屈服与破坏准则

如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为：
f {( 1 2 ) 2 [( 1 2 )sin 2c cos ]2 } {( 2 3 )2 [( 2 3 )sin 2c cos ]2 } {( 3 1 ) 2 [( 3 1 )sin 2c cos ]2 } 0
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
Lade屈服函数为：
I m 1 1 3/ 2 f p 9 I1 J 2 6 3J 2 sin 3 1 k kI13 0 p 27 27 a
I 13 I1 fp 27 k 0， 或 I 3 pa
§3.4 D-P准则
Drucker 与 Prager 于 1952 年提出 了考虑静水压力影响的广义 Mises 屈 服准则，即德鲁克－普拉格屈服准则。
1 或 f q 3 p k 0 3 D-P准则在主应力空间屈 服面是一个以等倾线为轴的 圆锥体表面，在 平面上的屈 服曲线为圆，在某一子午面 上为椭圆。
应力对屈服与破坏的影响，屈服曲面光滑没有棱角；但是，
它只适用于砂类土，还不能适用于岩石、混凝土以及超固 结粘土等具有抗拉强度或粘聚力的大多数岩土类材料；还 不能反映单纯的静水压力和比例加载时产生的屈服现象， 以及高应力水平作用下屈服曲线与静水压力的非线性关系。 从而，拉德又于 1977 年提出了具有两个屈服面的拉德屈服 条件。
§3.2 C-M准则
一、C-M准则
将 Coulomb-Mohe 函数的图像绘制在主应力空间、偏平 面或 2 0 的子午面内，相应的图像如下：
1
c
t
o
t
c
3
（a）主应力空间
（b）偏平面
（c） 2 0 子午面
C-M准则图像
§3.2 C-M准则
二、C-M准则的其它形式
） 1. p-q- 形式：（ 6 6
内切圆
内接圆时： 外接圆时：
2sin 9 3sin 2 2sin 9 3sin 2
, k
6c cos 9 3sin 2 6c cos 9 3sin 2
' 2
1'
, k
见左图。 实际应用时选择要慎重，因为 极限荷载相差很大。
' 3
§3.1 概述
二、屈服曲线的性质
空间屈服曲面直观，但研究起来不方便，因此，常研究
曲面在偏平面上的交线，或某一 为常数的平面（称子午面） 与曲面的交线。对这两种交线的研究意义重大，因为偏平面 上，屈服曲线只与J2、J3（或 ）有关；子午面上的屈服曲 线只与I1、J2有关。
平面上的剪切屈服曲线具有如下特性：
§3.2 C-M准则
一、C-M准则
即 Coulomb-Mohe 准则，我们已经很熟悉了。当知道主 应力的大小，即 1 2 3 时，表示为：
f tan c 0
f (1 3 ) (1 3 )sin 2c cos 0
莫尔－库仑屈服准则的优点：它能反映岩土类材料的抗 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性；而且模 型简单实用，材料参数少，c、 可以通过各种不同的常规 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服 和破坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。

