第10讲 第九章 随机过程及其统计描述
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随机过程的统计特性中小学PPT教学课件
FX ( x1, x2; t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
国；
•我国的杂交水稻更是举世闻名； •我国水稻的栽培技术也是突出的。
2021/2/12
42
2、分布与区划
Ⅰ.华南双季稻作带（区）：本区位于南岭以南。双季稻为主，品种 有早、中、晚籼稻。
Ⅱ.华中单双季稻作区：本区位于南岭以北，秦岭淮河以南。双季稻 为主，品种早、中籼。
Ⅲ.西南高原单双季稻作区：本区位于云贵高原和青藏高原。稻麦 （蚕豆）两熟，双季稻或单季稻、低地多籼稻，高地多粳稻。
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
主 讲 内 容 ： 6学时
●概述
●生长发育
●种稻的土肥水条件
●栽培技术
2021/2/12
34
●概 述 ▲水稻生产在国民经济中的地位
▲水稻的分布与生产概况
▲栽培稻的起源和类型
e j1x1 j2x2
f X ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
定义为随机过程X(t)的二维特征函数。
fX (x1, x2;t1,t2 )
1
4 2
X
(1,2;t1, t2 )e j1x1 j2x2d1d2
随机过程的特征函数与矩函数之间的 关系为：
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
国；
•我国的杂交水稻更是举世闻名； •我国水稻的栽培技术也是突出的。
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2、分布与区划
Ⅰ.华南双季稻作带（区）：本区位于南岭以南。双季稻为主，品种 有早、中、晚籼稻。
Ⅱ.华中单双季稻作区：本区位于南岭以北，秦岭淮河以南。双季稻 为主，品种早、中籼。
Ⅲ.西南高原单双季稻作区：本区位于云贵高原和青藏高原。稻麦 （蚕豆）两熟，双季稻或单季稻、低地多籼稻，高地多粳稻。
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
主 讲 内 容 ： 6学时
●概述
●生长发育
●种稻的土肥水条件
●栽培技术
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●概 述 ▲水稻生产在国民经济中的地位
▲水稻的分布与生产概况
▲栽培稻的起源和类型
e j1x1 j2x2
f X ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
定义为随机过程X(t)的二维特征函数。
fX (x1, x2;t1,t2 )
1
4 2
X
(1,2;t1, t2 )e j1x1 j2x2d1d2
随机过程的特征函数与矩函数之间的 关系为：
随机过程及其统计描述ppt课件.ppt
任意时刻下，观测目的是X取什么值；全程的情况下， 观测目的是X(t)的函数形式.
7
12.1 随机过程的概念
随机相位正弦波
随机过程举例
考虑： X (t) a cos(t ), t (,)
式中 a,是正常数，是 (0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
当 在(0, 2 ) 内随机的取一个值 i ，可得样本函数：
2
0 cos(t1 ) cos(t2 ) f ( )d
a2
2
2
0 cos(t1 ) cos(t2 )d
a2
4
2
0 {cos[(t1 t2 ) 2 ] cos(t1 t2 )}d
a2 2
cos (t1
t2 )
方差函数
2 X
(t)
RX
(t , t )
2 X
(t)
a2 2
18
12.2 随机过程的统计描述
随机过程举例
抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}, 现借此定义随机过程：
cos t,
X (t) t，
当出现H, 当出现T,
t (, )
可将此随机过程改写为
X (t) Y cost (1Y )t ,
其中
Y
1, 0,
出现H 出现T
,
t (, )
X对Y和t的依赖，决定了X是一个随机过程. 确定了 Y之后，即可确定任意时刻和全程的观测结果.
集平均(统计平均)
X (t)是随机过程的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均值，通常称
这种平均为集平均或统计平均。
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均方值函数
Ψ
第09章 - 随机过程引论
2 X 2
2 x . (t ) f1 ( x; t )dx 称 ( t ) E[ X ( t )] 为 X ( t ) 的 均方值函数
2 称 X ( t ) D[ X ( t )] E{[ X ( t ) X ( t )]2 } 为 X ( t ) 的 方差函数.
