波动方程角度域偏移成像

! C rai ( x , zi , #r ) =
L im( x , zi , #n , #r ) ,
( 9)
#
n
由不同反射角的偏移成像结果 Crai( x , zi , #r ) 可提取用于偏移速度分析和 AVA 分析的角度域共成像道集.
如果对 L im( x , z i , #n , #r ) 的所有倾角 #n 和反射角 #r 进行求和, 就可得到与常规波动方程偏移成像方法
其中* 表示复共轭. 利用图 1 所示的角度关系, 可把成像矩阵 L im ( x , zi , #in , #sc) 中的角度 #in 和 #sc 转换为( x , zi ) 处反射面的
倾角 #n 和反射角 #r , 即有关系式 #n = ( #in + #sc ) 2, #r = ( #in - #sc ) 2, 得到倾角 #n 和反射角 #r 域的成像矩 阵L im ( x , zi , #n , #r ) . 为了由 L im ( x , zi , #n , #r ) 得到只与反射面构造倾角方向有关的偏移成像 结果, 需要对 L im( x , z i , #n , #r ) 的所有反射角 #r 进行求和得到共倾角成像, 即
根据共炮道集数据的零时间成像原理和用于获取构造成像的互相关成像公式[ 5] , 可以得到( x , zi ) 处的 局部角度域成像矩阵
! L im( x , z i , #in , #sc) =
u!*s ( x , z i , #in , ) !ug ( x , zi , #sc , ) ,
( 7)
1 3 角度域成像 利用上述的波场角度域分解方法技术可把外推深度层 z i 上的空间- 频率域震源波场 us ( x , zi , ) 和检
波点波 场 ug ( x , zi , ) 分别 转 换为 空 间- 角 度 - 频 率域 的 震源 波场 u!s ( x , #in , z i , ) 和 检 波 点波 场 u!g ( x , #sc , z i , ) , 其中 #in 和 #sc 分别为( x , z i ) 处的局部入射角和散射角.
( 1 浙江大学地球科学系, 浙江 杭州 310027; 2 同济大学海洋与地球科学院, 上海 200092;
3 M odeling and Imaging Laboratory, IGPP, University of Cal ifornia, Santa Cruz, CA 95064, USA )
( 6)
第2期
陈生昌等: 波动方程角度域偏移成像
213
式中 #x 为相对于垂直向下方向的角度. 经过式( 6) 的坐标变量变换, 就可以由 !u( x , kxj , z , ) 得到局部角度域的波场 u!( x , #x , z , ) . 该波场既具
有空间的局部性又具有传播方向的局部性, 即可以在空间位置上研究波场的方向( 角度) 特性.
第 24 卷 第 2 期 2007 年 3 月
计算物理
CHINESE JOURNAL OF COMPUTAT IONAL PHYSICS
[ 文章编号] 1001 246X( 2007) 02 0211 06
Vol . 24, No. 2 M ar. , 2007
波动方程角度域偏移成像
陈生昌1, 马在田2, WU Ru Shan3
v0( z ) , v ( x , z ) 分别为深度 z , z +
z 间的参考介质速度
和真实介质速度.
1 2 波场的角度域分解
令在深度 z 有经拟线性 Born 近似波场传播算子传播得到的二维频率域波场 u ( x , z , ) , 对其进行窗口
Fourier 框架展开, 有
u^ ( x n , kxj , z ,
架不同, 窗口 Fourier 框架不能构成正交基, 因此信号的窗口 Fourier 框架分解( 展开) 具有一定的冗余度.
如果把所有相邻窗口中具有相同水平波数的窗口平面波波场叠加在一起, 就得到
! !u( x , kxj , z ,
)=
ei2∀k x xj
u^ ( x n , kxj , z , ) g ( x - x n ) ,
方向上的
Fourier
反变换;
kz ( z )
为垂向波数,
有
kz ( z ) =
2
v
2 0
(
z)
-
k
2 x
,
=
1-
1
v
2 0
(
z
2
)
k2x
,
利用
Pad
展开( 三阶) , 得到
8
8 -
8x
4x +
x
2
,
其中 x =
v
2 0
(
z
2
)
k2x
;
!( x , z ) =
v2(
1 x,
z
)
-
1
v
2 0
(
z
)
,
其中
[ 收稿日期] 2005- 11- 08; [ 修回日期] 2006- 02- 21 [ 基金项目] 国家高技术研究发展( 863) 计划项目( 2003AA 611020 01) 和海洋地质国家重点实验室开放课题( 2005007) 资助项目 [ 作者简介] 陈生昌( 1965- ) , 男, 江西永新, 副教授, 理学博士, 主要从事地震波传播与偏移成像及速度分析的方法理论及应用研究, 浙江
像点 处的角度域成像矩阵以及共地层倾角偏移成像剖 面和共 反射角偏 移成像 剖面. 也 可为基于 偏移成 像的后 续
处理方法技术 , 如振幅 随角度变化分析处理、角度 域共成 像道集提 取和角 度域速 度分析, 提供基础 资料. 以 陡
倾角模型和国际标准的 Marmousi 模型为数值试验例子, 验证了波 动方程角度域偏移成像方法的正确性和有效性.
