第七讲函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性和周期性高考复习课件
1 x
思维启判迪断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否 相等或相反.
解 (1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
又f (x) lg 1 x lg(1 x )1 1 x 1 x
函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(0)=1,f(1)=2,求f(2012)的值. 【解析】∵f(x)=f(x+1)+f(x-1), ∴f(x+1)=f(x+2)+f(x), ∴f(x+2)=-f(x-1), ∴f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数. 又∵f(x+1)=f(x)-f(x-1),
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解 设x,y为正实数， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x为正实数，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,
lg 1 x f (x), 1 x
故原函数是奇函数.
(2) 1 x ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x
2.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对
任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2)，有f (x2 ) f (x1) 0, x2 x1
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
函数的奇偶性和周期性(含解析)
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
(完整版)函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数． 答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． 答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )． 答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝ －x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以 －h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )． 又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组 能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
第七讲函数的奇偶性课件-高三数学一轮复习
一、奇偶性证明
一、奇偶性证明
一、奇偶性证明
① 定义域：是否关于原点对称，不 对称非奇非偶函数 ② 对称再看f(-x)和f(x)的关系
一、奇偶性证明
2x 2x f (x)
x
二、利用奇偶性求参
三、利用奇偶性求值
例题：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数），
五、函数奇偶性的应用
例题：已知定义域为R的函数
f
(x)
2x 2 x 1
b a
是奇函数
（1）求a，b的值
（2）若f(x)为减函数，求不等式f(5-2x)+f(3x-1)＜0
函数性质解不等式： ①定义域 ②移项去负号（利用奇偶性） ③去“f”(利用单调性）
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高中数学第七讲
函数的奇偶性
讲师：XXX
思维导图
函数的奇偶性
1 奇偶性证明：找f(-x)与f(x)之间的关系
2 利用奇偶性求参
奇函数单调性看图 偶函数单调性
3 利用奇偶性求值
4 利用奇偶性求函数解析式：利用未知数正负+奇偶性求解
一、奇偶性证明
思考引入：现实生活的轴对称和中心对称
小结
如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称 图形．这条直线叫做这个图形的对称轴． 在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
f(x)的解析式为
四、利用奇偶性求解析式
五、函数奇偶性的应用
若f(x) 为奇函数，且在区间[a,b](0＜a＜b)是增(减)函数，则f(x)在区间[-b,-a]
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中包括奇偶性和周期性。
本文将介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性描述的是函数图像关于原点的对称性。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = f(-x)，即函数的值对称，那么该函数被称为偶函数。
相反，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = -f(-x)，即函数的值关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。
1. 偶函数的特点偶函数的特点在于其图像关于y轴对称。
举个例子，y = x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值时，x^2的值保持不变。
2. 奇函数的特点奇函数的特点在于其图像关于原点对称。
比如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
当x取正值时，x^3的值和其相反数互为相反数。
函数的奇偶性在数学中有广泛的应用。
例如，在解方程时，可以通过判断方程中的函数是偶函数还是奇函数，来确定方程的解的性质。
奇函数的图像通过原点，因此只要找到正解即可，而偶函数的图像关于y轴对称，因此需要找到两个解。
二、函数的周期性函数的周期性描述的是函数图像在一个周期内的重复性。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) =f(x)，那么该函数被称为周期函数，T被称为函数的周期。
1. 周期函数的特点周期函数的特点在于其图像在一个周期内重复出现。
一个常见的周期函数是正弦函数sin(x)。
对于任意的x，在一个周期2π内，sin(x)的值会不断重复。
周期函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，在分析电流、振动等周期性现象时，可以使用周期函数来描述这些现象的规律。
函数的奇偶性与周期性是数学中重要的性质，通过研究函数的奇偶性与周期性，可以更深入地理解函数的行为规律。
同时，掌握函数的奇偶性与周期性也有助于解决实际问题，提高数学建模的能力。
函数的奇偶性与周期性
若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( ). A.-1 B.1 C.-2 D.2
偶函数f(x)是以4为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则f(x) 在[0,2]上的单调性是 . 答案: 单调递增 答案：A
解得f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,证明如下:
定义域D={x|x≠0}关于原点对称.
