最新多元线性回归与多项式回归
回归分析公式深入研究回归分析的数学公式
回归分析公式深入研究回归分析的数学公式回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的相互关系。
在回归分析中，数学公式是非常重要的，它们描述了变量之间的关系，并提供了预测和解释的基础。
本文将深入研究回归分析的数学公式，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、简单线性回归分析公式简单线性回归分析是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
其数学公式可以表示为：Y = α + βX + ε其中，Y代表因变量，X代表自变量，α代表截距，β代表斜率，ε代表误差项。
在简单线性回归分析中，我们的目标是通过最小二乘法估计α和β的值，使得拟合线尽可能地接近实际观测值。
通过求导等数学方法，我们可以得到最小二乘估计公式：β = Σ((X-Ȳ)(Y-Ȳ))/(Σ(X-Ȳ)²)α = Ȳ - βXȲ其中，Ȳ代表因变量Y的平均值，XȲ代表自变量X与因变量Y的平均值的乘积。
二、多元线性回归分析公式当我们研究的问题涉及到多个自变量时，可以使用多元线性回归分析。
其数学公式可以表示为：Y = α + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中，p代表自变量的个数。
在多元线性回归分析中，我们的目标是通过最小二乘法估计α和β的值，使得拟合线尽可能地接近实际观测值。
通过求导等数学方法，我们可以得到最小二乘估计公式：β = (X'X)⁻¹X'Yα = Ȳ - β₁X₁Ȳ - β₂X₂Ȳ - ... - βₚXₚȲ其中，X代表自变量矩阵，X'代表X的转置，Y代表因变量向量，(X'X)⁻¹代表X'X的逆矩阵。
三、多项式回归分析公式简单线性回归和多元线性回归都是基于线性关系的回归分析方法。
然而，有时候变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线的趋势。
这时我们可以使用多项式回归分析来建模。
多项式回归分析的数学公式可以表示为：Y = α + β₁X + β₂X² + ... + βₚXᵩ+ ε其中，ᵩ代表多项式的阶数。
数据分析技术中常用的多元回归分析方法简介
数据分析技术中常用的多元回归分析方法简介多元回归分析是一种常用的数据分析技术，用于建立解释一个或多个自变量与一个或多个因变量之间关系的数学模型。
在实际应用中，多元回归分析可以帮助我们理解和预测因变量的变化情况，同时揭示自变量对因变量的影响程度和方向。
在多元回归分析中，我们通常会考虑多个自变量对一个因变量的影响。
这些自变量可以是连续变量，也可以是分类变量。
为了进行多元回归分析，我们需要收集包含自变量和因变量数据的样本，并建立一个数学模型来描述它们之间的关系。
常用的多元回归分析方法有以下几种：1. 线性回归分析：线性回归是最基本的多元回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即可以通过一条直线来描述。
线性回归可以用于预测新的因变量值或者探究自变量对因变量的影响程度和方向。
2. 多项式回归分析：多项式回归是线性回归的扩展形式，它允许通过非线性方程来描述自变量和因变量之间的关系。
多项式回归可以用于处理具有非线性关系的数据，通过增加自变量的幂次项，可以更好地拟合数据。
3. 逐步回归分析：逐步回归是一种渐进式的回归分析方法，它通过不断添加或删除自变量来选择最优的模型。
逐步回归可以帮助我们识别对因变量影响最显著的自变量，并且去除对模型没有贡献的自变量，以减少复杂度和提高预测准确性。
4. 岭回归分析：岭回归是一种用于处理共线性问题的回归方法。
共线性指的是自变量之间存在高度相关性，这会导致模型参数估计不稳定。
岭回归通过添加一个正则化项来缩小模型参数的值，从而减少共线性的影响。
5. 主成分回归分析：主成分回归结合了主成分分析和回归分析的方法，用于处理多重共线性问题。
主成分分析通过将自变量转换为一组无关的主成分来降维，然后进行回归分析。
这样可以减少自变量之间的相关性，并提高模型的解释力。
6. 逻辑回归分析：逻辑回归是一种广义线性回归，常用于处理二分类问题。
它通过对因变量进行逻辑变换，将线性回归的结果映射到一个[0, 1]的区间，表示某事件发生的概率。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种常用的统计分析方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型，并进行预测和解释。
在许多研究领域和实际应用中，回归分析被广泛使用。
下面是对回归分析方法的全面总结。
1.简单线性回归分析：简单线性回归分析是最基本的回归分析方法之一，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
它的方程为Y=a+bX，其中Y是因变量，X是自变量，a是截距，b是斜率。
通过最小二乘法估计参数a和b，可以用于预测因变量的值。
2. 多元线性回归分析：多元线性回归分析是在简单线性回归的基础上扩展的方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
它的方程为Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中n是自变量的个数。
通过最小二乘法估计参数a和bi，可以用于预测因变量的值。
3.对数线性回归分析：对数线性回归分析是在简单线性回归或多元线性回归的基础上，将自变量或因变量取对数后建立的模型。
