高中数学讲义等比数列性质(含等差等比数列综合题)

微专题 50 等比数列性质
一、基础知识
1、定义： 数列 an 从第二项开始， 后项与前一项的比值为同一个常数 等比数列，这个常数 q 称为数列的公比
q q 0 ，则称 an 为
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为 q 1 的等比数列，而常数列 0,0,0,L 只是等差
数列
2、等比数列通项公式：
an
B. 1 2
C. 3 2 2
D. 3 2 2
思路：所求分式中的分子和分母为相邻 4 项和，则两式的比值与 q 相关，所以需要求出 q 。由
条件 a3 a1 2a2 ，将等式中的项均用 a1, q 即可求出 q 。从而解得表达式的值
1 解： Q a1, 2 a3,2 a2 成等差数列
1 2 2 a3
a1
9、（ 2015，福建）若 a,b 是函数 f x x2 px q p 0,q 0 的两不同零点，且 a,b, 2
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
p q的值等于（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10、已知 an 是等差数列， 公差 d 0 ，其前 n 项和为 Sn ，若 a3, a4 ,a8 成等比数列， 则（
2a2
将 a3
a1q 2 , a2
a1q 2 a1 2a1q q 2 2q 1 0
a1q 代入等式可得：
2 22
q
1
2
2 ，而 an 为正项数列，所以 q 1
2 不符题意，舍去
q1 2
a9 a10 a7 a8
a11 a12 a9 a10
a9 1 q q2 q3 a7 1 q q2 q3
q2 1
2
2 3 22
） B. D.
必要不充分条件 既不充分也不必要条件
思路：在等比数列中，数列的增减受到 a1 的符号，与 q 的影响。所以在考虑反例时可从这两
点入手。将条件转为命题： “若 q 1 ，则数列 an 是递增数列” ，如果 a1 0 ，则 an 是递
减数列，所以命题不成立；再看“若数列
an 是递增数列，则 q 1 ”，同理，如果 a1 0 ，
）
A. a1d 0, dS4 0 B. a1d 0, dS4 0 C. a1d 0, dS4 0 D. a1d 0, dS4 0 11、（ 2014，广东）若等比数列 an 各项均为正数，且 a10a11 a9a12 2e5 ，则
12、（ 2014，安徽）数列 an 是等差数列，若 a1 1,a3 3,a5 5 构成公比为 q 的等比数列， 则 q _______
B.1
C.2
D.3
4、设等差数列
an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 S15
0 ， S16
0 ，则 S1 ， S2 ，… ， S15 中最
a1 a2
a15
大的项为（
）
A. S6 a6
B. S7 a7
C. S9 a9
D. S8 a8
5、（ 2016，新余一中模拟） 已知等差数列 an 的公差 d 0 ，且 a1, a3 ,a13 成等比数列， 若 a1 1 ，
，由 2
的指数幂特点可得：
2n 2m
n2 11n 10
2n 1 2m m, n N , n m ，所以只需 2n 2 2 ，从而解出 n 的最大值
解：设 an 的公比为 q ，则有 a6 a7 3 a5q a5q 2 3
1 q 1 q2 3解得： q 22 an a5 qn 5 2 n 6
3 （舍）或 q 2
所以 a10 a 2q8 16
答案： 16
例 2：已知 an 为等比数列，且 a3 4, a7 16 ，则 a5 （
）
A. 64
B. 64
C. 8
D. 8
思路一：由 a3,a7 可求出公比： q4 a7 4 ，可得 q 2 2 ，所以 a5 a3q 2
42
8
a3
思路二：可联想到等比中项性质，可得
a
2
x2
y2
4 的两个交点关于直线
x
y
d
0 对称，则 S5
（
）
A. 25
B. 25
C. 15
3、（ 2016 ，内江四模）若 a,b, c, d 成等比数列，则下列三个数：①
D. 15 a b, b c, c d ②
ab, bc, cd ③ a b, b c,c d ，必成等比数列的个数为（
）
A.0
D. 200
思 路 ： 与 条 件 a4 a6 10 联 系 ， 可 将 所 求 表 达 式 向 a4, a6 靠 拢 ， 从 而
a7 a1 2a3
a3 a9 a7a1 2a7a3 a3a9 a42 2a4a6 a62
2
a4 a6 ，即所求表达式的
值为 100
答案： C
例 6：已知等比数列 an 中 a3 1 ，则其前 5 项的和 S5的取值范围是（
S5
a3 q2
a3 q
a3 a3q a3q 2
1 q2
1 1 q q2 q
2
q1 q
q1 q
1，设 t q 1 ，所以 t q
S5 t2 t 1
2
15 t
24
S5 1,
答案： A
, 2 U 2,
例 7：已知数列 an 是首项不为零的等比数列，且公比大于
0，那么“ q 1 ”是“数列 an
是递增数列”的（ A. 充要条件 C. 充分不必要条件
2 5
a3a7
64 ，则 a5
8 ，由等比数列特征可得奇
数项的符号相同，所以 a5 8
答案： D
小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
例 3：已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn t 2 n 1 1 ，则实数 t 的值为（
）
A. 2
B.
