数学物理方程

=

nπ
l
2
,
Xn
=
sin
nπ
l
x
,
n = 1, 2,3...
∑ 一般解为：
u( x, t )
=
∞ n=1
A e−
nπ l
a
2
t
n
sin
nπ x
l
∑ 根据初始条件： u
t=0 =
∞ n=1
An sin
nπ x
l
= bx(l −
x) / l2
∫ An
=
2 l
l 0
bx(l − l2
x
∑ =
8lε π2
∞ k =0
1
(2k +1)2
cos (2k
+1)π at
l
(2k
cos
lT0 hF (l − x), lT0
ut t=0 = 0
[0, h] [h, l ]
习题2：长为l的均匀杆，初始温度为u0，端点x = l 处保持恒温 u0，而另一端x = 0自由冷却，写出边 界条件，并表为定解问题。 解：定解问题
ut − a2uxx = 0
(hu − kux ) |x=0 = hθ , u |x=l = u0
nπ
l
x
+

l
nπ
2
sin
nπ
l
x l 0
=
2a
nπ
∑ f
(x)
=
a 1−
x l

=
2a
π
∞ n=1
1 n
sin
nπ
l
x,
0< x<l
附加题：将函数 f (x) = 1, x ∈ (0,π ) 展开为傅立叶 级数，并使 f (0) = f (l) = 0
解：奇延拓
习题4：试用分离变量法求解细杆导热问题，杆长为l，
两端保持为零度，初始温度分布为 u = bx(l − x) / l2 t=0 解：定解问题为 ut − a2uxx = 0 u |x=0 = 0, u |x=l = 0
u t=0 = bx(l − x) / l2
分离变量后得到本征值和本征函数：
λn
ut = cx + d
t=0 = 0
u(0, 0) = lε , u(l, 0) = −lε
lε
F
lε
F
u(x, t) t=0 = lε (1− 2x / l)
0
l
分离变量后得到本征值和本征函数：
λn
=

nπ
l
2
,
Xn
=
cos
nπ
l
x
,
n = 0,1, 2...
T0 = A0 + B0t,
∑ u
t=0 = An
+
∞ n=1
An
cos
nπ x
l
= lε (1− 2x / l)
∫ An
=
2 l
l 0
lε (1−
2x / l) cos
nπ
l
x
dx
∫ = 2ε
l

nπ
(1− 2x / l )sin nπ x
l
l 0
+
2
nπ
l
sin
0
nπ
x
dx

l
= 2ε
−
2
nπ
l
nπ
Tn
=
An
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at
l
一般解为：
∑ u( x, t )
=
A0
+
B0t
+
∞ n=1

An
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at
l

cos
nπ
l
x
根据初始条件：
∑ ut
t=0 = B0
+
∞ n=1
nπ源自文库a
l
Bn
cos
nπ
l
x
=
0
⇒
Bn
=
0
(n = 0,1, 2...)
(1 −
cos
nπ
)
=
4b
n3π 3
(1 −
cos
nπ
)
最终解可以表达为：
∑∞
u(x,t) =
4b
(1 −
cos
nπ
)e−
nπ a l
2
t
sin
nπ
x
n=1 n3π 3
l
∑ ( ) = 8b ∞
( ) π 3 n=1
1 2k +1
3
e−

(
2
k
+1)π
l
a

2
t
sin
sin α1
≈
tan α1
=
H h
sin α 2
≈
tan α 2
=
l
H −h
u T0
H
α1
α2
0
h
lx
T0
H h
+ T0
l
H −h
=
F
H = h(l − h)F lT0
表为定解问题：
utt − a2uxx = 0
u |x=0 = 0, u |x=a = 0
u
t
=0
=

(l − h)F x,
cos
nπ
l
x

l 0
=
4lε n2π 2
(1 −
cos
nπ
)
n = 1, 2,...
∫ A0
=
1 l
l 0
lε (1−
2x
/ l)dx
=
ε
l
(lx
−
x2 )
l 0
=
0
最终解可以表达为：
∑ u ( x, t )
=
∞ n=1
4lε n2π 2
(1 −
cos
nπ
) cos
nπ at
l
cos
nπ
l
2k +1 π x
l
习题5：长为l的均匀杆，两端受压长度变为 l(1− 2ε ) ，
放手后自由振动，求解杆的振动。
utt − a2uxx = 0
解：定解问题为
u |x=0 = 0, u |x=l = 0 自由端
u(x,t) = lε (1− 2x / l) t =0
待定？
ux
=
F ES
⇒ u(x,t) t =0
x)
sin
nπ
l
x
dx
( ) ∫ =
−
2b l3

l
nπ
lx − x2
cos nπ x
l
l 0
−l
nπ
l
(l
−
2x) cos
nπ
x
dx
0
l
=
2b l3

l
nπ
2
(l
−
2 x) sin
nπ
l
x
−
2
nπ
cos
nπ
l
x l 0
=
4b l3

l
nπ
3
工程数学之三
数理方程习题课
YU ZHAOXIAN 2015.01
习题1：长为 l 的两端固定弦，弦中张力T0，在点 x = h 处以横向力 F 拉弦，达到平衡后放手后任其自 由振动，写出初始条件，并表为定解问题。
解：初始条件显然就是放手瞬间弦的位移和速度：
F
T0 sin α1 + T0 sin α2 = F
∑ ∑ f
(x)
=
∞ n=1
An
sin
nπ
l
x
=
∞ n=1
An
sin nx,
(l = π )
∫ ∫ An
=
2
π
π 0
f
(x) sin nxdx
=
2
π
π
sin nxdx
0
=
2
nπ
(1− cos nπ )
∑ f (x) = 1 = 4 ∞ 1 sin(2k +1)x, 0 < x < π
π k=0 2k +1
u t=0 = u0
其中θ为环境温度，h,k 为常数
习题3：将函数 f (x) = a(1− x / l), x ∈ (0,l) 展开为傅立 叶级数，并使 f (0) = f (l) = 0
解：根据题目条件，对函数作奇延拓，展开为傅里 叶余弦函数
∑ f
(x)
=
∞ n=1
An
sin
nπ
l
x
∫ An
=
2 l
l 0
f
( x) sin
nπ x
l
dx
∫ An
=
2a l
l 0
1 −
x l

sin
nπ
l
x
dx
=
−
2a l
l

nπ
1 −
x l

cos
nπ
l
x
+

l
nπ
2
sin
nπ
l
x l 0
An
=
−
2a l
l

nπ
1 −
x l

cos