令x1=x2=-1,
有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0.
令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;
提炼抽象函数奇偶性的判断方法:
1.利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(-x),f(x));
提醒:抽象函数奇偶性的判断,关键是要充分理解题意,灵活选取变量 的值. 请做[针对训练]2
3.找出f(-x)与f(x)的关系,得出结论.
函数奇偶性的应用
【例3-1】 设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ). A.{x|x<-2或x>0} B.{x|x<0或x>4}
02
∴0<b≤ ,-2<a+b≤- .
03
解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数,
04
∴ = 对x∈(-b,b)成立,可得a=-2(a=2舍去).
05
∴f(x)=lg ,
06
【例3-3】 设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
函数讲函数的奇偶性与周期性课件
函数讲函数的奇偶性与周期性课件pptxxx年xx月xx日CATALOGUE目录•函数奇偶性及周期性概述•奇函数与偶函数•周期函数的定义和性质•奇函数与偶函数举例•周期函数的举例及变式•奇偶性与周期性的扩展知识01函数奇偶性及周期性概述函数奇偶性的定义与性质奇函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)是奇函数。
要点一要点二偶函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)是偶函数。
恒等于0的函数对于函数f(x)，如果对于任意的x属于D，都有f(x)=0，那么f(x)是恒等于0的函数。
要点三对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x属于D，都有f(x+T)=f(x)，那么f(x)是周期函数。
周期函数对于周期函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x属于D，都有f(x+T)=f(x)，那么T是f(x)的最小正周期。
最小正周期函数周期性的定义与性质奇偶性与周期性的应用用奇偶性和周期性判断函数的图像对于一个函数f(x)，如果知道它的奇偶性和周期性，就可以根据这些性质大致判断出它的图像。
用奇偶性和周期性简化计算对于具有特定奇偶性和周期性的函数，我们可以利用这些性质来简化计算。
用奇偶性和周期性解决实际问题有时在解决实际问题时，需要用到函数的奇偶性和周期性。
02奇函数与偶函数奇函数定义与性质奇函数定义：对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都奇函数性质有f(-x)=-f(x)，那么称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称；奇函数的定义域一定关于原点对称；奇函数的相反数函数是自身；如果奇函数f(x)在x=0有定义，那么f(0)=0。
偶函数定义：对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。
偶函数性质偶函数的图象关于y轴对称；偶函数的定义域一定关于原点对称；偶函数的相反数函数是自身；如果偶函数f(x)在x=0有定义，那么f(0)=0。
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性知识回顾1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的几个重要结论 (1)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数y ＝f (x )关于y 轴对称，此时函数y ＝f (x )是偶函数．(2)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，f (x )＝－f (－x )，则函数y ＝f (x )关于原点对称，此时函数f (x )是奇函数．4.函数的周期性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 5.关于周期的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝1f x，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1f x，则函数的周期为2a .课前检测1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x2．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝|x |D ．y ＝e x －e －x3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数为奇函数，则实数( )A ．B ．C ．D ．4.【2019年浙江杭州单元测试】已知在上为奇函数，当，，则当 时，的解析式为 ________5.【2019年浙江宁波宁波效实中学高一上学期期中考试数学试卷（理）】已知定义在 上的偶函数 ，当 时，，则函数 的解析式为______________________；若有 ，则的取值范围为______________________．课中讲解考点一.奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.例2.【2020年9月陕西西安长安区第一中学高一上学期月考数学试卷】设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是()A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数考点二.奇偶性的应用例1.【2018年4月江西南昌江西师范大学附属中学高三下学期月考数学试卷（文）】定义在上的函数满足，、，，有下列命题：①；②设，是偶函数；③设，是常函数；④若，则的值可组成等差数列．其中正确命题有________ ．（填所有正确命题序号）变式1.【2018年10月浙江金华东阳中学高一上学期月考数学试卷】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，，且，不等式恒成立，则不等式的解集为________．