第九章
• 第一节
随机过程引论
随机过程的概念
• 第二节
随机过程的统计描述
• 第三节
几类重要过程
第一节
随机过程的概念
一、引例
随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。 例：热噪声电压
假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次“长时间” 观察测量，得到如图中所示的一条电压－时间函数 。 x1 ( t ) 如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的电压－时间 函数是不同的，可能是 x2 ( t ) 或 x3 ( t )等等。这样，不断地独 立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的电压－时间函 数，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。
称 {F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ), t1 , t2 T } 为随机过程的二维分布函数族.
t1 ,，tn T， ( X ( t1 ),, X ( tn )) 的分布函数 类似地，
Fn ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) P{ X ( t1 ) x1 , , X ( tn ) xn }
RX ( t1 , t 2 ) X ( t1 ) X ( t 2 )
2 ( 3) C X ( t , t ) E{[ X ( t ) X ( t )]2 } DX ( t ) X (t )
2 C X ( t , t ) RX ( t , t ) X (t )
2 x . (t ) f1 ( x; t )dx 称 ( t ) E[ X ( t )] 为 X ( t ) 的 均方值函数
2 称 X ( t ) D[ X ( t )] E{[ X ( t ) X ( t )]2 } 为 X ( t ) 的 方差函数.
第九章
• 第一节
随机过程引论
随机过程的概念
• 第二节
随机过程的统计描述
• 第三节
几类重要过程
第一节
随机过程的概念
一、引例
随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。 例：热噪声电压
假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次“长时间” 观察测量，得到如图中所示的一条电压－时间函数 。 x1 ( t ) 如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的电压－时间 函数是不同的，可能是 x2 ( t ) 或 x3 ( t )等等。这样，不断地独 立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的电压－时间函 数，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。
称 {F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ), t1 , t2 T } 为随机过程的二维分布函数族.
t1 ,，tn T， ( X ( t1 ),, X ( tn )) 的分布函数 类似地，
Fn ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) P{ X ( t1 ) x1 , , X ( tn ) xn }
RX ( t1 , t 2 ) X ( t1 ) X ( t 2 )
2 ( 3) C X ( t , t ) E{[ X ( t ) X ( t )]2 } DX ( t ) X (t )
2 C X ( t , t ) RX ( t , t ) X (t )
随机过程的基本概念和统计特性
S1
S2 Sn
样本空间
x1(t) x2(t)
xn(t) tk
图 2- 1样本函数的总体
t
t (t)
t
具有两个基本特征： 其一，其样本是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本
在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随 机变量。
随机过程的定义：
设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有一条 时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可 能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成 一随机过程，记作ξ(t)。
4、相关函数
Rξ (t1, t2)=E［ξ(t1) ξ (t2)］
x1x2 f2 (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)－a(t1)a(t2)
现代通信原理
2. 方差
2(t) D[ (t)]＝ E[ (t) a(t)]2
E[ (t)]2 [a(t)]2
x
2
f1( x, t )d x
[a(t)]2
它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
3、协方差 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1 a(t1)][x2 a(t2 )]f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
即F1(x1, t1) ＝P［ξ(t1)≤x1］
F1(x1, t1)是随机过程ξ(t)的一维分布函数。
如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有
F1(x1, t1) x1
f1(x1, t1)
称f1(x1, t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。
随机过程的基本概念以统计特性.ppt
随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有 随机性。因此，随机过程不仅是 时间t 的函数，还是可能结果的 函数，记为 X(t, )，简写成 X(t) 。
《随机信号分析》教学组
8
3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素 i (i 1,2都,3以)某种法则确定一个样本函数 ，X由(t,全i )部元素{ξ}
样本函数集合
X (t, ) ＝ X (t,i ), i 1, 2,
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参
量ξ。随机过程常用大写字母 X (表t)示,Y，(t样) 本函数常
用小写字母
x (表t),示x，(tk)表, 示, 第x (kt个) 样本函数。
1
2
k
随机过程 ＝
样本变量集合
X (t, )
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
《随机信号分析》教学组
4
一 定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述
5
0
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《随机信号分析》教学组
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3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素 i (i 1,2都,3以)某种法则确定一个样本函数 ，X由(t,全i )部元素{ξ}
样本函数集合
X (t, ) ＝ X (t,i ), i 1, 2,
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参
量ξ。随机过程常用大写字母 X (表t)示,Y，(t样) 本函数常
用小写字母
x (表t),示x，(tk)表, 示, 第x (kt个) 样本函数。
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k
随机过程 ＝
样本变量集合
X (t, )
