直线平面平行、垂直地判定及其性质的知识点
平行线和垂直线知识点
平行线和垂直线知识点在几何学中，平行线和垂直线是两个基本的概念。
它们在直线和平面的研究中具有重要的意义。
本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
具体而言，对于两条直线l和m，如果它们在同一个平面上且不相交，我们可以说直线l与直线m是平行的，记作l ∥ m。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：如果一条直线与两条平行线相交，那么它将分成两个相对应的锐角和两个相对应的钝角。
性质2：平行线具有传递性，即如果直线l与直线m平行，直线m 与直线n平行，那么直线l与直线n也平行。
性质3：如果两条平行线分别与第三条直线相交，那么相应的对应角是相等的。
性质4：如果两条直线分别与一组平行线相交，那么对应角是相等的。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指两条直线形成的角度为90度的直线。
具体而言，对于两条直线l和m，如果它们相交且所成的角度为90度，我们可以说直线l与直线m是垂直的，记作l ⊥ m。
垂直线具有以下性质：性质1：一条直线与平面上的一条垂直线相交，则它与该垂直线所成的角度为90度。
性质2：如果两条直线互相垂直，那么它们是共面的。
三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线是两种不同的情况，但它们之间存在一些重要的关系。
性质1：如果两条平行线被一条横切线相交，那么所成的对应角是相等的。
性质2：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率乘积为-1。
性质3：如果一条直线与一组平行线相交，那么它所成的角度与这组平行线的对应角度相等。
性质4：如果两条直线互相垂直，那么它们的方向余弦的乘积为0。
以上是平行线和垂直线的一些基本定义和性质。
这些概念在几何学中占有重要地位，不仅在纸上的学习中有用，也在实际生活中的测量和建筑等领域有广泛的应用。
对于学习几何学的人来说，掌握这些知识点是必不可少的。
总结：通过本文的介绍，我们了解到平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。
平行线与垂直线知识点总结
平行线与垂直线知识点总结平行线和垂直线是几何中重要的概念。
它们之间存在一些关键性的属性和定理，了解这些知识点对于理解几何学的基础原理和解题技巧至关重要。
本文将对平行线和垂直线的定义、性质以及相关定理进行总结。
一、平行线1. 定义：平行线是在同一个平面中，永远不相交的两条直线。
用符号“//”表示两条平行线。
2. 性质：- 平行线之间存在等距离：两条平行线的任意两点之间的距离相等。
- 平行线的斜率相等：两条平行线的斜率是相等的。
- 平行线具有传递性：若直线a//b，b//c，则a//c。
3. 平行线的判定：- 垂直平分线判定法：如果两条线段的中垂线重合，则这两条线段平行。
- 角平分线判定法：如果两条角的角平分线平行，则两条角所在的直线平行。
- 逆否命题判定法：如果两条直线的对应角都不相等，则这两条直线平行。
- 同位角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的同位角相等。
- 内错角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的内错角互补。
- 外错角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的外错角相等。
二、垂直线1. 定义：垂直线是在同一个平面中，相交时所成的角度为90度的两条直线。
2. 性质：- 垂直线之间的角度为90度。
- 垂直线的斜率乘积为-1。
- 垂直线上的任意线段之间距离相等。
3. 垂直线的判定：- 垂直平分线判定法：如果两条线段的中垂线垂直，则这两条线段垂直。
- 互相垂直的直线判定法：如果两条直线斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。
- 同位角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的同位角相等。
- 内错角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的内错角互补。
- 外错角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的外错角相等。
总结：平行线和垂直线是几何学中十分重要的概念。
平行线具有等距离和相等斜率的特点，垂直线具有90度的角度和斜率乘积为-1的特点。
我们可以利用垂直线和平行线的性质来判断线段和直线的关系，以及解决各类几何题目。
直线平面平行、垂直地判定及其性质的知识点
一、直线、平面平行的判定与其性质知识点一、直线与平面平行的判定ii .思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜测在什么条件下直线a与平面a 平行.〔a|| b〕※判定定理的证明特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线平行，证得“线面〃平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面〃平行，证得“线面〃平行. 知识点三、平面与平面平行的判定、直线、平面垂直的判定与其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定要点诠释：定义中“平面-内的任意一条直线"就是指“平面二：内的所有直线"，这与“无数条直线〃不同〔线线垂直线面垂直〕知识点二、二面角I.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedral angle 〕.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•记作二面角一AB —.〔简记P —AB —Q〕.面角的平面角的三个特征：i .