1
C.
2
D.
0.5
设 S am 1 am 2 L am k ,T an 1 an 2 L an k ，则有：
S am 1 am 2 L am k am q q 2 L q k
T
an 1 an 2 L an k
an q q 2 L q k
am q n m an
特别的：若 a1 a2 L ak Sk , ak 1 ak 2 L a 2k S2k Sk ,
a1a3
D. 若 a1 0 ，则 a2 a1 a2 a3 0
7、（ 2015，广东）在等差数列 an 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则 a2 a8 ______
8、（ 2014，北京）若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0,a7 a10 0 ，则当 n ______时， an
的前 n 项和最大
4、等比数列前 n 项和公式：设数列 an 的前 n 项和为 Sn
当 q 1 时，则 an 为常数列，所以 Sn na1
当 q 1 时，则 Sn
a1 1 q n 1q
可变形为： Sn
a1 1 qn 1q
a1 qn
a1 ，设 k
a1 ，可得： Sn k q n k
q1 q1
q1
5、由等比数列生成的新等比数列
1 q5
1 ，解得： q 5 2
1 2
所以 S15 S5
a1 1 q15 1q
1q a1 1 q5
1 q15 1 1 q5 1
3
19 2 83 1 34
22
答案： A
例 5：已知数列 an 为等比数列，若 a4 a6 10 ，则 a7 a1 2a3 a3a9 的值为（
）
A. 10
B. 20
C. 100
1 S4 a1 a2 a3 a4 ,T4
1
1
1 ，则 S4
a
2 1
q3
a1q a1q 2
a2a3
9
a1 a2 a3 a4
T4
8
所以 T4
S4 9
5 3
8
答案： B
例 9：已知等比数列 an 中，各项都是正数， 且 a3 a1 2a2 ，则 a9 a10 a11 a12 （
）
a7 a8 a9 a10
A. 1 2
思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前
以 Sn
t 2n 1 1
t 2n 2
1 ，即 t 2
1t
2
答案： A
n 项和为 Sn kqn k 的形式，所
例 4：设等比数列 an 的前 n 项和记为 Sn ，若 S10 : S5 1: 2 ，则 S15 : S5 （
）
3
A.
4
2
B.
3
1
C.
2
1
2
Qn N 答案： 12
n 的最大值为 12
三、历年好题精选（等差等比数列综合）
1、已知正项等比数列 an 满足 a5 a4 a3 a2 5 ，则 a6 a7 的最小值为（
）
A. 32
B. 10 10 2
C. 20
D. 28
2、已知等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ，其前 n 项和为 Sn ，若直线 y a1x 与圆
注：若 Sn kqn m m k ，则 an 是从第二项开始成等比关系
（ 4）等比中项：对于
n
N
，均有
a
2 n
1
anan 2
8、非常数等比数列
an 的前 n 项和 Sn 与
1 an
前 n 项和 Tn 的关系
Sn
a1 1 q n 1q
，因为
1 an
是首 项为 1 ， 公比 为 1 的等 比数 列 ，所 以有
）
A. 1,
5
B.
,
4
C. 5,
D.
