•河南模拟）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1 B．C．D．【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻，和甲同时与乙，丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式得出概率．【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有2A=48种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A=12种，∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为．故选：B．【点评】本题考查了排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．6．（5分）（2016秋•历下区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），（x+1），则f（31）=（）f（x+1）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=log2A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】由已知推导出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），当x（x+1），由此能求出f（31）．∈[0，1]时，f（x）=log2【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（5分）（2015•湖北二模）下列说法正确的是（）A．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充要条件B．“∀x≥2，x2﹣3x+2≥0”的否定是“∃x＜2，x2﹣3x+2＜0”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8【分析】A．由ln（x+1）＜0解得0＜x+1＜1，解得﹣1＜x＜0，即可判断出正误；B．利用命题的否定定义即可判断出正误；C．采用系统抽样法可知：该班学生人数可能为55；D．由正态分布的对称性可得：X在（0，2）内取值的概率为0.8．【解答】解：A．由ln（x+1）＜0解得0＜x+1＜1，解得﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，是假命题；B．“∀x≥2，x2﹣3x+2≥0”的否定是“∃x≥2，x2﹣3x+2＜0”，因此不正确；C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为55，因此不正确；D．某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，由正态分布的对称性可得：X在（0，2）内取值的概率为0.8，正确．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、正态分布的对称性、系统抽样法的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2016•大庆校级二模）设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2⊥x轴，|PF2|=，|PF1|=，计算即可所求值．【解答】解：椭圆=1的a=3，b=，c==2，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x=2，可得y=±•=±，即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=，则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）（2016秋•历下区校级期末）已知变量x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）取到最大值6，则a的值为（）A．2 B．C．或2 D．﹣2【分析】画出满足条件的平面区域，求出A，B的坐标，由z=ax+y得：y=﹣ax+z，结合函数的图象显然直线y=﹣ax+z过A，B时，z最大，求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：，由z=ax+y得：y=﹣ax+z，当直线y=﹣ax+z过A（1，4）时，B（4，1），z最大，此时，6=a+4，或6=4a+1，解得：a=2或a=，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．10．（5分）（2016•湖南一模）已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪[0，2] B．（﹣，﹣2]∪[0，2] C．（﹣，﹣2]∪[0，2）D．（﹣，﹣2]∪[0，2）【分析】g（x）﹣mx﹣m=0可化为g（x）=m（x+1），从而化为函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点；再讨论以确定实数m的取值范围．【解答】解：由g（x）﹣mx﹣m=0得g（x）=m（x+1），原方程有两个相异的实根等价于两函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点．当m＞0时，易知临界位置为y=m（x+1）过点（0，2）和（1，0），分别求出这两个位置的斜率k1=2和k2=0，由图可知此时m∈[0，2）；当m＜0时，设过点（﹣1，0）向函数g（x）=﹣3，x∈（﹣1，0]的图象作切线的切点为（x0，y），则由函数的导数为g′（x）=﹣得，，解得，得切线的斜率为k1=﹣，而过点（﹣1，0），（0，﹣2）的斜率为k1=﹣2，故可知m∈（﹣，﹣2]，则m∈（﹣，﹣2]∪[0，2）．故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于基础题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2016秋•历下区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为0 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，a=，S=，满足继续循环的条件，i=2；第二次执行循环体后，a=﹣，S=0，满足继续循环的条件，i=3；第三次执行循环体后，a=0，S=0，满足继续循环的条件，i=4；第四次执行循环体后，a=，S=，满足继续循环的条件，i=5；第五次执行循环体后，a=﹣，S=0，满足继续循环的条件，i=6；第六次执行循环体后，a=0，S=0，满足继续循环的条件，i=7；第七次执行循环体后，a=，S=，满足继续循环的条件，i=8；第八次执行循环体后，a=﹣，S=0，满足继续循环的条件，i=9；第九次执行循环体后，a=0，S=0，不满足继续循环的条件，故输出的S值为0，故答案为：0【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．12．（5分）（2016•佛山模拟）（ a+x ）（1+）5的展开式中 x 2项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是64 ．