2014石景山理科一模

2014年石景山区高三统一测试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集U =R ，集合{}
2
|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B = ð（ ）
A ．{}|01x x <<
B ．{}|0x x <
C ．{}|2x x >
D ．{}|12x x <<
2．下列函数中，在(0)+∞，
内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =
B ．1y x =+
C ．lg ||y x =-
D ．2x y =
3．在2
5
1()x x
-的展开式中，x 的系数为（ ）
A ．10
B ．10-
C ．20
D ．20-
4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，
以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）
5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的 距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2
B ．8
C ．3
D ．4
6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）
7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A ．4
B ．
95 C ．
12
5
D ．165
A ．612
B ．33
C ．64
D ．36 A
C
D
B 开始
1i i =+
1
1
A
A
=-
02i A ==， 1
主视图
左视图
俯视图
A ．2-
B ．
12 C ．1- D ．2
8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点， 若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=
，则||PM 的最小值为（ ）
A ．3
B ．3
C ．12
5
D ．1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知命题p ：0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．
10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，
，则数列}{
n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n
b 的前n 项和=n
S
_____________．
11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角
坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．
12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，
，
，则x y 的取值范围是_________．
13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己
的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和
()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数
()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
在△ABC 中，角A B C ，
，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若2a =，7b =
，求c 边的长和△ABC 的面积．
16．（本小题满分13分）
经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现
从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；
（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）
设函数2
()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，
上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．
1235567889 1
35567 A
1A
1B
1C
C
D
B
罗非鱼的汞含量（ppm ）
19．（本小题满分14分）
给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”．若
椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，
交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，
的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．
20．（本小题满分13分）
对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n = ，，
，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，
，，的一个生成数列是12345--，，，，． 已知数列{}n b 为数列1
{
}()2
n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311
(1)78
n n S =
-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121
{|2}2
n n k x x k k *--=
∈≤N ，，． 2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
C
B
D
D
B
C
A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．
题号 9
10 11
12
13
14
答案
x x e ∀∈≥R ，
2n ；(1)
2
n n + 22+=4x y ；[
5
9
，6] 180 22y x =-
x
O
y P
1l
2l
M
N
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin a b A =， 所以3sin 2sin sin A B A =， ……………2分
因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以3
sin 2
B =
，…………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B = ． …………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，7b =
，
所以由余弦定理得2
2
2
1
(7)2222
c c =+-⨯⨯⨯
，即2230c c --=， 解得3c =或1c =-（舍），
所以c 边的长为3． …………………………10分
11333
=sin 232222
ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=
． …………………………13分 16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则
12
51031545
()91
C C P A C ==，
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
45
91
． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51
()153
P B =
=， ………………5分 ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分
则3
0318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，2
1
3114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223
112(2)1339P C ξ⎛⎫
⎛⎫==⨯-= ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭，3
3311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
．……………………10分 其分布列如下：
ξ
0 1 2 3
5
2k =±
P
827 49 29 127
…………………………12分
所以842101231279927
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，
， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点，
所以MD 是三角形1AB C 的中位线， ………………2分
所以MD ∥1B C ． …………………………3分
因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，
所以1B C ∥平面1A BD ． …………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，
所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．
因为2AB =，13AA =，D 是AC 的中点．
所以(100)A ，，，(100)B -，，，(003)C ，，，1(130)A ，，
， …………………………5分 所以13(0)2
2D ，，
，33(0)22
BD = ，，， 1(230)BA =
，，．
设()n x y z =
，，是平面1A BD 的法向量，
所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即33022
230x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
，，
令3x =-，则2y =，3z =，
所以(323)n =-
，，是平面1A BD 的一个法向量． …………………………6分
x
y
z
O
B
D
A
1A
1B
1C
C
M
A