例2.【2017年陕西西安西安电子科技大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式是____________________．变式2.【2020年9月陕西西安西安交通大学第二附属中学高一上学期月考数学试卷】已知是偶函数，，当时，为增函数，若，，且，则有()A．B．C．D．例3.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期末考试数学试卷】已知是定义在上的偶函数，那么的值是()A．B．C．D．变式3.【2019年浙江台州高一上学期期中考试数学试卷五校】已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是()A．B．C．D．变式4.（多选）已知函数对任意实数，，恒有且当，．其中正确的结论是()A．B．为偶函数C．为上减函数D．为上增函数考点三.周期性的应用例1.定义在上的函数满足：，当时，，则________ ．变式1.已知函数满足，，则等于()A．B．C．D．例2.已知：函数是上的偶函数，是上的奇函数，且，若，则的值为________．变式2.定义在上的函数满足，当时，，当时，．则()A．B．C．D．例3.设偶函数对任意，都有，且当时，，则()A．B．C．D．变式3.设定义在上的函数满足，若，则()．A．B．C．D．例4.已知定义在上的函数，对任意，，都有且，则________ ．例5.设函数关于函数有以下四个结论：①值域为；②是周期函数；③是单调函数；④是偶函数；其中正确的结论个数为：()A．B．C．D．变式5.【2020年9月陕西西安西安车辆厂中学高一上学期月考数学试卷】老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对任意，都有；乙：在上，函数单调递减；丙：在上，函数单调递增；丁：不是函数的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，则函数的解析式可能是________．考点四.对称性的应用例1.【2018年陕西西安雁塔区高新一中高一上学期期中考试数学试卷】定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为()A．B．C．D．变式1.已知，，方程在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为()A．B．C．D．例2.定义在上的函数满足，又，，给出下列命题：①的图象关于直线对称，的图象与的图象关于直线对称；②的图象关于直线对称，的图象与的图象关于直线对称；③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；④的图象关于直线对称，的图象关于直线对称．其中正确的命题是________（填入正确命题的序号）．变式2.给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．对于三次函数，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是的对称中心，给定函数，请你根据上面结论，计算________．例3.已知函数是上的奇函数，若将不管向左还是向右平移一个单位都将得到一个偶函数，记向左平移一个单位得到的函数为，且，则________．变式3.已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意实数都有，且，，则________考点五.函数的综合应用例1.【2019年重庆高二下学期期末考试数学试卷（区县卷文）】定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则()A．B．C．D．变式1.【2019年广东深圳龙岗区高一上学期期末考试数学试卷】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．例2.【2018年9月广东深圳宝安区高三上学期月考数学试卷（理）】设的定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是________．变式2.函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是()．A．B．C．D．课后练习一单选题1.【2019年重庆重庆市南开中学高一上学期期中考试数学试卷】定义在上的满足：，且对任意两个不相等的实数，，都有，，则的解集为()A．B．C．D．2.【2019年浙江温州高二上学期期中考试数学试卷新力量联盟】设函数，则使得成立的的取值范围是()A．，B．，，C．，D．，，3.【2018年浙江杭州十四康桥高一上学期期中考试数学试卷】设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D ．4.奇函数 满足 ，当 时，，则 ( )A ．B ．C ．D ．5.已知定义在 上的函数 ，对任意，都有 成立，若函数的图象关于直线 对称，则=( )A ．B ．C ．D ．6.定义在 上的偶函数 满足 ，对 ， 且 ，都有 ，则有( ) A ． B ． C ． D ．二 多选题7．（2020•山东新高考模拟演练3）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x xg x -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值8．（2020•山东新高考模拟演练5）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49.（2020•福建泉州）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性初中数学知识归纳：函数的奇偶性与函数的周期性函数是初中数学中的重要概念之一，它描述了数学关系中的变化规律。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是函数性质的两个重要方面。
下面将对函数的奇偶性和周期性进行归纳和讲解。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。
考察一个函数关于原点对称，可以分成以下两种情况：1. 偶函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值不发生改变。
