逆命题与逆定理教案
初中数学《逆命题与逆定理》教案
初中数学《逆命题与逆定理》教案19.4.逆命题与逆定理3．角平分线教学目的：角平分线定理及逆命题的应用重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用教学过程回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图19．4．4，OC是AOB的平分线，点P是O C上任意一点，PDOA， PEOB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图19．4．5，QDOA ， QEO B，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在AOB的平分线上．分析：为了证明点Q在AOB 的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ ，从而得到AOQ＝BOQ．于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．从图19．4．6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．课堂练习：“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
《逆命题与逆定理》教案
《逆命题与逆定理》教案教学目的1、理解互逆命题与互逆定理；2、正确应用互逆命题与互逆定理；3、线段的垂直平分线定理及逆定理；4、角平分线定理及逆命题的应用．重点与难点区分互逆命题与互逆定理；线段的垂直平分线定理及逆定理的应用；角平分线定理及逆命题的应用．教学过程【一】我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________；结论为____________________________________．因此它的逆命题为_____________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；(2)等边三角形的每个角都等于60°；(3)全等三角形的对应角相等．2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)？试举出几对．课堂小结：总结一下你所学过的知识．【二】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结P A、PB．证明P A＝PB．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图，QA＝QB．求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．于是就有定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．试试看，现在你会证了吗？课堂练习1．如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使P A＝PB．(第1题)2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：AB＋CD＝AD＋BC．（第2题）3．如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：点D在AC的垂直平分线上．课堂小结：总结一下你所学过的知识．【三】回忆：我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段P D和PE完全重合．于是得到PD＝PE．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明．图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥O B，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．课堂练习：1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．2．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE 的平分线上．课堂小结：总结一下你所学过的知识．。
华东师大版八年级数学上册教案：§13.5 逆命题与逆定理
华东师大版八年级数学上册教案：§13.5逆命题与逆定理课题§13.5逆命题与逆定理授课人教学目标知识技能了解互逆命题、互逆定理的概念，知道原命题(定理)与逆命题(定理)的关系．数学思考在探索逆命题、逆定理概念过程中，体会研究问题的方法，感受抽象数学概念的过程．问题解决能写出一个命题(定理)的逆命题，并判断真假．情感态度以问题的解决为中心，树立学生在探索中形成正确表达自己的观点的信心教学重点对互逆命题、互逆定理概念的理解．教学难点判断一个命题(定理)的逆命题(定理)的真假．新授课课时第一课时多媒体课件师生活动设计意图命题是由哪两部分组成的？如何判断一个命题的真假？(师生共同举例分析)回顾旧知，为讲解新知识做铺垫.仔细阅读表中的四个命题并填表：思考：命题(1)和命题(2)；命题(3)和命题(4)的条件和结论分别有什么关系？学生活动，比较这两对命题的共创设情境，激发学生兴趣，引出本节要同点和不同点，引入新课．讨论的内容.活动二：实践探究交流新知【探究1】互逆命题1.师生共同活动：结合上面的表格，得出互逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.举例例1““等边三角形是锐角三角形”的逆命题是__锐角三角形是等边三角形__.例2命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是__两了解互逆命题的概念．互逆定理的概念.角的平分线相等的三角形是等腰三角形__.说明：①互逆命题是指两个命题之间的一种关系，即题设、结论相反，任何命题都有逆命题；②互逆命题是相对的，称其中任何一个命题为原命题，另一个命题就是这个原命题的逆命题；③写一个命题的逆命题时，不能机械地把题设、结论生硬地交换，还应注意语言的表达方式，使叙述的逆命题主语句完整、表意正确；2.举例说明，原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？原命题是假命题，它的逆命题是假命题吗？结论：互逆命题的真假与与命题的正确性无关.【探究2】互逆定理根据互逆命题的概念，你能类似地得出互逆定理的概念吗？举例说明.写出下列定理的逆定理1.两直线平行内错角相等2.平行于同一条直线的两直线平行师生共同举例，得出互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理为互逆定理，或称其中一个是另一个的逆定理.理解互逆定理应注意：①互逆定理是指两个定理之间的一种关系，即题设、结论互换；②互逆定理都是正确的命题，其正确性是经过证明的，同时也可以用来证明其他命题；③任何命题都有逆命题，但是任何定理不一定有逆定理，一个定理的逆命题，只有经过证明它的正确性后，才能上升为原定理的逆定理．活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1(课本P93练习1)先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；(2)等边三角形的每个角都等于60°；(3)全等三角形的对应角相等；(4)如果a＝b，那么a2＝b2.要求学生制成引入新课时的表格．完成上面的题目，这样做具有条理性.例2已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若x＞0，则|x|＝x；③两直线平行，内错角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中1.