数学建模第五讲
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《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模之方法(五步法)ppt课件
130 125 120 115 110 105 100
120 若要x≥0,只要0<r≤0.014, 110 最佳售猪时间可由x=(7- 100 500r) /25r给出,对r>0.014 , 90 0
5
10
15
20
在[0,+∞)上都有 f‘(x)<0, 最佳售猪时间为x=0. 图 1-5给出了r =0.015的情况.
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
5/25
①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
表1-1 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性 r (美元/天) 0.008 0.009 0.01 x (天 ) 15.0 11.1 8.0 r (美元/天) 0.011 0.012 ※2018/11/25※ x (天 ) 5.5 3.3
数模方法之五步法
16/25
将上表1-1中的数据绘制在如下图1-4中。 x(天) 16
第二步、选择建模方法.
第三步、推导模型的公式:
⑴把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模 方法需要的形式； 图1-3 五步方法图 数模方法之五步法 ※2018/11/25※
13/25
⑵你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用 的记号一致； ⑶记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述 的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。
120 若要x≥0,只要0<r≤0.014, 110 最佳售猪时间可由x=(7- 100 500r) /25r给出,对r>0.014 , 90 0
5
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在[0,+∞)上都有 f‘(x)<0, 最佳售猪时间为x=0. 图 1-5给出了r =0.015的情况.
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
5/25
①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
表1-1 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性 r (美元/天) 0.008 0.009 0.01 x (天 ) 15.0 11.1 8.0 r (美元/天) 0.011 0.012 ※2018/11/25※ x (天 ) 5.5 3.3
数模方法之五步法
16/25
将上表1-1中的数据绘制在如下图1-4中。 x(天) 16
第二步、选择建模方法.
第三步、推导模型的公式:
⑴把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模 方法需要的形式； 图1-3 五步方法图 数模方法之五步法 ※2018/11/25※
13/25
⑵你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用 的记号一致； ⑶记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述 的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。
5-图像恢复.
（H为一线性算子） H f , x , y dd (H是空间移不变) f , H x , y dd f , hx , y dd
线性位移不变的图像退化模型则表示为：
g(x, y) f (x, y) h(x, y) n(x, y)
f (x,y) H
g (x,y)
n (x,y)
重要结论：一个线性系统完全可以由它的点扩散函数 h(x,, y, )
来表征。若系统的PSF已知，则系统在（x，y）点的输出响应可看
如果我们对退化的类型、机制和过程都十分清楚，那么就可以利用 其反过程来复原图像。
用巴特沃思带阻滤波器复原受正弦噪声干扰的图像 a) 被正弦噪声干扰的图像 b) 滤维纳滤波器恢复出来的图像
图像恢复：将降质了的图像恢复成原来的图像，针对引起图像退
其中*表示卷积运算。如果H(·)是一个h可分离系统，即
h(x,; y, ) h1(x, )h2 ( y, )
则二维运算可以分解为列和行两次一维运算来代替。
在加性噪声情况下，图像退化模型可以表示为
g(x, y) f (x, y) h(x, y) n(x, y)
其中n(x, y)为噪声图像
g(x, y) f , hx , y dd nx, y n(x,y)
f(x,y)
H
讨论的前提是假设H线性，下面一些恢复方法都是对上述模型 的近似估计。
两边进行付氏变换： G(u, v) H (u, v)F(u, v) N(u, v)
第五讲 图像复原
图像退化及复原
什么是图像退化?
图像的质量变坏叫做退化。退化的形式有图像模糊、图像有干扰等
数学建模高一上学期一年级第五节优质课数学建模的基本方法与应用
数学建模高一上学期一年级第五节优质课数学建模的基本方法与应用数学建模是一门将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析和求解的学科。
它旨在培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。
本篇文章将介绍数学建模的基本方法与应用。
一、数学建模的基本方法1. 定义问题：数学建模的第一步是准确定义问题。
要把实际问题抽象为数学问题，明确问题的目标和限制条件。
2. 建立模型：建立数学模型是数学建模的核心。
根据实际问题的特征，选择适当的数学工具和数学方法，构建数学模型。