常见的偶函数有：幂函数 x^n (n 为偶数)、三角函数 cos(x)、指数函数 e^x 和常数函数等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^2，我们可以验证 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
所以函数 f(x) 是一个偶函数。
2. 奇函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值相反数乘以-1。
常见的奇函数有：幂函数 x^n (n 为奇数)、三角函数 sin(x)、反比例函数 1/x 等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^3，我们可以验证 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
所以函数 f(x) 是一个奇函数。
函数的奇偶性可以通过以下方法进行验证：- 将函数关于原点对称，若图像可以完全重合，则函数是偶函数；- 将函数关于原点对称，若图像可以对称映射，但不重合，则函数是奇函数；- 通过函数的表达式进行推导与验证。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在水平方向上的重复性。
一个函数称为周期函数，如果在定义域内存在一个正数 T，对于任意的 x，函数满足f(x+T) = f(x)。
常见的周期函数有：正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数tan(x) 等。
高考数学一轮总复习第二章函数第7讲函数的周期性与奇偶性课件文新人教A版
1.函数奇偶性的定义：一般地，如果 对于函数f(x)的
定义域内任意一个x
：
(1)都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做 奇函数 ；
(2)都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数的图象关于 原点 成 中心 对称图形，若奇
函数的定义域含数 0，则必有 f(0)＝0(zh；ō偶n 函数的图象关于
第八页，共41页。
4．函数的周期性的定义：设函数 y＝f(x)，x∈D. 若 存 在 非 零 常 数 T ， 使 得 对 任 意 的 x∈D 都 有 __f_(x_＋__T_)_＝_f_(_x_) _，则函数 f(x)为周期函数，称 T 为 y ＝f(x)的一个周期．若函数 f(x)对定义域中任意 x 满 足 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝－f（1x）(a≠0)等，则 函数 f(x)必是_周__期__函__数__，它的一个周期为_2_|a_|_．如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 _存_在__一__个__最__小__的_正__数__，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的__最__小__正__周_期___．
第四页，共41页。
3.已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x∈(0，
2]时，f(x)＝2x＋log2x，则 f(2 017)＝( C )
A.－2
1 B.2
C.2
D.5
【解析】因为 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，所 以 fx＋4＝fx，f－x＝－fx.当 x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，
2.分段函数要对其定义域的每一个区间上的奇偶性 进行判断，最后综合得出在定义域内总有 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性，不能以其中某一个 区间来代替整个定义域.
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
D.
考点二 函数奇偶性的应用
【例 2】 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则
当 x<0 时，f(x)＝( D ) A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)(2020·长沙第一中学期末)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ___1_____.
又 x<0，∴－x>0. ∵x≥0 时，f(x)＝ex－1，∴－y＝e－x－1， ∴y＝－e－x＋1(x<0)，即 f(x)＝－e－x＋1(x<0)． 解法三(赋值法)：∵f(x)是奇函数，且 x≥0 时，f(x)＝ex－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，即 f(－1)＝－e＋1，只有 D 符合． (2)因为 f(x)－f(－x)＝xln(x＋ a＋x2)＋xln(－x＋ a＋x2)＝xln(a＋x2－x2)＝xlna ＝0，所以 a＝1.
1．(2020·福州市高三期末)下列函数为偶函数的是( B )
A．y＝tan(x＋π4)
B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcosx
D．y＝ln|x|－sinx
[解析] 对于选项 A，易知 y＝tan(x＋π4)为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)
＝x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．最小正周期为 2π 的奇函数
C．最小正周期为 π 的偶函数
D．最小正周期为 2π 的偶函数
(2)(2020·河南南阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x＋
第七讲 函数的奇偶性(解析版)
解析：
（1）由
x 1 1 x
0 0
知
x
1
∴函数的定义域为{1} ，不关于原点对称，
故 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）由
x2 1 1 x2
0 0
得
x2
1，即
x
1
∴函数 f (x) 的定义域是{1,1} ，关于原点对称，
又 f (x) 0 ，∴ f (x) 既是奇函数又是偶函数；
解得 g(7) 22
∴ f (7) g(7) 5 22 5 27
答案 27
方向 2 利用奇偶性求参数值
例 3-2、若函数 f (x) (x 1)(x a) 为偶函数，
则 a ＝（ ）.