要求学生先分清命题的两个部分：条件和结论.2.写逆命题时注意语言组织合理.原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B．2个C．3个D．4个[解析] 先分析各命题的结构，交换命题的题设、结论可得原定理的逆命题；再判断逆命题的真假性，从而说明它是否是原定理的逆定理.解答：①逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，这是一个假命题，它不是原定理的逆定理.②逆命题是：若|x|＝x，则x＞0；这是一个假命题，它不是原定理的逆定理.③逆命题是：内错角相等，两直线平行，这是一个真命题，它是原定理的逆定理.④逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，这是一个真命题，它是原定理的逆定理.所以原命题正确的有①②③④，逆命题正确的只有③④，故均为真命题的2个．故选B.教师小结：判定一个定理的逆命题是否能成为逆定理，有两种手段：一是举反例否定它的正确性；二是用推理、证明的方法说明它的正确性．【拓展提升】推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白发展学生的合情推理色，2顶黑色，老师分别给每人戴能力. 上一顶帽子(在各自不知道的情况下)．老师先问丙是否知道头上帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴什么颜色的帽子，并写出推理过程.解：甲戴的白帽子．理由如下：因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子(如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子).因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子(如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的白帽子)．活动四：课堂总结反思【当堂训练】1.说出下列命题的逆命题，并判断其真假：(1)等边三角形是锐角三角形；(2)两个直角必互余；(3)若a＞b，则ac＞bc.2.命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等．其中逆命题为真命题的有几个()A.0B．1C．2D．33.下列命题的逆命题是假命题的是()A.同位角相等B.等腰三角形是等边三角形C.等腰三角形的两个底角相等D.三边对应相等的两个三角形全等回顾与反思1.当堂检测，及时反馈学习效果，巩固命题的概念及构成.2.回顾与反思，起到把握整节课重要1.同学们想一想，今天学习了哪些知识？2.一个命题的逆命题的真假与这个命题的真假有必然的联系吗？布置作业，专题突破课本P93练习第2题．P98习题13.5T1 概念的作用．【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】①[授课流程反思]A.新课导入□B．□情景导入C．□D．□E．□主要是从实例出发来得到互逆命题与互逆定理的概念，发展学生的推理能力. 教学反思进一步提升教师教学能力.②[讲授效果反思]A.重点□B．难点□C．易错点□D．□E．□本节课主要是关注两个概念，互逆命题与互逆定理，把前面所学过的命题或是定理，找出来让学生进行一定量的练习，达到巩固概念的目的．判定逆命题的真假还是举反例或推理证明.③[师生互动反思]本节课以学生活动为主，教师给出命题，学生写出逆命题，然后判断命题的真假.④[习题反思]好题题号当堂训练T1，2，3，例2错题题号。
华师版数学八年级上册教案-第13章 全等三角形-13.5 逆命题与逆定理(3课时)
13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC 于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC ．5 cmD ．不能确定3．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD ＝PE ，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M 作ME ⊥AD 于点E . ∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，ME ⊥AD ， ∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝MC ＝ME .又∵∠B ＝90°，ME ⊥AD ， ∴AM 平分∠DAB .(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ，∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
京改版八年级上册数学《12.9逆命题逆定理》教案
《12.9逆命题、逆定理》教案教学目标一、知识与技能1．理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力．2．掌握勾股定理逆定理的证明，并会运用逆定理判定直角三角形．二、过程与方法通过练习，提高学生的几何语言表达能力；培养学生的作图能力及动手能力。
三、情感态度和价值观让学生在自主参与、合作交流的活动中体验成功的喜悦，树立自信，激发学习。
教学重点理解互逆命题、互逆定理的概念教学难点掌握勾股定理逆定理的证明.教学方法引导法，演示法.课前准备多媒体、课时安排1教学过程一、导入新课1．情境导入游戏：将全班同学分成两组A、B，每组说出一个命题，由另一组说出题设和结论．比一比，看哪组同学说得又快又好．2．课前热身生A：“两直线平行，内错角相等”．生B：题设为“两条直线平行”，结论为“内错角相等”．生B：“内错角相等，两直线平行”．生A：题设为“内错角相等”，结论为“两直线平行”．二、新课学习3．合作探究（1）整体感知①通过两组的竞赛，同学们热情高涨，教师引导对所举命题观察、比较，不难发现有的两个命题之间的关系很特殊：其中一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设．这样的两个命题叫互逆命题．②每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题未必正确，请学生举例说明．③如果一个定理的逆命题也是定理，则这两个定理叫互逆定理．教师举出前两节学习的关于角平分线、线段垂直平分线的两条定理来加深学生的理解．（2）四边互动师：，我们曾学过勾股定理，同学们还记得它的内容吗？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．师：这个命题的逆命题是什么呢？生：如果一个三角形的一条边的平方等于另两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．师：很好．在这里特别要注意．题设中不能出现“斜边、直角边”这些名词．那么，这个逆命题也正确吗？下面我们就一起来证明．哪位同学能画出图形，写出已知、求证？ 生：（略）师：直接证明△ABC 是直角很困难．以前我们常通过全等三角形来证明边、•角相等，现在要证明∠C=90°，也要向这个方向考虑．我们希望有一个Rt △A′B •′C′，∠C′=90°且△ABC ≌△A′B′C′，那么∠C=90°，•如何作出我们所希望的三角形呢？生：构造Rt △A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a ，A′C′=b ．