3. 进行分析：对建立的数学模型进行分析，运用数学知识和技巧进行推导和计算，得到问题的解析解或近似解。
4. 验证模型：将得到的解与实际情况进行比较，判断模型的准确性和可行性。
如果模型不准确，需要对模型进行修正和改进。
5. 解释与应用：对模型的解进行解释和分析，提出问题解决的建议，并将数学模型的结果应用于实际问题中。
二、数学建模的应用范围数学建模广泛应用于科学研究、工程技术、社会经济等领域。
下面将介绍数学建模在几个典型领域的应用。
1. 环境保护与资源管理：数学建模可用于分析和预测环境污染、自然资源利用等问题，制定科学的环境保护策略和资源管理方案。
2. 交通运输优化：数学建模可以帮助优化交通规划、交通信号灯控制，提高交通运输效率和减少交通拥堵。
3. 医学与生物学：数学建模在医学诊断、疾病传播、生物种群动态等领域有广泛应用，为医疗保健和生物科学研究提供支持。
4. 经济与金融：数学建模可以用于分析和预测经济指标、金融风险等，辅助决策和制定政策。
5. 城市规划与建设：数学建模可以模拟城市的发展变化，优化城市规划和建设，提高城市的可持续发展。
三、数学建模的案例1. 高速公路车流模型：通过收集高速公路上的交通数据，建立车辆流量模型，预测交通拥堵情况，优化交通信号灯控制，提高道路通行效率。
2. 疫情传播模型：通过数学建模，可以预测疫情的传播趋势和规律，辅助制定控制措施和疫苗接种策略。
数学建模课件(颜文勇) (5)
1月份， 月份，工厂收到北京、 工厂收到北京、上海与广东三地的订购数 量见表5 量见表5-2. 甲机床（台） 乙机床（台） 丙机床（台）
表5-2
北京 4 5 3
上海 5 6 4
广东 7 8 9
请帮兴兴机械厂算一算各地订购三种机床的总 价值、 价值、总成本、 总成本、总利润各是多少？
一、模型假设与符号说明 1. 假设不考虑订货费及运输费等. 假设不考虑订货费及运输费等. 2. 假设用矩阵A表示三种规格机床的价格和成 本矩阵； 本矩阵；矩阵B表示北京、 表示北京、上海和广东三地三 种机床的订购数量矩阵； 种机床的订购数量矩阵；矩阵C表示各地订购 三种机床的总价值、 三种机床的总价值、总成本矩阵； 总成本矩阵；矩阵D表示 各地订购三种机床的总价值、 各地订购三种机床的总价值、总成本和总利润 矩阵． 矩阵．
n ≤ 4000
拓展思考
x x
1. 若机床运往上海、 若机床运往上海、北京与广东的运输费各为300 北京与广东的运输费各为300 元/台、200元 200元/台、120元 120元/台，则各地订购三种 机床的总利润各是多少？ 机床的总利润各是多少？
n ≤ 4000
矩阵运算的应用方法
x x
一般地， 一般地，用矩阵表示数表后， 用矩阵表示数表后，可先分析结果 中的某个量的构成， 中的某个量的构成，受此启发， 受此启发，再运用相应的矩 阵运算得到全部结果． 阵运算得到全部结果．
归纳一类问题的分析处理方法 归纳一类问题的分析处理方法 在实际应用中， 在实际应用中，常用数字1 常用数字1或0分别表示电路、 分别表示电路、 交通以及网络等的连通状态． 交通以及网络等的连通状态．一般地， 一般地，用数字1 用数字1表 示连通， 示连通，数字0 数字0表示断开． 表示断开．对于复杂的网络连接 图，可用0 可用0-1矩阵表示结点的连通状况． 矩阵表示结点的连通状况．
《数学建模培训》PPT课件
数学建模案例解析
04
经济学案例：供需平衡模型
供需平衡理论
通过数学语言描述市场需求与供给之间的平衡关 系，涉及价格、数量等关键变量。
建模过程
收集相关数据，建立需求函数和供给函数，通过 求解方程组找到均衡价格和均衡数量。
模型应用
预测市场趋势，分析政策对市场的影响，为企业 决策提供支持。
物理学案例：热传导模型
Lingo在数学建模中的应 用案例
展示Lingo在数学建模中的实 际应用，如线性规划、整数规 划、非线性规划等优化问题的 求解。
其他数学建模相关软件与工具简介
Mathematica软件
简要介绍Mathematica的特点和功能，以及其 在数学建模中的应用。
SAS软件
简要介绍SAS的特点和功能，以及其在数学建模 中的应用。
数据预处理
包括数据清洗、缺失值处 理、异常值检测等，保证 数据质量。
数据可视化
利用图表、图像等手段展 示数据，便于理解和分析 。
数据分析方法
如回归分析、时间序列分 析、聚类分析等，用于挖 掘数据中的信息和规律。
数学建模常用方法
03
回归分析
线性回归
通过最小二乘法拟合自变量和因 变量之间的线性关系，得到最佳
模型应用
预测舆论走向，分析社会热点问题，为政府和企业提供决策支持。
数学建模软件与工
05
具介绍
MATLAB软件介绍及使用技巧
MATLAB概述
简要介绍MATLAB的历史、功能和应用领域 。
MATLAB常用函数
列举并解释MATLAB中常用的数学函数、绘 图函数、数据处理函数等。
MATLAB基础操作
详细讲解MATLAB的安装、启动、界面介绍 、基本语法和数据类型等。
数学建模第五章
线性规划（NLP）和二次规则（QP）。
其中LINDO、LINGO学生版可解决最多达300个变量和150个约束的规则问题，并且容易阅读、了解和修改。
（4）SPSSSPSS(Statistical Package for the Social Science，社会科学统计软件包）是世界上应用最广泛的统计分析软件之一。
最早的SPSS统计软件系统由斯坦福大学的学生于1968年开发并于1975年在芝加哥成立SPSS公司。
SPSS采用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据的方法，使用对话框展示各种功能选择项，只要具备一定的Windows操作技能，了解统计分析原理，便可以使用该软件做科学研究工作。
SPSS的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等。
其在社会科学、自然科学的各个领域都发挥着重要作用，应用于经济学、管理学、教育学、心理学、生物学、医学以及农业、林业、工业、商业等各个领域和行业。
随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加，SPSS公司已于2000年正式将英文全称改为“Statistical Product and Service Solutions”（统计产品与服务解决方案）。