点在棱上ii.线在面内iii.与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I —的棱I上任取一点O ,以点O为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱丨的射线OA和0B，如此射线OA和0B构成的AOB叫做二面角的平面角• 作用：衡量二面角的大小；X 围：0°180°.2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是〔A 〕 A.a a ,b a ,a / bB .b a ,a / b知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义 判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，如此这两 个平面垂直 图形 k z结果aAp = l a -l- B =90° 戸 a 丄 B 1 丄 cxj c a:丄 0〔垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何〃“随意〃“无数〃等字眼〕 知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直 '线面垂直〔如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直〕例题1.如图，假如 是长方体ABCD-ABCQ 被平面EFGH 截去几何体 EFGHBD 后得到的几 何体，其中E 为线段A i B i 上异于B i 的点，F 为线段BB 上异于B 的点，且EH// A i D i , 如此如下结论中不正确的答案是A. EH // FGB. 四边形EFGH 是矩形C. 是棱柱D.是棱台 C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD3如下命题正确的答案是〔 DF 〕A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 假如直线a / a ,如此平面a 内有且仅有一条直线与a 平行 C. 假如直线a / a ,如此平面a 内任一条直线都与a 平行 D. 假如直线a / a ,如此平面a 内有无数条直线与 a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b , a / a ,b a,那么b /a4在空间，如下命题正确的答案是〔A 〕平行直线的平行投影重合〔B 〕平行于同一直线的两个平面平行〔C〕垂直于同一平面的两个平面平行A. m , n〔D〕垂直于同一平面的两条直线平行5m n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，如此如下命题中正确的答案是B. a m , nm// nC. ml a,m 丄n n / aD. n / m,n丄a m± a〔A〕如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面〔B〕如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面〔C〕如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么丨丄平面〔D〕如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设盘上是悔条直线, 血是两个平酣则a Lb的一个充分条件是(A) a ± a.bll(i.Q1 /J (B) □丄a少丄p(C) a c a,b丄(D)a c a.bll丄08. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面:空间四边形ABCD中, E、F分别是AB AD的中点求证：EF”平面BCD9. 如图，在椎体P-ABCD中，ABCD1边长为1的棱形,且/ DAB=60, ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.⑴证明：AD丄平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.课堂练习A组1已知砌理是两条不冋宜线，a t j8,y是三个不同平面'下列命题中正确的是（）A•若fn\\ ay/II a,则加“舟 B.若c（一丁』丄人则口"0C*若卅队则伉//爪 D.若仍丄丄＜7,则朋“料4.已拓两荼直线,阳个平和。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中的基本概念，在平面几何的研究中起着重要的作用。
本文将从性质和判定两个方面介绍平行线和垂直线的特点和判断方法。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上两条直线永远不会相交的直线。
它们具有以下性质：1. 同向性质：平行线在同一平面上，方向相同且不会相交。
2. 等距离性质：平行线之间的任意两条线段均相等。
3. 夹角性质：平行线与横截线之间的夹角相等。
二、平行线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，若两条直线与另一直线的夹角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 反证法：假设两条直线不平行，可以通过找到一个与这两条直线交汇的第三条直线形成一个三角形，利用角的性质证明两条直线是平行的。
3. 斜率法：两条直线平行时，它们的斜率相等。
根据这个性质，可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
三、垂直线的性质垂直线是指在平面几何中与另一直线的夹角为90度的直线。
垂直线具有以下性质：1. 相交性质：垂直线与另一条直线相交，形成直角。
2. 互逆性质：两条垂直线互为对方的垂直线。
3. 斜率性质：两条直线垂直时，它们的斜率之乘积为-1。
