《择选12套试卷》辽宁省辽南协作校2020-2021学年度下学期高三第一次模拟考试数学模拟试卷含解析
辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=1−i|i|，下列说法正确的是()A. z的虚部为−iB. z对应的点在第一象限C. z的实部为−1D. z的共复数为1+i【答案】D【解析】解：∵z=1−i|i|=1−i，∴z的虚部为−1；z对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是()A. b≥2B. 1<b≤2C. b≤2D. b<1【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b<1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b<1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为()A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】C第2页，共14页【解析】解：连接BD ，BA 1， 因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，故选：C ．由异面直线角的作法得：连接BD ，BA 1，因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，由解三角形得：在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．4. 下列判断错误的是( )A. “|a|<|b|”是”|am|<|bm|”的充分不必要条件B. 若￢(p ∨q)为真命题，则p ，q 均为假命题C. 命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72，则P(ξ≤−1)═0.28 【答案】A【解析】解：A.当m =0时，若“|a|<|b|”，则”|am|<|bm|”不成立，即充分性不成立，故A 错误，B.若￢(p ∨q)为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确，C.命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“正确，故C 正确，D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>−1)， 则P(ξ≤−1)═1−P(ξ>−1)=1−0.72=0.28，故D 正确， 故错误的是A ， 故选：A ．A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断B.根据复合命题真假关系进行判断C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断D.根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5. 已知cosα=35，α∈(−π2,0)，则sin2α1−cos2α的值为( )A. −43B. 43C. −34D. 34【答案】C【解析】解：由cosα=35，α∈(−π2,0)， 得sinα=−√1−cos 2α=−45， ∴sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin 2α=cosαsinα=35−45=−34．故选：C ．由已知求得sinα，再由倍角公式求解sin2α1−cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6. 将函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是( )A. t 的最小值是π6，g(x)的对称中心为是(kπ2+π12,0)，k ∈Z B. t 的最小值为π6，g(x)的对称轴为x =kπ2+π3，k ∈ZC. t 的最小值为π12，g(x)的单调增区间为(kπ−π4,kπ+π4)，k ∈Z D. t 的最小值为π12，g(x)的周期为π【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，得到 g(x)=sin(2x +2t −π6)，由于函数g(x)是奇函数． 所以：2t −π6=kπ(k ∈Z)， 解得：t =kπ2+π12，由于t >0，所以：当k =0时，t 的最小值为π12，且函数的最小正周期为π． 故选：D ．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t 的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是( )第4页，共14页A. n ≤6？B. n >6？C. n ≤5？D. n >5？【答案】D【解析】解：第一次，s =2，a =4，不满足条件.n =2， 第二次，s =2+4=6，a =6，不满足条件.n =3， 第三次，s =6+6=12，a =8，不满足条件.n =4， 第四次，s =12+8=20，a =10，不满足条件.n =5， 第五次，s =20+10=30，a =12，不满足条件.n =6， 第六次，s =30+12=42，a =14，满足条件． 输出S =42，即n =6满足条件.，n =5不满足条件． 则条件应该为n >5？， 故选：D ．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(s >0,b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=4a ，且△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. √2D. √3【答案】C【解析】解：因为F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|+|PF 2|=4a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|−|PF 2|=2a ， 所以|F 1F 2|=2c ，|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ， △PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23， 由余弦定理，可得|PF 2|2=|F 1F 2|2+|PF 1|2−2|F 1F 2||PF 1|cos∠PF 1F 2， 即a 2=4c 2+9a 2−2×2c ×3a ×2√23，c 2−2√2ca +2a 2=0， 即c =√2a ， 所以e =ca =√2． 故选：C ．利用双曲线的定义求出|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，然后利用最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23，结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9. 函数f(x)=e |x|−2|x|−1的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】解：函数f(x)=e |x|−2|x|−1是偶函数，排除选项B ， 当x >0时，函数f(x)=e x −2x −1，可得f′(x)=e x −2，当x ∈(0,ln2)时，f′(x)<0，函数是减函数，当x >ln2时，函数是增函数， 排除选项A ，D ， 故选：C ．判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m ；第三步，估计π的值.若n =100，m =31，则估计π的值( )A.10031B. 8125C. 7825D. 3125【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对(x,y)满足{0<y <10<x<1，其表示图形的面积为1．第6页，共14页两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1， 则不等式组表示图形的面积为π4−12． 则：π4−12≈31100.解得π=8125． 故选：B ．两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1，从而不等式组表示图形的面积为π4−12.由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11. 若两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |，则向量b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |； ∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ 2=a ⃗ 2；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2；∴(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+a ⃗ 2+a ⃗ 2=3a ⃗ 2；∴|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，且b ⃗⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−12a ⃗ 2−a ⃗ 2=−32a ⃗ 2； ∴cos <b ⃗ ,a ⃗ −b⃗ >=b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )|b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=−32a ⃗ 2√3a⃗ 2=−√32； 又0≤<b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >≤π； ∴b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是：5π6． 故选：D ．根据|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |即可得出a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2，从而得出|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ 2，从而可求出cos <b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >=−√32，根据向量夹角的范围即可求出b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12. 斜率为43且过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则实数λ为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2). 直线方程为：y =43(x −1)，联立{y =43(x −1)y 2=4x，化为：y 2−3y −4=0，解得y 1=4，y 2=−1．∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，∴4=−λ×(−1)，解得λ=4． 故选：C ．抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2).直线方程为：y =43(x −1)，与抛物线方程联立解出坐标，再根据AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，利用向量坐标相等得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −1)(ax +1)6展开式中x 2的系数为0，则正实数a 的值是______． 【答案】25【解析】解：(x −1)(ax +1)6中，(ax +1)6中x 2的系数为：C 64a 2，x 项的系数为：C 65a ，(x −1)(ax +1)6展开式中含x 2项的系数为0，可得：−C 64a 2+C 65a =0，则15a =6，所以a =25， 故答案为：25．求出(ax +1)6展开式中含x 2项的系数以及x 项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14. 正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______． 【答案】√32【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：12×√12+12+12=√32．故答案为：√32．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为b 23sinB，若6cosA ⋅cosC =1，b =3，则∠ABC =______． 【答案】π3【解析】解：∵△ABC 的面积为b 23sinB =12acsinB ，b 2=32acsin 2B ， ∴由正弦定理可得：sin 2B =32sinAsinCsin 2B ， ∴可得：sinAsinC =23，∵6cosA ⋅cosC =1，可得：cosAcosC =16，∴cos∠ABC =cos[π−(A +C)]=−cos(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =23−16=12，第8页，共14页∵∠ABC ∈(0,π)， ∴∠ABC =π3．故答案为：π3．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC =23，又由6cosA ⋅cosC =1，可得cosAcosC =16，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC 的值，结合范围∠ABC ∈(0,π)，即可得解∠ABC =π3．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16. 若直线y =x +1是曲线f(x)=x +1x −alnx(a ∈R)的切线，则a 的值是______． 【答案】−1【解析】解：设切点的横坐标为x 0，f′(x)=1−1x2−ax=x 2−ax−1x 2=1⇒x 0=−1a⇒−a =1x 0，则有：f(x 0)=x 0+1x 0−alnx 0=x 0+1⇒lnx 0−x 0+1=0，令ℎ(x)=lnx −x +1⇒ℎ′(x)=1x −1=0⇒x =1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 又因为ℎ(1)=0，所以x 0=1⇒a =−1； 故答案为：−1．设切点的横坐标为x 0，求出导函数，利用直线y =x +1与曲线y =f(x)相切，转化求解切点横坐标以及a 的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(12)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2． 当n =1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1(首项符合通项)， 故：a n =2n −1． (2)由于a n =2n −1， 所以：b n =(12)a n =(12)2n−1， 则：b n+1b n=(12)2n+1(12)2n−1=14，所以：数列{b n }是以首项为12，公比为14的等比数列． 故：T n =12(1−14n )1−14=23(1−14n )．【解析】(1)首先求出数列的通项公式，(2)利用(1)的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．(1)求a ，b 的值；(2)若高校A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)考B 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得： {b ×0.2=110(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1，解得b =0.5，a =1．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人， 在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人， 随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)=C 103C 50C 153=2491， P(ξ=2)=C 102C 51C 153=4591， P(ξ=3)=C 104C 52C 153=2091，第10页，共14页P(ξ=4)=C 100C 53C 153=291，E(ξ)=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a ，b ．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P(2√63,√33)满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线1经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1⋅k 2的值．【答案】解：(1)依题意F 1(−c,0)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3 ∵e =ca =√32， ∴a =2，∴b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，得(1+4k 2)x 2+8√3k 2x +4(3k 2−1)=0， 则x 1+x 2=8√3k 21+4k2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列， ∴k 1⋅k 2=k 2=y 1y 2x 1x 2=k 2(x 1−√3)(x 2−√3)x 1x 2，则√3(x 1+x 2)=3， 即8√3k 21+4k 2=√3，解得k 2=14 故k 1⋅k 2=14．【解析】(1)依题意F 1(−c,0)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3，根据离心率求出a ，即可求出b ，可得椭圆方程(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20. 已知在四棱P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2，AB =1，PA ⊥平面ABCD ，F 是线段BC 的中点．(1)求证：PF ⊥FD ；(2)若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45∘，求二面角A −PD −F 的余弦值；(3)画出平面PAB 与平面PDF 的交线l.