这种方法适用于因变量和自变量之间呈现指数关系的情况。
对数线性回归分析可以通过最小二乘法进行参数估计，并用于预测因变量的对数。
4.多项式回归分析：多项式回归分析是在多元线性回归的基础上，将自变量进行多项式变换后建立的模型。
它可以用于捕捉自变量和因变量之间的非线性关系。
多项式回归分析可以通过最小二乘法估计参数，并进行预测。
5.非线性回归分析：非线性回归分析是一种更一般的回归分析方法，用于建立自变量和因变量之间的非线性关系模型。
这种方法可以适用于任意形式的非线性关系。
非线性回归分析可以通过最小二乘法或其他拟合方法进行参数估计，用于预测因变量的值。
6.逐步回归分析：逐步回归分析是一种变量选择方法，用于确定最重要的自变量对因变量的解释程度。
它可以帮助选择最佳的自变量组合，建立最合适的回归模型。
逐步回归分析可以根据其中一种准则（如逐步回归F检验、最大似然比等）逐步添加或删除自变量，直到最佳模型被找到为止。
回归模型介绍
回归模型介绍回归模型是统计学和机器学习中常用的一种建模方法，用于研究自变量（或特征）与因变量之间的关系。
回归分析旨在预测或解释因变量的值，以及评估自变量与因变量之间的相关性。
以下是回归模型的介绍：•线性回归（Linear Regression）： 线性回归是最简单的回归模型之一，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
简单线性回归涉及到一个自变量和一个因变量，而多元线性回归包含多个自变量。
线性回归模型的目标是找到一条最佳拟合直线或超平面，使得预测值与实际观测值的误差最小。
模型的形式可以表示为：Y=b0+b1X1+b2X2+⋯+b p X p+ε其中，Y是因变量， X1,X2,…X p 是自变量，b0,b1,…,b p 是回归系数，ε是误差项。
•逻辑回归（Logistic Regression）： 逻辑回归是用于处理分类问题的回归模型，它基于逻辑函数（也称为S形函数）将线性组合的值映射到概率范围内。
逻辑回归常用于二元分类问题，例如预测是否发生某个事件（0或1）。
模型的输出是一个概率值，通常用于判断一个样本属于某一类的概率。
逻辑回归的模型形式为：P(Y=1)=11+e b0+b1X1+b2X2+⋯+b p X p其中P(Y=1)是事件发生的概率，b0,b1,…,b p是回归系数，X1,X2,…X p是自变量。
•多项式回归（Polynomial Regression）： 多项式回归是线性回归的扩展，允许模型包括自变量的高次项，以适应非线性关系。
通过引入多项式特征，可以更灵活地拟合数据，但也可能导致过拟合问题。
模型形式可以表示为：Y=b0+b1X+b2X2+⋯+b p X p+ε其中，X是自变量，X2,X3,…,X p是其高次项。
•岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）： 岭回归和Lasso 回归是用于解决多重共线性问题的回归技术。
这些方法引入了正则化项，以减小回归系数的大小，防止模型过度拟合。
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
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定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
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一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
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定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，以及预测因变量的值。
回归分析有多种方法和技术，本文将对几种常用的回归分析方法进行总结和介绍。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究单个自变量与因变量之间的关系。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且通过拟合一条直线来描述这种关系。
简单线性回归分析使用最小二乘法来估计直线的参数，最小化观测值与模型预测值之间的差异。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是回归分析的一种拓展形式，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它假设各个自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来描述这种关系。
多元线性回归分析使用最小二乘法来估计模型的参数。
3. 逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于研究二分类变量与一系列自变量之间的关系。
它通过拟合一个Logistic函数来描述二分类变量与自变量之间的概率关系。
逻辑回归分析可以用于预测二分类变量的概率或进行分类。
4. 多项式回归分析多项式回归分析是回归分析的一种变体，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过引入自变量的高次项来拟合一个多项式模型，以描述非线性关系。
多项式回归分析可以帮助我们探索自变量与因变量之间的复杂关系。