第五章初等模型初等模型是指用较简单初等的数学方法建立起来的数学模型。
对于数学建模，判断一个模型的优劣完全在于模型的正确性和应用效果，而不在于采用多少高深的数学知识。
在同样的应用效果下，用初等方法建立的数学模型可能更优于用高等方法建立的数学模型。
本章利用初等数学的方法，通过几个实例给出数学建模的基本过程。
5.1 椅子问题1.问题的提出日常生活中经常碰到这样一个事实，把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。
然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
这个看来似乎与数学无关的现象，你能用数学语言给以描述并用数学工具来证实吗？2. 问题的解决(1) 问题假设①椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
数学建模基础的讲义PPT104页
1x 3 2 2 0 1x 9 2 3 0 1x 5 2 4 0 1x 9 3 1 0 2x 0 3 2 0 2x 3 3 3 0
供应约束 约束条件
需求约束
x1 1x12 x13 x14 50 x21 x22 x23 x24 60 x31x32x3350
30 x11 x21 x31 80 70 x12 x22 x32 140 10 x13 x23 x33 30 10 x14 x24 50
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
目标函数 获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Mz a7 xx2 16x4 2
（五）按问题求解的特性可分为： 1.目标规划 2.动态规划 3.多层规划 4.网络优化 5.……等等
生产计划问题
例1 汽车厂生产计划
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 大型 现有量 3 5 600
250 400 60000 34
制订生产计划，使利润最大
决策变量 生产小型x1 中型x2 大型x3
决策变量 货物i装在第j舱的重量为xij 吨
i=1,2,3,4依次表示4种货物 j=1,2,3 分别代表前、中、后舱
目标函数 m Z a3x1 (x 1 0 1 x 10 2x 1)3 38 (x 2 0 1 x 20 2x 2)3
35 (x 3 0 1 x 30 2x 3)3 28 (x 4 5 1 x 40 2x 4)3
（二）按决策变量取值是否连续可分为：
供应约束 约束条件
需求约束
x1 1x12 x13 x14 50 x21 x22 x23 x24 60 x31x32x3350
30 x11 x21 x31 80 70 x12 x22 x32 140 10 x13 x23 x33 30 10 x14 x24 50
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
目标函数 获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Mz a7 xx2 16x4 2
（五）按问题求解的特性可分为： 1.目标规划 2.动态规划 3.多层规划 4.网络优化 5.……等等
生产计划问题
例1 汽车厂生产计划
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 大型 现有量 3 5 600
250 400 60000 34
制订生产计划，使利润最大
决策变量 生产小型x1 中型x2 大型x3
决策变量 货物i装在第j舱的重量为xij 吨
i=1,2,3,4依次表示4种货物 j=1,2,3 分别代表前、中、后舱
目标函数 m Z a3x1 (x 1 0 1 x 10 2x 1)3 38 (x 2 0 1 x 20 2x 2)3
35 (x 3 0 1 x 30 2x 3)3 28 (x 4 5 1 x 40 2x 4)3
（二）按决策变量取值是否连续可分为：
数学建模之排队论模型
第五讲 排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
数学建模培训精品课件ppt
MATLAB在数学建模中的应用
MATLAB概述
01
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析和数值
计算的编程语言和开发环境。
MATLAB在数学建模中的优势
02
MATLAB提供了丰富的数学函数库和工具箱，支持矩阵运算、
符号计算和数值分析，适用于各种数学建模场景。
MATLAB在数学建模中的应用案例
数学建模在金融领域的应用
金融行业对数学建模的需求日益增长，涉及风险管理、投资组合优化、市场预测等领域 。
数学建模在物理科学和工程中的应用
物理科学和工程领域中的复杂问题需要借助数学建模进行深入研究，如流体动力学、材 料科学等。
提高数学建模能力的建议
01
掌握数学基础知识
数学建模需要扎实的数学基础， 如概率论、统计学、线性代数和 微积分等。
深度学习中的数学建模
探讨深度学习领域中常用的数学方法和模型，如卷积神经网络、循 环神经网络等。
数据科学中的数学建模
数据清洗与预处理
数据可视化的数学基础
介绍数据科学中数据预处理的基本方 法和数学原理。
介绍数据可视化中涉及的数学原理和 可视化技术。
统计分析方法
阐述统计分析中常用的方法和模型， 如回归分析、聚类分析等。
02
实践经验积累
03
学习优秀案例
通过参与数学建模竞赛、科研项 目等方式，积累实践经验，提高 解决实际问题的能力。
学习经典数学建模案例，了解不 同领域中数学建模的应用方法和 技巧。
对未来数学建模的展望
跨学科交叉融合
未来数学建模将更加注重与其他学科的交叉融合，如生物 学、环境科学、社会科学等。
人工智能与数学建模结合
数学建模培训精品课件
深度学习与神经网络
介绍深度学习和神经网络的基本原理 ，以及在数学建模中的应用和挑战。
探讨机器学习算法如何与数学建模相 结合，实现数据分析和预测。
大数据时代的数学建模挑战与机遇
大数据的数学建模方法
介绍处理大规模数据集的数学建模方法和技巧，如分布式计算、 云计算等。
数据清洗与预处理
阐述数据预处理在数学建模中的重要性，以及如何进行数据清洗和 特征提取。
THANKS.