(不写画法)【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，∴P(0,0，ℎ)，B(1,0，0)，D(0,2，0)，C(1,2，0)，F(1,1，0)，E(12,0，0)，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−ℎ)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ； (2)解：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PB 在底面ABCD 的投影为BA ，∴∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，即∠PBA =45∘，∴△PBA 为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即ℎ=1． ∴平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面， ∴平面APD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设二面角A −PD −F 的平面角为θ，可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√6=√66； (3)解：如图，延长DF ，AB 交于G ，连接PG ， 则PG 即为所求直线l ．【解析】(1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，分别求出P ，B ，D ，C ，F ，E 的坐标，然后证明PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ；(2)由PA ⊥底面ABCD ，可得PB 在底面ABCD 的投影为BA ，得到∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，由此求得平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面，可得平面APD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A −PD −F 的余弦值；(3)延长DF ，AB 交于G ，连接PG ，则PG 即为所求直线l ． 本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.已知函数f(x)=lnx−ax+1x．(1)若1是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)在(1)的条件下证明：f(x)≤xe x−x+1x−1．【答案】解：(1)f′(x)=1x −a−1x2，(x>0)，f′(1)=1−a−1=0，故a=0，(2)f′(x)=−ax2+x−1x2，方程−ax2+x−1=0的判别式△=1−4a，①当a≥14时，△≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)递减，②当0<a<14时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a>0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,x2)递增，在(x2,+∞)递减，③当a=0时，f′(x)=x−1x2，f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，④当a<0时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a<0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,+∞)递增；(3)在(1)的条件下f(x)≤xe x−x+1x−1，xe x−lnx−x−1≥0，g′(x)=(x+1)e x−1x−1，令ℎ(x)=(x+1)e x−1x−1，ℎ′(x)=(x+2)e x+1x2>0，(x>0)，故ℎ(x)在(0,+∞)递增，又ℎ(12)<0，ℎ(e)>0，故∃x0∈(12,e)，使得ℎ(x0)=0，即x0e x0=1，g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，第12页，共14页故g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−ln 1e x 0−x 0−1=0， 故f(x))≤xe x −x +1x −1．【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)=0，得到关于a 的方程，解出即可； (2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(3)求出函数的导数，令ℎ(x)=(x +1)e x −1x −1，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为π4；曲线C 1的参数方程{x =√33cosαy =sinα(α为参数)；曲线C 2的参数方程为{x =3+√13cosαy =2+√13sinα(α为参数)．(1)求直线1的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线1与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M 、N ，求M 、N 之间的距离．【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)； 曲线C 1 的普通方程为x 213+y 2=1；曲线C 2的普通方程为(x −3)2+(y −2)2=13． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2=11+2cos 2θ， 曲线C 2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ， ∴|OM|=6cos π4+4sin π4=5√2，|ON|=√1+2×(√22)=√22，可得|MN|=|ON|−|OM|=5√2−√22=9√22．【解析】(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；利用sin 2α+cos 2α=1可得C 1和C 2的普通方程；(2)将C 1，C 2化成极坐标方程后将θ=π4代入可求得|OM|，|ON|，再相加． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 设函数f =|x +1|−|2x −4|．(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)>t 2+2t 解集非空，求实数t 的取值范围． 【答案】解：(1)|x +1|−|2x −4|>2， 等价为{x −5>2x<−1或{−1≤x ≤23x−3>2或{−x +5>2x>2， 可得x ∈⌀或53<x ≤2或2<x <3，即为53<x<3，则原不等式的解集为(53,3)；(2)关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空，可得t2+2t<f(x)max，由f(x)=|x+1|−|x−2|−|x−2|≤|x+1−x+2|−0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t<3，解得−3<t<1．【解析】(1)运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；(2)由题意可得t2+2t<f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．第14页，共14页。
辽宁省辽南协作体2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷答案(PDF版)
（2）由（1）知 |TF|=
1+m2,|PQ|=
1+m2|y1-y2|=
24(1+m2) 3+m2 ……8分
|TF|
所以 |PQ|=
214(mm22++31)2 =
214(m2+1+m24+1+4)≥
33……10分
当且仅当
m2+1=m24+1，即
m=?1时等号成立，此时
|TF|
|PQ|取得最小值
T点的坐标为 (-3,1)或 (-3,-1)……12分
2
所以曲线 C1和 C2相离 .……5分
{ （2）将 xy==3ts+intαcosα代入 x2+y2+2x=0，整理得 t2+8tcosα+15=0
由 Δ>0得 cos2α>1165
设交点 M，N对应的参数分别为 t1,t2
{则 tt11t+2=t21=5-8cosα……7分
因为 |PM|+|PN|=5|MN|所以 |t1|+|t2|=5|t1-t2| 又 t1t2>0 所以 |t1+t2|=5|t1-t2| 即（t1+t2）2=25（t1-t2）2=25（t1+t2）2-100t1t2 所以 24(-8cosα)2=100?15 解得：cos2α=112285>1165
故 sinα=166……10分
选修 4－5：不等式选讲来自?-3x-2,x<-2 23.解：（1）因为 f(x)=|x-2|+|2x+4|=??x+6,-2≤x≤2……2分
??3x+2,x>2 当 x<2时,不等式无解 当 -2≤x≤2时,不等式解集为[-1 2,2] 当 x>2时,不等式解集为[2,+∞) 综上:{x|x≥-12}……5分 （2）根据函数图像可知，函数的最小值为 f(-2)=4 ∴a=4
2020届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省辽南协作校高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20M x =，，{}1,2N =，若{}2M N =I，则=M N U ( )A ．{}20,,1,2x B ．{}2,0,1,2C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2【答案】C【解析】由{}2M N =I 可知2M ∈，进而可求得集合M ，即可求得M N ⋃. 【详解】 集合{}20M x=，，{}1,2N =，{}2M N =I，则2M ∈，所以{}02M =，， 则{}0,2=,1M N U ， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)|2|i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】根据复数z 满足(1)|2|i z i +=，利用复数的除法求解. 【详解】∵(1)|2|2i z i +==， ∴211z i i==-+. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．设,a b rr 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：由a b =r r无法得到a b a b +=-r r r r ，充分性不成立；由a b a b +=-r r r r ，得0a b ⋅=r r ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算 【名师点睛】由向量数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r (为a r ，b r的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4．若空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．13l l ⊥ B ．1l 与3l 既不垂直又不平行 C ．1//l 3l D ．1l 与3l 的位置关系不确定【答案】D【解析】根据12l l ⊥，23l l ⊥，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项. 【详解】空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥， 位置关系可如下图所示：根据图示可知，当1l 取两个不同位置时，满足12l l ⊥，23l l ⊥，可排除ABC 选项， 即1l 与3l 的位置关系不确定， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.5．已知正三棱锥P ABC -，点P 、A 、B 、C 都在直径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．112【答案】A【解析】将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出,,PA PB PC 的长，由此求得正三棱锥的体积. 【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设PA PB PC x ===， 由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同， 正方体的体对角线即为外接球的直径， 即33,1x x ==，所以正三棱锥的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.6．点()5,3M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．236y x =- C ．212y x =或236y x =-D ．2112y x =或2136y x =- 【答案】D【解析】根据点M 到准线的距离为1|3|64a+=，分0a >和0a <两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程． 【详解】当0a >时，开口向上，准线方程为14y a =-，则点M 到准线的距离为1364a+=，求得112a =，抛物线方程为2112y x =， 当0a <时，开口向下，准线方程为14y a =-，点M 到准线的距离为1|3|64a+=解得136a =-，抛物线方程为2136y x =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论. 7．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ） A ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1 2,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,0-【答案】C【解析】2211sin sin sin 24y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，由于[]sin 1,1x ∈-，故当1sin 2x =时，函数取得最大值为14，当sin 1x =-时，函数取得最小值为2-，故函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法.第一步首先用同角三角函数关系将cos x 化为sin x ，转化为同一个角的式子，为后续配方法做好准备.第第二步配方之后利用三角函数的值域，即可求得函数的值域.8．函数1()||(1)x xe f x x e +=-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解． 【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 【考点】三角函数图象.10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．6海里B ．406C ．(2013海里D ．40海里【答案】A【解析】在ACD V 中，1590105,30ADC ACD ∠=+=∠=o o o o，所以45CAD ∠=o ， 由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin 2202sin 2CD ACD AD CAD ⨯∠===∠ 在Rt DCB ∆中，45BDC ∠=o ，所以2402BD CD ==，在ABD ∆中，由余弦定理可得：22212cos 8003200220240224002AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=+-⨯=，解得206AB =11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为111=224⨯，所以甲应分得112(1)94⨯-=张牌，乙应分得11234⨯=张牌，故选A ． 【考点】排列组合问题．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点分别为1A ，2A ，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．32⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，先求得直线BF 的方程，由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=可得线段BF 与以12A A 为直径的圆相交，即可求得22102b a <<；再根据a b <即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，不妨设()(),0,0,F c B b ，则直线BF 的方程为0bx cy bc +-=，因为在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，所以线段BF 与以12A A a <，化简可得()22222b c a b c <+，双曲线中满足222b c a =-，代入上述不等式可得42240a a b b +->，则220b a <<， 由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222AP A A P A π∠=∠=可知a b <，所以22112b a<<，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为⎛ ⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()291log 1,02,0x x x f x x +⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f +=______．【答案】3【解析】利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意，()()0190log 1012123ff ++=-+=+=.故答案为：3.14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有______石. 【答案】170【解析】根据等古典概型概率公式求法即可得解. 【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有281530=170252⨯石 故答案为：170. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为______.【答案】573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式. 【详解】由题意可设12axy ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当5730x =时，12y =，即57301122a⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得15730a =， 所以573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题. 16．已知()()ln f x x e x =+，()31332g x x x m =++，对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭时都有()()f x g x ≤恒成立，则m 的取值范围为______.