由勾股定理知道，A′B′=22a b =2c =c.根据S ．S ．S ．有，△ABC ≌△A′B′C′.所以，∠C=∠C′=90°师：很精彩．以前我们证明三角形是不是直角三角形，•可以证明三角形有一个内角是90°，或有两条边互相垂直，而勾股定理逆定理提供的判定方法需要通过代数运算“算”出来．通过计算证明几何题也是证明的重要方法．明确 通过勾股定理逆定理的证明，体会到构造法证明的过程，以及利用逆定理来判定直角三角形的方法．4．达标反馈（1）判断题①任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理．（×）②“若x=y，则x2=y2”的逆命题是假命题．（∨）③一个假命题的逆命题一定是错误的．（×）（2）判断由如下三组线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．①a=10，b=24，c=26 （∨）②a=1．5，b=2，c=2．5 （∨）③a=b=22，c=4 （∨）④a=4，b=5，c=6 （×）（3）已知：△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求证：•∠C=90°（提示：通过比较得出c最大，再验证明a2+b2=c2）三、结论总结（1）引导学生作知识总结：①了解原命题与逆命题的关系．②记住并会证明勾股定理的逆定理．③能由三边长判定三角形是不是直角三角形．（2）教师拓展：判定的具体步骤：四、课堂练习见PPT课件五、作业布置1.同步练习：12-42.预习下一节题六、板书设计12.9逆命题、逆定理1.原命题、逆命题的定义2.互逆定理的定义3. 例题讲解。
逆命题与逆定理教案
逆命题与逆定理教案
发布者: 郭静发布时间: 2012-9-20 21:56:22 教学目标:
使学生理解逆命题和逆定理，进一步提高学生的逻辑推理和逻辑表达能力。
教学重点:
命题与逆命题的关系。
教学难点:
提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力
教学过程:
一:复习:
1、命题的定义:
2、命题的结构:
3、命题的真假;
二、新课讲解:
1、复习四中的两个命题的题设和结论互换了一下位置，像这样的两个命题叫做互逆命
题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
例一、写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假 (1)全等三角形的对应边相等;
(2)自然数必为有理数;
(3)若a=b，则a的立方等于b的立方;
(4)若a的绝对值等于b的绝对值，则a=b;
2、定理与逆定理
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，
便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。
三、小结
这节课我们学习了命题与逆命题，知道了他们之间的关系，希望同学们下课之后多做些有关这节课内容的练习题
四、巩固练习
1、课本89页练习的第1、
2、3题;
2、补充题:
写出下列命题的逆命题:
(1)对角线相等的梯形是等腰梯形; (2)若a大于b，则a的平方大于b的平方;
(3)三角形两边之和大于第三边;
五、布置作业
课本94页习题的第1、2题
教学反思:
本节课的内容学生容易理解，但做题时容易做错或是表述不太准确，应要求学生多做些有关练习题。
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
逆命题和逆定理教案浙教版数学八年级上册
2.5 逆命题和逆定理教案讲授新课二、提炼概念在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
上表中，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4）都是互逆命题每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？不一定如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
三、典例精讲例1 说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
解:这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ求证：点Ｐ在线段AB的垂直平分线上证明（1）当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O。
∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（根据什么？）∴PC是AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平行线上可见，线段垂直平分线性质定理的逆定理是真命题。
线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．例2写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。
解逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”这个逆命题是假命题。
举反例如下：如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。
所以这个逆命题是假命题。
定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”这个命题是正确的．已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．求证：△ABC是直角三角形．证明：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD，∵BD=DC，∴∠C=∠DBC，∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，解得∠A+∠C=90°，∴∠ABC=90°．即△ABC是直角三角形．课堂检测四、巩固训练1.下列说法错误的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定为真D．任何命题都是由条件和结论构成的1.B2．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是()A．a＝1，b＝1B．a＝3，b＝4C．a＝－3，b＝4D．a＝－5，b＝22.C3.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理(1)相等的角是内错角；(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．（1）解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；（2）解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．4.说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．课堂小结1．互逆命题两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的________，而第一个命题的_______是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．原命题：如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．2．互逆定理如果一个定理的逆命题能证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．3．线段的垂直平分线性质定理的逆定理．定理：到线段________________的点在线段的垂直平分线上．。
