平面向量题型二：平面向量的共线问题

题型二：平面向量的共线问题

1、若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y =

2、已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ）

A ．A 、

B 、D B ．A 、B 、

C C ．B 、C 、

D D ．A 、C 、D

3、如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）

①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；

③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．仅②

4、若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )

A ．-a +3b

B ．3a -b

C ．a -3b

D ．-3a +b

5、已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.109

- B.109

C.1019

- D.1019

6、已知a 是以点(3,1)A -为起点，且与向量(3,4)b =-平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 ．

7、 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a =b ，b =c ，

则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ，

其中正确的序号是 ．

8、平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）

A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．R λ∃∈， b a λ=

D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=

9、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，且a AB =，b AC =，试用a 、b 表示

10、已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，

C 三点共线的充要条件是( )．

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

11、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31

,则=

(A)32 (B) 31 (C) -31 (D) -3

2

12、设a 、b 是不共线的两个非零向量,

(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;

(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.

13、如图点G 是三角形ABO 的重心,PQ 是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且mOA OP =，nOB OQ =,（m 、R n ∈）。

求证311=+n m

6、解：方法一：设向量a 的终点坐标是(,)x y ，则(3,1)a x y =-+，则题意可知

224(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+

=⎩（－）（＋），解得：12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩　或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方法二：与向量(3,4)b =-平行的单位向量是1(3,4)5±-，故可得34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，从而向量a 的终点坐标是(,)(3,1)x y a =+-，便可得结果． 归纳小结：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；②

与a 平行的单位向量

||a

e a =． 7、解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵AB DC =，∴||||AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =．

③正确．∵a =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．

④不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．

⑤不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．

归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆．

8、解析：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ．

归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质．

9、分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M 、P 、C 三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。

解∵AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4, ∴∴a AB AM 3131==，b AC AN 4141==，

∵M 、P 、C 三点共线，可设)(R MC MP ∈=λλ

于是MC a MP AM AP λ+=+= 31

∴a b AM AC MC 31-=-= ∴b a AP λλ+-=)3131(

12、解:(1)证明:∵AB = (3a+b)-(2a-b)=a+2b.

而BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,AB

∴AB 与BC 共线,且有公共端点B,

∴A、B 、C 三点共线.

(2)∵8a+kb 与ka+2b 共线,

存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0,