屈服与破坏准则

S
A
C
D
E B
o

图中A点之后的曲线均称屈服曲线。 称 S 为初始屈服应力，A点之后曲线上任一点均称为相 继屈服点。
§3.1 概述
一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体屈服后曲线如AB线的材料 称为理想塑性材料；如ACD线的材 料称为应变硬化（强化）材料；如 ACE线的材料称为应变软化材料。
内切圆
内接圆时： 外接圆时：
2sin 9 3sin 2 2sin 9 3sin 2
, k
6c cos 9 3sin 2 6c cos 9 3sin 2
' 2
1'
, k
见左图。 实际应用时选择要慎重，因为 极限荷载相差很大。
' 3
莫尔－库仑屈服准则的优点：它能反映岩土类材料的抗 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性；而且模 型简单实用，材料参数少，c、 可以通过各种不同的常规 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服 和破坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。
§3.2 C-M准则
一、C-M准则
即 Coulomb-Mohe 准则，我们已经很熟悉了。当知道主 应力的大小，即 1 2 3 时，表示为：
f tan c 0
f (1 3 ) (1 3 )sin 2c cos 0
屈服与破坏准则
任务：如何来理解屈服与破坏准则？
何为屈服？何为破坏？何为准则？如何得 到屈服和破坏的准则？ 屈服：由弹性进入塑性！ 破坏：变形过大丧失对外力的抵抗！ 准则：寻找一种数学上的联系！ 那么，如何得到这种联系呢？
第三章 屈服与破坏准则
§3.1 概述
只有确定材料的屈服与破坏， 才能进行塑性力学分析。 一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体受荷载作用，随着荷载增 大，由弹性状态过渡到塑性状态， 这个过程叫做屈服。

C
D
E
S
A
B
o

通常，把材料进入无限塑性状态或丧失对外力的抵抗能 力时称作破坏 。 显然，理想塑性材料的初始屈服就是破坏；软化材料一 般认为达到强度最大被认为是破坏；硬化材料的破坏一般以 应变达到规定值时被认为是破坏。
§3.1 概述
一、基本概念
2. 屈服条件、加载条件与破坏条件
对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、何 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服、破坏 的条件和加、卸载条件。 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数；破坏条 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数；加卸载条件是加 卸载应力和硬化参量的函数。 因此，屈服条件也称屈服函数或屈服准则；破坏条件也 称破坏函数或破坏准则；加、卸载条件一般称加载函数或加 载准则。
§3.3 Z-P准则
为了克服 C － M 屈服准则屈服面（曲线）的棱角（尖 角），并考虑屈服与静水压力的非线性关系及中间主应力对 强度的影响， Zienkiewicz-Pande( 辛克维兹 - 潘德）于 1975 年 提出了他们的屈服准则，其一般形式为：
f p p k [
2
§3.1 概述
一、基本概念 3. 屈服曲面、加载曲面与破坏曲面 对屈服函数在应力空间内的图像即为屈服曲面（在二维 应力空间内即为屈服曲线）。 屈服曲面上所有的点都表示介质初次屈服时的应力状态。 屈服曲面把应力空间分成两个部分：应力点在屈服面内属弹 性状态；在屈服面上的点材料开始屈服。 对于理想塑性材料，应力点不可能跑出屈服面之外；对 于硬化材料，在屈服面外则属塑性状态的继续，此时屈服函 数将是变化的，这种屈服函数一般叫做加载函数，亦称后继 屈服面或加载曲面。加载曲面的极限就是破坏曲面。
一、L-D屈服准则
在 平面上的投影为一套随静水压力不断扩大的曲边三角 形。随着静水压力减小，曲边三角形曲率变大并接近圆形， 最后当p=0时收缩为一点。 在子午面上，屈服曲线为一族通过原点的射线。
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
虽然L－D屈服准则反映了三个主应力，特别是中间主
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
Lade 屈 服 函 数 的 几 何 与 物理意义为：在主应力空间，
f J 2 I1 k 0
1'