《逆命题、逆定理》word教案 (公开课获奖)2022北师大版
有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
2、通过实例，探究出有理数除法法则。
会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。
重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：a ×b = b ×a (a ×b )×c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt ） 二、合作交流，解读探究 1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。
教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。
同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。
根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b ，其中b ≠0，如果有一个有理数c 使得c ×b=a ，那么我们规定a ÷b=c ，称c 叫做a 除以b 的商。
2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。
数学初二下华东师大版19.4逆命题与逆定理教案
数学初二下华东师大版19.4逆命题与逆定理教案2、正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理教学过程：我们差不多明白，能够判断正确或错误的句子叫做命题、例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”基本上命题、上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置、一般来说，在两个命题中，假如第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题、假如把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题、命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________；结论为____________________________________、因此它的逆命题为_____________________________________________、每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题、然而原命题正确，它的逆命题未必正确、例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题确实是假命题、假如一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理、我们差不多明白命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”基本上定理，因此它们确实是互逆定理、一个假命题的逆命题能够是真命题，甚至能够是定理、例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理、练习1、说出以下命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：〔1〕假如一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；〔2〕等边三角形的每个角都等于60°；〔3〕全等三角形的对应角相等；〔4〕到一个角的两边距离相等的点，在那个角的平分线上；〔5〕线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等、2、举例说明以下命题的逆命题是假命题：〔1〕假如一个整数的个位数字是5，那么那个整数能被5整除；〔2〕假如两个角基本上直角，那么这两个角相等、3、在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子〔即互逆定理〕？试举出几对、课堂小结：总结一下你所学过的知识作业：P81。
逆命题和逆定理作课教案
预设问题：1.什么是命题？由什么组成？2.什么是逆命题、逆定理？3.他们有什么区别？教学过程（一）自探、合探1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件（题设）和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“两条直线平行，内错角相等”题设是，结论是 .命题：“内错角相等，两条直线平行”题设是，结论是 .2、看书110页归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做 .如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 .（二）展示与评价4、每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？5、归纳：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做 .6、用“一定”或“不一定”填空：逆命题、互逆命题是真命题，但逆定理、互逆定理是真命题（三）教师精讲判断下列命题的真假，假命题举反例说明（1）如果a>b, 那么ac>bc（2）内错角相等(四)巩固练习7、把下列命题写成“如果…，那么…”的形式，然后说出题设和结论.（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等边三角形的每个角等于600（3）直角三角形的两个锐角互余8、写出下列命题的逆命题，并判断真假.（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等（3）个位数是5的整数一定可以被5整除（五）本节总结：（1）逆命题、逆定理的概念.（2）能写出一个命题的题设和结论逆命题.（3）会识别两个命题是不是互逆命题.（4）在证明假命题时会用举反例说明.作业设计教学反思12.9 逆命题和逆定理学案（一）自探、合探1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件（题设）和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“两条直线平行，内错角相等”题设是，结论是 .命题：“内错角相等，两条直线平行”题设是，结论是 .2、看书110页归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做 .如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 .（二）展示与评价4、每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？5、归纳：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做 .6、用“一定”或“不一定”填空：逆命题、互逆命题是真命题，但逆定理、互逆定理是真命题（三）教师精讲判断下列命题的真假，若是假命题，请举反例说明.（1）如果a>b, 那么ac>bc（2）内错角相等(四) 巩固练习1、把下列命题写成“如果…，那么…”的形式，然后说出题设和结论.（1）等腰三角形的两个底角相等(2)等边三角形的每个角等于600(3) 直角三角形的两个锐角互余2、写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等（3）个位数是5的整数一定可以被5整除。
