第10讲 第九章 随机过程及其统计描述
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T 2
| FX ( , T ) |2 d
1 PX lim E T 2T
T
T
X 2 (t )dt
1 PX 2
1 E{| FX ( , T ) |2 }d T 2T lim
随机过程功率谱密度
1 S X ( ) lim E{| FX ( , T ) |2 } T 2T
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 需要强调的地方 F ( x, y; t1, t2 ) P[ X (t 1) x, Y (t2 ) y] 相互独立
f ( x, y; t1, t2 ) f X ( x, t1 ) fY ( y, t2 )
正交
E[ X (t1 )Y (t2 )] 0
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度 谱密度与自相关函数
S ( ) R( )e j d
1 R( ) 2
S ( )e j d
由维纳---辛钦定理得：
S ( ) 2 R( ) cos d
0
R( )
1
0
一维概率密度函数
F ( x, ti ) f ( x, ti ) x
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 二维分布
二维概率分布函数
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2}
二维概率密度函数
2 F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
相互独立
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) FX1 ( x1, t1 )FX 2 ( x2 , t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 多维分布
多维概率分布函数
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P[ X (t1) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
i
j )ai a j 0
自相关函数的曲线图示：
R( )
2
R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 定义
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
rX ( )
rX (0) 1
0 rX ( )d
0
0.05
0
工程上认为不相关
0
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
1 X (t ) lim T 2T
随 机 变 量
2
T
T
x(t )dt
时间均值
1 X (t ) lim T 2T
T
T
x 2 (t )dt
互不相关
CXY (t1 , t2 ) cov[ X (t1 ), Y (t2 )] RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) 0
结论：相互独立必定互不相关，反之不一定。
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按统计特性分类
平稳随机过程和非平稳随机过程
平均功率
1 X (t ) X (t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
时间自相关函数
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性 均值各态历经
T
lim P{| X (t ) E[ X (t )] | } 1
自相关函数各态历经
T
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) m(t )]2}
X 2 (t ) E[ X 2 (t )]
(t )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 相关函数 互相关函数 协方差函数 互协方差函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
协方差
1 2
x x f ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
2
C( ) E [ X (t ) mX ][ X (t ) mX ] R( ) mX
二、平稳随机过程
2、广义平稳过程 定义 设 X (t ), t T 是一随机过程, 1
多维概率密度函数
f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 均值 方差 均方值 均方差
m(t ) E[ X (t )] xf ( x, t )dx
1、能量型信号
W s 2 (t )dt
2、功率型信号
S ( ) s(t )e dt 1 s (t ) S ( )e jt d 2
jt
1 P lim T 2T
T
T
s 2 (t )dt
F (, T ) sT (t )e
{e} 设 E 是一个样本空间，若对每一时刻
，都有定 t T
义在 上的随机变量 E
与之对应，则称依赖 的一族 X (t , e)
随机变量 t
为 。
是一个随机过程，通常将它简化 X (t, e), t T , e E
X (t ), t T
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
第九章 随机过程概述
随机过程概述 一、随机过程的概念 二、平稳随机过程 三、时间平稳和各态历经性 四、平稳过程的功率谱密度
五、白噪声过程
六、泊松随机过程
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
2、随机过程的概率分布 3、随机过程的数字特征 4、随机过程的基本分类
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
随机变量
标量
X i (t j ) X (t j , ei )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 一维分布
一维概率分布函数
F ( x, ti ) P[ X (ti ) x]
独立增量过程
X (ti 1 ) X (ti ) X (ti , ti 1 ) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
按功率谱特性分类
白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) 定义 t ), t T n 设 X (为一随机过程，若对任意正整数 ,任意的实 t1 , t2 ,, tn X 的 X (t2 ),, X (tn ) (t1 ), 维分布函 数 与 ,随机变量 X (t1 ), X (t维分布函数相同，即 数与n 的 2 ),, X (tn )
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=1时: f ( x, t ) f ( x, t ) f ( x) 与时间t无关
均值
E[ X (t )]
xf1 ( x)dx mX
方差
D[ X (t )] E [ X (t ) mX ] ( x mX )2 f1 ( x)dx 2
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
Biblioteka Baidu
xyf ( x, t1; y, t2 ) dxdy
