大学物理之机械振动汇总

讨论 已知t 0, x 0, v0 0 求 0
0 A cos0
0
π 2
v0 A sin 0 0
sin 0 0
取
0
π 2
x
A
x Acos(t π)
2
o
A
v
x
o
xt图
Tt
T 2
例 物体沿x轴作谐振动，在t=0时，其坐标
为x（0）＝－8.50cm、速度为－0.92m/s、加
速度47.2m/s2. 求（1）弹簧振子的频率和周期 （2）初相位和振幅
解： 设 x Acos(t )............(1)
x(0) Acos............(2)
•
x(0) Asin............(3)
••
x(0) 2 Acos............(4)
••
x(0) 23.5(rad / s)
x(0)
T 2 0.27s
a o
T
Baidu Nhomakorabea
t v
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
(t 2 ) (t 1)
2
1
2 1
0同步 x
超前
π 反相 为其它 落后
x
x
o
o
o
t
t
t
例题 已知某简谐振动的 速度与时间的关系 曲线如图所示，试求其振动方程。
tan 0
v0
x0
初相位 也由初 始条件
决定
小结
（1）简谐振动的判据：
① F= － kx
物体受“线性回复力”性质的力
② ③
d2x dt 2
x
A
2x 0
cos(t
0
动力学方程（简谐振动微分方程） ) 运动（振动）方程
（2）对给定振动系统，周期和频率由系统本身性质 决定（固有周期、固有频率）
（3）振幅和初相由初始条件决定
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
t 0
o
A
x0 x
x0 Acos
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
旋转矢量分析速度和加速度
y
vm t π
2
t an
A
O
a
v
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
（广义）振动：任一物理量(如位移、电流、电 场强度、温度等)在某一数值附近周期性变化。
机械振动按照振动的形式分类 振动分类
线性振动
非线性振动
自由振动
受迫振动
受迫振动
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
4-1 简谐振动运动学
d2x kx m dt 2
m k
Ox
2 k m
d2x dt 2
2
x
0
d2x dt 2
2
x
0
其通解为：
简谐振动的微分方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动的运动学方程 v dx A sin(t )
dt
a d2 x A 2 cos(t )
dt 2
二、描述简谐振动的特征量
1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位 移（或角位移）的绝对值。
T 2
频率：单位时间内振动的次数。
1 T
2
角频率： 2 2
T
对弹簧振子 k
m
T 2 m
k
1 k 2 m
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质决 定的。所以叫固有周期、固有频率、固有角频率
动物的心跳（次/分）
大象 猪 松鼠
25~30 马 60~80 兔 380 鲸
40~50 100
•
tan x(0) 0.461 x(0)
155o ＝ 25（o 不符合题意）
A= x(0) 9.4cm
cos
3、几何描述------旋转矢量表示法
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它 振的 幅模A ，等并于使振矢动量的A
在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角
速度 与振动频率
x
x Acos(t )
vm A
v A sin(t )
an A 2 a A2 cos(t )
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
T/4
T/4
一、简谐振动的规律
简谐振动是最简单最基本的线性振动。
简谐振动
合成 复杂振动
分解
1、简谐振动概念：一个作往复运动的物体，如果
其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t
按余弦（或正弦）规律变化的振动。
运动（振动）方程：x Acos(t 0 )
如：弹簧振子模型（理想的谐振动模型）
F kx “线性回复力”
x Acos(t 0 ) v Asin(t 0)
初始条件 t 0, x x0 , v v0
x0 Acos0
v0
Asin0
A
x02
( v0
)2
振幅A由初始 条件决定
2、周期 、频率、角频率
周期T ：物体完成一次全振动（状态重复一次）
所需时间。
Acos(t 0) Acos(t T ) 0
v(cms1)
解：用旋转矢量法 辅助求解
31.4
15.7 0
15.7
1
t(s)
31.4
x Acos(t )
v vm
Asin(t ) vm A 31.4cms1
cos(t
2
)
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
2
由图知 2
23
6
1 s1
A vm 31.4 10cm
3.14 x 10 cos( t )cm
6
t 0
2
o
v
t 1s
4 -2 单摆和复摆(简谐振动动力学)
简谐振动
一 单摆
d2x dt 2
2
x
0
5 时，sin
A
x02
( v0
)2
tan 0
v0
x0
三. 简谐振动的描述方法
1. 解析法 x=Acos( t+0 ),且 A>0
已知表达式 A、T、 0 已知 A、T、 0 表达式
2. 曲线法
m
x A
0 = /2
o
xo
Tt
x0 = 0 已知曲线
-A
A、T、 0
已知 A、T、 0 曲线
曲线反映了三个特征量；任意时刻的位移和速度方向
8
昆虫翅膀振动的 频率（Hz）
雌性蚊子 雄性蚊子 苍蝇 黄蜂
355~415 455~600 330 220
3、相位和初相位 x Acos(t 0 )
t 0 ——相位，决定谐振动物体的运动状态
v Asin(t 0 )
a
d2x dt 2
A2
cos(t
0 )
0 是t =0时刻的位相—初相位
t 0 x0 Acos0 v0 A sin0