【答案】23m ≥【解析】构造函数()()()1,2F x g x f x x =-≥，利用导数研究()F x 的最小值，由此列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】构造函数()()()3131ln ,322F x g x f x x e x x x m x ⎛⎫=-=+--+≥ ⎪⎝⎭，依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立.()21ln 2F x x x e =+'--， ())2111212x F x x x xx+--=''=-=，所以()F x '在区间12⎛⎝⎭上递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 所以()F x '在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为11ln 202F e =+-<⎭'⎝， 11113ln ln 2024224F e e ⎛⎫=-+-=+-< '⎪⎝⎭，()21ln 02F e e e e =-+->'，102F e e '=--=，所以在区间12⎛⎝，()0F x '<，在区间)+∞，()0F x '>，所以当x =()F x有最小值313ln 32Fe m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭23m =+. 依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，0m ≥，解得23m ≥故答案为：23m ≥【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合条件式即可判断数列{}n a 为等比数列，即可由首项与公比求得数列{}n a 的通项公式.（2）将数列{}n a 的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列{}n b 为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）∵13122n n S a a =-， ∴当2n ≥时，1113122n n S a a --=-.∴113322n n n n n a S S a a --=-=-，∵13a =，∴13nn a a -=，故{}n a 为等比数列，公比为3，首项为3. ∴1333n nn a -=⨯=.（2）∵3nn a =，可得()1213nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴()2341111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()23451111111135721333333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2345121111111222222133333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得113n nn T +=-. 【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题. 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录. 2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数. ②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望． 【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数； ②根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出X 的分布列和期望. 【详解】 （1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-= 解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ==== ()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ==== X0 1 2P371021 221所以()31022012721213E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，考查超几何分布的分布列和期望的计算，属于基础题.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点（1）证明：11B C CE ⊥；（2）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26，求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）通过勾股定理计算证明证得111B C EC ⊥，再证得111CC B C ⊥，由此证得11B C ⊥平面1CC E ，从而证得11B C CE ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用1EM EC λ=u u u u r u u u u r得出M 点的坐标，根据直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26列方程，解方程求得λ的值，进而求得线段AM 的长.（1）在11B C E △中2211115EB EA A B =+=，22111111()22A B B C A D =+=， 2211113EC ED D C =+=，∴2221111B C EC EB +=，111B C EC ⊥∵1AA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，又1AA ∥1CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ， 所以111CC B C ⊥且111CC EC C =I ∴11B C ⊥平面1CC E ，∴11B C CE ⊥（2）由题可知，DA ，1AA ，AB 两两垂直，以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E()0,1,0AE =u u u v ，()11,1,1EC =u u u u v ，设1EM EC λ=u u u u r u u u u r ，则()(),,,01EM λλλλ=≤≤u u u u v则(),1,AM AE EM λλλ=+=+u u u u v u u u v u u u u v易知()0,0,2AB =u u u v为平面11ADD A 的一个法向量.设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成角，则22sin cos ,321AM AB AM AB AM AB θλλ⋅====⋅++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v 解得13λ=，15λ=-（舍去） 所以141,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u v ，2AM =u u u u v，故线段AM 的长为2.本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（2）当TFPQ最小时，求点T 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()3,1-或()3,1--.【解析】（1）由椭圆的标准方程可得F 的坐标，设T 点坐标为()3,m -，可得直线TF 的斜率，讨论0m ≠与0m =两种情况，设直线PQ 的方程是2x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y ；联立直线与椭圆方程，即可用m 表示点M 的坐标，即可证明结论.（2）由（1）结合弦长公式，表示出,TF PQ ，即可得TFPQ，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时m 的值，进而得点T 的坐标. 【详解】（1）证明：椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点， 所以F 得坐标为()2,0-，设T 点坐标为()3,m -， 则直线TF 的斜率TF k m =-， 当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=， 直线PQ 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线PQ 的方程2x =-， 也符合方程2x my =-的形式，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立得：222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()223420m y my +--=， 有()22122122168304323m m m y y m y y m ⎧∆=++>⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，设PQ 的中点M 的坐标为1200022(,),23y y mx y y m +==+， 002623x my m -=-=+， 2262,33m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭， 所以直线OM 的斜率3OM m k =-，又因为直线OT 的斜率3OT mk =-， 所以点M 在直线OT 上，因此线段OT 平分线段PQ .（2）由（1）知TF =，)212213m PQ y y m+=-=+，所以3TF PQ ==， 当且仅当22411m m +=+， 即1m =±时等号成立，此时TFPQ取得最小值， T 点的坐标为()3,1-或()3,1--【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题. 21．已知函数()cos sin xf x x x x e ax =++-（1）若函数()f x 在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若12x x ≠，()()12f x f x =，求证：'1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭.（()f x '【答案】（1）1a =，函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）利用()00f '=求得a 的值.再结合()f x '求得()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.（2）将要证明的不等式1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'转化为证明12x x <-，进一步转化为证明()()0,(0,]2f x f x x π-->∈.利用构造函数法，结合导数证得()()0f x f x -->在区间(0,]2π上成立，由此证得不等式1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'成立. 【详解】（1）()cos xf x x x e a =+'-()000k f e a ='=-=∴1a =所以()cos 1xf x x x e =+-'当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 递减，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 递增所以函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1x 与2x 异号，不妨设12022x x ππ-≤<<≤，则12424x x ππ+-<< 因为()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 要证1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，需要证明12[,0)22x x π+∈-，需要证明12x x <- 因为12,x x -∈,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴需证()()12f x f x >-，即需要证明()()22f x f x >-，即()()220f x f x --> 即()()0,f x f x x -->∈(0,]2π 令()()(),0,2h x f x f x x π⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦()()()h x f x f x '='+'-()cos 1cos 1x x x x e x x e -=+---+-1220x x e e =+->-= 所以()h x 在(0,]2π上递增()()00h x h >=综上1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭' 【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=. （1）若4πα=可，试判断曲线1C 和2C 的位置关系； （2）若曲线1C 与2C 交于点M ，N 两点，且()3,0P，满足5PM PNMN +=.求sin α的值.【答案】（1）相离；（2. 【解析】（1）将4πα=代入，可将1C 和2C 转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断1C 和2C 的位置关系；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定12,t t 的关系，进而求得sin α的值. 【详解】（1）曲线1C的参数方程为32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为30x y --=，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=，∴2C 的直角坐标方程2220x y x ++=，是以()1,0-为圆心，1为半径的圆， 因为圆心到直线30x y --=的距离1d ==>， 所以曲线1C 和2C 相离.（2）将3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2220x y x ++=.整理得28cos 150t t α++=， 由>0∆得215cos 16α>， 设交点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ， 则12128cos 15t t t t α+=-⎧⎨=⎩，因此5PM PN MN +=所以12125t t t t +=-， 又120t t >，所以12125t t t t +=-，即()()()222121212122525100t t t t t t t t +=-=+-， 所以()2248cos 10015α-=⨯， 解得212515cos 12816α=>，故sin α=【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|2||24|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ≥-+；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1{|}2x x ≥-；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()24f -=，则4m n +=，0m >，0n >，根据()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,26,2232,2x x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时，3234x x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2x x ≥-.（Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()111122144n m m n ⎛⎫=+++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当n mm n=，即2m n ==时，取“=”. ∴11m n+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。
2020届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试英语试题(带答案解析)