5. 非线性回归分析非线性回归分析是回归分析的一种广义形式，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过拟合一个非线性模型来描述这种关系。
非线性回归分析可以用于分析复杂的现象或数据，但需要更复杂的参数估计方法。
6. 岭回归分析岭回归分析是回归分析的一种正则化方法，用于处理自变量之间存在共线性的情况。
共线性会导致参数估计不稳定或不准确，岭回归通过加入一个正则化项来缩小参数估计的方差。
岭回归分析可以帮助我们在共线性存在的情况下得到更可靠的结果。
7. 主成分回归分析主成分回归分析是回归分析的一种降维方法，用于处理高维数据或自变量之间存在相关性的情况。
[课件]第11章 多元线性回归与多元逐步回归PPT
![[课件]第11章 多元线性回归与多元逐步回归PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/a03629e7bb4cf7ec4afed02c.png)
2
n
采用最小二乘法即可求出常数项b0和偏回归系数b1、b2。 其中
b Y ( b x b x ) 0 11 2 2
对表11-2的数据资料由SAS统计软件可得到如下
表11-3的主要结果。
表 11-3 偏回归系 变量 数 常数项 17.011 -0.406 0.098 2.472 0.094 0.116 6.880 -4.313 0.843 0.000 0.000 0.411 标准误 偏回归系数估计结果
2 S S ( Y Y ) m o d e l i
N
Y
i 1 N
2 S S ( Y Y ) e r r o r i i i 1
X2
i 1 N
X1
Total SS Model SS Residual SS
对于例11.1的模型检验
H0： β １＝β ２＝０
＝0.05
xknyn一一多元线性回归方程多元线性回归方程multiplelinearregressionequationmultiplelinearregressionequation01122?kkybbxbxbx???????y?y?yb为偏回归系数bj为偏回归系数partialregressioncoefficienttiliffiit常数项表示当所有自变量为0时应变量y的总体平均值的估计值表示除以外的其它自变量固定不变的情况下每改变一个测量单位时所引起的应变量y的平均改变量两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的拟合面两个自变量与应变量的拟合面bj为为xj方向的斜率方向的斜率1
多元线性回归的数据格式
表 11-1
例号 i 1 2 3
线性回归与多元回归
线性回归与多元回归线性回归和多元回归是统计学中常用的预测分析方法。
它们在经济学、社会学、医学、金融等领域中广泛应用。
本文将对线性回归和多元回归进行简要介绍，并比较它们的异同点及适用范围。
一、线性回归线性回归分析是一种利用自变量（或称解释变量）与因变量（或称响应变量）之间线性关系建立数学模型的方法。
其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1至Xn代表自变量，β0至βn为待估计的回归系数，ε代表随机误差。
目标是通过最小化误差平方和，估计出最优的回归系数。
线性回归的优点在于模型简单、易于解释和计算。
然而，线性回归的局限性在于它适用于解释变量与响应变量存在线性关系的情况，并且需要满足一些假设条件，如误差项服从正态分布、误差项方差相等等。
二、多元回归多元回归是线性回归的扩展，通过引入多个自变量来建立回归模型。
其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε与线性回归类似，多元回归也是通过估计回归系数来建立模型，使得预测值与实际观测值的误差最小化。
多元回归相比于线性回归的优点是能够考虑多个自变量对因变量的影响，更符合实际问题的复杂性。
例如，预测一个人的身高可以同时考虑性别、年龄、体重等多个因素。
然而，多元回归的缺点也是显而易见的，引入更多的自变量可能导致模型过于复杂，产生多重共线性等问题，同时样本的数量和质量也对多元回归的效果有重要影响。
三、线性回归与多元回归的比较1. 模型形式线性回归和多元回归的模型形式非常相似，都是以自变量和回归系数之间的线性组合来预测因变量。
多元回归可以看作是线性回归的一种特殊情况，即自变量只有一个的情况。
2. 自变量个数线性回归只能处理一个自变量的情况，而多元回归则可以同时处理多个自变量。
多元回归相比于线性回归具有更强的灵活性和准确性。
3. 模型解释线性回归的模型相对较为简单，容易解释和理解。
各种线性回归模型原理
各种线性回归模型原理线性回归是一种经典的统计学方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
在这个模型中，我们假设自变量和因变量之间存在一个线性函数关系，通过找到最佳的拟合直线，我们可以预测和解释因变量。
在线性回归中，我们通常使用以下三种模型：简单线性回归模型、多元线性回归模型和多项式回归模型。
1.简单线性回归模型：简单线性回归是最基本的线性回归模型。
它用于研究只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
假设我们有一个自变量x和对应的因变量y。
简单线性回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得模型对观测数据的拟合最好。
2.多元线性回归模型：当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn + ε其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是误差项。