A. -2 B. -1
C. 1 D. 2
解析:
∵ f (x) 是偶函数，∴ f (x) f (x)
( x 2 x 2 )
f (x)
∴该函数为奇函数；
（4） f (x) 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
当 x 0 时， x 0 ，
f (x) 1 (x) 1 x f (x) ； 当 x 0 时， x 0 ，
f (x) 1 (x) 1 x f (x) ． 综上可知，对于 x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f (x) f (x) ，故该函数为偶函数．
解析：
当 x 0 时，则 x 0 ∴ f (x) (x)2 4(x) x2 4x
又∵ f (x) 是定义在 x 0 上的偶函数，
f (x)
偶
偶
奇
奇
g(x)
偶
奇
偶
奇
不能 不能
f (x) g(x) 偶
函数的奇偶性和周期性对称性
函数的奇偶性和周期性一、 奇偶性定义奇函数：若函数)(x f 对于定义域内任意的自变量都有)(x f -=)(x f -，则称该函数为奇函数；偶函数：若函数)(x f 对于定义域内任意的自变量都有)(x f -=)(x f ，则称该函数为偶函数 二、具备奇偶性函数的性质奇函数的性质① 奇函数定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称 ②)(x f y =在0=x 有意义，则(0)0f = ③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数的性质① 偶函数定义域关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称 ② 偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 三、判断函数奇偶性的方法()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否为定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：四、 周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 为这个函数的周期。
2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。
五、 周期性的常用结论1、若函数()f x 满足条件1()()f x a f x +=，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a = 2、若函数()f x 满足条件()()f x a f x +=-，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a = 3、若函数()f x 满足条件1()()f x a f x +=-，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a =4、若函数()f x 满足条件()()f x a f x a +=-，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a =5、若奇函数()f x 的图像关于点(,0)a 对称，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a =6、若奇函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则函数()f x 必为周期函数，周期4T a =7、若偶函数()f x 的图像关于点(,0)a 对称，则函数()f x 必为周期函数，周期4T a =8、若偶函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则函数()f x 必为周期函数，周期2T a =9、若函数()f x 的图像有两个对称中心(,0),(,0)a b ，则函数()f x 必为周期函数，周期2T b a =- 10、若函数()f x 的图像有两个对称轴,x a x b ==，则函数()f x 必为周期函数，周期2T b a =- 11、若函数()f x 的图像有一个对称轴x a = ，和一个对称中心(,0)b ，则函数()f x 必为周期函数，周期4T b a =-六、 对称性的常用结论1、)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
函数的奇偶性与周期性 课件-2023届高三数学一轮复习
(1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足
①T≠0；②_f_(_x__＋__T_)_＝__f_(_x_)_对定义域内任意x都成立.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
5.函数周期性的常用结论 对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x， （1）若f(x＋a)＝f(x－a)，则周期T＝2a；
一、基础知识梳理
2.利用定义判断函数奇偶性的步骤 (1)首先确定函数的___定__义___域______，并判断其是否关于 __原__点__对称； (2)确定_f_(_－__x_)与__f_(_x_)_的关系；
(3)作出相应结论：
若 f(－x)＝f(x)或 f(－x)－f(x)＝0，则 f(x)是偶函数； 若 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＋f(x)＝0，则 f(x)是奇函数．
如果对于函数f(x)的定义域
偶
函
内任意一个x，都有
__f_(_－__x_)_＝__f_(_x_)__，那么函数
关于_y_轴___对称
数
f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域
奇
函
内任意一个x，都有