04
模型评估与改进技巧
误差分析
分析模型预测误差来源，提高模型预测精度 。
多目标优化
在满足多个约束条件下，优化模型目标函数 。
敏感性分析
评估模型参数对结果的影响程度，优化模型 参数。
模型集成
将多个模型组合起来，提高整体预测性能。
数学建模软件介绍
04
MATLAB的使用介绍
MATLAB概述
01
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数
数学建模应用实例
02
微积分建模实例
总结词：微积分建模是数学建模中的基 础，通过实例可以更好地理解微积分的 实际应用。
经济学中的边际分析：通过微积分分析 经济活动中成本、收益和利润的变化， 为决策提供依据。
人口增长模型：利用微积分的知识，建 立人口增长模型，预测未来人口数量和 增长趋势。
详细描述
瞬时速度与加速度：通过分析物体运动 的速度和加速度，建立微积分模型，用 于预测物体的运动轨迹和时间。
模型验证：使用实际数据对模型进行 验证，评估模型的准确性和可靠性。
应用与优化：将模型应用于未来气候 预测中，根据反馈进行模型优化和调 整。
数学建模前沿动态
06
人工智能与数学建模的结合
数学建模第五讲
1. 二维图形
例： x=0:pi/15:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x); plot(x,y1,'b:',x,y2,'g-.') 得下图
1. 二维图形
1 0.8 0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
1. 二维图形
如果将plot的内容改为 plot(x,y1,'b:',x,y2,'g-.',x,y1,'+',x,y2,'*') 可得下图
1.问题分析: 假设：该海域海底是平滑的。由于测量点 是散乱分布的，先在平面上作出测量点 的分布图，在利用二维插值方法补充一 些点的水深，然后作出海底曲面图和等高 线图，并求出水深小于5的海域范围。
2.问题求解 (1)作出测量 点分布图
(2) 作 出 海 底 地 貌 图
(3)危 险 区 域 海 底 地 貌 图
水塔流量估计某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔一般可以通过测量其水位来估计水的流但面临的困难是当水塔水位下降到设定的最低水位时水泵自动启动向水塔供水到设定的最高水位时停止供这段时间无法测量水塔的水位和水泵每天供水一两次每次约两小时
《数学建模》第五讲
MatLab图形功能及其在数学建模中 的应用
钦州学院-数学建模-王远干主讲
1. 二维图形
Sine and CoSine Curv es 1 0.8 0.6
0.4 Dependent Variables Y and Z
0.2
0
-0.2
第五讲 基于MATLAB-Simulink的建模与仿真
MATLAB的功能包括：数值分析，数值和符号计算， 工程和科学绘图，通讯和控制系统的设计与仿真，数字图 像与信号处理，财务与金融工程等。
MATLAB软件简介？
MATLAB软件的典型应用领域：
❖科学研究； ❖工程技术应用研究 ❖CAI（Computer Aided Instruct） ❖数学实验（Mathematical Experiment） ❖数学建模（Mathematical Modeling）
模型 Transfer-Fcn：线性传递函数模型 Zero-Pole：以零极点表示的传递
函数模型 Memory：存储上一时刻的状态值 Transport Delay：输入信号延时 一个给定时间再输出 Variable Transport Delay：输入 信号延时一个可变时间再输出
✓ 离散模块（Discrete）
For循环不能用For循环内重新赋值循环变
量n来终止。
在For循环中循环控制量的范围可以是任
何有效的MATLAB矩阵。比如
data=[11 9 45 6; 7 16 -1 5];
for n=data
x=n(1)-n(2)
end 这时程序的输出有四个数值，分别是矩阵
data的两列相减的结果
x = 4 x = -7
x = 46 x = 1
For循环可按需要嵌套，即For循环体内的命 令组中可以出现另一个For循环体，这体现了 For循环体也是命令组。比如 for n=1:5
for m=5:-1:1
A(n,m)=n^2+m^2; End
end
MATLAB软件简介？
While-end循环以不定的次数求一组语句的值。 Whil-end 循环的一般形式是： while expression（控制表达式） {commands} end 只要在控制表达式（expression）里的所有元 素为真，就执行While和end语句之间的命令 串（{commands}）。
MATLAB软件简介？
MATLAB软件的典型应用领域：
❖科学研究； ❖工程技术应用研究 ❖CAI（Computer Aided Instruct） ❖数学实验（Mathematical Experiment） ❖数学建模（Mathematical Modeling）
模型 Transfer-Fcn：线性传递函数模型 Zero-Pole：以零极点表示的传递
函数模型 Memory：存储上一时刻的状态值 Transport Delay：输入信号延时 一个给定时间再输出 Variable Transport Delay：输入 信号延时一个可变时间再输出
✓ 离散模块（Discrete）
For循环不能用For循环内重新赋值循环变
量n来终止。
在For循环中循环控制量的范围可以是任
何有效的MATLAB矩阵。比如
data=[11 9 45 6; 7 16 -1 5];
for n=data
x=n(1)-n(2)
end 这时程序的输出有四个数值，分别是矩阵
data的两列相减的结果
x = 4 x = -7
x = 46 x = 1
For循环可按需要嵌套，即For循环体内的命 令组中可以出现另一个For循环体，这体现了 For循环体也是命令组。比如 for n=1:5
for m=5:-1:1
A(n,m)=n^2+m^2; End
end
MATLAB软件简介？
While-end循环以不定的次数求一组语句的值。 Whil-end 循环的一般形式是： while expression（控制表达式） {commands} end 只要在控制表达式（expression）里的所有元 素为真，就执行While和end语句之间的命令 串（{commands}）。
时间序列预测分析方法
2005
48008.17
2006
62506.29
2008
84962.48
2009
96711.27
2.时间数列要素
一是研究对象所属的时间范围和采样单位； 二是与各个时间相匹配的、关于研究对象的观察数据。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