我们通过最小化误差项的平方和来估计回归系数。
3.多项式回归模型：多项式回归模型是在线性回归模型的基础上引入了多项式项的扩展。
在一些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是简单的线性关系，而是复杂的曲线关系。
多项式回归模型可以通过引入自变量的高次幂来建立非线性关系。
例如，二阶多项式回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+β2*x^2+ε我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合曲线。
在以上三种线性回归模型中，我们以最小二乘法作为求解回归系数的方法。
最小二乘法通过最小化观测值与模型拟合值之间的残差平方和来选择最佳的回归系数。
通过最小二乘法，我们可以得到回归系数的闭式解，即可以明确得到回归系数的数值。
除了最小二乘法，还有其他求解回归系数的方法，例如梯度下降法和正规方程法。
统计学中的线性回归与多项式回归的区别
统计学中的线性回归与多项式回归的区别在统计学中，线性回归和多项式回归是两种常用的回归分析方法。
它们在建模和预测方面有着不同的特点和应用场景。
本文将探讨线性回归和多项式回归的区别。
一. 线性回归线性回归是一种最简单和最常见的回归分析方法。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并试图找到最佳拟合直线，以最小化观测数据和拟合线之间的误差。
线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + ε其中，Y表示因变量，X1表示自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
线性回归的目标是找到最佳的β0和β1，使得观测数据与拟合直线之间的残差平方和最小。
线性回归的优点是模型简单，易于解释和理解。
它适用于自变量和因变量之间呈现线性关系的情况。
并且，由于线性回归模型的线性性质，参数估计可以通过最小二乘法得到闭式解。
然而，线性回归也有其局限性。
由于线性回归要求变量之间的关系是线性的，因此对于非线性的数据，线性回归模型的拟合效果就会较差。
在这种情况下，多项式回归能够提供更好的拟合结果。
二. 多项式回归多项式回归是线性回归的一种扩展形式，它使用了自变量的高阶项（指数大于1）来拟合数据。
多项式回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X1^2 + ... + βnX1^n + ε其中，X1^2, X1^3, ..., X1^n表示自变量X1的高阶项，β2, β3, ..., βn是对应的回归系数。
多项式回归通过引入非线性项来拟合非线性数据，从而提高了模型的拟合精度。
多项式回归的优点是具有更高的灵活性，可以适应非线性的数据模式。
它能够更好地描述各种复杂的关系，比如二次曲线、指数曲线等。
通过选择合适的多项式阶数，可以在一定程度上减小过拟合的风险。
然而，多项式回归也存在一些问题。
首先，模型的复杂性增加了参数的个数，导致模型变得更难解释和理解。
其次，高阶项可能引入过度拟合的问题，当选择阶数过高时，模型会在训练数据上表现出很好的拟合效果，但在未知数据上的预测精度却很差。
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，有许多不同的回归分析方法可供选择。
以下是应该掌握的7种回归分析方法：1. 简单线性回归分析(Simple Linear Regression)：简单线性回归是回归分析中最简单的方法之一、它是一种用于研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
简单线性回归可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。
2. 多元线性回归分析(Multiple Linear Regression)：多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法。
它可以用来研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元线性回归分析可以帮助我们确定哪些自变量对于因变量的解释最为重要。
3. 逻辑回归(Logistic Regression)：逻辑回归是一种用于预测二分类变量的回归分析方法。
逻辑回归可以用来预测一个事件发生的概率。
它的输出是一个介于0和1之间的概率值，可以使用阈值来进行分类。
4. 多项式回归(Polynomial Regression)：多项式回归是回归分析的一种扩展方法。
它可以用来研究变量之间的非线性关系。
多项式回归可以将自变量的幂次作为额外的变量添加到回归模型中。
5. 岭回归(Ridge Regression)：岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
岭回归通过对回归系数进行惩罚来减少共线性的影响。
6. Lasso回归(Lasso Regression)：Lasso回归是另一种可以处理多重共线性问题的回归分析方法。
与岭回归不同的是，Lasso回归通过对回归系数进行惩罚，并使用L1正则化来选择最重要的自变量。
7. Elastic Net回归(Elastic Net Regression)：Elastic Net回归是岭回归和Lasso回归的结合方法。
线性回归与多项式回归的区别,如何判断他们的使用场景