__f_(_－__x_)_＝__－__f_(_x__)_，那么函
关于_原__点__对称
数
数f(x)是奇函数
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
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班级第七讲函数的奇偶性与周期性姓名考号日期得分、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.1 .定义在R上的函数 f(x)满足:f(x) f(x+ 2) = 13, f(1) = 2，则f(99)=( )州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意 a 共R，总有f( a+ 3)— [f( a + f( 3)]=精选考题，则下列说法正确的是( )A . f(x) — 1是奇函数 B. f(x) + 1是奇函数C. f(x) —精选考题是奇函数 D . f(x) +精选考题是奇函数①若 A n B= {a}，则 f(a) = a;②若B不是单元集，则满足f[ f(x)] = f(x)的x值可能不存在；③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数.其中，正确命题的序号为__________ .10.对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为 _____________ .①若f(x)是奇函数，则f(x— 1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x€ R，有f(x+ 1) = f(x— 1)，则y= f(x)的图象关于直线x= 1对称;③若函数f(x— 1)的图象关于直线x = 1对称，则f(x)为偶函数；④函数y = f(1十x)与函数y = f(1— x)的图象关于直线x= 1对称.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤. )—2x 十 b11.已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.2x十1十a(1)求a、b的值；⑵若对任意的t€ R，不等式f(t2— 2t) + f(2t2— k)<0恒成立，求k的取值范围.3 .设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x€ (0,1)时，f(x)= log(1 — x)，则函数 f(x)在(1,2)上( A .是增函数，且f(x)<0 C .是减函数，且f(x)<0 )B .是增函数，且f(x)>0 D .是减函数，且f(x)>04 •设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x) = f 的所有x之和为( )x十4C.— 8D. 85 .已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 5,A .是增函数且最小值为— 5B .是增函数且最大值为—C .是减函数且最小值为- 5D .是减函数且最大值为-那么函数f(x)在区间[—7，— 3]上(6.(精选考题新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)= x3— 8(x> 0),则{x|f(x— 2)>0}=( )A . {x|x<— 2或x>4}B . {x|x<0或x>4} C. {x|x<0或x>6} D. {x|x< — 2或x>2}二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.7.(精选考题江苏)设函数f(x) = x(e x + ae—x)(x€ R)是偶函数，则实数a的值为8.已知函数f(x+ 1)是奇函数,f(x — 1)是偶函数，且f(0) = 2,则f(4)=12.，求证：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意的实数x, y,都有f(x+ y) = f(x) + f(y)，当x> 0时，f(x) v 0 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(— s,+s )上是减函数.13•设函数f(x)的定义域关于原点对称, 且满足 ① f(x i —X 2)=f(x1)f(x2) +1f(x2) —f(x1) ②存在正常数a ，使f(a)= 1. 求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.参考答案：1 解析：由 f(x)f(x+ 2) = 13,知 f(x+ 2) f(x+ 4) = 13,所以 f(x+ 4) = f(x)，即 f(x)是周期答案：C 2解析：依题意，取a= 3= 0，得f(0)= 一精选考题；取a= x, 3=—X,得f(0) — f(x)— f( —乂)=精选考题，f( — x) +精选考题=—［f(x) — f(0)］ = —［f(x) +精选考题］，因此函数f(x)+精选考题是奇函数，选答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间［3,7］上的示意图，由图形易得结论.D.答案：D3 解析：由题意得当x€ (1,2)时，0<2 — x<1,0<x— 1<1, f(x) = f(— x)= f(2 — x)= log」［1 —(2 — x)］ = log12 2 (x— 1)>0，则可知当x€ (1,2)时，f(x)是减函数，选 D.答案：DG 亠 34解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)= f x^-,X + 4/ x -k 3 x + 3只有两种情况：① x= 一3:②X+—3= 0.x + 4x+4由①知x2 + 3x — 3 = 0,故两根之和为 X1+ X2=— 3. 由②知x + 5x + 3 = 0,故其两根之和为 X3+ X4 = — 5. 因此满足条件的所有 x之和为一8.