(二)时间数列的种类
1.绝对时间数列
定量分 析方法
构成时间数列的数据是总量指标的时间数列称绝对 时间数列。它反映的是研究对象的绝对水平和总规模以 及与之相应的变动趋势。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
定量分 析方法
●时间序列分析不研究事物的因果关系，不 考虑事物发展变化的原因，只是从事物过去和 现在的变化规律去推断事物的未来变化。 ●时间序列中的时间概念是一种广泛意义下 的时间概念，除表示通常意义下的时间外也可 以用其他变量代替。
●时间序列分析法
时域分析法 频域分析法
k
k 1
xk xk 1
2k 1
x2k 1
l 1 l
xl 1 xl
( 2) M2 k 1 2) M l( 1 M l( 2)
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(二)移动平均数预测法的具体做法
1.一次移动平均值的计算公式
定量分 析方法
M
(1) i
1 ( xi xi 1 xi N 1 ) N
x1 , x2 ,, xl ，列表如下：
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(一)移动平均数预测法的基本思想
时间序号 原始数据
定量分 析方法
数学建模第五讲
空中飞行计划模型
在斯大林格勒战役中，德国第六集团军被苏联 军队包围长达4个月，由于苏军封锁了所有水陆交通 通道，被包围的德军只能依靠空中交通维持供给， 总共需要10万t物资。 运送4个月的供给分别需要2，3，3，4次飞行。 每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名 飞行员）。 每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月 也只能飞行一次。 在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被 苏军击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。
模型建立
执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练 飞行员数量是常数，所以这部分费用是固定的。
决策变量
设4个月开始德军新购买的飞机数量分别为x1、 x2 、x3、x4架，闲置的飞机数量分别为y1、y2、y3、y4 架，飞行员中教练和新飞行员数量分别为u1、u2、u3、 u4人，闲置的熟练飞行员数量分别为v1、v2、v3、v4 人。
在第1个月开始时，德军拥有110架飞机和330名熟 练的飞行员。 在每个月开始时，德军可以招聘新飞行员和购买新 飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入 使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一 个月的训练才能投入飞行。 每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行 员（包括他自己在内）进行训练。 每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一 个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。 已知各项费用（单位略去）如下表所示，请为德军 安排一个飞行计划。
飞行计划的原始数据
第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 新飞机价格 200.0 195.0 6.9 9.9 190.0 6.8 9.8 185.0 6.7 9.7
闲置的熟练飞行 7.0 员报酬 教练和新飞行员 10.0 报酬（包括培训 费） 执行飞行任务的 9.0 熟练飞行员报酬 休假期间的熟练 5.0 飞行员报酬
数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法
5.1 城市供水量的预测问题
图5-3 三种插值函数曲线
5.1 城市供水量的预测问题
3. 用2000—2006年每年1月份城市的总用水量预测
由表5-2可得到7个 插值节点（x i，y i）， 其中，xi=i，i=1,2,…,7， 其散点图如图5-4所示。 用三次样条插值法求得 的f(8)=4 378.139 0×104 t即为所求的 2007年1月份总用水量 的估计值，表5-3
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.2 用插值法预测2007年1月份城市的总用水量
预测2007年1月份城市的用水量有三种 办法：一是用2006年的日用水量进行预测， 二是用2000—2006年每年1月份的日用水量 进行预测，三是用2000—2006年每年1月份
5.1 城市供水量的预测问题
1. 用2006年的日用水量进行预测
图5-4 2000—2006年每年1月份 城市的总用水量散点图
5.1 城市供水量的预测问题
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.3 用数据拟合方法预测2007年1月份城市的总用水量 1. 用2006年每天的日用水量进行预测
由图5-1可知，这些点并不是简单地成线性或二次关系， 而是具有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。 用 MATLAB工具箱得到的拟合结果见表5-4。
5.2.1 曲线拟合
【实例】 气象部门观测到一天中某些时刻t的温度T变化数据见 表5-6。试描绘出温度变化曲线。
5.2 MATLAB与拟合、插值
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一 种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数 采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线
5.2 MATLAB与拟合、插值
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
一种高精度的数值求解微分方程的方法，通过迭代逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
数学建模第五讲：微分方程—传染病模型
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段.