19.4.1 逆命题与逆定理教案
吗？并证明你的AB=AC.图1 图2C1，使∠C1 =90°，1ABC≌△A1 B1 C1，从而为等腰三角形，只需要得出哪两个角相：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割）ABC、∠ACB ，一定能确定△ABC为直D.4所在的直线折叠，你会发在这个角的平分线上。
归纳总结：角平分线的性质定理的逆定理的实质是由“线段相：使用角平分线的性质定理的条件是什么？的位置关系是怎样的？有什么关系？为什么？只需要证明哪两个三角形全等即P到∠AOB的两边OA、BCE的平分线相交于点2题3题如图，在△ABC中，∠BD=5cm，则点D到AB4题 5题如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，垂足分别为下列结论中不一定成立的是（A.PA=PBB. POC.OA=OBD.AB如图所示，BE⊥AC中的结论PA=PB AB的中点O，且图1 图2答案：真命题；已知：如图，AC=BC，求证：点的垂直平分线上，证明：如图2，作CD⊥AB交AB”可以得到BE三点表示三个居民区，为了方的两个端点的距离也相等，的两个端点的距离相等吗？的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只需要证明哪两条线段相等即可？：证明线段相等的常用方法有哪些？EA=EF？BD+AD=BC.①线段垂直平分线上任一点到线段的两个端点的距离相等；2题 3题如图所示，在△ABC AB=AC，EDBD=10，则AD=_______.ABE=______，∠EBC=________.的周长为24，则BC=_______..。
初二年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版
《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是 ，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 条件是 ， 结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考命题条件 结论 命题真假⑴两直线平行，同位角相等⑵同位角相等，两直线平行⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b = 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。
《逆命题与逆定理》精品教案
逆命题与逆定理【教学目标】1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
2、了解逆命题、逆定理的概念。
【教学重点、难点】重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明． 【教学过程】一、 回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”列句子是命题的是（ ）A.画∠AOB=45°B. 小于直角的角是锐角吗C.连结CDD. 鸟是动物观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系命题⑶与命题⑷呢归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
命题条件结论命题真假⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b =填表并思考请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。
思考：每个命题都有逆命题吗一个命题的逆命题是真命题还是假命题请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子一个命题经证明是真命题，就可称为定理；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、例题教学1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：(1)两直线平行，同位角相等.(2)同位角相等(3)长方形有两条对称轴。
八年级数学上册 13.5 逆命题与逆定理 13.5.1 逆命题与逆定理教案 (新版)华东师大版
逆命题与逆定理
生活动前面我们学习了命题的概念，谁能说一说什么叫命题？
【说明】通过复习引起学生回忆，巩固命题的概念，同时为本节的学习打下基础．
个角相等．）已知命题“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
你们讲的很好，把你们讲的归纳一下，就是本节课我们
是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
来说，如果说“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等①”为原
处理没有直接采用课本的原题，而是增加了几问
同理，如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一
【说明】及时的练习可以巩固学生刚刚学到的知识，对于一些层次比较好的同学，
教师也可以在这个练习时就提出本题中两个命题的逆命题是真是假？这样可以让
写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，再判断逆命题的真假．
解：命题“全等三角形的面积相等”可写成“如果两个三角形是全等三角形，那么这两它的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形”
它们的面积相等，）注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置．
”
、下列定理有没有逆定理？为什么？
体、三角板、平行四边形卡片模型。
2022年华师大版《逆命题与逆定理3》公开课教案
13.5 逆命题与逆定理第3课时教学目标【知识与能力】掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 【过程与方法】让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度价值观】通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.教学重难点【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.课前准备无教学过程一、创设情景,导入新课角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点,且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折你发现了什么?如何表达,并简述你的证明过程.二、师生互动,探究新知在学生交流发言的根底上,老师板书:角平分线的性质定理,:∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE ⊥OB于E,∴⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.