答案：C5解析：vf(x)为奇函数，• f(x)的图象关于原点对称.函数，周期为4•所以 f(99) = f(3 + 4 X 24)= f(3)=13 =f(1)=•由图可知函数f(x)在［—7,— 3］上有最大值一5.•••f(x )在［3,7］上的最小值为5,6解析：当x<0时，一x>0,3 3•'•f(— x)= (— x) — 8 = — x — 8,又f(x)是偶函数，•' f (x) = f( — x) = — x‘ — 8,]x3 — 8, x>0•'•f(x)=.[—x3 — 8, x<0lx — 2)3 — 8, x> 2•■-f(X— 2)= — (x — 2)3 — 8, x<2 ,x > 2 |x<2I ^或(x — 2)3 — 8>0 — (X — 2)3 — 8>0 '解得x>4或x<0.故选B.答案：B7解析：设g(x) = x , h(x) = e x + ae一x ,因为函数g(x)= x是奇函数，则由题意知，函数 h(x) = e x + ae一x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R, A h(0) = 0，解得a=— 1.答案：—18解析：依题意有 f( — x+ 1) =— f(x+ 1), f( — x— 1) = f(x— 1)，所以 f(4) = f(— (— 3) + 1) = — f( — 2)=—f(— 1 — 1) = — f(0) = — 2.答案：—29解析：女口 f(x)= x+ 1, A= [ — 1,0], B = [0,1]满足 A Q B= {0}，但 f(0)工0,且满足 f[f(x)] =f(x)的 x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)= 1 , A = R, B= {1}，贝U f(x) = 1 , A = R是偶函数，③正确；如•(x)在［3,7］上是增函数,f(x)= x— 2k+ 1, A = [2k- 1,2k], B = [0,1], k€ Z, f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误. 答案：②③10解析：f(x — 1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x— 1)的图象关于点 A(1,0)对称，故①正确；由f(x+ 1)= f(x— 1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f(x— 1)的图象关于直线x= 1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；y= f(1 + x)的图象是由y= f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y= f(1 — x)是由y= f(x)的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误. 答案：①③11分析：(1)由f(0) = 0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a; (2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f,然后用判别式解决恒成立问题. 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(0) = 0,b — 1即b1= 0? b = 1, a+ 21 — 2x所以f(x)= a Z—"不，又由 f(1) = —f(— 1)1 —2 a+ 4 a+ 1a =2.1 — 2x(2)由(1)知 f(x) = 2 + 2x+ 11 1=_ _+2 2x + 1'f(x2)f(x1) + 1 f(—x)=f(X2—X1)= f(x1) —f(x2)_ f(x1)f(x2) + 1 _ 仃、=—f(x2) — f(x1) =—f(X1 —X2) =—f(x) . Af(x)是奇函数.⑵要证 f(x + 4a) =f(x),可先计算 f(x+ a), f(x+ 2a),易知f(x)在(— 8,+^ )上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式：2 2f(t — 2t) + f(2t — k)<0 等价于■-■f(x+ a) = f[x—(— a)]=f( — a)f(x)+ 1f( — a)—f(x)—f(a)f(x) +1—f(a) —f(x)f(x) —1f(x) +1(f(a) =1).2 2 2f(t — 2t)< — f(2t — k)= f(k— 2t ),因f(x)为减函数，由上式推得：t2— 2t>k— 2t2,即对t€ R有：3t2— 2t — k>0,从而△= 4+ 12k<0? k<—g.12 证明：(1)令 x= y= 0, 得 f(0) = f(0) + f(0),•••f(0) = 0.再令 y= — x,得 f(0) = f(x) + f(— x),• f(— x)= — f(x),「.f(x)为奇函数.(2)设 X1、X2€ ( —rn,+m )且 X1< X2，贝U x2—X1 >0,■/当 X> 0 时，f(x)v 0 ,「.f(X2— X1)V 0.又T对于任意的实数x, y都有f(x + y)= f(x) + f(y)且f(x)为奇函数,•'•f(X2— X1)= f[X2 + ( — X1)] = f(X2)+ f( — X1)= f(X2)—f(X1).• ••f(x)在(— 8,+8 )上是减函数13证明：(1)不妨令X= X1 — X2，则•••f(x+ 2a) = f[(x+ a)+ a]f(xl^1 -f(x + a)— 1 f(x) + 1 1.=f(x + a)+ 1= f(x) — 1_| [=— f(x)f(x) + 1 十1.•.f(x+ 4a) = f[(x+ 2a)+ 2a] = —f(x + 2a)= f(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数.。