2020届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试英语试题The traditional Chinese lunar calendar divides the year into 24 solar terms. Minor Snow, the 20th solar term of the year, begins this year on Nov.22 and ends on Dec.6.Here are five things you should know about Minor Snow.Light snowAn ancient Chinese book about plants explains that “in Minor Snow, the weather is cold and it is going to snow, but the snow is light and the earth is not frozen enough.”Drinking soupDuring Minor Snow, indoor heating begins to work, making most people might find their noses and mouths feel a bit dry. The solution is to drink more hot soup, such as cabbage and bean curd soup, mutton and radish (小萝卜) soup and so on.Eating glutinous (粘的) rice cakesPeople have glutinous rice cakes around Minor Snow, which in ancient times, were a traditional festival offering to the bull god.Making preserved porkAfter Minor Snow, the temperature declines sharply and the air becomes dry. It is the best time to start making preserved pork to eat in the bitter winter, especially in the Spring Festival. In the past, when storage conditions were poor, people developed many ways to store food and preserved pork is one such example. Some even say preserved pork tastes more delicious than fresh meat.Avoiding spicy foodOn cold days, people may be greedy for some hot and spicy food to keep warm.Experts say it’s wise not to eat overly spicy food since that will increase your inner heat.1．Which of the following is true about Minor Snow?A．It will certainly snow in this term.B．It has the coldest days of the year.C．It is a term used in China’s northern areas.D．It is a term concerned with weather in China.2．Which food is recommended to eat in Minor Snow?A．Cabbage and bean curd soup. B．Preserved pork.C．Cakes. D．Spicy food.3．Why did people make preserved pork in the past?A．Because people found it hard to store meat in cold winter.B．Because it was more delicious to eat than fresh meat.C．Because people couldn’t afford to buy fresh pork.D．Because nowhere could people buy fresh pork in winter.For many, finding an unattended wallet filled with 400 in cash would be a source of temptation (诱惑). But the urge would no doubt be greater if you were living on the streets with little food and money. All of this makes the actions of the homeless Tom Smith even more remarkable.After spotting a wallet on the front seat inside a parked car with its window down, he stood guard in the rain for about two hours waiting for the owner to return.After hours in the cold and wet, he reached inside and pulled the wallet out hoping to find some ID so he could contact the driver, only to discover it contained 400 in notes, with another 50 in spare change beside it.He then took the wallet to a nearby police station.When the car’s o wner John Anderson and his colleague Carol Lawrence returned to the ear, they were shocked to find two policemen standing next to it. The policemen told them what Mr. Smith did and that the wallet was safe.The pair were later able to thank Mr. Smith for his kindness.Mr. Anderson said: “I couldn’t believe that the guy never took a penny. To think he is sleeping on the streets tonight when he could have stolen the money and paid for a place to stay in. This guy has nothing and yet he didn’t take the wallet for himself; he thought about others instead. It’s unbelievable. It just proves there are honest guys out there.”Mr. Smith’s act drew much of the public’s attention and won praise from social media users after Mr. Anderson posted the story on Facebook.Now Mr. Anderson has set up an online campaign to raise money for Mr. Smith and other homeless people in the area, which by yesterday had received 8,000. “People have been approaching him in the street; he’s had job offers and all sorts,” Mr. Anderson commen ted. 4．Which of the following can we learn from the passage?A．There was E400 in total in the unattended wallet.B．The police found the owner of the wallet through an ID card.C．John and his colleague thanked Tom Smith later face to face.D．Tom Smith might later get a job offered by kind people.5．Mr. Anderson’s words tell us that________.A．sometimes he didn’t have faith in othersB．Tom Smith took some pennies from the walletC．usually the homeless are greedy for moneyD．Tom Smith was always thinking of others6．Which words can best describe Tom Smith?A．Generous and considerate.B．Kind and honest.C．Respectful and determined.D．Reliable and stubborn.7．What does the passage mainly talk about?A．Kind people assisted a homeless man in their own ways.B．A homeless man returned an unattended wallet to its owner.C．The police helped find out the owner of an unattended wallet.D．Social media played a major role in helping the homeless.Ten minutes of gentle exercise can immediately change how certain parts of the brain communicate and coordinate (协调) with one another and improve memory function, according to an encouraging new study.The scientists invited 36 people of different ages to the lab and had them sit quietly on a fixed bicycle for 10 minutes or, on a separate visit, pedal the bicycle at a pace so gentle that it barely raised their heart rates. It also was short, lasting for only 10 minutes. Immediately after each session of the sitting or slow pedaling, the people completed a computerized memory test during which they would see a brief picture of, for instance, a tree, followed by a variety of other images and then a new image of either the same tree or a similar one. The people would press buttons to show whether they thought each image was new or the same as an earlier shot. The test is difficult, since many of the images closely resemble one another. It requires rapid, skillful scanning recent memories to decide whether a picture is new or known. Next, the scientists had each person repeat this process — riding or sitting on the bike for 10minutes and then completing memory testing — but the testing now took place inside an M.R.I. machine (磁共振成像仪) that scanned the people’s brains while they responded to the images.Then the researchers compared results. The effects of the exercise were clear. The people were better at remembering images after they had ridden the bike, especially when the images most closely resembled one another. In other words, the harder their memories had to do their best, the better they performed after the exercise. The M.R.I. scans showed that memory parts of each person’s brain lit up at the same time with parts of the brain associated with learning, indicating that these physically separate parts of the brain were better connected now than when the people had not first exercised.8．Which can replace the underlined word in the second paragraph?A．Picture. B．Film.C．Remark. D．Scene.9．According to the passage we know that_________.A．a ten minutes’ exercise is the best method of memorizing thingsB．the brain works better when a person frequently exercisesC．exercise can help different parts of the body work togetherD．memory function can be improved after gentle exercise10．The study result will be most beneficial to________.A．a player competing in bicycle ridingB．a young man crazy about experimentsC．a student preparing for an examinationD．a retired man taking exercise in the park11．Why does the writer write the article?A．To urge people to exercise before learning.B．To present an inspiring new study result.C．To show how an M.R.I. machine works.D．To prove the good effects of exercise.Garbage sorting has become a hot issue around China,especially after Shanghai began carrying out a regulation on July 1.Beijing has thus been expected to follow suit. The current regulation gives garbagesorting responsibilities to government departments, property management groups and other organizations. It also gives rules for companies, outlining how they’re responsible for waste collection, transportation and treatment. Only individuals are not subject to responsibilities.The long-awaited revision will soon change the situation. “Taking out the trash without sorting it properly will be illegal,” said Sun Xinjun, director of the B eijing Commission of Urban Management. In Shanghai, violators are now fined up to 200 yuan for trash-sorting violations (违背). The maximum fine in Beijing will not be less than that, he said.The Beijing city government first set out to promote garbage sorting in 2009. Authorities have since called on citizens to sort their household waste into four types-recyclable waste, kitchen trash, dangerous waste and others — and leave it in a corresponding (相应的) dustbin or trash can. Blue-colored dustbins indicate items within are recyclable, green represents kitchen trash, red corresponds to dangerous materials and grey to other waste.To promote the awareness of garbage sorting and expand the base of participants, authorities have employed workers to help residents on the spot. With intelligent devices, those who throw in recyclable waste at given sites will be rewarded with bonus points, which can be used to buy daily goods. At some communities, there are no color-coded dustbins. Instead, a scheduled garbage collection service is offered to help improve the environment. In other communities, workers offer a door-to-door service to collect recyclables or kitchen waste.Beijing Environmental Sanitation Engineering Group has been promoting new garbage sorting facilities such as recycling cabinets and smart kitchen waste trash cans since 2016, Xinhua News Agency reported.12．Which of the following shouldn’t be thrown into a blue dustbin?A．Coke cans. B．Used books.C．Thrown-away batteries. D．Abandoned iron pots.13．It’s kn own from the passage that _______.A．Shanghai carried out garbage sorting later than BeijingB．Green color indicates recyclable waste like deserted clothesC．people sorting recyclable waste will be rewarded throughout BeijingD．citizens are not responsible for garbage sorting in Beijing now14．What is the best title for the text?A．An Example in Garbage Sorting in ShanghaiB．Action to Be Taken to Sort Garbage in ShanghaiC．Present Garbage Collection in BeijingD．