稳固练习教材P98第1题.教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题?学生完成并答复.下面我们一起来证明这个定理,见教材P97.教师指出:角平分线是一条射线,那么这个逆定理应如何表述?,并板书:角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上.稳固练习教材P98第2题.三、随堂练习,稳固新知,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,那么PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定2.如图等腰△ABC中,AC=BC,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,那么DE DF(填=,>或).【答案】2.=四、典例精析,拓展新知【例1】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且BC=8 cm,求△DEC的周长.【答案】因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°,所以DA=DE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),所以DC+DE=DC+DA=AC.在Rt△ABD ≌ Rt△EBD,所以AB=BE.又因为AB=AC,所以AC=BE,所以DC+DE+EC=AC+EC=BE+EC=BC,所以△DEC的周长为8 cm.【教学说明】作意三角形三个角平分线都交于同一点,在后面将学习这一点叫做三角形的内心,设△ABC的内心为I,那么∠BIC=90°+∠A;如图,三条直线l1、l2、l3相交于A、B、C三点,到三条直线距离都相等的点应有4个,即两对角平分线的交点,以及相邻外角平分线的交点.五、运用新知,深化理解【例2】如图,BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:点D在∠BAC的平分线上.【答案】因为BF⊥AC,CE⊥AB,所以∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和CDF中,因为∠BED=∠CFD,∠BED=∠CDF,BD=CD,所以△BDE ≌△CDF,所以DE=DF,所以点D在∠BAC的平分线上.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的根底上教师归纳总结.学生要会证明角平分线性质与判定定理,并会应用这个定理,会证明三角形三条角平分线相交于一点,并会运用这个定理.【教学反思】本节课的教学类比线段垂直平分线的教学,本课时的教学应突出学生的主体性原那么,指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证,相互交流或课堂展示,让学生分享学习的收获,从而激发学生参与的热情,体验成功的快乐.第1课时正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
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19.4.2 等腰三角形的判定主备人：王启彤教学目标 1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边”证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力；2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和解决问题的方法；3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。
教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。
难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。
教学方法教学过程一、预习案1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？二、基础知识探究探究点一等腰三角形的判定定理（重点）问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？答案：∠B=∠C，根据的是等腰三角形的性质定理。
问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论.答案：一定。
已知△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。
因为已知∠B=∠C，没有对应边相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A 点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线，学生可以作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D 或作BC 边上的高AD 等，证明三角形全等，从而推出AB=AC.证明：如图2，作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D.在△BAD 和△CAD 中，因为∠B=∠C, ∠1=∠2,AD=AD,所以△BAD ≌△CAD(A.A.S.).所以AB=AC （全等三角形的对应边相等）.问题3：等腰三角形的判定定理是什么？答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”）问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形.归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰三角形；（2）等腰三角形的判定定理。
探究点二 勾股定理的定理问题1：什么是勾股定理？答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方.问题2：勾股定理的逆命题是什么？答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.问题3：如何证明该命题的正确性？答案：已知：如图3，在△ABC 中，AB=c ，BC=a ，CA=b,且222a b c +=.求证：△ABC 是直角三角形. 图1 图2思路分析：首先构造直角三角形A 1 B 1 C 1 ，使∠C 1 =90°，B 1C 1 =a ，C 1 A 1 =b ，然后可以证明△ABC ≌△A 1 B 1 C 1 ，从而可知△ABC是直角三角形.证明：如图2所示，构造直角三角形A1 B1 C1，使∠C1 =90°，B1 C1 =a，C1 A1 =b；在直角三角形A1 B1 C1中，由勾股定理可得B1 B1 =c; 则在△ABC和△A1 B1 C1中，AB= A1 B1，BC= B1 C1，所以△ABC≌△A1 B1 C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.归纳总结：（1）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的依据；（2）股定理通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.三、知识综合应用例1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形吗？为什么？