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
《随机信号分析》教学组
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一 定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述
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《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
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● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
第10章 随机过程及统计描述x
一般要确定随机过程的有限维分布函数族是非常困难和 繁琐的，类似于对随机变量的研究一样，更常见的是通过 研究随机过程的一些数字特征来对它们的主要分布特征进 行分析和判断。
18
2.随机过程的数字特征 随机过程的有限维分布函数族能完全刻画随机过程的统计特性， 但是人们在实际中，根据观察往往只能得到随机过程的部分资 料（样本），用它来确定有限维分布函数族是困难的，甚至是 不可能的。因而像引入随机变量的数字特征那样，有必要引入 随机过程的一些数字特征。 定义4 给定随机过程{X(t),tT}，对任意tT，随机变量X(t) 的均值和方差一般与t有关，记为
8
例10.3
考虑
X (t ) a cos(t ),
t (,),
其中a和是正常数,Θ 在(0,2)上服从均匀分布。
显然，对于每一个固定的时刻t t1 , X (t1 ) a cos(t1 )是一个随机变量； 在(0,2 )内随机取一个参数i，相应地得到一个时间函数。
第10章 随机过程及统计描述
关键词：
随机过程 数字特征
1
第10章
随机过程及统计描述
随机变量是定义在样本空间上的函数，当它还与时间 有关时，其描述方式也将有所不同…
10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程
2
10.1 随机过程的概念
概率论部分，引入定义在样本空间上的函数——随机变量 来描述随机现象，通过研究随机变量的分布给出随机现象的统 计规律性，随机变量的统计分布是不随时间而改变的。例如抛 掷一枚均匀硬币的试验中，可定义如下随机变量
{F1 ( x, t ),t T}
一维分布函数族刻画了随机过程在各个不同时刻的统计特 性，为了描述这些统计特性之间的关联性，还需引入多维分 布函数的概念。
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2.随机过程的数字特征 随机过程的有限维分布函数族能完全刻画随机过程的统计特性， 但是人们在实际中，根据观察往往只能得到随机过程的部分资 料（样本），用它来确定有限维分布函数族是困难的，甚至是 不可能的。因而像引入随机变量的数字特征那样，有必要引入 随机过程的一些数字特征。 定义4 给定随机过程{X(t),tT}，对任意tT，随机变量X(t) 的均值和方差一般与t有关，记为
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例10.3
考虑
X (t ) a cos(t ),
t (,),
其中a和是正常数,Θ 在(0,2)上服从均匀分布。
显然，对于每一个固定的时刻t t1 , X (t1 ) a cos(t1 )是一个随机变量； 在(0,2 )内随机取一个参数i，相应地得到一个时间函数。
第10章 随机过程及统计描述
关键词：
随机过程 数字特征
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第10章
随机过程及统计描述
随机变量是定义在样本空间上的函数，当它还与时间 有关时，其描述方式也将有所不同…
10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程
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10.1 随机过程的概念
概率论部分，引入定义在样本空间上的函数——随机变量 来描述随机现象，通过研究随机变量的分布给出随机现象的统 计规律性，随机变量的统计分布是不随时间而改变的。例如抛 掷一枚均匀硬币的试验中，可定义如下随机变量
{F1 ( x, t ),t T}
一维分布函数族刻画了随机过程在各个不同时刻的统计特 性，为了描述这些统计特性之间的关联性，还需引入多维分 布函数的概念。
随机过程课件
随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。
在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。
在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。
连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。
二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。
常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。
2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。
它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。
布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。
三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域。
1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。
通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。
2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。
通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。
第10讲 随机过程：维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声
∫
∞
−∞
f (t )dt = ∫
2
∞
−∞
ˆ f 2 (t )dt
若f(t)为偶函数，则 f (t )为奇函数；反之亦然 为偶函数， ˆ 为奇函数；
∫
∞
−∞
ˆ ˆ f (t ) f (t )dt = 0，即f(t)与f (t )相互正交
解析信号
定义：令有实信号f 则称复信号： 定义：令有实信号f(t)，则称复信号：
ˆ z (t ) = f (t ) + jf (t )
为f(t)的解析信号（或预包络） 的解析信号（或预包络）
解析信号的性质： 解析信号的性质：
f (t ) = Re [ z (t )]
1 f (t ) = [ z (t ) + z * (t )] 2
2 F (ω ) ● 令 f (t ) ⇔ F (ω )， z (t ) ⇔ Z (ω )则有 Z (ω ) = 0
根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换 根据维纳辛钦定理，
1 RX (t , t + τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = cos(ωτ ) 2 GX (ω ) = ∫ RX (τ )e − jωτ dτ
π 1 = ∫ cos ω0τ e − jωτ dτ = [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] 2 2
−∞பைடு நூலகம்
功率谱密度函数
对于任意信号x 对于任意信号x(t)，定义信号的能量和功率： 定义信号的能量和功率：
E ∆ lim ∫ x(t ) dt = ∫ x(t ) dt
2 2 T ∞
帕萨伐尔定理： 帕萨伐尔定理：
E=∫
随机过程及其统计描述
5 自协方差函数 , 简称协方差函数: C XX t1 , t2 CovX t1 , X t2 EX t1 X t1 X t2 X t2 简记为C X t1 , t2 .