New Garbage Sorting Regulation in Beijing15．Where can you read the article?A．A fashion magazine. B．A science book.C．A government report. D．A newspaper.Many of us choose to live in smaller spaces, especially in big cities, than we’d like owing to the high housing price16．They’re cheaper to decorate. It can take thousands of dollars worth of decoration simply to make a large space look inviting. Small spaces, however, make decorating more simple and affordable. Instead of many pieces of large, expensive furniture, you only need a few to make your style sing. You’ll have plenty of money left for other things.They’re easier to clean.17．The bigger the space, the longer it takes to organize and tidy up.No one wants to spend hours just cleaning. That’s why small spaces are welcomed by those who like being surrounded by order and cleanliness and don’t want to spend a ton of time and energy in keeping them that way.18．It takes a lot to pay for heating, cooling and electricity, which can also cost much energy. When you compare the electricity bill of someone living in 500 square feet with that of someone living in 3,000 square feet, the difference can be great. 19．So it also does good to our beloved Mother Nature. They’re easier to personalize. Ever have you walked into a large home that feels mor e like a museum than the small home of someone you know? It’s usually not the most familiar or welcoming atmosphere. Actually, you want your home to show your personal style. 20．A．They are more expensive to live in.B．They’re more economical and greener t o maintain.C．Living in small homes makes your life more convenient.D．That must be one of your favorite things in such a busy life.E.Less energy is used and less waste is produced in small spaces.F.It is not that bad, however, considering their advantages.G.It is much easier to decorate a small home in your own style.I first began experiencing anxiety and depression at the age of 14, after beingbullied (欺凌) at school for years. While at first anxiety and depression would come and go, it21 became a constant part of my life.I was so eager to find the 22 to overcoming my anxiety and depression that I tried everything from when I was in college to graduate school: mood-changing medication, special teas, yoga, anything I 23 in books, and advice given by doctors. Despite this, I still felt I hadn’t 24 come close to managing the problem.But one afternoon, my eyes 25 an article in a magazine I was reading that talked about how 26 were able to help people with anxiety and depression. The very next day,I 27 to get a dog —a corgi. When I brought my little corgi, Buddy, home, I didn’t28 how much he would change my life. It didn’t happen right away, 29Once the “puppy excitement” went away, my anxiety and dep ression 30 as usual. One morning, I woke up with those 31 feeling again. I didn’t want to get out of bed. I turned to pull the 32 back over my head and give up. That’s when I saw Buddy.Buddy started jumping all over me, licking my face and 33 me know that it was time to go outside. It was 34 he were saying, “There is no time to be sad; the world is 35 !” And for the first time in my life, my life was changing. I really was a 36 person. This was my new beginning.It’s been more than a year since that day, and I’ve never spent another morning 37to get out of bed. I’ve not 38 myself to sleep or spent my days stuck with fear and regret. Sure, I still have days when I feel sad and anxious. But with Buddy, my best friend, by my 39 , I’ve finally learned how to40 these feelings and emotions. 21．A．easily B．eventually C．obviously D．consequently 22．A．comment B．instruction C．solution D．message 23．A．read about B．came about C．talked about D．wandered about 24．A．again B．too C．only D．even 25．A．spread out B．paid off C．fell upon D．turned up 26．A．dogs B．articles C．animals D．cats 27．A．explored B．challenged C．regarded D．decided 28．A．doubt B．recognize C．realize D．advocate 29．A．therefore B．however C．otherwise D．instead 30．A．broke out B．blew up C．came back D．went away 31．A．skeptical B．crazy C．silent D．familiar32．A．sheets B．covers C．clothes D．towels 33．A．lifting B．letting C．getting D．leaving 34．A．as if B．even if C．now that D．in that 35．A．frustrating B．challenging C．amazing D．boring 36．A．new B．special C．necessary D．significant 37．A．unknown B．inconvenient C．unable, D．inaccurate 38．A．lost B．cried C．persuaded D．shouted 39．A．side B．end C．top D．bottom 40．A．match B．count C．present D．manage阅读下面短文，在空白处填人1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
辽宁省协作校2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3,4A =，且A B A = ，则集合B 可以是()A.{}1,2,3 B.{}21x x> C.{}2log 0x x > D.{}|21xx >2.已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A.1a =，3b =-B.1a =-，3b =C.1a =-，3b =- D.1a =，3b =3.已知,R a b ∈．则“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22:13-=y C x 的下焦点和上焦点分别为12F F ，，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若2F AB 面积是1F AB 面积的4倍，则m =（）A.3B.3- C.103D.103－5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）A.124B.118C.112D.166.若函数()f x 使得数列()n a f n =，*n ∈N 为递减数列，则称函数()f x 为“数列保减函数”，已知函数()ln f x x ax =-为“数列保减函数”，则a 的取值范围（）A.[)ln 3,+∞ B.()ln 2,+∞ C.[)1,+∞ D.()0,∞+7.若4tan 23α=，则22cos 23sin 21cos 2ααα+-=-（）A.12-或2 B.2-或12C.2D.12-8.已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞- B.(][),20,-∞-+∞ C.42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10.已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的充分条件是（）A.3πϕ=-B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.()f x 是奇函数D.()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知不相等的实数a ，b 满足0ab >，则下列四个数a ，b ，2a b+经过适当排序后（）A.可能是等差数列B.不可能是等差数列C.可能是等比数列D.不可能是等比数列12.设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D.当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线2(0)y ax a =≠上的一点()1,4P -到其准线的距离为______．14.已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于______．15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．16.已知12 e e ，u r u r 是空间单位向量，12e e 105=︒，u r u u r ，若空间向量a 满足11a e ⋅=r u r ，2a e ⋅=r u r 且对于任意R x y ∈，，都有120102()()1a xe ye a x e y e -+≥-+=r u r u r r u r u r（其中00R x y ∈，），则a = ______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2b b ac +=.（1）求证：2C B =；（2）若ABC 为锐角三角形，求2sin cos sin C B B +-的最大值．18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．（1）求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85（1）能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)（2）从该班的学生中任选一人，A 表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B 表示事件“选到的学生语文成绩良好”，(|)(|)P A B P A B 与(|)(|)P A B P A B 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．(i )证明：(|)(|)(|)(|)P B A P B A R P B A P B A =⋅；(ii )利用该表中数据，给出()P B A ，()P B A 的估计值，并利用(i )的结果给出R 的估计值．附：()()22()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角E DF A --的余弦值为31111，求E 到平面PBC 的距离21.已知圆221:1C x y +=和椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆2C 的四个顶点为1212A A B B ，，，，如图．（1）圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，求224a b +的最小值；（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ，b 满足什么条件时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形？并证明你的结论．22.已知函数()ln f x b x =，()2g x x ax =+（其中a ，b 为实数，且0b >）（1）当1a =-时，()()f x g x ≤恒成立，求b ；（2）当2b =时，函数()()()G x f x g x =-有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈）2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3,4A =，且A B A = ，则集合B 可以是()A.{}1,2,3 B.{}21x x> C.{}2log 0x x > D.{}|21xx >【答案】D 【解析】【分析】根据A B A = 可得出A B ⊆，显然A 错误，并且可求出,,B C D 的集合，然后即可得出正确的选项．【详解】A B A =Q I ，A B ∴⊆，且{}1,2,3,4A =，故选项A 错误；{}21{1xx x x >=<-∣∣或1}x >，故选项B 错误；{}{}2|log 0|1x x x x >=>，故选项C 错误；{}21{0}xxx x >=>∣∣，故选项D 正确．故选：D ．2.已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A.1a =，3b =-B.1a =-，3b =C.1a =-，3b =-D.1a =，3b =【答案】A 【解析】【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.【详解】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选：A3.已知,R a b ∈．则“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当0a >且0b >时，0,0a b b a >>，所以2a b b a +≥=，当且仅当a b b a=，即a b =时取等号，所以由0a >且0b >可以得出2a b ba +≥，显然，当2a b ==-，有2a b b a +≥成立，但得不出0a >且0b >，所以“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的充分而不必要条件，故选：A.4.已知双曲线22:13-=y C x 的下焦点和上焦点分别为12F F ，，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若2F AB 面积是1F AB 面积的4倍，则m =（）A.3 B.3- C.103D.103－【答案】D 【解析】【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线AB 的距离之比即可得解.【详解】由22:13-=y C x 可知，12(0,2),(0,2)F F -，联立2213y x y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得：222230x mx m -+-=，则2248(3)0m m ∆=-->，即22m >，由2F AB 面积是1F AB 面积的4倍可知，2F 到直线AB 的距离是1F 到直线AB 距离的4倍，即=，化简可得21568600m m ++=，即()()310560m m ++=，解得103m =-或65m =-（舍去），故选：D5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）A.124B.118C.112D.16【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果.