思考1：想判定△ABD为等腰三角形，只需要得出哪两个角相等即可？思考2：如何利用已知条件得出这两个角相等？思考3：判定三角形为等腰三角形的一般方法是什么？例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数.思考1：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？思考2：连结AC，如何说明△ACD是直角三角形？思考3：勾股定理的逆定理在证明直角三角形时应该怎么用？四、课堂练习1.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.2.三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=6，b=10，c=8；（3）a=1，b=3，c=2.3.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？五、课后作业1.以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的有（）①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图中等腰三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，则△ABC=三角形.4.如图所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，求证：△DBC是等腰三角形.5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠A=∠1；②∠B=∠2=90°；③BC：AC：AB=3：4：5；④∠1=∠2A.1B.2C.3D.419.4.3 角平分线主备人：王启彤教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等，提高逻辑推理能力；2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情，做最佳的自己，激发学习数学的兴趣.教学重点难点重点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用。
难点：角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程。
教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解角平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理吗？3.角平分线性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判定点在角的平分线上？二、基础知识探究探究点一角平分线的性质定理（重点）问题1：如何求直线外一点到直线的距离？答案：过点向直线作垂线段，垂线段的长度即为所求.问题2：如图所示，射线OP是∠AOB的平分线，点C为OP 上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.那么点C到OA的距离是，点C到OB的距离是.问题3：若将图中的∠AOB沿着OC所在的直线折叠，你会发现CD与CE在数量上有什么关系？答案：相等.问题4：你能用逻辑推理的方法证明问题3的结论吗？答案: 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：CD=CE. 证明：因为射线OP是∠AOB的平分线，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO =90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE. 问题5：你能得到什么结论？答案：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.归纳总结：（1）角平分线性质定理中的“距离”是指点到直线的距离.是垂线段的长度，要与点到点的距离区别开；（2）角平分线的性质定理可用于说明两条线段相等.探究点二角平分线的性质定理的逆定理（重点）问题1：角平分线性质定理的逆命题是什么？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.问题2：如图所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，点C 在∠AOB的平分线上吗？为什么？答案：在. 在Rt△DCO和Rt△ECO中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.即点C在∠AOB的平分线上。
问题3：你能得到什么结论？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
归纳总结：角平分线的性质定理的逆定理的实质是由“线段相等”证明“角相等”。
三、知识综合应用例1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC. 4cmD. 5cm思考1：使用角平分线的性质定理的条件是什么？思考2：BC与AC的位置关系是怎样的？思考3：CE与DE有什么关系？为什么？思考4：AE+DE=AE+EC=AC吗？例2.如图所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF与CE相交于点D，BD = CD.求证：点D在∠BAC的平分线上。
思考1：利用角平分线的性质定理的逆定理，我们可以把“点D在∠BAC的平分线上”转化成什么结论？思考2：想要证明DE=DF，只需要证明哪两个三角形全等即可？四、课堂练习1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。
五、课后作业1. ∠AOB的平分线上有一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_______.2.如图所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_____.2题3题3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是______.4.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm.S△ABC4题 5题5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB. PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP6.如图所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于点D，若AB=AC，求证：点D在∠BAC的平分线上。
19.4.4 线段垂直平分线主备人：王启彤教学目标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力。
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情、自动自发、享受成功，提高数学应用意识。
教学重点难点重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。
教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？二、基础知识探究探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？答案：直线；有1条。