线性回归与多项式回归的区别,如何判断他们的使⽤场景前⾔: 以下内容是个⼈学习之后的感悟，转载请注明出处~总结: 回归属于监督学习的⼀种的⽅法, 从连续的数据中得到模型,然后将该数据模型进⾏预测或者分类.线性回归模型把数据通过画图画出来,如果是下⾯这样的,那么他就适合于线性回归 ,这组数据不属于正态分布,但⽤线性回归的话,就可以很好的进⾏拟合,如果⽤多项式回归的话,那么拟合度会很差.画⼀个拟合曲线观察⼀下,还是⽐较拟合的可以查看这两张图⽚,经过线性回归之后,第⼀张是没有处理的,第⼆张是处理后..观察发⽣了什么变化多项式回归模型根据数据的发展趋势来进⾏来决定,当太过于复杂时,那么多项式回归就不在适合于处理这组数据.多项式回归模型⼀般都是处理正态分布的数据,多项式回归的代码⽐线性回归的就多了⼀⾏polynomial=PolynomialFeatures(degree=2) # 构建多项式回归器对象 # degree是多项式的次数，此处初步的设置为2如果他是这种数据的话,那么多项式回归就适合处理这组数据画⼀个拟合曲线,看⼀下他与这组数据的拟合程度很显然,拟合程度很⾼可以观察这两张图⽚,经过多项式回归之后,第⼀张是没有处理的,第⼆张是处理后..观察发⽣了什么变化周五⼀个读者问我怎么在图中添加异常点 , 我在这篇中带着解释⼀下# 以下加⼊两个异常点，再⽤线性回归器进⾏拟合abnormal_x=[16.5,17.9]abnormal_y=[25.98,24.12]print('x with abnormal point: {}'.format(x)) print('y with abnormal point: {}'.format(y))# 将异常点绘制出来 plt.scatter(abnormal_x,abnormal_y,marker='x',label='abnormal')没有添加异常点之前添加异常点之后,那两个蓝⾊的点就是异常点。
多元回归方程和多项式方程的区别和联系
多元回归方程和多项式方程的区别和联系摘要：1.引言：多元回归方程与多项式方程的背景介绍2.多元回归方程的定义与特点3.多项式方程的定义与特点4.多元回归方程与多项式方程的区别5.多元回归方程与多项式方程的联系6.应用场景与实例分析7.结论：多元回归方程与多项式方程在实际应用中的选择与运用正文：在数据分析、数学建模等领域，多元回归方程和多项式方程是被广泛应用的两种数学表达形式。
它们既有相似之处，又有本质的区别。
本文将详细介绍多元回归方程和多项式方程的区别与联系，并分析它们的适用场景，以便大家在实际应用中做出更加明智的选择。
首先，我们来了解一下多元回归方程。
多元回归方程是一种描述两个或多个变量之间关系的数学模型，通常采用线性组合的形式表示。
其一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ...+ βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、...、βn为回归系数，ε为误差项。
多元回归方程的特点是线性、可解释性强、易于计算。
它适用于自变量与因变量之间存在线性关系的情况。
接下来，我们来看看多项式方程。
多项式方程是描述自变量与因变量之间非线性关系的数学模型，其一般形式为：Y = a0 + a1X1^k1 + a2X2^k2 + ...+ anXn^kn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，a0、a1、...、an为多项式系数，k1、k2、...、kn为多项式次数，ε为误差项。
多项式方程的特点是非线性、可解释性强、拟合效果好。
它适用于自变量与因变量之间存在非线性关系的情况。
那么，多元回归方程与多项式方程的区别在哪里呢？首先，多元回归方程是线性模型，而多项式方程是非线性模型。
其次，多元回归方程的自变量与因变量之间的关系是线性的，而多项式方程可以描述自变量与因变量之间的非线性关系。
此外，多元回归方程的拟合效果较差时，可以考虑使用多项式方程进行拟合，以提高拟合精度。
多元回归与多项式回归
run;
title '2.forward selection';
model y=x1-x3/selection=forwardsle=.05 stb; run;
title '3.stepwise regression';
model y=x1-x3/selection=stepwise sls=.05 sle=.05 stb;
run;
title '4.maximum R-square improvement';
model y=x1-x3/selection=maxr;
run;
title '5.minimum R-sguare improvment';
model y=x1-x3/selection=minr;
run;
title '6.Rsguare method';
1399.98080
Variable Parameter Estimate Standard Error Type II SS F Value Pr > F
Intercept
32.69611
2.05883 2702.68075 252.20 <.0001
x1
0.31430
0.09139
126.75356 11.83 0.0055
Step 2: Variable x1 Entered: R-Square = 0.9135 and C(p) = 2.2944 Analysis of Variance（同 MODEL1 Step1）
No other variable met the 0.05 significance level for entry into the model.
