结构力学 第二章 结构的几何组成分析

第二章结构的几何组成分析李亚智航空学院·航空结构工程系2.1 概述结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。

即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。

在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。

在载荷作用下的系统可分为三类。

2.1.1 几何可变系统特点：不能承载，只能称作“机构”。

213 4P2’3’2.1.2 几何不变系统特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。

2.1.3 瞬时几何可变系统特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。

P21342’3’2’3’P21345∞→=2321N N 123P内力巨大，不能作为结构。

N 21N 23P2由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。

系统几何组成分析的目的：（1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构使用；（2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构；（3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算方法。

2.2 几何不变性的判断2.2.1 运动学方法将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度；将结构中的另一些元件看成约束。

如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。

所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。

1、自由度与约束（1）自由度的定义决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。

平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3xyy∆x∆AA 'xyAy Ax AzAz A 'O空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3xyAy A x AzA z A 'OBB 'αθxyy∆x∆AA 'OAx A y θ∆一个空间刚体有6个自由度，n =6θα,,,,A A A z y x ( )，n =5（2）约束的定义约束定义为减少自由度的装置，用c 来表示。

（a ）杆的约束平面内一点被一根两端带铰的杆子（链杆）铰接在原点。

Ay Ax x yAO只需要一个角度α就可以决定A 点的位置，或者说x A 和y A 中只有一个独立，A 点原有两个自由度变成了一个。

平面内一根两端有铰链的杆子是一个约束，c =1。

空间一点A 原有3个自由度，被一根两端带铰的杆子铰接在原点后，只需要两个独立变量α和θ就可确定其位置。

xyAy Ax AzAz A 'Oαθ空间内一根两端有铰链的杆子也是一个约束，c =1。

（b ）支座的约束平面中的可动铰支座能消去1个自由度，但不能消除转动，因此对应1个约束，c =1结构系统结构系统结构系统平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度,因此对应3个约束，c =3平面固支，c =3空间固支，c=6结构系统结构系统结构系统（c ）铰链平面两个刚片的自由度:平面单铰相当于2个约束xyAOAx Ay αβ单铰623=⨯=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:βα,,,A A y x 4=n 246=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰xyAO复铰m 个刚片原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：mm n 33=⨯=mn +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。

)1(2-mm 个铰的总自由度数：系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。

123456m-1m连接m 个铰的平面刚片和刚片连接后只剩下3个自由度mm n 22=⨯=32-=∴m c 连接m 个铰的平面刚片具有个约束。

32-m 小结：当把元件看成自由体时，铰和支座就看成约束；当把铰看成自由体时，元件和支座可看成约束。

要保证系统的几何不变性，就要求系统内自由体的约束数足以控制其自由度数。

例2-1分析图示桁架的几何不变性方法一：结点（铰）视为自由体，杆件视为约束分析：这3个自由度对应于系统整体刚体位移，不影响几何不变性，故判断时可不考虑，即满足几何不变的最小约束数c min =n -3。

PPP P 123455个结点1052=⨯=n 7根杆7=c 3=-c n ，多出3个自由度。

如果将1、5两个结点固定铰支，则c n>所以，对系统被固定的情况，minc n=P P 123455个结点1052=⨯=n 7根杆，2个固定铰支座11227=⨯+=c 约束比自由度多1。

方法二：杆件视为自由体结点视为约束1个4杆复铰，多出的3个自由度为刚体位移。

显然第二种方法比第一种方法麻烦一些，故可尽量采用第一种方法，即将结点视为自由体，杆件视为约束。

PPP P 123457根杆2173=⨯=n 2个单铰422=⨯=c 2个3杆复铰82)13(22)1(2=⨯-⨯=⨯-=m c 2(1)12(41)6c m =-⨯=⨯-=18684=++=c 合计3=-c n 评论：满足系统几何不变的最小约束数为c min ，f 称为多余约束数。

⎩⎨⎧=-=nc n c min min 3固定结构（不可移动）自由结构（可移动）对平面系统⎩⎨⎧=-=nc n c min min 6固定结构（不可移动）自由结构（可移动）对空间系统m in m in ,0c c c c f ≥≥-=或系统几何不变的充分条件是元件布置合理。

总结：为保证系统几何不变的必要条件。

f =0时（无多余约束），称为静定结构；在平面系统几何构造分析中，最基本的几何不变系统是三杆（三刚片）铰接系统，没有多余约束。

这就是三角形规律。

123123f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。

如果元件安排合理，则布置不合理f=0 f =1布置合理，1次超静定f =0布置合理，静定2、几何不变体的组成规律实铰与虚铰的概念：平面一个单铰相当于两个约束，而一根连杆相当于一个约束，因而两根杆子的作用相当于一个单铰。