,0 U 5,
思 路 ： 条 件 中 仅 有 a3 ， 所 以 考 虑 其 他 项 向 a3 靠 拢 ， 所 以 有
S5
a3 q2
a3 q
a3 a3q a3q 2
1 q2
1 1 q q2 q
2
1 q
q
1 q
q
1 ，再求出其
值域即可
解： S5
a1 a2 a3 a 4 a5
a1 a2 L
a1 2n 1 an
21
1 2n 1 32
a1 a2 L an 2 5 4 L n 6
n n 11
22
所以所解不等式为： 1 2 n 1 32
n n 11
22
n2 11n 5
2n 1 2 2
n2 11n 10
2n 2 2
n2 11n 10 n
2
n2 13n 10 0
13 129 可解得： 0 n
则要求 q 0,1 ，所以命题也不成立。综上， “ q 1 ”是“数列 an 是递增数列”的既不充
分也不必要条件 答案： D
例 8：在等比数列
an 中，若 a1 a2
a3
a4
15 ,a2a3
8
9 1111
，则
（）
8
a1 a2 a3 a4
5
A.
3
5
B.
3
3
C.
5
3
D.
5
解 ： 条 件 与 结 论 分 别 是 an 的 前 4 项 和 与 倒 数 和 ， 所 以 考 虑 设
答案： C
例 10：在正项等比数列
an 中，a5
1 2 , a6 a7
3，则满足 a1 a2 L
的最大正整数 n 的值为 ____________
an a1 a 2 L a n
思路：从已知条件入手可求得
Fra Baidu bibliotekn6
an 通项公式： an 2 ，从而所满足的不等式可变形为关于
n
n2 11n 5
的 不 等 式 ： 2n 1 2 2
Sn 为数列 an 前 n 项和，则 2 Sn 16 的最小值为（
）
an 3
A. 3
B. 4
C. 2 3 2
6、（ 2015，北京）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（
9
D.
2
）
A. 若 a1 a 2 0 ，则 a2 a3 0
B. 若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0
C. 若 0 a1 a 2 ，则 a2
a1
qn
1
，也可以为：
an
am qn m
3、等比中项：若 a, b, c 成等比数列，则 b 称为 a,c 的等比中项 （ 1）若 b 为 a, c 的等比中项，则有 a b b2 ac
bc （ 2）若 an 为等比数列，则 n N ， a n 1 均为 an, an 2 的等比中项
（ 3）若 an 为等比数列，则有 m n p q aman apaq
a1
q
n
1
1
1
a1
q
Tn
1
1
q
qn 1 qn q1
a1 q
qn 1 a1qn 1 q 1
Sn Tn
a1 1 q n 1q
a1qn 1 q 1 qn 1
a
2 1
q
n
1
例 1：已知等比数列
an 的公比为正数，且 a2
1,a3a9
2
a
2 5
，则
a10
________
2
2
2
思路：因为 a3a9 a6 ，代入条件可得： a6 2a5 ，因为 q 0 ，所以 a6 2a5 ， q 2
a2k 1 a2 k 2 L a3k S3k S2 k ,L ，则 Sk , S2k Sk , S3 k S2 k ,L 成等比数列
7、等比数列的判定： （假设 an 不是常数列）
（ 1）定义法（递推公式） ： an 1 q n N an
（ 2）通项公式： an
n
k q （指数类函数）
（ 3）前 n 项和公式： Sn kq n k
（ 1）在等比数列 an 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（ 2）已知等比数列 an , bn ，则有
① 数列 kan （ k 为常数）为等比数列
② 数列 an （ 为常数）为等比数列，特别的，当 ③ 数列 anbn 为等比数列
1
1 时，即
为等比数列
an
④ 数列 an 为等比数列
6、相邻 k 项和的比值与公比 q 相关：
D.
3
思路：由 Sn
a1 1 qn 可得： S10
a1 1 q10 , S5
a1 1 q5
，可发现只有分子中
q的
1q
1q
1q
指数幂不同，所以作商消去 a1 后即可解出 q ，进而可计算出 S15 : S5 的值
解： Q S10
a1 1 q10 , S5
1q
a1 1 q 5 1q
S10 S5
1 q10 1 q5