【分析】要求展开式中x2系，只要求出（1+）5的展开式中含x2的项及含x的项的系数，然后合并同类项可求【解答】解：（+1）5的展开式的通项Tr+1=C5r（）5﹣r令5﹣r=2可得r=3，此时T4=C53x=10x令5﹣r=4可得r=1，此时T2=C51x2=5x2∴展开式中x2系项为：10+5a=15，解得a=1，x=1时，展开式的所有项系数的和26=64．故答案为：64．【点评】新课标下，二项式问题只是2011年考查过．二项式的通项公式和求展开式各项系数和，是必须掌握的知识．13．（5分）（2016•邹城市校级模拟）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则= ﹣2 ．【分析】由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．14．（5分）（2016秋•历下区校级期末）如图，长方形的四个顶点为O（0，2），A（4，0），B （4，2），C（0，2），曲线y=经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫4（）dx==，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故答案为．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．（5分）（2016•大庆校级二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e= ．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•湖北二模）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为2sin（+2x）+1，由此求得它的最小正周期．（2）在△ABC中，由f（C）=3求得 C=．再利用 c=1，ab=2，且a＞b 以及余弦定理求得a，b的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）==2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（+2x）+1，故函数的最小正周期等于=π．令 2kπ﹣≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（+2C）+1，∴sin（+2C）=1，∴C=．∵c=1，ab=2，且a＞b，再由余弦定理可得 1=a2+b2﹣2ab•cosC，故 a2+b2=7．解得 a=2，b=．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，复合三角函数的周期性、单调性，以及余弦定理的应用，属于中档题．17．（12分）（2016秋•历下区校级期末）已知数列已知数列{an }的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log4（1﹣Sn+1）（n∈N+），Tn=++…+，求Tn的取值范围．【分析】（1）由Sn +an=1（n∈N+）．当n=1时，a1=S1，可得=1，解得a1，当n≥2时，=1，可得：．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知1﹣Sn+1==，bn=﹣（n+1）（n∈N+），==．利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）由Sn +an=1（n∈N+）．当n=1时，a1=S1，可得=1，解得a1=，…（1分）当n≥2时，=1，可得an+﹣=0，化为：．∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．…（4分）故=3×（n∈N*）．…（6分）（2）由（1）知1﹣Sn+1==，∴bn =log4（1﹣Sn+1）=﹣（n+1）（n∈N+），==．∴Tn=++…+=++…+=，∴Tn的取值范围是．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、数列的单调性、数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北二模）如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．（Ⅰ）求AN的长；（Ⅱ）求二面角M﹣NC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，设AN=a，以O为原点，以OP为x 轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AN．（Ⅱ）分别求出平面MNC的一个法向量和平面ANC的一个法向量，利用向量法能求出二面角M ﹣NC﹣A的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意知：P（4，0，0），C（0，﹣3，4），M（2，﹣，2），N（0，3﹣a，0），设N（x，0，0），则，=（﹣2，，﹣2），∵MN⊥AB，∴=﹣2a+（）（﹣6）﹣2•0=0，解得AN=．（2）∵，，设平面MNC的一个法向量为=（x0，y，z），则，∴，令z0=3，则x=﹣3，y=8，即，平面ANC的一个法向量为=（1，0，0），则|cos＜，＞|==，故二面角M﹣NC﹣A的余弦值为．【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2014•湖北二模）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲地区：乙地区：（Ⅰ）计算x，y的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）由已知条件先求出甲地区抽取人数和乙地区抽取人数，由此结合频数分布表能求出x=6，y=7．（Ⅱ）由频数分布表求出甲地区优秀率和乙地区优秀率，从而推导出ξ～B（3，），由此能求出Eξ．（Ⅲ）由已知条件得η的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（η=0），P（η=1），P（η=2），P（η=3），由此能求出η的分布列和Eη．【解答】解：（Ⅰ）∵抽样比f==，∴甲地区抽取人数==55人，乙地区抽取人数==50人，∴由频数分布表知：解得x=6，y=7．（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率==，乙地区优秀率==，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），∴Eξ=3×=．（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，P（η=0）==，P（η=1）==，P（η=2）==，P（η=3）==，∴η的分布列为：Eη==1．【点评】本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20．（13分）（2014•湖北二模）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【分析】（1）设抛物线C2的标准方程为y2=2px，（p＞0），由焦点F（1，0），能求出抛物线C2的标准方程．（2）设AB：x=ny+4，联立y2=4x，得y2﹣4ny﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理推导出=x1x2+y1y2=0，由此能证明以AB为直径的圆过原点．（3）设P（4t2，4t），则OP的中点（2t2，2t）在直线l上，由，求出直线l：x=y+4，由此能求出长轴长最小值．