多边形的内角和与平行四边形的性质

多边形的内角和与平行四边形的性质

1．多边形及其内角和与外角和

(1)多边形的概念

①定义:在同一平面内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形．

②多边形的边:所相连的线段叫做多边形的边．

③多边形的角:①内角-------多边形相邻两边所组成的角叫多边形内角；②多边形的外角------多边形的一边与相邻边延长线组成的角叫做多边形的外角.

④多边形的对角线:多边形不相邻的两个点的连线组成的线段叫做多边形的对角线．

n 边形从一个顶点可以引 条对角线.把n 边形分成 个三角形.n 边形对角线条数为 .

(2)多边形的内角和与外角和

①多边形的内角和:多边形的内角和为 ．

②多边形外角和:多边形的外角和为 ．

(3)正多边形:

①正多边形:各边相等,每个内角相等的多边形叫做正多边形．

②正n 边形的每个内角度数为 ，每个外角的度数为 ．

2．平行四边形

(1)平行四边的概念

①定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

②平行四边形对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念．

③平行四边形的表示

(2)性质：

①边：对边 ；对边 ．

②角：对角 ；邻角 ；四个角之和 ．

推论：夹在两条平行线间的平行线段 ． ③对角线：平行四边形的对角线 ．

(3)两条平行线的距离

(1)平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离；平行线间的距离处处 ．

(2)平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．

(3)平行四边形的面积：等于它的底和高的积，即ABCD S ＝a·h ．（其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高）．

3．平面镶嵌

(1)用地板铺地,用瓷砖贴墙.都要求砖与砖严丝合缝,不应空隙,把地面或墙面全部覆盖,从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．

(2)平面镶嵌的条件

①用同一种正多边形镶嵌平面的条件是:当正多边形的一个内角的正整数倍是360时.这种正多边形可以覆盖平面. 只有正三角形,正方形,正六边形能镶嵌成一个平面图形．

②用两种边长相等的正多边形镶嵌平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为α，β，当mα+nβ=360中的mn 有正整数解时，这两种正多边形可以覆盖平面．

正三角形和正方形或正三角形和正六边形或正三角形和正六边形能覆盖平面．

③在一般的多边形中,只有三角形和四边形可以覆盖平面．

方法与技能

【例1】(1)已知一个多边形的每个内角都相等,且一个内角等于它相邻外角的9倍.求这个多边形的边数.

(2)一个多边形有14条对角线,求它的内角和与边数

(3)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,求这个多边形的内角和.

A2A4B1A1A3A5(4)小明在进行多边形内角和计算时,求得的内角和为1125°,当发现错了之后,重新检查,发现是少加了一个内角,问这个少加的内角是多少度?他求的是几边形的内角和?

【例2】如图，在□ABCD 中，AD=2AB,M 是AD 的中点， CE ⊥AB 于E ，如果∠CEM=40°，求∠DME 的度数。

【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过O 点作直线EF 分别交BC 、AD 于E 、F ．

(1)求证：BE ＝ DF ；

(2)若AC ，EF 将平行四边形ABCD 分成的四部分的面积相等，指出E 点的位置，并说明理由．

【例4】如图，在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，B 1是A 1的对边A 3A 4的中点，连结A 1B 1，我们称A 1B 1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，

求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．

【例5】如图，一种四边形瓷砖的四条边的长度分别为4cm,6cm,8cm,10cm,请你用12块这样的瓷砖铺一块地面，使它们排3行，每行4块，并使相邻的瓷砖边与边之间既无空隙，又不重叠，请画出图来.

演练与反馈

一、慎重抉择(每小题3分，共30分)

1．四边形ABCD 中，∠A+∠C=∠B+∠D ，∠A 的外角为120°，则∠C 的度数为（ ）

A 、36°

B 、60°

C 、90°

D 、120°

2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是( )

A ．四边形

B ．五边形

C ．六边形

D ．八边形

3．用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）

A ．等边三角形

B ．正方形

C ．正五边形

D ．正六边形

4．小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（ ）

A ．正方形

B ．正六边形

C ．正八边形

D ．正十二边形

5．若平行四边形的两个内角度数之比为1：2，则其中较小的内角度数是（ ）

A ．90

B ．60

C ．120

D ．45

6．如图：在□ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）

A ．4个

B ．5个

C ．8个

D ．9个

7．平行四边形ABCD 的周长为36cm ，AB －BC =2cm ，则AD 、CD 的长度分别是（ ）

A ．12cm ，6cm

B ．8cm ，10cm

C ．6cm ，12cm

D ．10cm ，8cm

8．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=10，BD=8，则AB 的取值范围是（ ）

A ．1＜A

B ＜9 B ．2＜AB ＜18

C ．8＜AB ＜10

D ．4＜AB ＜5

9．如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ）

A ．8.3

B ．9.6

C ．12.6

D ．13.6 10．在□ABCD 中，AB=2，BC=3，∠B=60°，则□ABCD 的面积为（ ） A ．2 3 B ．3 3 C ． 3 D ．332

二、仔细填空(每小题4分，共20分)

11．一个多边形的每一个外角都等于24°,那么这个多边形的边数是 ．

12．一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有 条边．

13．□ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则□ABCD 的周长是__ ___cm ．

14．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知AB =8，BC =6，△AOB 的周长是18，则△AOD 的周长是 ．

15．已知□ABCD 中，AB=4,BC=6,AE ⊥BC 于E,AF ⊥DC 于F.若AE=12,则AF= ．

三、知识理解(每小题6分，共12分)

16．如图，在□ABCD 中，AD ⊥DB ，AC 与BD 相交于点O ，OD=1，∠CAD=30°，求AC 和DC 的长．

17．已知正五边形ABCDE ，O 是平面内的一点，△DOE 是等边三角形，求∠AOC 的度数．

四、技能掌握(每小题6分，共12分)

18．已知：如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、AB 上DF ∥BE ，EF 交BD 于点O ．

求证：EO =OF ．

O

E D

C

A B C B A D F E O