复习题

“现代数字信号处理”学习重点及复习题

1．现代信号处理的范畴主要包含哪几个方面？它们与经典信号处理有何联系与区别？

2．严平稳和弱平稳随机信号在概念上有何区别？严平稳随机信号是否一定是弱平稳的？试以严平稳和弱平稳白噪声（其均值与方差相同）为例，说明严平稳和弱平稳随机信号的区别。

3．随机信号的均值、均方值和方差等数值特征与随机变量的这些数值特征在形式上有何区别？为什么会出现这种区别？而平稳随机信号的这些数值特征在形式上与随机变量的数值特征相同，它们在含义上有何区别？

4．自相关函数的直观物理含义是什么？如何理解白噪声自相关函数的特点？一个方差为2σ的平稳白噪声序列，试写出其n 阶自相关函数矩阵和自协方差矩阵。

5．试证明实平稳随机信号自相关函数和互相关函数的以下性质： （1）()(), ()()xx xx xy yx r m r m r m r m =-=-； （2）[]2(0)()xx r E x n =；

（3）(0)(), for any integer xx xx r r m m ≥；

（4）2

lim (), lim ()xx x xy x y m m r m m r m m m →∞

→∞

==。

6．两个实平稳随机信号的互功率谱是否一定为实函数？

7．随机信号的独立性和相关性之间有什么联系与区别？试证明两个相互独立的随机信号必然是不相关的。

8．结合随机过程数字特征的含义以及维纳-辛钦定理，根据你的理解，阐述弱平稳随机信号定义中的两个条件：（1）()()x x x m n m n l m =+=，（2）

1122(,)(,)()xx xx xx r n n m r n n m r m +=+=分别体现了平稳随机信号哪

些方面的特性。

9．试叙述你对“平稳随机过程各态历经性”的理解。平稳随机信号的各态历经性对简化其分析过程有什么帮助？

10． 平稳随机信号通过LTI 系统后，其功率谱将如何变化？这种功率谱的变化在实际应用中有何意义？

11． 设有一LTI 系统，其频率特性未知，试根据LTI 系统输入输出信号互功率谱与输入信号功率谱之间的关系，以白噪声作为输入，设计一个方案，估计该LTI 系统的频率特性。

12． 一个平稳随机信号的时间序列模型为

()0.5(1)()x n x n w n =-+

其中()w n 为实平稳白噪声序列，其方差2

1w

σ=。设()y n 为()x n 通过线

性系统

12()2H z z z --=-

之后的输出，求()y n 的功率谱。

13．

设某一线性系统的输入信号具有如下时间序列模型

()0.7(1)()x n x n w n =-+

其中()w n 为实平稳白噪声序列，其方差2

1w

σ=。已知系统输出信号()

y n 与()x n 的互相关函数()xy r m 的z 变换为

1

()10.7xy S z z

=

-

求该线性系统的传递函数()H z 及()y n 的时间序列模型。

14．

设

1()x n 和2()x n 为两个不相关的实平稳随机序列，其方差分别为

21x σ、22x σ，令12()()()y n x n x n =+，试证明()y n 的方差

222

12y x x σσσ=+

15．

一个语音信号()s n ，叠加了来源未知的噪声

()v n ，()()()x n s n v n =+。已知()v n 是与

()s n 不相关的零均值高斯白噪声，其方差为2σ。为了从()x n 中尽可能去除噪声，设计了如

图1所示系统，请问该设计方案是否可行？若不

(x 图1

)

可行，请说明原因；若可行，则请说明ˆ()s

n 是否为()s n 在MMSE 准则下的最优估计，为什么？

16． 参数估计在随机信号分析与处理中有何意义？为什么一般要用估计的方法来获取随机信号的数值特征，而不是根据定义求得？

17． 什么是贝叶斯估计？如何理解贝叶斯估计中的代价函数与风险函数？

18． 几种不同的估计子：MAP 、ML 、MMSE 有何区别与联系？如何直观理解这些估计子？

19． 衡量估计子质量的几个性能指标：无偏性、有效性、一致性分别表征了估计子哪些方面的直观特性？

20． 一个各态遍历的平稳高斯信号，试证明其均值和方差的ML 估计子分别为：

1

1ˆN x i i m

x N

-==∑、1

2

2

1ˆ()

N x i

x

i x m N σ-==-∑

21．

已知信号()s n 和噪声()v n 为不相关的实平稳白噪声随机序列，其方差

分别为2

s σ、2

v σ，求估计()s n 的维纳滤波器()h n 。 22．

设信号()s n 和噪声()v n 的功率谱分别如图2所示，试分别画出估计

()s n 和估计()v n 的维纳滤波器的幅频特性。并分别画出估计结果ˆ()s n 和ˆ()v

n 的功率谱。

j ωj ω

23． 什么是维纳滤波问题？你是如何理解维纳滤波的正交原理的？

24． 试写出求解因果IIR 维纳滤波器的基本思路与步骤。对于同一个维纳滤波问题，分别求解出其因果FIR 、非因果IIR 和因果IIR 等三种不同类型的滤波器，通常哪种类型维纳滤波器的误差最小？为什么？

25． 一个信号混入了白噪声干扰，欲设计一维纳滤波器来抑制干扰，试问在最优状态下能否将白噪声完全滤除？为什么？ 26．

已知信号()s n 和噪声()v n 的时间序列模型分别为

11()0.8()0.5(1)s n w n w n =+- 22()()0.6(1)v n w n w n =+-

其中

1()w n 和2()w n 为不相关的具有各态历经性的实平稳白噪声序列，

22121w w σσ==。量测()()()x n s n v n =+，试设计一个2阶因果FIR 维纳滤

波器，用于从()x n 估计()s n ，并求估计量的最小均方误差min CFIR ξ。 27． 某平稳随机信号()s n 可以用一个稳定的AR 模型来进行描述，设其AR

模型为

1

()()

H z A z =

()s n 的功率谱为

2

0.25()()

j ss j P e A e ω

ω=

欲把()s n 白化为方差为1的白噪声，试求该白化滤波器的系统函数（用()A z 表示）。

28． 比较因果FIR 维纳滤波器的维纳-霍夫方程与Yule-Walker 方程的不同特点。

29． 试叙述Kalman 滤波估计的基本思路和Kalman 滤波递推算法的基本步骤。为什么Kalman 滤波算法还要包含估计误差协方差矩阵的递推步骤？当满足何种条件时，Kalman 滤波估计的稳态结果是一个最优线性估计？