四、垂直线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，如果两个夹角的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 互逆法：如果两条直线互为对方的斜率的倒数，则这两条直线垂直。
3. 斜率法：若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线垂直。
结论通过对平行线和垂直线的性质和判定方法的介绍，我们可以更好地理解平面几何中的基本概念和关系。
掌握这些知识，可以帮助我们在解题过程中更加准确和便捷地判断线之间的关系，进而解决相关问题。
在实际生活中，平行线和垂直线的性质也广泛应用于建筑、工程等领域。
因此，对于平行线和垂直线的性质和判定方法的学习具有重要的意义。
平行线和垂直线的关系知识点总结
平行线和垂直线的关系知识点总结平行线和垂直线是几何学中最基本的概念之一，它们之间存在着重要的关系。
本文将对平行线和垂直线的定义、性质及相关定理进行总结。
一、平行线的定义与性质1. 定义：如果两条直线在同一个平面上，且它们没有任何交点，那么它们被称为平行线。
2. 性质：a. 平行线的斜率相等：对于两条平行线l₁和l₂，如果l₁的斜率等于k，则l₂的斜率也等于k。
b. 平行线的法向量相等：对于两条平行线l₁和l₂，如果l₁的法向量为n₁，则l₂的法向量也等于n₁。
二、垂直线的定义与性质1. 定义：如果两条直线在同一个平面上，且它们相交成直角（90度），那么它们被称为垂直线。
2. 性质：a. 垂直线的斜率互为相反数：对于两条垂直线l₁和l₂，如果l₁的斜率为k₁，则l₂的斜率为-k₁。
b. 垂直线的法向量互为相反数：对于两条垂直线l₁和l₂，如果l₁的法向量为n₁，则l₂的法向量为-n₁。
三、平行线与垂直线的相关定理1. 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为相反数，那么它们是垂直线。
证明：设直线l₁的斜率为k₁，直线l₂的斜率为k₂。
根据性质2a，如果k₁=-k₂，那么l₁和l₂是垂直线。
2. 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们是平行线。
证明：设直线l₁的斜率为k₁，直线l₂的斜率为k₂。
根据性质2a，如果k₁=k₂且l₁和l₂没有交点，那么l₁和l₂是平行线。
3. 平行线之间的性质定理：如果有一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且这两条相交的线段互相平行。
证明：设直线l与平行线l₁和l₂相交于点A和B。
根据性质1，线段AB与l₁平行，线段AB与l₂平行。
这表明l与l₁和l₂的交点在同一直线上，且l与l₁和l₂平行。
四、应用案例1. 平行线和垂直线的应用广泛，例如在建筑设计中，可以利用平行线和垂直线的性质制定合理的结构方案，确保建筑物的稳定性和美观性。
2. 在平面几何中，利用平行线和垂直线的性质可以解决许多几何问题，如求解直线的交点、证明直线与圆的关系等。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
线面平行垂直知识点
线面平行垂直知识点一、线面平行的定义和性质1.定义：线面平行是指一条直线与一个平面内的所有直线都不相交。
2.性质：a.对于一个平面内的一条直线和平面外的任意一条直线，它们都不能同时与该平面平行。
b.平行线与同一平面内的另一条直线的关系：如果两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线要么相交，要么重合。
c.平行线与不同平面内的直线的关系：如果两条直线分别与两个不相交平面平行，则这两条直线不相交。
二、线面垂直的定义和性质1.定义：线面垂直是指一条直线与一个平面内的所有直线都垂直相交。
2.性质：a.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。
b.平行于同一个平面内的两条直线不存在垂直关系。
c.如果两个平面垂直，则其法线向量互相垂直。
三、线面平行和垂直的判定方法1.平行判定：线面平行的判定可以通过向量的方法、斜率的方法和直线与平面的交点判定方法等。
例如，若两个平面的法线向量相等或平行，则这两个平面是平行的。
2.垂直判定：线面垂直的判定可以通过两条直线的方向向量相互垂直、用点法式判断直线与平面之间的关系等方法。
例如，若一条直线与一个平面垂直，则这条直线的方向向量与该平面的法线向量垂直。
四、线面平行和垂直的应用1.线面平行和垂直的知识可以用于建筑设计中，例如判断条墙与地面是否平行或垂直，从而影响建筑的结构布局。
2.在工程测量中，线面平行和垂直关系的知识可以用于量测一些平面的倾斜度和水平度等参数。
3.在图形的投影与透视等绘图问题中，线面平行和垂直关系的知识可以帮助我们正确地绘制出图形的形状和位置。
综上所述，线面平行和垂直是几何学中非常重要的概念，其涉及到线与面之间的相互关系。
了解线面平行和垂直的定义、性质以及判定方法，可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题，并应用于实际生活和工作中。
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
直线、平面平行垂直的判定及其性质
定理： 如果两个平行平面 // , a, 同时和第三个平面相交， b a // b 那么它们的交线平行。
推论 1： 如果两平面平行， 则 一平面内任何一条直线与另 一个平面平行。 推论 2： 两条直线被三个平面 所截，截得的对应线段成比 例。
, a, b 且b a b
// , a , a //
直线、平面间的平行、垂直的判定及其性质
平
定理内容 定理： 如果不在一个平面 内的一条直线和平面内 的一条直线平行， 那么这 条直线和这个平面平行。 定理： 如果一个平面内有 两条相交直线平行于另 外一个平面， 那么这两个 平面平行。 推论： 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，则这两个平面平 行。 定理： 如果一条直线和一 个平面平行， 经过这条直 线的平面和这个平面相 交， 那么这条直线就和两 平面的交线平行。