模型4: 数值计算与理论分析相结合.
2. 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性. • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移.
人口 发展 方程
F (r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N (t) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄 F (0, t ) 0, F ( rm , t ) N (t )
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t) 0.6
0.4
0.2
i(t)
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
P0 s
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
i(t)从初值增长到最大; t, i0 s(t)单调减; t, s0.04
传染病模型
模型1
模型2
的解析解
i(0)
i0 ,
s(0)
s0
先做数值计算, 再在相平面上研
究解析解性质
i0 s0 1 (通常r(0) r0很小）
模型4 SIR模型的数值解
di
dt ds
dt
si i, i(0) i0 si , s (0 ) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
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（5.1.10）
下面介绍确定参数 的两种方法。
方法一利用已知介质（环境）温度 下物体在最初时间段 其温度下降度数为 这一条件来确定 。此时有
将其代入到（5.1.9）式中，有
解得
于是得
（5.1.11）
（5.1.12）
方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定 ，记 为在时刻 物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有
（案发时刻 的人梯的正常体温）
（室内环境（介质空气）温度）
（尸体在最初2小时其温度下降的度数）
（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），
（分钟）
代入（5.1.12）式，得
（分钟）
于是
结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7：31左右。
例4（马王堆一号墓入葬年代的测定问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳—14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳—14（C—14）平均原子蜕变数38.37次/分钟，又知碳—14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。
二、测定含放射性元素材料年龄的原理
测定油画（岩石，化石等）的原理关键是本世纪初发现的放射性现象。
英国著名物理学家Rutherford(卢瑟福)在本世纪初发现：某些放射性元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，并且物质的放射性与所存在物质的原子数称正比。
记N(t)为t时刻存在的原子数，则 为单位时间内蜕变的原子数，因此有
，
(新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，
（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）
代入到（5.1.17）式,得
于是得
结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。
本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。
5.2 减肥的数学模型25分钟
问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。
模型建立现就一般情形考虑，记 为时刻t物体的温度， 为初始时刻 物体的温度（本例中为受害者被害时的体温）， 为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型
(5.1.8)
其中 为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。
模型求解对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得
（5.1.9）
这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定 值后，利用 与 值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式
整理得 （5.1.2）
此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。
模型求解令 则
以之代入（5.1.2）式，有
分离变量得
积分得
再代入初始条件 ，可得
故
由于物体达到最大高度时， ，所以由
解得物体的最大高度为
（5.1.3）
如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须 ，由（5.1.3）式知，此时必有 ，所以应取
解得
于是得
（5.1.13）
（5.1.14）
显然，方法一是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介质（环境）温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通过查这种表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。
现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据
为审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家组成的陪审团。科学家采用了当时最先进的科学方法，终于在其中几幅画发现了本世纪初才有的某些有机化合物（酚醛类人工树脂），判定几幅画确系伪造，并由此判定Van Meegren伪造罪成立，判刑一年，Van Meegren在监狱心脏病突发，于1947年12月30日去世。
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.6）
这就是乙桶中盐含量的数学模型。
将 代入（3.1.6）并整理得
（5.1.7）
求解此一阶线性微分方程，得
所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为
例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为 ,室内环境温度为 。已知在环境温度 状况下尸体在最初2小时其温度下降 ，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。
5.1微分方程的简单应用问题40分钟
模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。
设在t时刻物体上升的高度为 （即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为
（ ） (5.1.1)
其中 为比例系数。
因为当物体在地面上时， ，即
故
所以
又物体在上升过程中满足Newton第二定律
所以
（5.1.15）
