直线平面平行、垂直地判定及其性质的知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质

知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）

位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示a⊂αa∩α=A a||α

图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）

直线与平面平行的判断

判定

文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则

直线和平面平行（定义）

平面外的一条直线一次平面内的一条直线

平行，则该直线与此平面平行

图形

条件a与α无交点

结论a∥αb∥α

※判定定理的证明

知识点二、直线与平面平行的性质

性质

文字描述一条直线与一个平面平行，

则这条直线与该平面无交点

一条直线和一个平面平行，则

过这条直线的任一平面与此平

面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b 结论a∩α＝∅a∥b

线面平行，则线线平行

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

知识点三、平面与平面平行的判定

判定

文字描述如果两个平面无公共

点，责成这两个平面平

行一个平面内有两条相

交直线与另一个平面

平行，那么这两个平面

平行．

如果两个平面同时垂直于

一条直线，那么这两个平

面垂直。

图形

条件α∩β＝∅a，b⊂β

a∩b＝P

a∥α

b∥αl⊥αl⊥β

结论α∥βα∥βα∥β

知识点四、平面与平面平行的性质

性质

文字描述如果两个平行平面同时和第

三平面相交，那么他们的交

线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

图形

条件α∥β

β∩γ＝b

α∩γ＝a α∥βa⊂β

结论a∥b a∥α

二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义判定

语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都

垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，

记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形

条件b为平面α内的任一直线，而l对这

一直线总有l⊥α

l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α

结论l⊥αl⊥α

要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质

性质

语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线

垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行

.

图形

条件

结论

知识点三、二面角

Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB

αβ

－－. （简记P AB Q

－－）

二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上

ⅱ.线在面内

ⅲ.与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ

－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB

∠叫做二面角的平面角.

作用：衡量二面角的大小；范围：00

0180

θ

<<.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义判定

文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是

直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形

结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）

知识点五、平面和平面垂直的性质

面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）

例题

1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得

到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且

EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是

A. EH∥FG

B.四边形EFGH是矩形

C. Ω是棱柱

D. Ω是棱台

2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）

A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b

C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c

D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

3下列命题正确的是（ D F ）

A. 平行于同一平面的两条直线平行

B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行

C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行

D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行

E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面

F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ⊄α，那么b ∥α

4在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行

5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥β

B ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥n

C ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥a

D ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是

（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β

（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β