【解答】（1）解：设抛物线C2的标准方程为y2=2px，（p＞0），由焦点F（1，0），得p=2，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．…（3分）（2）证明：∵过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A、B两点，∴设AB：x=ny+4，联立y2=4x，得y2﹣4ny﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣16，∴x1x2==16，∴=x1x2+y1y2=0，∴以AB为直径的圆过原点．…（8分）（3）解：设P（4t2，4t），则OP的中点（2t2，2t）在直线l上，∴，解得n=±1，∵t＜0，∴n=1，直线l：x=y+4．…（10分）设椭圆C1：，与直线l：x=y+4联立可得：（2a2﹣1）y2+8（a2﹣1）y﹣a4+17a2﹣16=0，∵△=[8（a2﹣1）]2﹣4（2a2﹣1）（17a2﹣16）≥0，∴a≥，∴长轴长最小值为．…（13分）【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查以AB为直径的圆为原点的证明，考查椭圆长轴长最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21．（14分）（2016秋•历下区校级期末）已知函数f （x ）=ln （1+x ）﹣x+x 2，（k ≥0，且k ≠1）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅲ）当k=0时，设f （x ）在区间[0，n]（n ∈N ）上的最小值为b n ，令a n =ln （1+n ）﹣b n ，求证：++…＜﹣1，（n ∈N *）．【分析】（Ⅰ）当k=2时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求曲线y=f （x ） 在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数小于0，即可求f （x ）的单调减区间；（Ⅲ）确定a n =ln （1+n ）﹣b n =n ，再证明=＜＜=﹣，叠加，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：当k=2时，f （x ）=ln （1+x ）﹣x+x 2， ∴f′（x ）=﹣1+2x ，∴f′（1）=﹣1+2=，f （1）=ln2，∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣ln2=（x ﹣1）， 即3x ﹣2y+2ln2﹣3=0； （Ⅱ）解：f′（x ）=（x ＞﹣1）．①k=0时，f′（x ）=﹣＜0，则x ＞0，∴f （x ）的单调减区间为（0，+∞）；②＞0即0＜k ＜1时，f′（x ）＜0，可得0＜x ＜，∴f （x ）的单调减区间为（0，）；③＜0即k ＞1时，f′（x ）＜0，可得＜x ＜0，∴f （x ）的单调减区间为（，0）；（Ⅲ）证明：当k=0时，f （x ）在[0，n]上单调递减， ∴b n =f （n ）=ln （1+n ）﹣n ， ∴a n =ln （1+n ）﹣b n =n ，∵=＜，即有＜＜=﹣，∴++…＜（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1=﹣1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确求导数是关键．。
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济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学（一） 考试时间 2017 年 1 月 3 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x
x x )sin(lim (A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞.
(2) 设2cos 1)(x
x x f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.
(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是
(A))1ln(x -. (B) 11-+x . (C) x cos . (D)1e -x .
(4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是
(A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值.
(C))1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值.
(5) 设⎰++=1
0d 1)1ln(x x x I k
k （3,2,1=k ），则有 (A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤. 二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→x x x 1
)21(lim ． (2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ．
(3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是. (4) =+⎰∞
+12d 11x x
． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________.
三、计算题（每小题6分，共18分） (1) 4
586lim 224+-+-→x x x x x . (2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程.
(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧-=-=221t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y .
四、计算题（每小题8分，共32分） (1)⎰+x x x d 232
. (2)⎰x x x d ln 2. (3)⎰-1022d 4x x x .
(4)求微分方程)1(2d d -=y xy x
y 满足初值条件1|0-==x y 的特解. 五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧=<<+=⎰0,
,2||0,d 2cos 1)(0x a x t t t x x f x
在0=x 点可导，求数a 并求)0(f '.
(2) 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线)(x f y =与1=x ，0=y 所围成的图形的面积为2，求函数)(x f .
六、证明题（10分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且有0)0(=f ，21d )(10=⎰x x f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈c ，使得c c f =)(；
(Ⅱ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得1)()(+-='ξξξf f .。