命题的四种形式讲解学习
02简易逻辑--命题的四种形式
(1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a≤0.
假命题
否命题: 若 a>0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根.
假命题
逆否命题: 若方程 x2-2x+a=0 无实根, 则 a>0. 真命题
(2)逆命题: 若两个整数都不是偶数, 则这两个整数的乘积为
奇数.
真命题
否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少
“非 p” 假 真 真 形式的复合 假 假 假
假 真 假 真时为真, 其 假 假 假 它情形为假.
命题与 p 的 真假相反;
“p 或 q”形式的复合命题当 时为假, 其它情形为真;
p
与
q
同时为假
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整②. 命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言,
(3)非 p: 四条边相等的四边形不都是正方形.
注: “非 p”的含义有下列三条: (1)“非 p”只否定 p 的结论; (2)“p”与“非 p”的真假必须相反; (3)“非 p”必须包含 p 的所有对立面.
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q;
逆命题: 若 q, 则 p;
否命题: 若p, 则q; 逆否命题: 若q, 则p.
《命题的四种形式》PPT课件
命题:能够判断真假的语句叫做命题.
• 思考下面的命题②③④与命题①有何关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不 相等; ④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不 全等.
②与①互 为逆命题
否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc
逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc ，则 a≤b
2）若x=y，则 x y
真
逆命题：若 x y ，则x=y
假
否命题：若x≠y，则 x y
假
真 真
逆否命题：若 x y ，则x≠y
真
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例3与命题“若m M ，则nM ”等价的
命题是 （ D）
3）真值：命题的否定的真值与原命题 相反 ； 而否命题的真值与原命题 无关 。
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例4、写出下列命题的否定形式及否命题。 1）全等三角形的面积相等 命题的否定：全等三角形的面积不相等
否命题：不全等的三角形面积不相等
2）若 m2 n2 a2 b2 0 ,则实数m、n、a、b全为零 命题的否定：若 m2 n2 a2 b2 0,则实数m、n、
逆命题: 若ab=0,则a=0.
假
否命题:若a≠0,则ab≠0.
假
逆否命题:若ab≠0,则a≠0.
真
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练习1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,
并判断它们的真假.
(1) 若a2>b2,则a>b.
假
逆命题: 若a>b,则a2>b2.
假
否命题:若a2≤b2,则a≤b.
假
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
1.3.2_命题的四种形式
C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 （ Ａ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的 必要不充分 条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 命题： ；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
四种命题 课件
否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
3.知识巩固
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
结论2
原命题的真假和否命题的 真假没有关系。
3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b 真
(1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p”互否 (2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p” 互逆 (3)命题:”若┐q则p”与命题”若┐p则q”互为逆否
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假
原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。假 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。假
3.知识巩固
分别写出下列命题。
数学中的四种命题
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增 时 函数y=ax+b的值随 值的增 的值随 加而增加"改写成" 则 的形式 的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的 真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数 增加, 解答 时 增加 则函数y=ax+b的值也随之 的值也随之 增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有(n-1)个 至少有n 至多有( 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 至多有n 至少有( 个 存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立 成立 不成立
"若p则q"形式的命题 若 则 形式的命题
命题"若整数 是质数 是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具 是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 叫做 通常 我们把这种形式的命题中的p叫做 我们把这种形式的命题中的 命题的条件 叫做命题的结论 条件,q叫做命题的结论. 命题的条件 叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形 则 形式的命题是命题的一种形 式而不是唯一的形式,也可写成 如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式 也可写成"如果 那么q" 只要 就有q"等形式 只要p,就有 等形式. 那么 "只要 就有 等形式. 其中p和 可以是命题也可以不是命题 可以是命题也可以不是命题. 其中 和q可以是命题也可以不是命题
《命题的四种形式》教学案2.doc
