第九章静电场习题解答

R5

Q2 8 0 R

1 4 0
(
3Q2 5R
)
E dS 0 S3
因场强是球对称的，则有
E dS E 4r 2 0 S3
所以 E=0
从上面计算的结果得到场强的分布为

q1 q2 40r 2
E


q1 4 0 r
2

0
(r R2 ) (R1 r R2 )
(r R1)
9.18 如图所示，AB=2l，弧 OCD 是以 B 为中心 、l 为半径的圆，A 点有一正电荷 q ， B 点有一负电荷 q ,求：

2
( 0 )及 2 ，如图所示，试求 I、 II 、 III 各区域中
的电场强度。
I
解
无限大带电
平面周围场强大小为 E

2 0
，方向由平面垂
II III
直向外；无限大带电 2
平面周围场强大小为 E2

0
，方向垂直指向带电平面。
因此，两带电平面在各区域产生的合电场强度分别为
开为 2d，试求(1)外力所做的功（2）两极板间的相互作用力。
解 （1）由于匀速拉开的，因此外力做功等于电容器储能的增加。拉开前后的电容分别为
C1

0S d
， C2

0S 2d
储能的增量为
E

E2

E1

1 2
Q2
(
1 C2

1 C!
)

Q2 2 0 S
d
所以外力所作的功
W
E

Q2 2 0 S
EI

0

2 0

2 0
， 方向向右；
EII

0

2 0

3 2 0
， 方向向右；
EIII

0

2 0

2 0
， 方向向左。
9.16 长 l 的直导线上均匀地分布着线密度为 λ 的电荷。求在导线的延长线上与导线近端相
距 R 处 P 点的场强。 l
点的电势。
解
半圆形导线半径：
R

L
,O
点电势可由电势迭加原理求解。
在带电细棒上任意处取线元 dl ，所取线电荷元 dq dl 可视作点电荷，该电荷元在圆心
处产生的电势为
dV

dq 4 0 R
带电细棒在圆心处产生的电势为
V
dV
L 0
dl 4 0 R

L 4 0 R
)
这样上式可写成W

Q2 2C
，这就印证了关于电容器储能的结论。
9.42 有一个均匀带电荷为 Q 的球体，半径为 R，试求电场能量。
解：由高斯定理知，场强为
E


Q 4 0R3
Q 4 0r 2
r(r R) (r R)
在半径为 r ,厚为 dr 的球壳内，能量为：
dWe wedV we 4r 2dr
dVP

dx 40 (l x

R)
A dx l
所有带电线元在 P 点产生的电势为
Vp
l 0
dVp

l 0
dx 40 (l x
R)


4 0
ln(l

x R)
l 0

4 0
ln
l
R R
BP x
R
9.23 一根长为 L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为 ，试求在圆心 O
（1）O 点的场强与电势，D 点的场强与电势；
（2）把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移动到 D 点，电场力对它做了多少功；
（3）把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移动到无穷远处，电场力对它做了多少功。 C
+q
-q
A
O
BD
解（1）O 点场强为正负两个点电荷产生的场
强的叠加
EO

q 40l 2

q 6 0l
（2）WOD

q0U OD

q 6 0l
（3）WD

(VD
V )

q 6 0l
9.20 在习题 9.16 中，求 P 点的电势。
解 如图所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。
在直导线上任取一线元 dx 到 A 点距离为 x，带电线元
在 P 点产生的电势为
d
（2）因两极间相互作用力 F 与外力 F 等值反向，而 外
F（2d-d）= E 外
F 外
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E
/
d

Q2 2 0 S
所以
F

Q2 2 0 S
9.41 球形电容器所带电量为 Q，内外半径为 R1 和 R2 ，中间充满电容率介电常数 的电介质,
试求球形电容器电场中的能量。
解 利用高斯定理容易求得极间电场强度
q1 40 102

2 108 q1 40 2 102
解得
q1

2 3
108 C ,
q2

4 3
108 C
（2）V1

q1 4 0 r1

2 3

108
C
40 102 m

6000V
V2

q2 4 0 r2
6000V
9.39 空气介质平行板电容器板面积为 S，间距为 d，充电使两板带电±Q，断电后将二板拉
强具有球对称性，可以用高斯定理求场强。
（2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。
当 r>R2 时，取半径为 r 的高斯面 S1，如图所示。由高斯定理有
s1
E
dS