随机过程数字特征之间 的关系:
2 1 X t RX t , t ; 2 2 2C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2 ; 3 X t C X t , t X t .
若CXY t1 , t2 0, 则称随机过程 X t 和Y t 是不相关的 .
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t , Y t , Z t 是三个随机过程 , 令W t X t Y t Z t , 则
W t X t Y t Z t ,
说明: 1*式表明几个随机过程之 和的自相关函数可以表 示 为各个随机过程的自相 关函数以及各对随机过 程的互相关函 数之和;
*
2如果上述三个随机过程 是两两不相关的 , 且各自的均值函数 都为零, 则由*式可知诸相关函数均等 于零, 此时W t 的自相关
函数简单地等于各个过 程的自相关函数之和 ,即
1 PT PH 2
例2﹑设a.b 是常数 t R, ~ U0,2, Xt, a cosbt 试问 如此 Xt, , t R, U0,2 定义的过程 是否为一随 机过程？
解：显然对固定 Ua, b ，Xt, 是一个仅 Xt , 依赖于t 的函数；对固定的t U 0,2 ， 是一个随机变量 •由定义即知该过程为一随机过程。
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H, T, 现 以此定义
cost, H Xt, , T t t ,
随机过程数字特征之间 的关系:
2 1 X t RX t , t ; 2 2 2C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2 ; 3 X t C X t , t X t .
若CXY t1 , t2 0, 则称随机过程 X t 和Y t 是不相关的 .
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t , Y t , Z t 是三个随机过程 , 令W t X t Y t Z t , 则
W t X t Y t Z t ,
说明: 1*式表明几个随机过程之 和的自相关函数可以表 示 为各个随机过程的自相 关函数以及各对随机过 程的互相关函 数之和;
*
2如果上述三个随机过程 是两两不相关的 , 且各自的均值函数 都为零, 则由*式可知诸相关函数均等 于零, 此时W t 的自相关
函数简单地等于各个过 程的自相关函数之和 ,即
1 PT PH 2
例2﹑设a.b 是常数 t R, ~ U0,2, Xt, a cosbt 试问 如此 Xt, , t R, U0,2 定义的过程 是否为一随 机过程？
解：显然对固定 Ua, b ，Xt, 是一个仅 Xt , 依赖于t 的函数；对固定的t U 0,2 ， 是一个随机变量 •由定义即知该过程为一随机过程。
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H, T, 现 以此定义
cost, H Xt, , T t t ,
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
数理统计与随机过程PPT学习教案
似地描述连续时间情况下的热噪声电压。
需注意的是：参数 t 虽然通常解释为时间，但 它也可以表示其它的量。诸如：序号、距离等。 如例5中，假定每隔一个单位时间掷一次骰子，则 第n次掷出的点数 Xn就相当于 t=n时骰子出现的点 数。
第14页/共69页
§10.2 随机过程的统计描述
随机过程在任一时刻的状态是随机变量， 由此可以利用随机变量(一维或多维)的统计描述 方法来描述随机过程的统计特征。
从另一个角度来看，如果固定某一个观测时刻t， 事物在时刻t出现的第1页状/共态69页是随机的。
例1电话问题：我们用X(t)表示在时刻t前电话局 接到的呼唤次数。如果固定时间t，则X(t)是一个随 机变量；但是t是可变参数，是一个连续变量，所以 X(t)是一个过程。因此，这个问题所涉及的不仅是一 个随机变量的问题，它是随机的，又是一个过程。
对于一切 t ∈Ｔ, X(t) 所有可能取得一切值的全
体称为随机过程的状态空间。
第6页/共69页
对随机过程 { X(t)，t ∈T } 进行一次试验 (即在 T上 进行一次全程观测)，其结果是 t 的函数，记为x(t)， t∈T， 称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线。 所有不同的试验结果构成一族 (可以只包括有限个， 如本节例1) 样本函数。
不同值, Xn是不同的随机变量，因而{Xn, n≥1} 构成一随机过程, 称为伯努力过程, 或伯努力随 机序列。状态空间都是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。 (2). 设Xn是前n次掷出的最大点数，则{Xn, n ≥1}也 是一随机过程。状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
第12页/共69页
例2液面上质点的运动：我观测液面上一个做布 朗运动的质点A,若用{X(t),Y(t)}表示在时刻t该质点在 液面上的坐标位置。当t固定时， {X(t),Y(t)} 是一对 二维随机变量。而t是一个连续变量，因此{X(t),Y(t)} 又是一个过程。
需注意的是：参数 t 虽然通常解释为时间，但 它也可以表示其它的量。诸如：序号、距离等。 如例5中，假定每隔一个单位时间掷一次骰子，则 第n次掷出的点数 Xn就相当于 t=n时骰子出现的点 数。
第14页/共69页
§10.2 随机过程的统计描述
随机过程在任一时刻的状态是随机变量， 由此可以利用随机变量(一维或多维)的统计描述 方法来描述随机过程的统计特征。
从另一个角度来看，如果固定某一个观测时刻t， 事物在时刻t出现的第1页状/共态69页是随机的。
例1电话问题：我们用X(t)表示在时刻t前电话局 接到的呼唤次数。如果固定时间t，则X(t)是一个随 机变量；但是t是可变参数，是一个连续变量，所以 X(t)是一个过程。因此，这个问题所涉及的不仅是一 个随机变量的问题，它是随机的，又是一个过程。
对于一切 t ∈Ｔ, X(t) 所有可能取得一切值的全
体称为随机过程的状态空间。
第6页/共69页
对随机过程 { X(t)，t ∈T } 进行一次试验 (即在 T上 进行一次全程观测)，其结果是 t 的函数，记为x(t)， t∈T， 称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线。 所有不同的试验结果构成一族 (可以只包括有限个， 如本节例1) 样本函数。