推论：已知平面外的两条平 行直线中的一条平行与这个 平面，则另一条也平行于这 个平面
行
符号表示
a ,b , 且a // b a //
垂
图形表示 定理内容 定理：如果一条直 线与平面内的两 条相交直线垂直， 则这条直线与这 个平面垂直。 推论 1：如果在两 条平行直线中，有 一条垂直于平面， 那么另一条也垂 直于这个平面。 定理：如果一个平 面过另一个平面 的垂线，则这两个 平面互相垂直。 定理：如果一条直 线垂直于一个平 面，那么它就和平 面内的任意一条 直线垂直。 推论 2：如果两条 直线垂直于同一 个平面内，那么这 两条直线平行。 定理：如果两个平 面互相垂直，那么 在一个平面内垂 直于它们交线的 直线垂直与另一 个平面。
直
符号表示
平行线与垂直线性质
平行线与垂直线性质平行线和垂直线是几何学中常见的概念，它们在数学中具有特殊的性质和重要的应用。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质及其相关的知识点。
希望能够对读者加深对这两种线性关系的理解。
1. 平行线的性质平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
具体来说，以下是平行线的一些性质：1.1 平行线的定义如果两条直线在同一个平面内，且它们不存在任何交点，那么这两条直线就是平行线。
1.2 平行线的判定方法判定两条直线是否平行的方法有多种，其中最常见的方法有以下几种：（1）对于两个平行线上的任意一点，它们到两条线上距离的比值相等；（2）两条直线的斜率相等，且不相交；（3）直线与平行于它的另一直线所夹的角相等。
1.3 平行线的性质（1）平行线之间的距离永远相等。
即使平行线延长或缩短，它们之间的距离仍保持不变。
（2）平行线与同一条直线夹角的大小相等。
（3）平行线与同一平行线相交的两根直线，对这两根直线上的任意一点, 到两条平行线上的距离的比值相等。
2. 垂直线的性质垂直线是指两条直线之间相互垂直（成直角）的直线。
以下是垂直线的一些性质：2.1 垂直线的定义如果两条直线的斜率的乘积为-1（即斜率互为倒数且符号相反），那么这两条直线就是垂直线。
2.2 垂直线的判定方法判定两条直线是否垂直的方法有以下几种：（1）两条直线的斜率乘积为-1；（2）对于两条直线上的任意一点，它们到两条直线的斜率的乘积为-1。
2.3 垂直线的性质（1）垂直线之间的夹角是直角，即90度。
（2）直角的两边是垂直线。
（3）如果两条直线相互垂直，则这两条直线所在的平面为垂直平面。
3. 平行线与垂直线的应用平行线和垂直线是几何学中重要的概念，其应用广泛。
以下是一些常见的应用示例：3.1 平行线的应用平行线在日常生活和工程领域有着广泛的应用。
如在建筑设计中，为了保证墙壁的垂直度和水平度，常借助平行线进行标定和测量。
此外，在道路规划和交通管理中，平行线也被广泛应用于车辆的行进方向和车道的设置。
直线与平面平行、垂直有关知识点
直线与平面平行、垂直有关知识点直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
平行线与垂直线的性质与判断知识点总结
平行线与垂直线的性质与判断知识点总结平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
垂直线是指与平行线相交，且交角为90度的直线。
在几何学中，我们经常需要判断线段、射线或直线之间的关系，了解平行线和垂直线的性质与判断方法对于解决这些问题至关重要。
本文将总结平行线和垂直线的性质，以及判断平行线和垂直线的知识点。
一、平行线的性质1. 平行线的定义：在同一个平面内，两条直线如果永远不会相交，则这两条直线是平行线。
2. 平行线的判定方法：- 两条直线的斜率相等且不相等，则它们是平行线。
- 两条直线的斜率相等，且过同一点的直线与已知直线的夹角为零度或180度，则它们是平行线。
- 两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是平行线。
- 如果已知两个平行线分别与第三条直线垂直，则这两个平行线也是垂直线。
二、垂直线的性质1. 垂直线的定义：与平行线相交，交角为90度的直线是垂直线。
2. 垂直线的判定方法：- 两条直线的斜率相乘得到-1，则它们是垂直线。
- 两条直线的斜率分别为k1和k2，如果k1 * k2 = -1，则这两条直线是垂直线。
- 如果已知两个垂直线分别与第三条直线平行，则这两个垂直线也是平行线。
三、平行线和垂直线的判断1. 判断平行线的方法：- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相等且不相等，则它们是平行线。
- 比较两条直线过同一点与已知直线的夹角。
如果夹角为零度或180度，则它们是平行线。
- 比较两条直线与第三条直线的垂直关系。
如果两条直线都与第三条直线垂直，则它们是平行线。
2. 判断垂直线的方法：- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相乘得到-1，则它们是垂直线。
- 比较两条直线的斜率。
如果斜率分别为k1和k2，且k1 * k2 = -1，则它们是垂直线。
- 比较两条直线与第三条直线的平行关系。
如果两条直线都与第三条直线平行，则它们是垂直线。
总结：平行线与垂直线在几何学中有重要的性质与判定方法。
对于判断平行线和垂直线的方法，可以通过比较直线的斜率、夹角以及与第三条直线的垂直或平行关系来进行。
(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点上课讲义