q1 q2 0
因为场有上述的对称性，所以
解得
s1 E
dS

E 4r 2

q1 q2 0
E

q1 q2 4 0r 2
解 （1）两球相距很远，均可视作孤立导体，孤立导体球电势
V1

1108 C 40 102 m
V2

1108 C 40 2 102 m
可见两球电势不相等，相连后两球电势必相等，因此必然会有电荷在两球体之间转移，
设达到平衡时小半径球带电量为 q1 ，大半径球带电量 q2 ，由电势相等可得
1 r

1 R2


q1 q2 4 0 R2

q1 4 0 r

q2 4 0 R2
当 r<R1 时
V
E dr
r
R1 0 dr
r
R2 R1
q1 40r 2
dr
R2
q1 q2 40r 2
dr

q1 4 0

1 R1

1 R2

q1 q2 4 0 R2

q1 4 0 R1

q2 4 0 R2
9.30 半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8 C，两球相距很 远．若用细导线将两球相连接．求
（1） 每个球所带电荷；
（2） 每球的电势．
S1 S2 R1 q1
q2 R2
S3
当 R1<r<R2 时，取半径为 r 的高斯面 S2，如图所
示。由高斯定理
S2
E
dS

q1 0
因场强有球对称性，故
解出
S2
E dS

E 4r 2

q1 0
E

q1 4 0r 2
当 r<R1 时，取半径为 r 的高斯面 S3，如图所示。由高斯定理

1 2
0E2

4r 2dr

2 0 E 2 r 2dr
所求能量为：
We

V
wedV

R 0
2
0[
Q 4 0
R3
r]2 r2dr

R
2
0
[
Q 4 0
r
2
]2r 2dr

Q2 8 0 R6
R
r 4dr
0

Q2 8 0
R
1 r2
dr

Q2 40 0 R 6
EP
dE

1 4 0
l dx 0 (l x R)2

1 4 0

(l

λ x
R)
l 0

λ 4 0
(
1 R

1 R
l
)
方向沿 x 轴正方向。
9.17 在半径为 R1 和 R2 （ R2 R1 ）的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷 q1 和 q2 ，求
场强分布。 解 （1）对称性分析：①场强沿径向；②离球心 O 距离相等处，场强的大小相同。可见场

q 4 0l 2

q 2 0l 2
方向沿 A 指向 B。
O 点电势为正负两个点电荷产生的电势的叠加
VO

q 4 0l

q 4 0l

0
同理，
ED

q 40l 2

q 40 (3l)2

2q 9 0l 2
方向沿 B 指向 A
VD

q 4 0 3l

q 4 0l

(a)
R P
A dx l
(b)
BP x
R
解 如图(b)所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。在直导线上任取一线元 dx 到 A
点距离为 x，带电线元在 P 点产生的电场强度为
dE

1 4 0
(l
dx x R)2
而直导线上各段带电线元在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向），故总场强为
E

Q 4 r2
er
式中， R1 r R2 ，因能量密度
w

1 2

E2

2
(
Q 4 r
2
)2
所以电容器储能
W
wdV
R2 R1
2
(
Q 4 r
2
)2
4
r
2dr

Q2 8
(
1 R1

1 R2
)
我们知道，球形电容器的电容
C

4
(
R1R2 R2 R1
E L dEy j ，其大小
E


dE
sin

L
sin 4 0 R 2
QR
dl
由几何关系 dl Rd ，统一积分变量后，有
E
0
Q 4 20R2
sin d

Q 2 20R2
方向沿 y 轴负方向。
9.15 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为
9.14 一半径为 R 的半圆环上均匀地分布电荷 Q ，求环心处的电场强度.
解
在半圆环上取线元 dl ，
其电荷 dq

Q R
dl
，
y
此电荷可视为点电荷，它在环心产生电场
dE

dq 4 0 R 2
er
，
因圆环上电荷对 y 轴呈对称性分布，电场分布也
R dEx O
dE
dE y
dl x
是轴对称的，则有 L dEx 0 ，点 O 的合电场强度

4 0
9.26 如图所示，一半径为 R 、长度为 L 的均匀带电圆柱面，电荷面密度为 。试求
端面处轴线上 P 点的电场强度。
(a)
(b)
解 取底面圆心处为坐标原点，x 轴沿轴线向上为正。在距 O 点为 x 处的圆柱面上取高度 为 dx 的圆环，其上电荷为 dq 2πRdx
小圆环在 P 点产生的电场强度大小为
当 r>R2 时
V
E dr
r
r
q1 q2 40r 2
dr

q1 q2 4 0 r
S1
S1
S2
S3O
R1 R2
当 R1<r<R2 时
V
E dr
r
q R2
1
r 40r2
dr
R2
q1 q2 4 0 r 2
dr

q1 4 0
E
dE


R 4 0
L d R2 L x2 0 R2 L x2 3/2

R 2 0

1 R

1
R2

L2

电场强度方向沿 x 轴正向。
9.28 求习题 9.17 中电势的分布
解 根据场强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布
dE

2πRdx L 40 R2 L
x x 2 3/2


R 4 0

d R2 R2
L
L
x
x2
2
3/ 2
方向沿 x 轴正方向。
由于柱面上所取各小圆环在 P 点产生的电场强度方向均沿 x 轴正方向，所有小圆环 在 P 点产生的电场强度的叠加即为带电柱面在 P 点产生的电场强度，其大小为