不同值, Xn是不同的随机变量，因而{Xn, n≥1} 构成一随机过程, 称为伯努力过程, 或伯努力随 机序列。状态空间都是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。 (2). 设Xn是前n次掷出的最大点数，则{Xn, n ≥1}也 是一随机过程。状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
第12页/共69页
例2液面上质点的运动：我观测液面上一个做布 朗运动的质点A,若用{X(t),Y(t)}表示在时刻t该质点在 液面上的坐标位置。当t固定时， {X(t),Y(t)} 是一对 二维随机变量。而t是一个连续变量，因此{X(t),Y(t)} 又是一个过程。
随机过程及其统计描述44页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
44
随机过程及其统计描述
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
44
随机过程及其统计描述
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
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相互独立
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) FX1 ( x1, t1 )FX 2 ( x2 , t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 多维分布
多维概率分布函数
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P[ X (t1) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度 谱密度与自相关函数
S ( ) R( )e j d
1 R( ) 2
S ( )e j d
由维纳---辛钦定理得：
S ( ) 2 R( ) cos d
0
R( )
1
0
协方差
1 2
x x f ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
2
C( ) E [ X (t ) mX ][ X (t ) mX ] R( ) mX
二、平稳随机过程
2、广义平稳过程 定义 设 X (t ), t T 是一随机过程, 1
E[ X (t )] mX 常数
E[ X 2 ((功率有限),且 t )]
2
R(t1, t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( ) 则称 为广义平稳随机过程。
X (t ), t T
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) m(t )]2}
X 2 (t ) E[ X 2 (t )]
(t )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 相关函数 互相关函数 协方差函数 互协方差函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
独立增量过程
X (ti 1 ) X (ti ) X (ti , ti 1 ) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
按功率谱特性分类
白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) 定义 t ), t T n 设 X (为一随机过程，若对任意正整数 ,任意的实 t1 , t2 ,, tn X 的 X (t2 ),, X (tn ) (t1 ), 维分布函 数 与 ,随机变量 X (t1 ), X (t维分布函数相同，即 数与n 的 2 ),, X (tn )
{e} 设 E 是一个样本空间，若对每一时刻
，都有定 t T
义在 上的随机变量 E
与之对应，则称依赖 的一族 X (t , e)
随机变量 t
为 。
是一个随机过程，通常将它简化 X (t, e), t T , e E
X (t ), t T
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
n
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
则称
为严格平稳随机过程。
X (t )
n 1, 2,
严格平稳条件等价于
fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) f n ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
性质
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 2 C XY ( ) X Y 2
二、平稳随机过程
6、相关系数及相关时间 相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
相关时间
1、能量型信号
W s 2 (t )dt
2、功率型信号
S ( ) s(t )e dt 1 s (t ) S ( )e jt d 2
jt
1 P lim T 2T
T
T
s 2 (t )dt
F (, T ) sT (t )e
jt
dt s(t )e jt dt
T
T
1 S ( ) lim | F ( , T ) |2 T 2T
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度
FX (, T ) X (t )e jt dt
T T
1 2T
1 X (t )dt T 4 T
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
i
j )ai a j 0
自相关函数的曲线图示：
R( )
2
R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 定义
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