、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定）ii.思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜想在什么条件下直线a与平面a平行.（a||b）直线与平面平行的判断※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行知识点三、平面与平面平行的判定判定、直线、平面垂直的判定及其性质定义判定语言描述如果直线1和平面a 内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线1与平面①互相垂直， 记作1丄a一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直图形I/条件 b 为平面a 内的任一直线，而I 对这 一直线总有I 丄aI 丄 m ， I 丄 n ， m n n = B ， m，n 结论I 丄 1丄要点诠释：定义中“平面 二内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”.面角的平面角的三个特征 ：i .点在棱上ii .线在面内 iii . 与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I — 的棱I 上任取一点0，以点0为垂足，在半平面 ，内分别作垂直于棱I 的射成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0°180°.dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两知识点二、二面角I •二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（ 角一AB —.（简记 P — AB — Q ）知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直图形7丿 /结果aAp =l a -l- B =90° 口 a 丄 B/丄u u 二◎丄 0(垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是 “任何”“随意”“无数”等字眼)知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直 线面垂直(如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD 3下列命题正确的是( DF)A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a //a ,则平面a 内有且仅有一条直线与 a 平行C. 若直线a //a ,则平面a 内任一条直线都与 a 平行D. 若直线a //a ,则平面a 内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b ， a / a ,b a ，那么b /a4在空间，下列命题正确的是(A) 平行直线的平行投影重合 (B) 平行于同一直线的两个平面平行 (C) 垂直于同一平面的两个平面平行 (D) 垂直于同一平面的两条直线平行2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是(A ) A.a a ,b a ,a // bB .ba ,a // b例题1.如图，若是长方体 ABCD-ABC D 被平面EFGH 截去几何体 EFGH I C 后得到的几何体，其BB 上异于B I 的点，且EH// A D I ，则下列结论中不正确的是 A. EH // FG B. 四边形EFGH 是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台加咫圈)5已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A .m , n,m //3,n a/3B.a//B，m,n m // nC.m± a,m 丄n n // aD.n / m,n丄a m± a6.下列命题中错误的是(A) 如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面(B) 如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C) 如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么I丄平面(D) 如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设Hi两条氏线"久0址两个平血，则alb的一个允分条件址(A) 。
平行线与垂直线的判断与性质
平行线与垂直线的判断与性质在几何学中，平行线与垂直线是非常重要的概念。
它们在我们日常生活中的应用广泛，例如在建筑设计、地理测量、工程规划等领域都起到了重要的作用。
本文将介绍平行线和垂直线的判断方法及其性质。
一、平行线的判断与性质平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
判断两条线是否平行可以通过以下几种方法：1. 在平面上的两条直线，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定为平行线。
斜率的概念是直线上任意两点间纵坐标之差与横坐标之差的比值。
2. 如果两条直线上的任意一组对应角互相等于，则可以判定为平行线。
对应角是指两条直线上同位于相同位置的角度。
3. 如果两条直线之间的夹角为180度，则可以判定为平行线。
夹角是指两条直线相交时所形成的角度。
平行线具有以下性质：1. 平行线与一条截线形成的对应角互相等于。
2. 平行线上的任意一对内错角和外错角互相补角。
3. 平行线上的任意一对同位角相等。
二、垂直线的判断与性质垂直线是指与另一条线段或线相交时形成的直角的线。
判断两条线是否垂直可以通过以下几种方法：1. 如果两条直线的斜率互为倒数且乘积为-1，则可以判定为垂直线。
2. 如果两条直线上的任意一组对应角互为互补角，则可以判定为垂直线。
3. 如果两条直线的夹角为90度，则可以判定为垂直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线与一条直线形成的内错角和外错角互为补角。
2. 垂直线上的任意一对同位角互相等于。
3. 垂直线与平面上的一条截线形成的对应角互为互补角。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在日常生活中有广泛的应用。
以下是几个典型的例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线和垂直线起到了重要的作用。