【详解】记事件A ：甲独自获胜，因为每人随机选一个球（不放回），用(,,)x y z 表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法，又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为11111(1(1)62224P =⨯-⨯-=，当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为211111(1(1)622248P =⨯⨯-⨯-=，当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为311111(1(1)622248P =⨯⨯-⨯-=，所以1111()24484812P A =++=，故选：C.6.若函数()f x 使得数列()n a f n =，*n ∈N 为递减数列，则称函数()f x 为“数列保减函数”，已知函数()ln f x x ax =-为“数列保减函数”，则a 的取值范围（）A.[)ln 3,+∞ B.()ln 2,+∞ C.[)1,+∞ D.()0,∞+【答案】B 【解析】【分析】易知()()1f n f n +<对任意的*N n ∈恒成立，参变分离即可求解.【详解】由题可知()()1f n f n +<对任意的*N n ∈恒成立，即1ln 1a n ⎛⎫>+⎪⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立，因为11t n=+在1n ≥时单调递减，ln y t =在0t >时单调递增，1ln 1y n ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭在1n ≥时单调递减，1ln 1n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭在n ＝1时取最大值,且最大值为ln 2，ln2a ∴>.故选：B.7.若4tan 23α=，则22cos 23sin 21cos 2ααα+-=-（）A.12-或2 B.2-或12C.2D.12-【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tan α，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.【详解】242tan 41tan2tan 31tan 32αααα=⇒=⇒=-或2-，22cos 23sin 21cos 2ααα+--()()22222cos 16sin cos 112sin αααα+--=--224cos 6sin cos 2sin αααα-=223tan tan αα-=代入tan α求得值均为：2.故选：C.8.已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞- B.(][),20,-∞-+∞ C.42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.【详解】记()()()222log 4164,x g x f x x x R +=+=+--∈，令()()22224ln 441610416416ln 2x x x x g x ++++-=-==+'+，解得0x =，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减.因为()()()2221614log4164log 44xx xg x x x -++-=++-=+-()()22log 4164x x g x +=+--=，所以()g x 为偶函数.所以()()()()()()12132212321f a f a f a f a g a g a -≥+⇔-+≥-+⇔-≥-，又()g x 在()0,∞+上单调递增，所以321a a -≥-，即23280a a +-≤，解得423a -≤≤.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调性进行求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数【答案】BD【解析】【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结合图象可判断BCD.【详解】对于选项A：甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，故A错误；对于选项B：根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，B正确；对于选项C：甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；对于选项D：+=<，对于甲，各组频率依次为：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10，因为前两组频率之和0.150.200.350.5 ++=>，故中位数位于[3.5,4.5)之间；前三组频率之和0.150.200.200.550.5同理，对于乙，各组频率依次为：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0.15，前三组频率之和+++=>，故中位数位于++=<，前四组频率之和0.050.100.150.500.80.50.050.100.150.30.5[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.故选：BD.10.已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数的充分条件是（）A.3πϕ=-B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.()f x 是奇函数 D.()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】根据条件，利用正弦函数的性质得到函数()f x ，再利用正弦函数的单调性判断.【详解】A.当3πϕ=-时，()sin(2)3f x x π=-，由,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得20,33x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故错误；B.若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=+∈，取6πϕ=，则()sin(26f x x π=+，由,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得52,626x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故正确；C.若()f x 是奇函数，则,k k Z ϕπ=∈，取0ϕ=，则()sin 2f x x =，由,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得22,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故错误；D.若()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则52,6k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5,3k k Z πϕπ=-∈，取3πϕ=，则()sin(23f x x π=+，由,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得22,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故正确；故选：BD11.已知不相等的实数a ，b 满足0ab >，则下列四个数a ，b ，2a b+经过适当排序后（）A.可能是等差数列B.不可能是等差数列C.可能是等比数列D.不可能是等比数列【答案】AD 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合等差数列、等比数列的性质进行判断即可.【详解】不相等的实数a ，b 满足0ab >，不妨设a b >，当0a b >>时，显然有2a ba b +>>>，要想构成等差数列，则有：22a b a ba b a b +++=+⇒=⇒=，这与a b >矛盾，因此不能构成等差数列，若能构成等比数列，则有22a b a bab a b ++=⇒=⇒=，这与a b >矛盾，因此不能构成等比数列，当0a b >>2a ba b +>>>，要想构成等差数列，则有：92a ba b b a ++=⇒=或b a =（舍去），0,,,02a ba b +><这是不可能的，因此不能构成等比数列，故选：AD12.设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D.当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，设221x y +=，圆心()0,0到直线:cos sin 1M x y θθ+=的距离等于1，故满足要求；B 选项，直线:cos sin 1M x y θθ+=恒过()1,1，结合直线的斜率存在和不存在两种情况，得到直线22:cos sin 1M x y θθ+=不过第三象限；C 选项，得到1m n ==和2m n ==，得到原点到直线距离的范围；D 选项，由题意得到不等式，得到()221cos 21a a θ-≥-，分210a -=，210a ->和210a -<三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】A 选项，当1m =，1n =时，:cos sin 1M x y θθ+=，设圆为221x y +=，则圆心()0,0到直线:cos sin 1M x y θθ+=的距离1d ==，故:cos sin 1M x y θθ+=与221x y +=总相切，A 正确；B 选项，当2m n ==时，22:cos sin 1M x y θθ+=，由于22cos sin 1θθ+=，故直线22:cos sin 1M x y θθ+=恒过()1,1，若sin 0θ=时，直线为:1M x =，若sin 0θ≠时，直线22:cos sin 1M x y θθ+=的斜率为22cos 0sin θθ-≤，故直线22:cos sin 1M x y θθ+=不过第三象限，所以存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B 正确；C 选项，当1m n ==时，:cos sin 1M x y θθ+=，坐标原点到直线系M的距离为11d ==，当当2m n ==时，22:cos sin 1M x y θθ+=，坐标原点到直线系M的距离为2d =其中44222222cos sin cos cos sin sin cos sin 1θθθθθθθθ+=+<+=，故21d =>，C 错误.D 选项，当2m =，1n =时，2:cos sin 1M x y θθ+=，点()0A a ，到直线系M中所有直线的距离31d =≥，化简得()221cos 21a a θ-≥-恒成立，由于[]2cos0,1θ∈，若210a -=，解得1a =±，当1a =时，01≥，不合要求，舍去，当1a =-时，01≥-，满足要求，若210a ->，即1a >或1a <-，此时()221cos a θ-的最小值为0，则021a ≥-，解得12a ≤，故此时1a <-，若210a -<，即11a -<<，此时()221cos a θ-的最小值为21a -，则2121a a -≥-，解得2a ≥或0a ≤，故此时10a -<≤，综上，0a ≤，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线2(0)y ax a =≠上的一点()1,4P -到其准线的距离为______．【答案】5【解析】【分析】根据点P 在抛物线上求出a ，再根据抛物线的性质求出其准线方程，从而可求P 到准线的距离．【详解】∵()14P -,在2y ax =上，∴16a -=，即16a =-，∴抛物线为216y x =-，其准线为4x =，则()14P -,到准线的距离为()415--=．故答案为：5．14.已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于______．【答案】4-【解析】【分析】求导，即可由()18f -=且()10f '-=求解,a b ，进而代入验证是否满足极值点即可．【详解】()232,f x x ax b =++'若函数()f x 在=1x -处有极值8，则()()18,10,f f '-=-=即218,320a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩解得：3,3a b ==或2,7a b =-=-，当3,3a b ==时，()223633(1)0f x x x x =+=+'+≥，此时=1x -不是极值点，故舍去；当2,7a b =-=-时，()()()2347371f x x x x x =--=-+'，当73x >或1x <-时，()0f x '>，当()71,03x f x -<'<<，故=1x -是极值点，故2,7a b =-=-符合题意，故()32274f x x x x =--+，故()14f =-.故答案为：4-.15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．【答案】722π3【解析】【分析】根据条件，利用柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.【详解】因为两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6，所以两个圆柱的体积分别为1π25250πV Sh ==⨯⨯=，2π256150πV Sh ==⨯⨯=，又圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2，所以圆台的体积为22311221π122ππ()2(162025)333V h r r r r =++=⨯++=，所以该组合体的体积为122π722π50π150π33V =++=，故答案为：722π3.16.已知12 e e ，u r u r 是空间单位向量，12e e 105=︒，u r u u r ，若空间向量a 满足11a e ⋅=r u r ，2a e ⋅=r u r 且对于任意R x y ∈，，都有120102()()1a xe ye a x e y e -+≥-+=r u r u r r u r u r（其中00R x y ∈，），则a = ______．【答案】【解析】【分析】首先分析题意，由12,105e e ︒〈〉= 结合空间向量的数量积定义求解12e e ⋅ 的值，进行下一步化简得出则当00,x x y y ==时，12()a xe ye -+ 取得最小值，得到12x y =-，多次求解二次函数最值可得答案.【详解】因为12,105e e ︒〈〉= 且两者均为单位向量，所以121212=cos ,e e e e e e ⋅⋅⋅cos105cos(4560)cos 45cos60sin 45sin 604︒︒︒︒︒︒︒==+=⨯-⨯=，又因为对于任意的x y ，R,∈都有()()1201021a xe ye a x e y e -+≥-+=，则当00,x x y y ==时，12()a xe ye -+取得最小值，则当()()()2221212122·a xe ye a xe ye a xe ye -+=++-+22222a x y xy x -=+++-- ，令()2222f x x y x y ⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭，由二次函数性质得当()281,14162x y f x y y -+=-≥--,令()281162g y y y ++=--，同理()min 4g y =-，即()min 4f x =-，故241a a -=⇒=，【点睛】关键点点睛：本题考查求空间向量，解题关键是找到方程，然后用主元法视为二次函数，多次求最值即可．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2b b ac +=.（1）求证：2C B =；（2）若ABC 为锐角三角形，求2sin cos sin C B B +-的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）178【解析】【分析】（1）根据条件及余弦定理得到2cos b a b C =-，再利用正弦定理边转角得到sin sin 2sin cos B A B C =-，借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；（2）利用ABC 为锐角三角形，得到π6π4B <<，再令π)4t B =-，将问题转化成求1172()48y t =--+在31(0,)2t -∈上的最值，即可求出结果.【小问1详解】因为()2b b ac +=，即22c b ab =+，由余弦定理2222cos c b a ab C =+-，得到22cos ab a ab C =-，即2cos b a b C =-，所以sin sin 2sin cos B A B C =-，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C =--=+=+，所以sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos sin()B B C B C B C B C B C C B =+-=-=-，又,(0,π)B C ∈，得到B C B =-或πB C B +-=（舍），所以2C B =，命题得证.【小问2详解】由（1）知2C B =，所以2sin cos sin 2sin2cos sin C B B B B B +-=+-，令πcos sin )4t B B B =-=-，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022π02π0π32C B C A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得到π6π4B <<，所以ππ(0,)412B -∈，又πππππππsin sin()sin cos cos sin 123434344=-=-=，所以1(0,)2t -∈，又22sin21(cos sin )1B B B t =--=-，所以2221172sin cos sin 2(1)222()48C B B t t t t t +-=-+=-++=--+，所以当14t =时，2sin cos sin C B B +-取到最大值为178.18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．（1）求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】【分析】(1)利用11n n n a S S ++=-得到1n a +和n a 的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得()105n n a a n ++=≤，求出1a 和公比，得到{}n a 通项公式，从而根据等差和等比数列前n 项和公式即可求解．【小问1详解】∵2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，∴222n n n S a a =+-，211122n n n S a a +++=+-，两式相减，得221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1110n n n n a a a a +++--=．当5n ≥时，0n a >，∴11n n a a +-=，∴当5n ≥时，{}n a 成等差数列．