平均功率
1 X (t ) X (t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
时间自相关函数
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性 均值各态历经
T
lim P{| X (t ) E[ X (t )] | } 1
自相关函数各态历经
T
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
随机变量
标量
X i (t j ) X (t j , ei )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 一维分布
一维概率分布函数
F ( x, ti ) P[ X (ti ) x]
第九章 随机过程概述
随机过程概述 一、随机过程的概念 二、平稳随机过程 三、时间平稳和各态历经性 四、平稳过程的功率谱密度
五、白噪声过程
六、泊松随机过程
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
2、随机过程的概率分布 3、随机过程的数字特征 4、随机过程的基本分类
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
T 2
| FX ( , T ) |2 d
1 PX lim E T 2T
T
T
X 2 (t )dt
1 PX 2
1 E{| FX ( , T ) |2 }d T 2T lim
随机过程功率谱密度
1 S X ( ) lim E{| FX ( , T ) |2 } T 2T
rX ( )
rX (0) 1
0 rX ( )d
0
0.05
0
工程上认为不相关
0
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
1 X (t ) lim T 2T
随 机 变 量
2
T
T
x(t )dt
时间均值
1 X (t ) lim T 2T
T
T
x 2 (t )dt
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1 2T 2 lim (1 )[ RX ( ) mX ]d 0 T T 0 2T
四、平稳过程的功率谱密度
CX (t1, t2 ) E ( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 极值性 对称性
R( ) R(0)
R( ) R( )
时间间隔为零时的自相关函数 R(0) E[ X 2 (t )] D[ X (t )] m2 2 m2 2 R(0) m2 R(0) R() C(0) R(0) m2 2 自相关函数连续的充要条件
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=2时:
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 t2 ) f ( x1 , x2 ; )
自相关函数 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 ) dxdy
C X (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) X (t2 ) mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) C XY (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) Y (t2 ) mY (t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 需要强调的地方 F ( x, y; t1, t2 ) P[ X (t 1) x, Y (t2 ) y] 相互独立
f ( x, y; t1, t2 ) f X ( x, t1 ) fY ( y, t2 )
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) FX1 ( x1, t1 )FX 2 ( x2 , t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 多维分布
多维概率分布函数
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P[ X (t1) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度 谱密度与自相关函数
S ( ) R( )e j d
1 R( ) 2
S ( )e j d
由维纳---辛钦定理得：
S ( ) 2 R( ) cos d
0
R( )
1
0
协方差
1 2
x x f ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
2
C( ) E [ X (t ) mX ][ X (t ) mX ] R( ) mX
二、平稳随机过程
2、广义平稳过程 定义 设 X (t ), t T 是一随机过程, 1
E[ X (t )] mX 常数
E[ X 2 ((功率有限),且 t )]
2
R(t1, t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( ) 则称 为广义平稳随机过程。
X (t ), t T
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) m(t )]2}
X 2 (t ) E[ X 2 (t )]
(t )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 相关函数 互相关函数 协方差函数 互协方差函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
独立增量过程
X (ti 1 ) X (ti ) X (ti , ti 1 ) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
按功率谱特性分类
白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) 定义 t ), t T n 设 X (为一随机过程，若对任意正整数 ,任意的实 t1 , t2 ,, tn X 的 X (t2 ),, X (tn ) (t1 ), 维分布函 数 与 ,随机变量 X (t1 ), X (t维分布函数相同，即 数与n 的 2 ),, X (tn )