C
D
E
S
A
B
o

通常，把材料进入无限塑性状态或丧失对外力的抵抗能 力时称作破坏 。 显然，理想塑性材料的初始屈服就是破坏；软化材料一 般认为达到强度最大被认为是破坏；硬化材料的破坏一般以 应变达到规定值时被认为是破坏。
§3.1 概述
一、基本概念
2. 屈服条件、加载条件与破坏条件
对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、何 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服、破坏 的条件和加、卸载条件。 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数；破坏条 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数；加卸载条件是加 卸载应力和硬化参量的函数。 因此，屈服条件也称屈服函数或屈服准则；破坏条件也 称破坏函数或破坏准则；加、卸载条件一般称加载函数或加 载准则。
1'
1'
' 2
' 3
' 2
' 3
金属类材料
岩土类材料
4特性证明：
对各向同性材料，与坐标无关，故120º 对称； 若拉压屈服不同，则坐标轴正向交点大小相同，负向大小相同，而 正、负向不同，故60º 对称——岩土类材料得证； 若拉压屈服相同，则 60º 对称，而且屈服函数均对坐标轴为偶函数 （以后证），故30º 对称——金属类材料得证。
屈服与破坏准则
任务：如何来理解屈服与破坏准则？
何为屈服？何为破坏？何为准则？如何得 到屈服和破坏的准则？ 屈服：由弹性进入塑性！ 破坏：变形过大丧失对外力的抵抗！ 准则：寻找一种数学上的联系！ 那么，如何得到这种联系呢？
第三章 屈服与破坏准则
§3.1 概述
只有确定材料的屈服与破坏， 才能进行塑性力学分析。 一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体受荷载作用，随着荷载增 大，由弹性状态过渡到塑性状态， 这个过程叫做屈服。
qБайду номын сангаас
q
p
p
q
指数 n 为 2 时，准则可以 是双曲线、抛物线或椭圆。
p
§3.3 Z-P准则
辛克维兹－潘德屈服条件则是针对莫尔－库仑屈服条件 的缺点，对莫尔－库仑屈服条件进行的修正与推广。辛克维 兹－潘德屈服条件的三种屈服曲线在 p － q 子午面上都是光 滑曲线，不仅有利于数值计算，而且在一定程度上考虑了屈 服曲线与静水压力的非线性关系，单纯的静水压力可以引起 屈服（椭圆形屈服曲线）以及中间主应力对屈服的影响（通 过 平面上的形状函数反映出来）。 因此，在岩土本构模型中常有应用。例如，著名的修正 Cambridge模型就是采用的椭圆形屈服曲线，而莫尔－库仑 屈服条件破坏线就是Cambridge模型的临界状态线。
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，或是等倾线上的一个点。 材料在屈服面内属弹性应力状态，所以屈服曲线在 平 面内必定是封闭的，否则将出现某些情况下材料永不屈服的 情况，这是不可能的。
§3.1 概述
二、屈服曲线的性质
2. 屈服曲线与坐标原点出发的任一向径必相交一次，且 仅相交一次。 即屈服曲线不仅是封闭的，而且是单连通的，否则将 导致同一应力状态既对应于弹性状态又对应于塑性状态，亦 即初始屈服只有一次。 3. 屈服曲线一定是外凸的。（以后证明） 4. 对于拉压屈服相同的材料，屈服曲线为 12个扇形的对 称图形；对于拉压屈服不同的材料，屈服曲线为 6 个扇形的 对称图形。
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
Lade 屈 服 函 数 的 几 何 与 物理意义为：在主应力空间，
2
拉德－邓肯屈服条件只有一个材料参数k（称屈服参数 ）， 可以由应力水平或三轴固结排水或不排水试验测定。当破坏 时k=kf ，称破坏参数。 L－D准则的屈服曲面在主应力空间为一个顶点在原点， 以等倾线为轴线，随应力水平不断扩张的开口曲边三角锥体。 屈服曲面与破坏曲线相似并以破坏曲面为其极限。
§3.5 L-D准则和Lade准则
= ± 30º 2. p-q 形式：（常规三轴拉压试验， ） 6sin 6c cos q p (拉取正，压取负） 3 sin 3 sin
当p=0时，可得到： qc 3 sin qt 3 sin 大家想想，该式说明什么？
§3.2 C-M准则
三、C-M准则的评价
内接圆
外接圆
§3.4 D-P准则
（ 1 ） D-P 屈服准则考虑了中间主应力对屈服的影响，屈 服曲面光滑，便于数值计算。 （ 2 ）材料参数少，且易于由试验测定，且可由 C － M 材 料参数换算。 （3）考虑了静水压力对屈服的影响，更适于岩土材料。 （4）没有考虑单纯的静水压力可以引起（岩土类）材料 屈服的特点。 （ 5 ）没有考虑岩土类材料在 平面上拉压强度不同的特 性。
m
和一个压缩屈服函数或屈服面，即：
fc I12 2I 2 r 2 0, 或 fc 12 22 32 r 2 0
其中， pa为大气压力； k 、 r 分别代表剪切与压缩的应 力水平；m为材料参数。由于这一屈服条件假设了两个屈服 函数，对应两个不同的屈服面，故称为双屈服面准则，或 称为修正的拉德－邓肯屈服准则。
§3.3 Z-P准则
为了克服 C － M 屈服准则屈服面（曲线）的棱角（尖 角），并考虑屈服与静水压力的非线性关系及中间主应力对 强度的影响， Zienkiewicz-Pande( 辛克维兹 - 潘德）于 1975 年 提出了他们的屈服准则，其一般形式为：
f p p k [
2
§3.5 L-D准则和Lade准则
一、L-D屈服准则
根据对砂土进行的大量真三轴试验资料，拉德（ Lade ） 与邓肯（ Duncan）于 1975年提出了适用于砂土的屈服与破坏 屈服条件。屈服函数为 ：
I13 f k 0 I3
或
f
1 1 1 3/ 2 J2 sin 3 I1 J 2 ( ) I13 0 3 27 k 3 3
J2 g ( )
]n 0
式中： 、 为系数，n为指数，一般为0、1、2，这三 个参数决定着屈服曲线在子午平面上的形状； k为屈服参数。 g ( ) 为 平面上屈服曲线的形状函数，取不同形 式，可得到不同的屈服条件，因此该准则可概括许多常用的 屈服准则，所以有人将其称为岩土材料的统一屈服准则。
f J 2 I1 k 0
1'

' 2
' 3
1
o
3
§3.4 D-P准则
D-P屈服准则的材料常数 和 k ，与C-M准则的 和 c 关 系不同，可得到不同的结果：
内切圆时： sin 9 3sin
2
, k
3c cos 9 3sin
2
一、L-D屈服准则
在 平面上的投影为一套随静水压力不断扩大的曲边三角 形。随着静水压力减小，曲边三角形曲率变大并接近圆形， 最后当p=0时收缩为一点。 在子午面上，屈服曲线为一族通过原点的射线。
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
虽然L－D屈服准则反映了三个主应力，特别是中间主
S
A
C
D
E B
o

图中A点之后的曲线均称屈服曲线。 称 S 为初始屈服应力，A点之后曲线上任一点均称为相 继屈服点。
§3.1 概述
一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体屈服后曲线如AB线的材料 称为理想塑性材料；如ACD线的材 料称为应变硬化（强化）材料；如 ACE线的材料称为应变软化材料。
§3.1 概述
一、基本概念 3. 屈服曲面、加载曲面与破坏曲面 对屈服函数在应力空间内的图像即为屈服曲面（在二维 应力空间内即为屈服曲线）。 屈服曲面上所有的点都表示介质初次屈服时的应力状态。 屈服曲面把应力空间分成两个部分：应力点在屈服面内属弹 性状态；在屈服面上的点材料开始屈服。 对于理想塑性材料，应力点不可能跑出屈服面之外；对 于硬化材料，在屈服面外则属塑性状态的继续，此时屈服函 数将是变化的，这种屈服函数一般叫做加载函数，亦称后继 屈服面或加载曲面。加载曲面的极限就是破坏曲面。
§3.3 Z-P准则
为了使 平面上屈服曲线 光滑，且在＝30时与C－M 屈服条件拟合，要求形状函 数满足以下条件：
dg( ) 0, d 6 g ( ) 1 6 3 sin g ( ) K 6 3 sin