C X (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) X (t2 ) mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) C XY (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) Y (t2 ) mY (t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
CX (t1, t2 ) E ( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 极值性 对称性
R( ) R(0)
R( ) R( )
时间间隔为零时的自相关函数 R(0) E[ X 2 (t )] D[ X (t )] m2 2 m2 2 R(0) m2 R(0) R() C(0) R(0) m2 2 自相关函数连续的充要条件
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=2时:
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 t2 ) f ( x1 , x2 ; )
自相关函数 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )]
n
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
则称
为严格平稳随机过程。
X (t )
n 1, 2,
严格平稳条件等价于
fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) f n ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1 2T 2 lim (1 )[ RX ( ) mX ]d 0 T T 0 2T
四、平稳过程的功率谱密度
jt
dt s(t )e jt dt
T
T
1 S ( ) lim | F ( , T ) |2 T 2T
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度
FX (, T ) X (t )e jt dt
T T
1 2T
1 X (t )dt T 4 T
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
二、平稳随机过程
3、二阶矩过程 定义 若一个随机过程
t T
X (t ), t T ,如果对于一切
,总有:
则称此过程为二阶矩过程。
E[ X 2 (t )]
对于二阶矩过程
均值 自协方差函数 总是存在的。
mX (t ) E[ X (t )]
性质
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 2 C XY ( ) X Y 2
二、平稳随机过程
6、相关系数及相关时间 相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
相关时间
E[ X (t )] mX 常数
E[ X 2 ((功率有限),且 t )]
2
R(t1, t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( ) 则称 为广义平稳随机过程。
X (t ), t T
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
按记忆特性分类
纯粹随机过程
马尔可夫过程
Fn ( x1 , t1; x2 , t2 ;; xn , tn ) F1 ( x j , t j )
j 1 n
Fn ( xn , tn | xn1, tn1; xn2 , tn2 ;; x2 , t2 ; x1, t1 ) Fn ( xn , tn | xn1, tn1)
| FX ( , T ) |2 d
1 PX lim E T 2T
T
T
X 2 (t )dt
1 PX 2
1 E{| FX ( , T ) |2 }d T 2T lim
随机过程功率谱密度
1 S X ( ) lim E{| FX ( , T ) |2 } T 2T
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 需要强调的地方 F ( x, y; t1, t2 ) P[ X (t 1) x, Y (t2 ) y] 相互独立
f ( x, y; t1, t2 ) f X ( x, t1 ) fY ( y, t2 )
正交
E[ X (t1 )Y (t2 )] 0
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度 谱密度与自相关函数
S ( ) R( )e j d
1 R( ) 2
S ( )e j d
由维纳---辛钦定理得：
S ( ) 2 R( ) cos d
0
R( )
1
0
一维概率密度函数
F ( x, ti ) f ( x, ti ) x
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 二维分布
二维概率分布函数
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2}
二维概率密度函数
2 F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
相互独立
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) FX1 ( x1, t1 )FX 2 ( x2 , t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 多维分布
多维概率分布函数
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P[ X (t1) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
i
j )ai a j 0
自相关函数的曲线图示：
R( )
2
R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 定义
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
rX ( )
rX (0) 1
0 rX ( )d
0
0.05
0
工程上认为不相关
0
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
1 X (t ) lim T 2T
随 机 变 量
2
T
T
x(t )dt
时间均值
1 X (t ) lim T 2T
T
T
x 2 (t )dt
互不相关
CXY (t1 , t2 ) cov[ X (t1 ), Y (t2 )] RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) 0
结论：相互独立必定互不相关，反之不一定。
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按统计特性分类
平稳随机过程和非平稳随机过程
平均功率
1 X (t ) X (t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
时间自相关函数
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性 均值各态历经
T
lim P{| X (t ) E[ X (t )] | } 1
自相关函数各态历经
T