实铰定义为两杆的交点铰；平面上一个刚片原有3个自由度，当用两根不平行的链杆1和2把它和基础相连，则此刚片只有一个自由度。

实铰12单铰是实铰；虚铰12当两杆不相交时构成虚铰；虚铰是两杆延长线的交点，是刚片的瞬时转动中心；虚铰的位置在刚片运动过程中不断改变，所以虚铰也被称为“瞬铰”。

12相交于∝虚铰的特例：两杆平行，延长线交于无穷远。

瞬时转动中心无穷远，刚片开始瞬间的运动为平动。

几何不变系统的组成规则（三刚片规则）:三个刚片之间用不在同一直线上的铰（实铰或虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

三刚片规则的推论：（1）一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体；（2）两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连，或两个刚片用三根不全平行也不交于一点的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。

ABC3、瞬变系统的判断判断方法：三个刚片用共线的三个实（虚）铰相连，则系统瞬变。

几何可变几何瞬变几何瞬变几何瞬变ⅠⅡ例2-2 分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束数两个无多余约束的“刚片”Ⅰ和Ⅱ，用三根不全平行也不交于一点的杆相连，构成无多余约束的几何不变系统。

解：例2-3 分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束。

解:3个无多余约束的“刚片”，通过2个实铰4、6和一个虚铰（杆7-8和杆9-l0相交于无穷远处）两两相连，。

f3铰共线，为瞬变系统。

123 45678910 123 45678910例2-4 分析图示体系的几何组成解：三个虚铰不共线，所以为无多余约束的几何不变体系。

ABCDEFO 1O 2O 3将AD 、BE 和CF 三杆视为三个刚片。

三刚片两两之间通过三个虚铰O 1、O 2和O 3相连。

例2-5 对图示体系作几何组成分析A BCDE折杆AD 和BE 可看成链杆，则该体系可看成两个刚片通过三根杆AD 、CF 和BE 相连，但三根杆延长线可交于一点O ，系统瞬变。

ABC DEO F解：，满足几何不变的必要条件。

例2-6 对图示体系作几何组成分析解：ABCDEF 若进行运动学分析可将结点视为自由体，杆和支承视为约束。

10个结点，6个链杆（折杆DF 和EF 分别相当于直杆）,2个带3铰刚片，4个固定铰支座。

自由度：20102=⨯=n 约束:20422)332(61=⨯+⨯-⨯+⨯=c c n =可以将系统看成3个刚片，通过一个实铰B 和两个虚铰（H 和G ）两两相连。

ABCDEF HG 三个铰不共线，构成无多余约束的几何不变系统。

4、空间桁架的几何构造分析（1）空间桁架系统，每增加一个结点，须用3根不在同一平面中的杆连接；无多余约束的基本空间桁架结构（2）一个刚体和另一个刚体相连需要6根杆（消除6个自由度），则a）如果有3根杆交于一点而不在同一平面，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b）如果有3根杆位于同一平面而不交于一点，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；例2-4书上例2-4。

图示空间系统，用6根杆子固定一个机翼，试判断其几何不变性。

将机翼视为刚体，具有6个自由度，用6根杆子来固定，满足最小约束数。

f ozy x451236解：ozy xAA4512361、2、3杆共面，2、4、6杆共面；两个面的交线为A-A ；杆5与A-A 平行，相当于和A-A 交于无穷远。

机翼可以绕A-A 转动，系统几何可变。

所有杆交于一条线A-A;ozy xAA4512364’如果将杆4改成4’，则6根杆仍然相交于A-A ；仍可以瞬时绕A-A 转动；系统几何瞬变。

随后4’杆起作用；o zy xA 1A 1AA512364’4’’如果将杆4’改成4’’，则1、4’’、6杆共面，1、2、3杆共面，两个面的交线为A 1-A 1；杆5与A 1-A 1线既不平行，也不相交；绕A 1-A 1轴的转动受到杆5制约，系统几何不变。

a ）1、2、6杆交于一点而不在同一平面，6根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体；ozyxA 1A 1512364’’用前述方法判断：a ）如果有3根杆交于一点而不在同一平面，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b ）如果有3根杆位于同一平面而不交于一点，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b ）1、2、3（或1、4’’、6杆）位于同一平面而不交于一点，6根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体。

例2-8判断几何不变性。

451236451236（a ）451236（b ）（c ）451236（a ）解（a ）：1、2、3杆位于同一平面但不交于一点，6根杆不交于同一直线，无多余约束，几何不变。