第九章多元回归与多项式回归
正规方程组的解法，与一般方程组的解法相同，已在一般数学教科书中介绍过 ，如行列式法、消元法等。本章将重点介绍求解求逆紧凑法。
1、行列式法 常用于解低元的正规方程组。如二元正规方程组：
SS1b1 SP b2 SP y 12 1 SP21b1 SS2 b2 SP2 y
SS1 SP21
求解求逆紧凑法是在采用矩阵法时却省去了单位矩阵，而将单位 矩阵处的计算结果前移到系数矩阵的位置，而不是附在系数矩阵后。 即在系数矩阵后仍附常数项的列向量，成为一个增广矩阵后用轮消 法消元。最后在系数矩阵处得逆矩阵元素，常数项不变仍为各元之 解。
求解求逆紧凑法的应用步骤
仍以例2资料为例，说明其紧凑法求解求逆计算 （1）列出增广矩阵
A 1 a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32
1
a13 a 23 a 33
1
c11 c 21 c 31
c12 c 22 c 32
c13 c 23 c 33
*
10 7 4 0.380 0.320 0.141 A 即： 1 7 7 3 0.320 0.480 0.040 4 3 4 0.141 0.040 0.423 代入方程（9—8）得：
如：当 l =0，k=1，i=2、3，j=2、3、4时，应用9—9公式可将A(0) 变换成A(1) 10 7 4 4 0.1 0.7 0.4 0.4 A ( 0) 7 7 3 4 → A (1) 0.7 2.1 0.2 1.2 4 3 4 3 0.4 0.2 2.4 1.4 其中各元素的变换是： ①按9.1式将A(0)中待变换的主元素10取倒数得：1/10=0.1 ②按9.2式将A(0)中待变换主行(k=1)除10外，其它元素均被主元素10除得： 7/10=0.7、4/10=0.4、4/10=0.4 ③按9.3式将A(0)中待变换主列(k=1)除10外，其它元素均被主元素10除后改变符 号 得： －7/10=－0.7、－4/10=－0.4 ④按9.4式将A(0)中除主行主列外，其它各元素的变换是：用该元素减去同行同 列中位于与主元素(10)相对应的两元素相乘后被主元素(10)除所得的差。如：i =2， j=2、3、4时，元素7、3、4同行中位于与主元素(10)相对应的元素均为7，同列中 位于与主元素(10)相对应的元素分别为7、4、4。则： 7－7×7/10=2.1 3－7×4/10=0.2 4－7×4/10=1.2 类似地，当i =3，j=2、3、4时，A(0)中元素3、4、3可变换成： 3－4×7/10=0.2 4－4×4/10=2.4 3－4×4/10=1.4
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多元线性回归与多项式回归第九章 多元线性回归与多项式回归直线回归研究的是一个依变量与一个自变量之间的回归问题，但是，在畜禽、水产科学领域的许多实际问题中，影响依变量的自变量往往不止一个，而是多个，比如绵羊的产毛量这一变量同时受到绵羊体重、胸围、体长等多个变量的影响，因此需要进行一个依变量与多个自变量间的回归分析，即多元回归分析（multiple regression analysis ），而其中最为简单、常用并且具有基础性质的是多元线性回归分析（multiple linear regression analysis ），许多非线性回归（non-linear regression ）和多项式回归（polynomial regression ）都可以化为多元线性回归来解决，因而多元线性回归分析有着广泛的应用。
研究多元线性回归分析的思想、方法和原理与直线回归分析基本相同，但是其中要涉及到一些新的概念以及进行更细致的分析，特别是在计算上要比直线回归分析复杂得多，当自变量较多时，需要应用电子计算机进行计算。
aaa第一节 多元线性回归分析多元线性回归分析的基本任务包括：根据依变量与多个自变量的实际观测值建立依变量对多个自变量的多元线性回归方程；检验、分析各个自变量对依自变量的综合线性影响的显著性；检验、分析各个自变量对依变量的单纯线性影响的显著性，选择仅对依变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程；评定各个自变量对依变量影响的相对重要性以及测定最优多元线性回归方程的偏离度等。
一、 多元线性回归方程的建立（一）多元线性回归的数学模型 设依变量y 与自变量1x 、2x 、…、m x 共有n 组实际观测数据：假定依变量y 与自变量x 1、x 2、…、x m 间存在线性关系，其数学模型为：j mj m j j j x x x y εββββ+++++=...22110 （9-1）（j =1,2,…,n ）式中，x 1、x 2、…、x m 为可以观测的一般变量（或为可以观测的随机变量）；y 为可以观测的随机变量，随x 1、x 2、…、x m 而变，受试验误差影响；j ε为相互独立且都服从),0(2σN 的随机变量。