' 2
' 3
1
o
3
§3.4 D-P准则
D-P屈服准则的材料常数 和 k ，与C-M准则的 和 c 关 系不同，可得到不同的结果：
内切圆时： sin 9 3sin
2
, k
3c cos 9 3sin
2
1'
1'
' 2
' 3
' 2
' 3
金属类材料
岩土类材料
4特性证明：
对各向同性材料，与坐标无关，故120º 对称； 若拉压屈服不同，则坐标轴正向交点大小相同，负向大小相同，而 正、负向不同，故60º 对称——岩土类材料得证； 若拉压屈服相同，则 60º 对称，而且屈服函数均对坐标轴为偶函数 （以后证），故30º 对称——金属类材料得证。
内接圆
外接圆
§3.4 D-P准则
（ 1 ） D-P 屈服准则考虑了中间主应力对屈服的影响，屈 服曲面光滑，便于数值计算。 （ 2 ）材料参数少，且易于由试验测定，且可由 C － M 材 料参数换算。 （3）考虑了静水压力对屈服的影响，更适于岩土材料。 （4）没有考虑单纯的静水压力可以引起（岩土类）材料 屈服的特点。 （ 5 ）没有考虑岩土类材料在 平面上拉压强度不同的特 性。
§3.5 L-D准则和Lade准则
二、Lade屈服准则
Lade屈服函数为：
I m 1 1 3/ 2 f p 9 I1 J 2 6 3J 2 sin 3 1 k kI13 0 p 27 27 a
I 13 I1 fp 27 k 0， 或 I 3 pa
应力对屈服与破坏的影响，屈服曲面光滑没有棱角；但是，
它只适用于砂类土，还不能适用于岩石、混凝土以及超固 结粘土等具有抗拉强度或粘聚力的大多数岩土类材料；还 不能反映单纯的静水压力和比例加载时产生的屈服现象， 以及高应力水平作用下屈服曲线与静水压力的非线性关系。 从而，拉德又于 1977 年提出了具有两个屈服面的拉德屈服 条件。
§3.5 L-D准则和Lade准则
一、L-D屈服准则
根据对砂土进行的大量真三轴试验资料，拉德（ Lade ） 与邓肯（ Duncan）于 1975年提出了适用于砂土的屈服与破坏 屈服条件。屈服函数为 ：
I13 f k 0 I3
或
f
1 1 1 3/ 2 J2 sin 3 I1 J 2 ( ) I13 0 3 27 k 3 3
§3.3 Z-P准则
为了使 平面上屈服曲线 光滑，且在＝30时与C－M 屈服条件拟合，要求形状函 数满足以下条件：
dg( ) 0, d 6 g ( ) 1 6 3 sin g ( ) K 6 3 sin
q
q
p
p
q
指数 n 为 2 时，准则可以 是双曲维兹－潘德屈服条件则是针对莫尔－库仑屈服条件 的缺点，对莫尔－库仑屈服条件进行的修正与推广。辛克维 兹－潘德屈服条件的三种屈服曲线在 p － q 子午面上都是光 滑曲线，不仅有利于数值计算，而且在一定程度上考虑了屈 服曲线与静水压力的非线性关系，单纯的静水压力可以引起 屈服（椭圆形屈服曲线）以及中间主应力对屈服的影响（通 过 平面上的形状函数反映出来）。 因此，在岩土本构模型中常有应用。例如，著名的修正 Cambridge模型就是采用的椭圆形屈服曲线，而莫尔－库仑 屈服条件破坏线就是Cambridge模型的临界状态线。
2
拉德－邓肯屈服条件只有一个材料参数k（称屈服参数 ）， 可以由应力水平或三轴固结排水或不排水试验测定。当破坏 时k=kf ，称破坏参数。 L－D准则的屈服曲面在主应力空间为一个顶点在原点， 以等倾线为轴线，随应力水平不断扩张的开口曲边三角锥体。 屈服曲面与破坏曲线相似并以破坏曲面为其极限。
§3.5 L-D准则和Lade准则
m
和一个压缩屈服函数或屈服面，即：
fc I12 2I 2 r 2 0, 或 fc 12 22 32 r 2 0
其中， pa为大气压力； k 、 r 分别代表剪切与压缩的应 力水平；m为材料参数。由于这一屈服条件假设了两个屈服 函数，对应两个不同的屈服面，故称为双屈服面准则，或 称为修正的拉德－邓肯屈服准则。
= ± 30º 2. p-q 形式：（常规三轴拉压试验， ） 6sin 6c cos q p (拉取正，压取负） 3 sin 3 sin
当p=0时，可得到： qc 3 sin qt 3 sin 大家想想，该式说明什么？
§3.2 C-M准则
三、C-M准则的评价
§3.4 D-P准则
Drucker 与 Prager 于 1952 年提出 了考虑静水压力影响的广义 Mises 屈 服准则，即德鲁克－普拉格屈服准则。
1 或 f q 3 p k 0 3 D-P准则在主应力空间屈 服面是一个以等倾线为轴的 圆锥体表面，在 平面上的屈 服曲线为圆，在某一子午面 上为椭圆。
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，或是等倾线上的一个点。 材料在屈服面内属弹性应力状态，所以屈服曲线在 平 面内必定是封闭的，否则将出现某些情况下材料永不屈服的 情况，这是不可能的。