逆命题与逆定理教案

19.4.2 等腰三角形的判定

主备人：王启彤

教学目标 1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边”

证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力；

2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和

解决问题的方法；

3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩

证唯物主义观点。

教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。

难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。

教学方法教学过程

一、预习案

1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？

2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？

3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？

二、基础知识探究

探究点一等腰三角形的判定定理（重点）

问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？

答案：∠B=∠C，根据的是等腰

三角形的性质定理。

问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论.

答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C.

求证：AB=AC.

思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。因为已知∠B=∠C，没有对应边

相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线

应从A 点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线，

学生可以作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D 或作BC 边上的高

AD 等，证明三角形全等，从而推出AB=AC.

证明：如图2，作∠BAC 的平分线AD 交

BC 于D.在△BAD 和△CAD 中，因为

∠B=∠C, ∠1=∠2,AD=AD,

所以△BAD ≌△CAD(A.A.S.).所以

AB=AC （全等三角形的对应边相等）.

问题3：等腰三角形的判定定理是什么？

答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边

也相等.（简写成“等角对等边”）

问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？

答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形.

归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即

在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰

三角形；（2）等腰三角形的判定定理。

探究点二 勾股定理的定理

问题1：什么是勾股定理？

答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定

等于斜边长的平方.

问题2：勾股定理的逆命题是什么？

答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，

那么这个三角形是直角三角形.

问题3：如何证明该命题的正确性？

答案：已知：如图3，在△ABC 中，

AB=c ，BC=a ，CA=b,且222a b c +=.

求证：△ABC 是直角三角形. 图1 图2

思路分析：首先构造直角三角形A 1 B 1 C 1 ，使∠C 1 =90°，

B 1

C 1 =a ，C 1 A 1 =b ，然后可以证明△ABC ≌△A 1 B 1 C 1 ，从而

可知△ABC是直角三角形.

证明：如图2所示，构造直角三角形A1 B1 C1，使∠C1 =90°，B1 C1 =a，C1 A1 =b；在直角三角形A1 B1 C1中，由勾股定理可得B1 B1 =c; 则在△ABC和△A1 B1 C1中，AB= A1 B1，BC= B1 C1，所以△ABC≌△A1 B1 C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.

归纳总结：（1）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的依据；（2）股定理通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.

三、知识综合应用

例1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，

△ABD是等腰三角形吗？为什么？

思考1：想判定△ABD为等腰三角形，只需要得出哪两个角相等即可？

思考2：如何利用已知条件得出这两个角相等？

思考3：判定三角形为等腰三角形的一般方法是什么？

例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，

CD=3，AD=1，且∠B=90°，

求∠DAB的度数.

思考1：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？

思考2：连结AC，如何说明△ACD是直角三角形？

思考3：勾股定理的逆定理在证明直角三角形时应该怎么用？

四、课堂练习

1.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ

=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.

2.三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？

（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=6，b=10，c=8；

（3）a=1，b=3，c=2.

3.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？

五、课后作业

1.以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的有（）

①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图中等腰三角形的个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，则△ABC=

三角形.

4.如图所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，求证：△DBC是等腰三角形.

5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）

①∠A=∠1；

②∠B=∠2=90°；

③BC：AC：AB=3：4：5；

④∠1=∠2

A.1

B.2

C.3

D.4