我们可以根据实际观测值对m ββββ、、、、...210以及方差2σ作出估计。
（二）建立线性回归方程 设y 对1x 、2x 、…、m x 的m 元线性回归方程为：m m x b x b x b b y++++= 22110ˆ 其中的0b 、1b 、2b 、…、m b 为m ββββ、、、...210的最小二乘估计值。
即0b 、1b 、2b 、…、m b 应使实际观测值y 与回归估计值yˆ的偏差平方和最小。
令∑=-=nj j j yy Q 12)ˆ( ∑=-----=nj mj m j j j x b x b x b b y 1222110)(Q 为关于0b 、1b 、2b 、…、m b 的m +1元函数。
根据微分学中多元函数求极值的方法，若使Q 达到最小，则应有：∑==------=∂∂n j mj m j j j x b x b x b b y b Q 12211000)(2 ∑==------=∂∂n j mj m j j j ij i x b x b x b b y x b Q 1221100)(2 （i =1、2、…、m ）经整理得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=∑++∑+∑+∑∑=∑++∑+∑+∑∑=∑++∑+∑+∑∑=∑++∑+∑+y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb m m m m m m m m m m m m )( )()()( )( )( )( )()( )( )( )()( )( )( 2221102222211202112211210122110 (9-2)由方程组（9-2）中的第一个方程可得m m x b x b x b y b ----= 22110 (9-3)即 ∑=-=m i i i x b y b 11 ,1 :11∑∑====nj ij i n j j x n x y n y 其中若记,)(12∑=-=n j i ij i x x SS ∑=-=n j j y y y SS 12)(∑==--=n j kik kj i ij ik SP x x x x SP 1))(( ∑=--=nj j i ij io y y x x SP 1))(( （i 、1=k 、2、…、m ；i ≠k ） 并将m m x b x b x b y b ----= 22110分别代入方程组（9-2）中的后m 个方程，经整理可得到关于偏回归系数1b 、2b 、…、m b 的正规方程组（normal equations ）为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0221m12022212110121211SP m m m m m m m m SP b SS b SP b SP b SP b SS b SP SP b SP b SP b SS （9-4）解正规方程组（9-4）即可得偏回归系数1b 、2b 、…、m b 的解，而m m x b x b x b y b ----= 22110于是得到m 元线性回归方程m m x b x b x b b y++++= 22110ˆ m 元线性回归方程的图形为1+m 维空间的一个平面，称为回归平面；0b 称为回归常数项，当1x =2x =…=m x =0时，,0ˆ=y在b 0有实际意义时，0b 表示y 的起始值；i b （i =1、2、…、m ）称为依变量y 对自变量i x 的偏回归系数（partial regression coefficient ），表示除自变量i x 以外的其余1-m 个自变量都固定不变时，自变量i x 每变化一个单位，依变量y 平均变化的单位数值，确切地说，当i b >0时，自变量i x 每增加一个单位，依变量y 平均增加i b 个单位；当i b <0时，自变量x i 每增加一个单位，依变量y 平均减少i b 个单位。
若将m m x b x b x b y b ----= 22110代入上式，则得)()()(ˆ222111m m m x x b x x b x x b y y-++-+-+= （9-5） （9-5）式也为y 对1x 、2x 、…、m x 的m 元线性回归方程。
对于正规方程组（9-4），记⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m m m m m SS SP SP SP SS SP SP SP SS A 2122211121 ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02010 m SP SP SP B 则正规方程组（9-4）可用矩阵形式表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡02010212122211121 m m m m m m m SP SP SP b b b SS SP SP SP SS SP SP SP SS （9-6） 即 B Ab = （9-7）其中A 为正规方程组的系数矩阵、b 为偏回归系数矩阵（列向量）、B为常数项矩阵（列向量）。