其中 称为衰变系数，由放射性物质所决定， 为生物体在死亡时刻 时的碳—14含量。
模型求解对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解，得
由于 时，有
代入上式，有
所以得
（5.1.16）
这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得
（5.1.17）
将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以
每天净吸收脂肪量= ，每天每kg体重净消耗脂肪量= ，进而知在 到 时间内体重的变化为
由此得到体重变化的数学模型为
（5.2.1）
五、模型求解
运用变量分离法，解方程（5.2.1），有
利用初始条件 得
于是得
（5.2.2）
注意到（5.2.2）两端同号，指数因式为正，因此 与 同号，故有
解得
（5.2.3）
下面作进一步的分析，对（5.2.3）求导得
（5.2.4）
由（5.2.1）、（5.2.3）、（5.2.4）可以对减（增）肥效果分析如下：
（1）若 ，即每天净吸收大于当初总消耗，
则体重增加；
（2）若 ，即每天净吸收小于当初总消耗，
则体重减少；
（3）若 ，即每天净吸收deng于当初总消耗，
则体重不变；
（4）由（5.2.3）知
上述分析结果表明，只要适当控制a（进食）、b（新陈代谢）、 （生活）, （体育锻炼），要使体重控制在某个范围是可能的，而且从数学上看， 衰减得很快，一般在有限时间内（3--4个月）体重就近似等于 。因此要减肥，要减少a，增大b、 、 。有必要指出，市场上某些减肥药可能在b（新陈代谢）上做文章，从而具有某种速效，然而人们的新陈代谢不能违反生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人们的新陈代谢对人们的身体造成了不良后果。正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作、锻炼的习惯，即要适当控制a及 。当然，对于少量肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。
建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。
建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。
5.3 名画“Emmaus (艾牟斯)的信徒们”伪造案时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹的合作者，于1945年5月以通敌罪逮捕了一名三流画家Van Meegren(范.梅格伦)，此人曾将荷兰17世纪著名绘画家Jan Vermeer的名画盗卖给德寇。
可是，Van Meegren被捕后于同年7月宣称他从没出卖过荷兰的利益，所有画是伪造的。为了证明，他开始在牢内作画，当快要完成时，他得悉通敌罪会变为伪造罪，为逃避判决，他拒绝完成，指望别人不会发现他使复制品老化的秘密。
事情并未到此结束，其余的画是不是赝品？事实上，在此之前有的画已经被著名鉴定家认定为真迹，“Emmaus的信徒们”被Rembradt以高达17万美元买去。专门小组解释为这些伪造品是Van Meegren开始伪造时为了成名之作，当他有了杰作后，后来就不用心了。这种解释不能令怀疑者满意他们要求用科学方法证明。这一问题悬而未决了20年，直到1967年，Carnegie Mellon University(卡内基.梅伦大学)的科学家才通过建立一阶常微分方程数学模型，证明“Emmaus的信徒们”确系赝品，了结了这一公案。
模型建立与求解设 分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。
先分析甲桶：任取一段时间 ，则该时段甲桶内盐的改变量为
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.5）
这就是甲桶中盐含量的数学模型。
对（5.1.5）式分离变量并积分，可得
它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。
现分析乙桶：同理在任意时间段 内乙桶内盐的改变量为
一、问题的提出
随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型以便进行指导？
二、问题分析
各种族不同性别的人都有自己的体重标准。对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥胖从某种意义上就是脂肪过多。如果吸收了过多的热量，则这些热量就会转化为脂肪而使体重增加。为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方法进行。减肥模型的建立就由此入手。
内容
备注
数学建模课程教案
下面介绍确定参数 的两种方法。
方法一利用已知介质（环境）温度 下物体在最初时间段 其温度下降度数为 这一条件来确定 。此时有
将其代入到（5.1.9）式中，有
解得
于是得
（5.1.11）
（5.1.12）
方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定 ，记 为在时刻 物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有
（案发时刻 的人梯的正常体温）
（室内环境（介质空气）温度）
（尸体在最初2小时其温度下降的度数）
（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），
（分钟）
代入（5.1.12）式，得
（分钟）
于是
结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7：31左右。
例4（马王堆一号墓入葬年代的测定问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳—14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳—14（C—14）平均原子蜕变数38.37次/分钟，又知碳—14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。
二、测定含放射性元素材料年龄的原理
测定油画（岩石，化石等）的原理关键是本世纪初发现的放射性现象。
英国著名物理学家Rutherford(卢瑟福)在本世纪初发现：某些放射性元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，并且物质的放射性与所存在物质的原子数称正比。
记N(t)为t时刻存在的原子数，则 为单位时间内蜕变的原子数，因此有
，
(新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，
（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）
代入到（5.1.17）式,得
于是得
结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。
本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。
5.2 减肥的数学模型25分钟
问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。
模型建立现就一般情形考虑，记 为时刻t物体的温度， 为初始时刻 物体的温度（本例中为受害者被害时的体温）， 为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型
(5.1.8)
其中 为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。
模型求解对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得