例如，在绘制建筑图纸时，需要合理利用平行线和垂直线来确定各个建筑元素的位置和关系，以保证整体结构的稳定性和美观性。
2. 套房布局：在家居装修中，平行线和垂直线的应用也非常常见。
例如，在设计套房的布局时，通常会利用平行线和垂直线来划分房间的大小和位置，以确保每个房间的功能和空间利用率都达到最佳状态。
平行线和垂直线的性质和判定
平行线和垂直线的性质和判定平行线和垂直线是几何中常见的概念和性质，在数学学科中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质以及如何进行判定，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面上没有任何交点的直线。
下面我们将介绍平行线的一些性质和判定方法。
1. 平行线的性质：（1）平行线与同一直线的交线对应的内角相等。
例如，直线AB和直线CD平行，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A和角E相等，角B和角F相等，角C和角D相等。
（2）平行线与同一直线的交线对应的同位角相等。
同位角是指两条直线上相对于同一直线的对应角。
如果直线AB和直线CD平行，它们与第三条直线EF相交，那么角A和角C是同位角，角B和角D是同位角，它们的度数相等。
2. 平行线的判定方法：（1）同位角相等法：如果两条直线上同位角相等，则它们是平行线。
这个方法基于平行线的性质，通过观察同位角的度数是否相等来判断直线的平行性。
（2）斜率相等法：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
直线的斜率是斜率运算对直线的特定定义，利用斜率相等可以判断直线是否平行。
二、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的直线。
下面我们将介绍垂直线的一些性质和判定方法。
1. 垂直线的性质：（1）垂直线与同一直线的交线对应的内角为90度。
例如，直线AB和直线CD垂直，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A与角E之间的夹角、角B与角F之间的夹角以及角C与角D之间的夹角都是90度。
2. 垂直线的判定方法：（1）斜率互为负倒数法：如果两条直线的斜率互为负倒数，则它们是垂直线。
这个方法基于垂直线的性质，通过观察直线的斜率是否满足斜率互为负倒数的关系来判断直线是否垂直。
（2）直角三角形判定法：如果两条直线上某一对对应角的度数之和为90度，则它们是垂直线。
通过观察直线与第三条直线所形成的直角三角形，判断其内角的度数之和是否为90度，从而确定直线的垂直性。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
平行与垂直知识点总结
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。
直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。
基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。
CC1推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 12、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点求证：BCD EF 平面//2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点求证：EFG AC 平面//直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .四、两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行
公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点
符号表示a⊂αa∩α=A a||α
图形表示
注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）
直线与平面平行的判断
判定
文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则
直线和平面平行（定义）
平面外的一条直线一次平面内的一条直线
平行，则该直线与此平面平行
图形
条件a与α无交点
结论a∥αb∥α
※判定定理的证明
知识点二、直线与平面平行的性质
性质
文字描述一条直线与一个平面平行，
则这条直线与该平面无交点
一条直线和一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平
面相交，这条直线和交线平行．
图形
条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b 结论a∩α＝∅a∥b
线面平行，则线线平行
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
知识点三、平面与平面平行的判定
判定
文字描述如果两个平面无公共
点，责成这两个平面平
行一个平面内有两条相
交直线与另一个平面
平行，那么这两个平面
平行．
如果两个平面同时垂直于
一条直线，那么这两个平
面垂直。
图形
条件α∩β＝∅a，b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥αl⊥αl⊥β
结论α∥βα∥βα∥β
知识点四、平面与平面平行的性质
性质
文字描述如果两个平行平面同时和第
三平面相交，那么他们的交
线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
图形
条件α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a α∥βa⊂β
结论a∥b a∥α
二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
定义判定
语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都
垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，
记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
图形
条件b为平面α内的任一直线，而l对这
一直线总有l⊥α
l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α
结论l⊥αl⊥α
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）
知识点二、直线和平面垂直的性质
性质
语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线
垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行
.
图形
条件
结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB
αβ
－－. （简记P AB Q
－－）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上
ⅱ.线在面内
ⅲ.与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ
－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB
∠叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：00
0180
θ
<<.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义判定
文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是
直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形
结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β
（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）
知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）
例题
1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得
到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且
EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形
C. Ω是棱柱
D. Ω是棱台
2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）
A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b
C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c
D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD
3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行
C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行
D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行
E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面
F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ⊄α，那么b ∥α
4在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥β
B ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥n
C ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥a
D ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是
（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β
（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：EF ‖平面BCD
8题图 9题图
9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
课堂练习
A 组
3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.
4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2,
AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；
5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
E
A
B
C
F E 1
A 1
B 1
C 1
D 1 D
实用标准文案
精彩文档 （2）设E 、F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线EF//平面ABCD.
6. 在图中所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ’C ’ ．
（1）要经过平面 内的一点P 和棱BC 将木料据开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？
C A ''。