1A
1B
1C
B
C
D
由题意可知1(030)AA =
，，是平面ABD 的一个法向量， …………………………7分
所以1231
cos 2
43n AA <>=
=
，． …………………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为
3
π
． …………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(133)C E x =-- ，，，11(103)C B
，，=--
设平面11B C E 的法向量1111()n x y z
，
，=， 所以111100n C E n C B
，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111(3)3030x x y z x z ，
，
⎧-+-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令13z =-，则13x =，16
3y x
=
-， 16(33)3n x ，，=--， …………………………12分
又10n n ⋅=，即
12
33+3303x --=-，解得33
x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且3
3
AE =． …………………………14分 18．（本小题满分13分）
解： （Ⅰ）1a =时， 2()ln (0)f x x ax x
x =+->，
1(21)(1)
()21x x f x x x x
-+'∴=+-＝
， …………………………1分 11(0)()0()()022
x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，
()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1
()2+∞，． …………………………3分
（Ⅱ）1
()2f x x a x
'=+-
()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，
即1
20x a x
+-
≤对任意(01]x ∈，
恒成立， …………………………5分 1
2a x x
∴≤
-对任意(01]x ∈，
恒成立，
令1
()2g x x x
=
-， min ()a g x ∴≤， …………………………7分 易知()g x 在(01]，
单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-． …………………………8分
（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，
，1
()2f x x a x
'=+-， 切线的斜率12k t a t
=+-，又切线过原点()f t k t
=
，
()2221
2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t
t
=+-+-=+-∴-+=，即：，
存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，
所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根． …………………………11分 再证唯一性：设()2
1ln t t t ϕ=-+，()1'20t t t
ϕ=+>，
()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，
所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．
综上，切点的横坐标为1． …………………………13分
19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）231c a b =
=∴= ，，，
∴椭圆方程为2
213
x y +=， ………………………………2分
准圆方程为224x y +=． ………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆22
4x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，
， 设过点(02)P ，
且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22
213
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，得22
(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，
所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………………………6分
所以12l l ，
方程为22y x y x =+=-+，． ………………………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥． ………………………………8分
（ⅱ）①当直线12l l ，
中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±， 当1l ：3x =
时，1l 与准圆交于点(31)(31)-，
，，， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，
垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，
垂直． ………………………………10分 ②当12l l ，
斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22
004x y +=． 设经过点00()P x y ，
与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由002
2()13
y t x x y x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，， 得 222
0000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得 222
0000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有222
0000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．
设12l l ，
的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，
满足上述方程222
0000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，
垂直． ………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，
经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直． 所以线段MN 为准圆22
4x y +=的直径， ||4MN ＝，
所以线段MN 的长为定值． ………………………………14分
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =
，1||(,2)2
n n b n n *
=∈≥N ，
∴231148
b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488
++=+-=-+=--=，，，
∴3S 可能值为1357
8888，，，． …………………………3分
（Ⅱ）∵311
(1)78
n n S =-，
当1n =时，1233111
(1)788
a a a S ++==-=，
当2n ≥时，32313333111111
(1)(1)78788
n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，
323131
8
n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， …………………………5分
∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫
∈⎨
⎬⎩⎭
N 的生成数列， ∴323212n n b --=±
；31311
2n n b --=±
；3312n n
b =±
；
∴323133231311111(421)()22288
n n n n n n n n b b b n *
----++=±±±=±±±=∈N ，
在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888
n n n n n n b b b n *--=
=-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2n
n n
n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． …………………………8分
（Ⅲ）231111
2222n n S =
±±±± 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即121
22
n n n n S -≤≤， 又1232221
2
n n n n n
S ---±±±±= ，分子必是奇数， 满足条件121
222
n n n n
x -≤≤的奇数x 共有12n -个． …………………………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．
由于1
||||2
k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，
， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++
12111122()2222
k k k n ++≤⨯
-⨯+++
11 / 11 1
111122()02222k k n n -=⨯
-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分 ∴2311112222
n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为135212222
n n n n n - ，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． …………………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。