{e} 设 E 是一个样本空间，若对每一时刻
，都有定 t T
义在 上的随机变量 E
与之对应，则称依赖 的一族 X (t , e)
随机变量 t
为 。
是一个随机过程，通常将它简化 X (t, e), t T , e E
X (t ), t T
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
n
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
则称
为严格平稳随机过程。
X (t )
n 1, 2,
严格平稳条件等价于
fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) f n ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
性质
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 2 C XY ( ) X Y 2
二、平稳随机过程
6、相关系数及相关时间 相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
相关时间
1、能量型信号
W s 2 (t )dt
2、功率型信号
S ( ) s(t )e dt 1 s (t ) S ( )e jt d 2
jt
1 P lim T 2T
T
T
s 2 (t )dt
F (, T ) sT (t )e
jt
dt s(t )e jt dt
T
T
1 S ( ) lim | F ( , T ) |2 T 2T
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度
FX (, T ) X (t )e jt dt
T T
1 2T
1 X (t )dt T 4 T
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
i
j )ai a j 0
自相关函数的曲线图示：
R( )
2
R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 定义
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
平均功率
1 X (t ) X (t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
时间自相关函数
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性 均值各态历经
T
lim P{| X (t ) E[ X (t )] | } 1
自相关函数各态历经
T
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
随机变量
标量
X i (t j ) X (t j , ei )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 一维分布
一维概率分布函数
F ( x, ti ) P[ X (ti ) x]
第九章 随机过程概述
随机过程概述 一、随机过程的概念 二、平稳随机过程 三、时间平稳和各态历经性 四、平稳过程的功率谱密度
五、白噪声过程
六、泊松随机过程
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
2、随机过程的概率分布 3、随机过程的数字特征 4、随机过程的基本分类
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
T 2
| FX ( , T ) |2 d
1 PX lim E T 2T
T
T
X 2 (t )dt
1 PX 2
1 E{| FX ( , T ) |2 }d T 2T lim
随机过程功率谱密度
1 S X ( ) lim E{| FX ( , T ) |2 } T 2T
rX ( )
rX (0) 1
0 rX ( )d
0
0.05
0
工程上认为不相关
0
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
1 X (t ) lim T 2T
随 机 变 量
2
T
T
x(t )dt
时间均值
1 X (t ) lim T 2T
T
T
x 2 (t )dt
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1 2T 2 lim (1 )[ RX ( ) mX ]d 0 T T 0 2T
四、平稳过程的功率谱密度
CX (t1, t2 ) E ( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 极值性 对称性
R( ) R(0)
R( ) R( )
时间间隔为零时的自相关函数 R(0) E[ X 2 (t )] D[ X (t )] m2 2 m2 2 R(0) m2 R(0) R() C(0) R(0) m2 2 自相关函数连续的充要条件
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=2时:
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 t2 ) f ( x1 , x2 ; )
自相关函数 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 ) dxdy
C X (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) X (t2 ) mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) C XY (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) Y (t2 ) mY (t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 需要强调的地方 F ( x, y; t1, t2 ) P[ X (t 1) x, Y (t2 ) y] 相互独立
f ( x, y; t1, t2 ) f X ( x, t1 ) fY ( y, t2 )