【小问2详解】由211111122a a a =+-，解得12a =或11a =-，又12345,,,,a a a a a 成等比数列，∴由(1)得()105n n a a n ++=≤，进而1q =-，而50a >，∴10a >，从而152a a ==，∴12(1),143,5n n n a n n -⎧⨯-≤≤=⎨-≥⎩，∴*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85（1）能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)（2）从该班的学生中任选一人，A 表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B 表示事件“选到的学生语文成绩良好”，(|)(|)P A B P A B 与(|)(|)P A B P A B 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．(i )证明：(|)(|)(|)(|)P B A P B A R P B A P B A =⋅；(ii )利用该表中数据，给出()P B A ，()P B A 的估计值，并利用(i )的结果给出R 的估计值．附：()()22()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）20.163K ≈，否；（2）(i )证明见解析；(ii )()()32|,53P B A P B A ==∣，34R =．【解析】【分析】（1）根据公式求出2K ，查表即可判断；（2）(i )根据条件概率计算公式即可证明；(ii )根据条件概率计算公式即可计算.【小问1详解】由已知()()()()222()35(125108)700.16322132015429n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，又()2 3.8410.050P K ≥=，而0.163 3.841<，∴没有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关．【小问2详解】(i)∵()()()()()·P A B P B P A B P A B P AB P B R P B P A B P A B P A B P B P A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∣∣∣∣．∴()()()()·P A P A B P AB P A R P A P A B P A P A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()P B A P B A R P B A P B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣∣∣∣，(ii)由已知()123102,205153P BA P B A ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ ，又85,2015P B A P B A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∣∣，∴()34P B A P B A R P B A P B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣∣∣∣．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角E DF A --的余弦值为11，求E 到平面PBC 的距离【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由面面垂直和线面垂直性质可得PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定方法可证得结论；（2）取AD 中点O ，结合面面垂直性质可知,,OF AD OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()01AE AP λλ=≤≤ ，根据二面角的向量求法可构造方程求得λ的值，进而根据点面距离的向量求法求得结果.【小问1详解】平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA PD ⊥，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，PD AB ∴⊥；四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AD 中点O ，连接,OP OF ，PA PD = ，O 为AD 中点，OP AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，OP ∴⊥平面ABCD ，,O F 分别为,AD BD 中点，//OF AB \，又AB AD ⊥，OF AD ∴⊥；以O 为坐标原点，,,OA OF OP正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，2PA PD == ，PA PD ⊥，AD ∴=，12OP AD ==()D ∴，)A，(P，)B，()C，()F，)DF ∴=，PB =，()BC =-，(AP =，()DA = ，设()01AE AP λλ=≤≤，则()AE =，()DE DA AE ∴=+= ，设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则()00DE n x z DF n ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令x λ=，解得：y λ=-，2z λ=-，(),,2n λλλ∴=-- ；z 轴⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()0,0,1m = ，cos ,11m n m n m n ⋅∴===⋅ ，解得：1λ=-（舍）或12λ=，,0,22AE ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22EP AP AE ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭；设平面PBC 的法向量(),,t a b c = ，则00PB t BC t ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，解得：0a =，2c =，()0,1,2t ∴= ，∴点E 到平面PBC的距离105EP t d t ⋅=== .21.已知圆221:1C x y +=和椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆2C 的四个顶点为1212A A B B ，，，，如图．（1）圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，求224a b +的最小值；（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ，b 满足什么条件时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形？并证明你的结论．【答案】（1）9；（2）存在，证明见详解.【解析】【分析】（1）由圆1C 与直线21A B 相切可得2221b a b =-，代入224a b +，利用基本不等式即可求解；（2）根据对称性和切线性质可得OP OM ⊥，设(),S m n ，则直线PM 的方程为1mx ny +=，代入椭圆方程得()22222x y mx ny a b+=+，整理成关于y x 的方程，利用韦达定理结合OP OM ⊥可证.【小问1详解】由题知，()()12,0,0,B a A b ，所以直线21A B 的方程为1x y a b +=，即0bx ay ab +-=，因为圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，所以，圆心()0,0O 到直线21A B 的距离等于1=，整理得2221b a b =-，所以()222222214=441511b a b b b b b ++=+-+--，由题意可知，21b >，所以()2214151b b +-+≥-，当且仅当()221=411b b --，即232b =时等号成立，所以，224a b +的最小值为9.【小问2详解】当2222a b a b +=时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形，证明如下：如图，设()()1122,,,P x y M x y ，当10x =或20x =时，由（1）可知存在满足题意的平行四边形.当120x x ≠时，因为平行四边形PMQN 的中心为O ，所以，点M ，N 关于原点对称，记直线,PM PN 与圆O 的切点分别为S ，T ，由对称性和切线性质可知，,PS PT MS NT ==，所以PM PN =，又O 为MN 的中点，所以OP OM ⊥，即12121y y x x =-，设(),S m n ，则直线PM 的方程为1mx ny +=，代入椭圆方程得()22222x y mx ny a b+=+，整理得222221120y y n mn m b x x a ⎛⎫⎛⎫--⋅+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由韦达定理可得22122122111m y y a x x n b-==--，即222211+=+m n a b ，又点(),S m n 在圆221x y +=上，所以221+=m n ，所以2211+=1a b，即2222a b a b +=.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据对称性和切线性质分析,OP OM 的关系，然后设切线方程联立椭圆方程，将方程转化为y x的一元二次方程，利用韦达定理证明可得.22.已知函数()ln f x b x =，()2g x x ax =+（其中a ，b 为实数，且0b >）（1）当1a =-时，()()f x g x ≤恒成立，求b ；（2）当2b =时，函数()()()G x f x g x =-有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈）【答案】（1）1b =（2）1-【解析】【分析】（1）设()()()2ln F x f x g x b x x x =-=-+，利用导数分类讨论()F x 的最大值；（2）分离常数转化为关于x 的方程()22ln 0x x a x x -=>有两个不同的解，设()22ln x x h x x-=，利用导数求函数()h x 的极大值()09,010h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()0a h x <，当1a =-时，设()22ln p x x x x =-+，验证有两解即可.【小问1详解】设()()()2ln F x f x g x b x x x =-=-+，则其定义域为()0,∞+，()2221b x x b F x x x x-++=-+='当1b =时，()()()221121x x x x F x x x'-+--++==，当()0,1x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()()10F x F ≤=，对于()0,x ∀∈+∞恒成立，即()()f x g x ≤恒成立，所以1b =合理．当1b >时，令()0F x '=，即220x x b -++=，解得1104x =<（舍），2114x =>当()20,x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；又有()10F =，所以当()21,x x ∈时，()()10F x F >=，不合题意．当01b <<时，令()0F x '=，即220x x b -++=，解得1104x =<（舍），2114x =<当()2,x x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减；又有()10F =，所以当()2,1x x ∈时，()()10F x F >=，不合题意．综上所述，1b =．【小问2详解】由题意，方程()22ln 00x x ax x --=>有两个不同的解，即关于x 的方程()22ln 0x x a x x-=>有两个不同的解，设()22ln x x h x x -=，则()2222ln x x h x x '--=，设()222ln m x x x =--，由0x >可知()220m x x x=--<'，所以()m x 在()0,∞+上单调递减，又()110m =>，5752ln 04164m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m x =，即20022ln 0x x --=，所以20022ln x x =+，所以当()00,x x ∈时，()0m x >，即()0h x '>，进而函数()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，即()0h x '<，进而函数()h x 单调递减，所以函数()h x 的极大值为()22000000002ln 22292,010x x x h x x x x x --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于x 的方程()22ln 0x x a x x-=>有两个不同的解，则()0a h x <，当1a =-时，设()22ln p x x x x =-+，则()221p x x x =-+'，可知()p x在10,4⎛+ ⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，又()10p =，104p ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()2e 2e e 0p =-+<，所以()p x 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2020届辽宁省辽南协作校高三毕业班下学期第一次高考模拟联合考试理综化学试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省辽南协作校2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟联合考试理综-化学试题(解析版)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4．可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Mg-24 P-31 Fe-56一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化学与人类社会的生活、生产、科技密切相关。
下列说法错误是（）A. 氢能的优点是燃烧热值高，已用作火箭和燃料电池的燃料B. 糖类、油脂和蛋白质均由C、H、O三种元素组成C. 离子反应的速率受温度影响不大，是一类几乎不需要用活化能来引发的反应D. 游泳池可用漂粉精、臭氧、活性炭等进行消毒【答案】B【解析】【详解】A．氢能的优点是燃烧热值高，已用作火箭和燃料电池的燃料，故A正确；B．糖类和油脂是由C、H、O三种元素组成，蛋白质除了含C、H、O外，还含有N、S、P等元素，故B错误；C．离子反应的活化能接近于零，所以速率受温度影响不大，是一类几乎不需要用活化能来引发的反应，故C正确；D．漂粉精、臭氧具有强氧化性，活性炭具有吸附作用，游泳池可用漂粉精、臭氧、活性炭等进行消毒，故D正确；故选B。
2.N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述错误的是（）A. 常温常压下，62g白磷中含有P—P键数目为3N AB. 22g正戊烷、24g异戊烷和26g新戊烷的混合物中共价键数目为16N AC. 1molNa2O和NaHSO4的固体混合物中含有的阴、阳离子总数为3N AD. 常温下，将一定量的铁粉投入2mol稀硝酸中，恰好完全反应，若还原产物为NO，则转移电子数一定为1.5N A【答案】C【解析】【详解】A．白磷是正四面体结构，1个白磷分子中有6个P—P键，62g白磷（P4）的物质的量为0.5mol，所以62g白磷中含有的P—P键的物质的量为0.5mol×6=3mol，故A正确；B．正戊烷、异戊烷和新戊烷是同分异构体，分子式均为C5H12。
辽宁省辽南协作校2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷word版
数 学（文科）时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}{}2,102==N x M ，，，若{}2=N M I ，则N M Y =（ ） A.{}2,1,,02x B.{}2,1,0,2 C.{}2,1,0 D.{}2,2,2,1,0- 2.已知复数z 满足2)1(=-z i ，（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A.i -1B.i +1C.i 2121-D.i 2121+3.设,是向量，则“b a ⊥=+”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线321,,l l l ，满足3221,l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.31l l ⊥B.1l 与3l 既不垂直又不平行C.1l ∥3lD.1l 与3l 的位置关系不确定5.已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A.97- B.92- C.92 D.97 6.已知正三棱锥P 一ABC ，点P 、A 、B 、C 都在直径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则该正三棱锥的底面ABC 的面积为（ ） A.23 B.46 C.3 D.26 7.点)3,5(M 到抛物线)0(2≠=a ax y 的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）A.212x y =B.212x y =或236x y -=C.236x y -=D.2121x y =或2361x y -=8.函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为（ ）A B C D9.函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，为了得到x y 2sin =的图象，只需将)(x f 的图象（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 10.如图所示，为了测量A ，B 两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两处岛屿间的距离为（ ）A.640海里B.620海里C.)31(20+海里D.40海里11.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.π21-B.π121-C.π2D.π1 12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两顶点分别为F A A ,,21为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF （不含端点）上存在两点21,P P ，使得2221211π=∠=∠A P A A P A ，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是（ ） A.)215,1(+ B.)213,1(+ C.)215,0(+ D.)23213(，+ 二、填空题（每小题5分，共20分）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+02222x x y y x ，则y x z +=的最小值为 .14.我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有 石.15.考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 .16.已知m x x x g x e x x f ++=+=2331)(),ln ()(3，对于),1[+∞∈∀x 时都有)()(x g x f ≤恒成立，则m 的取值范围为 .三、解答题（6个小题共70分）数列{}n a 的前n 项和n S ，满足12123a a S n n -=，且31=a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn n a a b 1log 23-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18（本题12分）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）求这100天中，客流量超过4万的频率；（2）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.19（本题12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，1AA ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， AB ⊥AD ，AD=CD=1，1AA =AB=2，E 为棱1AA 的中点（1）证明：E CC C B 111平面⊥；（2）求三棱锥1CBB E V -的体积.20.（本题12分）已知椭圆C 的标准方程是12622=+y x 设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3-=x 上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（2）当PQ TF 最小时，求点T 的坐标.21．（本题12分）已知函数ax e x x x x f x -++=sin cos )(（1）若函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数)(x f 在区间]2,2[ππ-上的单调区间；（2）函数)(x f 在区间)2,0(π上单调递增，求实数a 的范围。