场.
高斯窗口函数在 Heisenberg 测不准原理意义下不仅具有在相空间最优的局部特性, 而且在 Fourier 变换 下其表示式不变, 因此高斯函数被普遍采用为窗口 Fourier 框架的窗函数[12- 14] . 由式( 4) 可知窗口 Fourier 框架
的基本函数是由高斯窗函数经过平移和调制而成的, 也即一组离散的高斯窗口 Fourier 变换函数. 与小波框
z,
)=
F
x
1
{
e
ikz
(
z
)
zF x
u(x, z,
) },
( 2)
u
b s
(
x,
z
+
z, )
F-x 1 {
e F { [ e - ik ( z) z
z
x
i
v0( z ) 2
!( x, z )
z
1] u( x , z ,
) }},
( 3)
上述方程中,
Fx
表示x
方向上的 Fourier
正变换;
F
x
1
表示 x
大学玉泉校区地球科学系 310027.
ห้องสมุดไป่ตู้
2 12
计算物理
第24 卷
1 方法原理
共炮道集数据的波动方程叠前深度偏移成像需要使用单程波方程的单平方根算子在深度方向分别对震
源波场和检波点波场进行正向和反向的外推, 并在各个深度层上应用零时间成像条件提取成像波场. 本文利 用文[ 11] 提出的拟线性 Born 近似波场传播算子进行偏移成像中的波场深度向下延拓. 1 1 拟线性 Born 近似波场传播算子
本文基于波动方程叠前深度偏移成像中应用于炮道集数据的单平方根算子, 在偏移成像过程中利用常 规的波场传播算子, 如广义屏波场传播算子[ 10] , 进行震源波场和检波点波场的向下传播. 在传播的各个深度 层上, 利用波场的窗口 Fourier 框架展开方法技术, 得到地下成像点局部角度域的震源波场和检波点波场, 然 后应用偏移成像原理, 提出共炮集数据的波动方程角度域偏移成像方法. 作为数值试验例子, 我们把波动方 程角度域偏移成像方法应用于一陡倾角模型和国际标准的 Marmousi 模型均取得了理想的结果.
u( x, z +
z,
)=
u0( x, z + u0( x , z +
z, ) u0( x , z +
z,
)-
u
b s
(
x,
z
+
z, z,
)
)
,
( 1)
其中 u0 ( x , z +
z,
)
和
u
b s
(
x
,
z+
z,
) 分别为深度 z +
z 上的参考波场和 Born 近似散射波场, 有
u0( x , z +
[ 关键词] 波动方程; 窗口 Fourier 框架展开; 局部 角度域; 偏移成像; 地层倾角; 反射角
[ 中图分类号] P315 3
[ 文献标识码] A
0 引言
波动方程叠前深度偏移成像是当前石油勘探开发中获取地下复杂构造图像的主要方法技术[ 1] . 波动方 程叠前深度偏移成像可以在炮道集数据域、中点- 偏移距道集数据域以及一些合成道集数据域实现[ 2~ 4] , 但 这些偏移成像方法只能给出成像点处的角度平均反射率. 在实际地震资料的波动方程偏移成像中, 偏移速度 模型的构建以及基于偏移成像中间结果( 如共成像道集) 的偏移速度分析是偏移成像成败的关键因素之一. 在基于射线理论的 Kirchhoff 积分叠前深度偏移成像中, 偏移速度分析主要是在偏移距域共成像点道集上进 行的, 然而, 基于深度递推的微分型波动方程叠前深度偏移成像方法技术( 在此我们把这种偏移成像方法技 术称为波动方程叠前深度偏移成像方法技术) 难以得到偏移距域共成像道集, 因此, 基于波动方程叠前深度 偏移成像的共成像道集生成方法技术以及偏移速度分析是近几年波动方程叠前深度偏移成像研究中, 偏移 成像算法之外的研究热点. 根据波动方程叠前深度偏移成像所用的数据道集和数据外推方式, 人们提出了各 种不同的共成像道集方法和偏移速度分析方法, 如文[ 5] 利用平面波道集偏移成像提出的平面波参数共成像 道集和偏移速度分析、文[ 6] 提出的偏移距平面波参数共成像道集以及文[ 7] 利用波场外推的双平方根算子 提出的反射角共成像道集. 我们认为如果能够发展角度域的波动方程叠前深度偏移方法技术, 将为角度域的 偏移速度分析和基于偏移成像数据的振幅随角度( 即 AVA) 分析提供可靠的基础资料. 对于复杂地下介质情 况, 角度域偏移速度分析和 AVA 分析可有效的避免常规偏移距域偏移速度分析和 AVA 分析中的多路径问 题和射线方法中遇到的焦散问题. 文[ 8, 9] 基于 Gabor Daubechies 小波束域波场外推和叠前深度偏移方法, 提 出了角度域散射系数矩阵计算方法和角度域共成像道集方法, 为角度域的波动方程偏移成像开辟了一种新 的途径.