（5.1.9）
这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定 值后，利用 与 值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式
整理得 （5.1.2）
此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。
模型求解令 则
以之代入（5.1.2）式，有
分离变量得
积分得
再代入初始条件 ，可得
故
由于物体达到最大高度时， ，所以由
解得物体的最大高度为
（5.1.3）
如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须 ，由（5.1.3）式知，此时必有 ，所以应取
解得
于是得
（5.1.13）
（5.1.14）
显然，方法一是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介质（环境）温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通过查这种表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。
现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据
为审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家组成的陪审团。科学家采用了当时最先进的科学方法，终于在其中几幅画发现了本世纪初才有的某些有机化合物（酚醛类人工树脂），判定几幅画确系伪造，并由此判定Van Meegren伪造罪成立，判刑一年，Van Meegren在监狱心脏病突发，于1947年12月30日去世。
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.6）
这就是乙桶中盐含量的数学模型。
将 代入（3.1.6）并整理得
（5.1.7）
求解此一阶线性微分方程，得
所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为
例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为 ,室内环境温度为 。已知在环境温度 状况下尸体在最初2小时其温度下降 ，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。
5.1微分方程的简单应用问题40分钟
模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。
设在t时刻物体上升的高度为 （即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为
（ ） (5.1.1)
其中 为比例系数。
因为当物体在地面上时， ，即
故
所以
又物体在上升过程中满足Newton第二定律
所以
（5.1.15）
其中 称为衰变系数，由放射性物质所决定， 为生物体在死亡时刻 时的碳—14含量。
模型求解对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解，得
由于 时，有
代入上式，有
所以得
（5.1.16）
这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得
（5.1.17）
将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以
每天净吸收脂肪量= ，每天每kg体重净消耗脂肪量= ，进而知在 到 时间内体重的变化为
由此得到体重变化的数学模型为
（5.2.1）
五、模型求解
运用变量分离法，解方程（5.2.1），有
利用初始条件 得
于是得
（5.2.2）
注意到（5.2.2）两端同号，指数因式为正，因此 与 同号，故有
解得
（5.2.3）
下面作进一步的分析，对（5.2.3）求导得
（5.2.4）
由（5.2.1）、（5.2.3）、（5.2.4）可以对减（增）肥效果分析如下：
（1）若 ，即每天净吸收大于当初总消耗，
则体重增加；
（2）若 ，即每天净吸收小于当初总消耗，
则体重减少；
（3）若 ，即每天净吸收deng于当初总消耗，
则体重不变；
（4）由（5.2.3）知
上述分析结果表明，只要适当控制a（进食）、b（新陈代谢）、 （生活）, （体育锻炼），要使体重控制在某个范围是可能的，而且从数学上看， 衰减得很快，一般在有限时间内（3--4个月）体重就近似等于 。因此要减肥，要减少a，增大b、 、 。有必要指出，市场上某些减肥药可能在b（新陈代谢）上做文章，从而具有某种速效，然而人们的新陈代谢不能违反生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人们的新陈代谢对人们的身体造成了不良后果。正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作、锻炼的习惯，即要适当控制a及 。当然，对于少量肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。
建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。
建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。
5.3 名画“Emmaus (艾牟斯)的信徒们”伪造案时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹的合作者，于1945年5月以通敌罪逮捕了一名三流画家Van Meegren(范.梅格伦)，此人曾将荷兰17世纪著名绘画家Jan Vermeer的名画盗卖给德寇。
可是，Van Meegren被捕后于同年7月宣称他从没出卖过荷兰的利益，所有画是伪造的。为了证明，他开始在牢内作画，当快要完成时，他得悉通敌罪会变为伪造罪，为逃避判决，他拒绝完成，指望别人不会发现他使复制品老化的秘密。
事情并未到此结束，其余的画是不是赝品？事实上，在此之前有的画已经被著名鉴定家认定为真迹，“Emmaus的信徒们”被Rembradt以高达17万美元买去。专门小组解释为这些伪造品是Van Meegren开始伪造时为了成名之作，当他有了杰作后，后来就不用心了。这种解释不能令怀疑者满意他们要求用科学方法证明。这一问题悬而未决了20年，直到1967年，Carnegie Mellon University(卡内基.梅伦大学)的科学家才通过建立一阶常微分方程数学模型，证明“Emmaus的信徒们”确系赝品，了结了这一公案。
模型建立与求解设 分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。
先分析甲桶：任取一段时间 ，则该时段甲桶内盐的改变量为
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.5）
这就是甲桶中盐含量的数学模型。
对（5.1.5）式分离变量并积分，可得
它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。
现分析乙桶：同理在任意时间段 内乙桶内盐的改变量为
一、问题的提出
随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型以便进行指导？
二、问题分析
各种族不同性别的人都有自己的体重标准。对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥胖从某种意义上就是脂肪过多。如果吸收了过多的热量，则这些热量就会转化为脂肪而使体重增加。为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方法进行。减肥模型的建立就由此入手。
内容
备注
数学建模课程教案