设系数矩阵A 的逆矩阵为C 矩阵，即C A =-1，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--mm m m m m m m m m m c c c c c c c c c SS SP SP SP SS SP SP SP SS A C 212222111211121222111211 其中：C 矩阵的元素ij c （i ，j =1、2、…、m ）称为高斯乘数，是多元线性回归分析中显著性检验所需要的。
关于求系数矩阵A 的逆矩阵A -1的方法有多种，如行（或列）的初等变换法等，请参阅线性代数教材，这里就不再赘述。
对于矩阵方程（9-7）求解，有：CBb B A b ==- 1 即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0201021222211121121 m mm m m m m m SP SP SP c c c c c c c c c b b b （9-8） 关于偏回归系数1b 、2b 、…、m b 的解可表示为：0202101m im i i i SP c SP c SP c b +++= （9-9）（i =1、2、…、m ）或者 ∑==mj j ij i sp c b 10而 m m x b x b x b y b ----= 22110【例9.1】 猪的瘦肉量是肉用型猪育种中的重要指标，而影响猪瘦肉量的有猪的眼肌面积、胴体长、膘厚等性状。
设依变量y 为瘦肉量（kg ），自变量1x 为眼肌面积（cm 2），自变量2x 为胴体长（cm ），自变量3x 为膘厚（cm ）。
根据三江猪育种组的54头杂种猪的实测数据资料，经过整理计算，得到如下数据：8722.14 6617.704344.3 4343.94 7002.252966.11SP 2799.76SP 4530.1141511.45SP 2594.6SP 6832.408987.13SS 6041.745SS 2281.846321302010231312321=====-===-=-=====y SS x x x SP SP SS y试建立y 对1x 、2x 、3x 的三元线性回归方程3322110ˆx b x b x b b y+++=。
将上述有关数据代入（9-5）式，得到关于偏回归系数1b 、2b 、3b 的正规方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+=-+2966.118987.131511.452594.62799.761511.456041.7456832.404530.1142594.66832.402281.846321321321b b b b b b b b b用线性代数有关方法求得系数矩阵的逆矩阵如下：1113.8987 45.1511- 6.2594-45.1511- 745.6041 40.6832 6.2594- 40.6832 2281.846 --⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.089707 0.005410 000403.00.005410 0.001671 0.000040-0.000403 0.000040- 001187.0=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211 c c c c c c c c c 根据式（9-8），关于1b 、2b 、3b 的解可表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡302010333231232221131211321 SP SP SP c c c c c c c c c b b b 即关于b 1、b 2、b 3的解为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5545.00617.01282.02966.112799.764530.1140.089707 0.005410 0.0004030.005410 0.001671 000040.00.000403 0.000040- 001187.0321b b b而 3322110x b x b x b y b ---=4344.3)5545.0(4343.940617.07002.251282.08722.14⨯--⨯-⨯-=6552.7=于是得到关于瘦肉量y 与眼肌面积1x 、胴体长2x 、膘厚3x 的三元线性回归方程为：3215545.00617.01282.06552.7ˆx x x y-++= （三）多元线性回归方程的偏离度 以上根据最小二乘法，即使偏差平方和2)ˆ(∑-y y 最小建立了多元线性回归方程。