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) m(t )]2}
X 2 (t ) E[ X 2 (t )]
(t )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 相关函数 互相关函数 协方差函数 互协方差函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
协方差
1 2
x x f ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
2
C( ) E [ X (t ) mX ][ X (t ) mX ] R( ) mX
二、平稳随机过程
2、广义平稳过程 定义 设 X (t ), t T 是一随机过程, 1
多维概率密度函数
f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征 均值 方差 均方值 均方差
m(t ) E[ X (t )] xf ( x, t )dx
1、能量型信号
W s 2 (t )dt
2、功率型信号
S ( ) s(t )e dt 1 s (t ) S ( )e jt d 2
jt
1 P lim T 2T
T
T
s 2 (t )dt
F (, T ) sT (t )e
{e} 设 E 是一个样本空间，若对每一时刻
，都有定 t T
义在 上的随机变量 E
与之对应，则称依赖 的一族 X (t , e)
随机变量 t
为 。
是一个随机过程，通常将它简化 X (t, e), t T , e E
X (t ), t T
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
第九章 随机过程概述
随机过程概述 一、随机过程的概念 二、平稳随机过程 三、时间平稳和各态历经性 四、平稳过程的功率谱密度
五、白噪声过程
六、泊松随机过程
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
2、随机过程的概率分布 3、随机过程的数字特征 4、随机过程的基本分类
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
随机变量
标量
X i (t j ) X (t j , ei )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 一维分布
一维概率分布函数
F ( x, ti ) P[ X (ti ) x]
独立增量过程
X (ti 1 ) X (ti ) X (ti , ti 1 ) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
按功率谱特性分类
白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) 定义 t ), t T n 设 X (为一随机过程，若对任意正整数 ,任意的实 t1 , t2 ,, tn X 的 X (t2 ),, X (tn ) (t1 ), 维分布函 数 与 ,随机变量 X (t1 ), X (t维分布函数相同，即 数与n 的 2 ),, X (tn )
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=1时: f ( x, t ) f ( x, t ) f ( x) 与时间t无关
均值
E[ X (t )]
xf1 ( x)dx mX
方差
D[ X (t )] E [ X (t ) mX ] ( x mX )2 f1 ( x)dx 2
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
Biblioteka Baidu
xyf ( x, t1; y, t2 ) dxdy
C X (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) X (t2 ) mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) C XY (t1 , t2 ) E X (t1 ) mX (t1 ) Y (t2 ) mY (t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
CX (t1, t2 ) E ( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 极值性 对称性
R( ) R(0)
R( ) R( )
时间间隔为零时的自相关函数 R(0) E[ X 2 (t )] D[ X (t )] m2 2 m2 2 R(0) m2 R(0) R() C(0) R(0) m2 2 自相关函数连续的充要条件
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程) n=2时:
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 t2 ) f ( x1 , x2 ; )
自相关函数 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )]
n
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
则称
为严格平稳随机过程。
X (t )
n 1, 2,
严格平稳条件等价于
fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,tn ) f n ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,tn )
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1 2T 2 lim (1 )[ RX ( ) mX ]d 0 T T 0 2T
四、平稳过程的功率谱密度
jt
dt s(t )e jt dt
T
T
1 S ( ) lim | F ( , T ) |2 T 2T
四、平稳过程的功率谱密度
3、平稳过程的功率谱密度
FX (, T ) X (t )e jt dt
T T
1 2T
1 X (t )dt T 4 T
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
二、平稳随机过程
3、二阶矩过程 定义 若一个随机过程
t T
X (t ), t T ,如果对于一切
,总有:
则称此过程为二阶矩过程。
E[ X 2 (t )]
对于二阶矩过程
均值 自协方差函数 总是存在的。
mX (t ) E[ X (t )]
性质
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 2 C XY ( ) X Y 2
二、平稳随机过程
6、相关系数及相关时间 相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
相关时间
E[ X (t )] mX 常数
E[ X 2 ((功率有限),且 t )]
2
R(t1, t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( ) 则称 为广义平稳随机过程。
X (t ), t T
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
按记忆特性分类
纯粹随机过程
马尔可夫过程
Fn ( x1 , t1; x2 , t2 ;; xn , tn ) F1 ( x j , t j )
j 1 n
Fn ( xn , tn | xn1, tn1; xn2 , tn2 ;; x2 , t2 ; x1, t1 ) Fn ( xn , tn | xn1, tn1)