2020届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次联合模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前辽宁省辽南协作体2020届高三毕业班下学期第一次联合模拟考试数学(文)试题时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}{}2,102==N x M ，，，若{}2=N M I ，则N M Y =（ ） A.{}2,1,,02x B.{}2,1,0,2 C.{}2,1,0 D.{}2,2,2,1,0-2.已知复数z 满足2)1(=-z i ，（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A.i -1B.i +1C.i 2121-D.i 2121+3.设,是向量，则“⊥=”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线321,,l l l ,满足3221,l l l l ⊥⊥,则下列结论一定正确的是（ ）A.31l l ⊥B.1l 与3l 既不垂直又不平行C.1l ∥3lD.1l 与3l 的位置关系不确定5.已知34cos sin =-αα,则=α2sin （ ） A.97- B.92- C.92 D.97 6.已知正三棱锥P 一ABC,点P 、A 、B 、C 都在直径为3的球面上,若PA 、PB 、PC 两两互相垂直,则该正三棱锥的底面ABC 的面积为（ ）A.23B.46 C.3 D.26 7.点)3,5(M 到抛物线)0(2≠=a ax y 的准线的距离为6,那么抛物线的方程是（ ）A.212x y =B.212x y =或236x y -=C.236x y -=D.2121x y =或2361x y -= 8.函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为（ ）A B C D9.函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示,为了得到xy 2sin =的图象,只需将)(x f 的图象（ ） A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 10.如图所示,为了测量A,B 两处岛屿的距离,小明在D 处观。
辽宁省辽南协作校2020届高三下学期第一次模拟考试理科综合试卷(有答案)
辽宁省辽南协作校2020届高三下学期第一次模拟考试理科综合试卷时间：150分钟试卷满分：300分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4．可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Mg-24 P-31 Fe-56一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
要求的。
1．下列有关细胞内化合物的叙述，正确的是（）A．蔗糖和乳糖没有相同的水解产物B．甘油和磷脂的组成元素中都含有PC．腺嘌呤和脱氧核糖可形成A TP并用于某些生命活动D．细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的分子并不都是蛋白质2．下图表示细胞失水时水分子跨膜运输方式，据图分析水分子跨膜运输方式是（）A．自由扩散B．协助扩散C．被动运输D．主动运输3．如果一个指导蛋白质合成的基因的中部增加了1个核苷酸对，不可能的后果是（）A．无法转录出mRNAB．编码的蛋白质的氨基酸数量可能减少C．所控制合成的蛋白质可能增加多个氨基酸D．翻译的蛋白质中．增加部位以后的氨基酸序列发生变化4．对现代进化理论的理解．错误的是（）A．能遗传的变异是生物进化的基础B．环境改变使生物产生适应性变异C．突变与基因重组产生的变异是不定向的D．变异经过长期的自然选择和积累就可能产生出生物的新类型5．下列与感受器、效应器相关的叙述。
错误的是（）A．同一反射弧中感受器的兴奋与效应器的反应先后发生B．感受器的结构受到损伤会影响反射活动的完成C．效应器细胞膜上有能与神经递质特异性结合的受体D．感受器的兴奋活动包括腺体分泌和肌肉收缩6．下列属于生态系统结构描述的是（）A．在繁殖季节，雄孔雀就会通过“开屏”动作向雌性表达求偶信息B．在杂草→兔→蛇→鹰这条食物链中，蛇是次级消费者、第三营养级C．消费者的遗体、粪便中的能量被分解者利用，经其呼吸作用消耗D．有些蓝藻将大气的氮气转化成为无机氮的化台物被植物利用，最后重新回到大气中7．化学与人类社会的生活、生产、科技密切相关。
解析辽宁省辽南协作校2020┄2021届高三下学期第一次模拟考英语试题+Word版
英语试题第一部分听力（百强校英语解析团队专供）（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上，录音结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What will the speakers do？A. Stay away for a cou ple of weeks.B. Look after Johnson’s house.C. Move to another place.2. What do the speakers hurry to do？A. Play football.B. Go bird-watching.C. Buy tickets.3. What is the woman surprised at？A. A news stor y.B. The man’s discovery.C. The man’s behavior.4. What are the speakers arguing about？A. The importance of liberation.B. The position of women in society.C. The necessity of career planning.5. Why doesn’t the woman hire a gardener？A. T o enjoy the extra exercise.B. To kill the spare time.C. T o cut down the expenses.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
辽宁省辽南协作校2021届高三下学期第一次模拟理综化学试题
辽宁省辽南协作校【最新】高三下学期第一次模拟理综化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化学与社会、技术、环境、生活密切相关，下列有关说法中错误的是A．石油裂解、煤的干馏和气化都是化学变化B．为卫星供电的太阳能帆板( 与太阳能电池原理相似) 主要由二氧化硅制成C．碘酒、84消毒液、75%的酒精都可用于消毒D．汽车远程照灯在前方扬尘上有光亮的通路，说明混有扬尘的空气属于胶体2．用下列装置进行实验能达到相应实验目的的是A．用甲装置配制一定物质的量浓度的NaNO3溶液B．用乙装置分离溴苯和水C．用丙装置制取SO2气体并验证其还原性(可加热)D．用丁装置防止铁钉生锈3．双环己烷C12H22（）它的二氯代物，且氯原子不在同一个环上的同分异构体的个数是（）A．13 B．12 C．11 D．104．已知前20号主族元素a、b、c、d、e、f，其中a、b、c为金属元素，c的最外层电子数与次外层相等，a、c位于同主族，b、c、e、f位于同周期，e最外层电子数是次外层的3倍，f无正价，a与e原子序数之和是d的2倍。
下列说法正确的是A. 原子半径:b>c>f>eB．气态氢化物的稳定性:dC．最高价氧化物对应的水化物的碱性:aD．ae2、de2两化合物中e的化合价相同5．下列叙述错误的有()个①淀粉、油脂蛋白质在一定条件下都能发生水解反应②乙醇、乙酸、乙酸乙酯都能发生取代反应③乙烯和苯都能使溴水褪色，褪色的原理相同④(CH3)2CHC(CH3)3名称为:2,3,3-三甲基丁烷⑤食品保鲜膜、一次性食品袋的主要成分是聚氯乙烯⑥除去乙烷中混有的乙烯可用酸性高锰酸钾溶液A．3B．4C．5D．66．某温度时，向10mL.0.1mol/LCaCl2溶液中滴加0.1mol/L的Na2CO3溶液。
滴加过程中溶液中-1gc(Ca2+)与Na2CO3溶液体积(V)的关系如图所示，下列有关说法正确的是（）(已知1g5=0.7)A．x、y两点c(Ca2+)之比为2000:3B．Ksp(CaCO3)=5×10-9C．w点对应的分散系很稳定D．x、y、z三点中，水的电离程度最大的为x点7．1L某溶液A中存在Ba2+、Fe2+、Al3+、Fe3+、Mg2+、HCO3-、CO32-、Cl-、NO3-、SO42-中的五种离子，浓度均为0.1mol/L。
2021届辽宁省辽南协作校高三(下)第一次模拟考试物理试题
C．物体c受到向右的静摩擦力，大小为20N
D．在剪断轻绳的瞬间，三个物体一定会获得向右的加速度
4．宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R。并绕其中心O做匀速圆周运动。如果忽略其它星体对它们的引力作用，引力常数为G。以下对该三星系统的说法中正确的是（ ）
A．上升过程中两物块机械能均守恒
B．A上升的最大高度小于B上升的最大高度
C．A物体的最大速度大于B物体的最大速度
D．A物体的最大加速度小于B物体的最大加速度
8．某种超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力。其推进原理可以简化为如图所示的模型：PQ和MN是固定在水平地面上的两根足够长的平直导轨，导轨间分布着竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场B1和B2。二者方向相反。矩形金属框固定在实验车底部（车箱与金属框绝缘）。其中ad边宽度与磁场间隔相等。当磁场B1和B2同时以速度v沿导轨向右匀速运动时。金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动，已知金属框垂直导轨的ab边的边长L、金属框总电阻R，列车与线框的总质量m， ，悬浮状态下，实验车运动时受到的阻力恒为其对地速度的K倍。则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，水平桌面上有三个相同的物体a、b、c叠放在一起，a的左端通过一根轻绳与质量为 kg的小球相连，绳与水平方向的夹角为60°，小球静止在光滑的半圆形器皿中。水平向右的力F=20N作用在b上，三个物体保持静状态。g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．物体a对桌面的静摩擦力大小为10N，方向水平向右
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辽宁省辽南协作校2020-2021学年度下学期高三第一次模拟考试数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭2．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,23．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17244．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20176．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -9．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．410．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且已知向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，则||c 的最小值是__．14．已知函数()()2ln 2xe f x a x e=-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为__________.15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．16．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<+，则c 的值是______． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知21()(ln )ln 12f x x x k x =---()k ∈R .（1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数.18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：APEF .19．（12分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为313x ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2）若直线l 与曲线C 交点分别为A ，B ，点()1,0P ，求11||||PA PB +的值． 21．（12分）已知函数()|||21|()f x x a x a =++-∈R ． （1）1a =-时，求不等式()2f x ≥解集；（2）若()2f x x ≤的解集包含于1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．22．（10分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求e 的值.（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且k <，是否存在k AB AC =成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题. 2、D【解析】 【分析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 3、B 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 4、B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--.故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 5、B 【解析】 【分析】根据题意计算20190a >，20200a <，201920200a a +>，计算201810b <，201910b >，20182019110b b +>，得到答案. 【详解】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，故20190a >，20200a <，201920200a a +>，12n n n n b a a a ++=，故1211n n n n a a b a ++=， 当2017n ≤时，10n b >，2018201820192020110a a a b =<，2019201920202021110a a a b =>， 2019202020182019201820192020201920202021201820192020202111110b a a a a a a a a a a a a b ++=+=>，当2020n ≥时，10nb <，故前2019项和最大. 故选：B . 【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 6、C 【解析】 【分析】【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin 32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 7、C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8、B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，(1)(1)2f f =--=- 【详解】∵3()sin f x x a x =+其中3()g x x =为奇函数，()sin t x a x =也为奇函数 ∴()()()f x g x t x =+也为奇函数 ∴(1)(1)2f f =--=- 故选：B 【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 9、C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题． 10、D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积． 【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得12.33AM AB AC =+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 11、C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 12、C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。