1.3.2命题的四种形式教学目标：1.判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题对的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系.教学难点：理解命题对的逆命题、否命题与逆否命题的含义.教学重点：能分析四种命题的相互关系.基础知识•自主学习n知识梳理1.命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及相互关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”)⑴“x2+2x—3<0 "是命题.( )(2)命题"a=¥，则tana=l"的否命题是“若a=；贝lj tan a#l".( )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.( )考点自测1.命题“若［=；则tan 1=1”的逆否命题是( )71A.右a气，贝!j tan 171B.右a=3，贝［J tan 1TTC.右tan 1,则［乂彳兀D.右tan otT^l,贝lj a=~^2.已知命题p：若x= — \,贝。
向量Q=(1, x)与b=(x+2, x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.0B. 2C. 3D. 4题型分类•深度剖析题型一四种命题及真假判断例1 (1)给定下列四个命题：%1若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；%1若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；%1垂直于同一直线的两条直线相互平行；%1若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”跟踪训练1IT 1（1）命题“若a=g,则海0（=矿的逆命题是（）71 1A.右a=亍贝I cos a乂万71 1B.右贝U cos“] 71C.若cos a=万，贝U a=a-H- ] 丸D.右* cos ot乂贝！I ot乂3（2）命题“若x, >都是偶数，则x+丁也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与〉不都是偶数B.若x+丁是偶数，则x与〉都不是偶数C.若x+丁不是偶数，则x与〉不都是偶数D.若x+丁不是偶数，则x与丁都不是偶数思想方法•感悟提高方法与技巧1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.失误与防范1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若〃则0"的形式.练出高分A组专项基础训练（时间：30分钟）1 •下列命题中为真命题的是（）A.命题“若x>y,则x>W'的逆命题B.命题“若X>1,则》2>1，，的否命题C.命题“若x=l,则U+x—2=0”的否命题D.命题"若.r>0,则x>l”的逆否命题2."如果x、］，6R,且?+i；2 = 0,则x、y全为0”的否命题是（）A.若x、且疽+］,2/0,则x、全不为0B.若x、且/+］/2力0,则x、不全为0C.若x、］，6R 且x、］，全为0,则x2+j^2 = 0D.若x、且x、y 不全为0,则x2+_y2^03.下列结论错误的是（）A.命题“若J—3x—4=0,贝»=4”的逆否命题为“若x#4,则盘一3x—4N0"B.“x=4”是"J—3x—4=0”的充分条件C.命题“若m>0,则方程x2+x-w=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+«2 = 0,则m = 0且"=0”的否命题是“若m2+n~^0,则m/0或4.命题“若检〉/,则x>j/'的逆否命题是（）A.“若X<y,则了2勺2"B.“若X>y,则疽>>>2”C."若xWy,则D."若xNy,则检勺声5.给出命题：若函数y=»是慕函数，则函数y=Ax）的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 06.“若aWb,则a&Wbc1”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是.7.有下列几个命题：%1“若泓,贝言对2”的否命题；%1“若x+v=0,则x, V互为相反数”的逆命题；%1“若检<4,则一2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.题型一四种命题及真假判断答案(DD (2)B角学析(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题.(2)将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为"若一个数的平方是正数，则它是负数".思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：%1对于不是“若P，则形式的命题，需先改写；%1若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.自主学习答案：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”)(1)a x* 2 3~\~2x—3<0”是命题.(X )JT JT(2)命题 %=彳，则tana=l”的否命题是“若。
命题的四种形式举例
命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。
命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。
下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。
1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。
例如：“所有猫都是哺乳动物。
”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。
2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。
条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。
前件是条件，后件是结果。
例如：“如果天下雨，那么地会湿。
”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。
3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。
例如：“明天可能会下雨。
”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。
4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。
复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。
例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。
”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。
以上就是四种形式的命题及其举例。
在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。
命题的定义及四种命题(共29张PPT)
课堂小结
定义３：条一件般和结地论，对于两个命题，如果一个
命题否的定
否恰定好是另一个命题的结论的
和条件的
，那么我们把这样的两个命题叫做 逆否命题
互为
．其中一个命题叫做原命题，另一
个命题叫做原命题的逆否命题．
否命题:若┐p,则┐q
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。
否命题：同位角不相等，两直线不平行。
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别 有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 1. （5）3 能被2整除; q 逆命题：若一个整数能被5整除，则这个数的末位数字是0. 若f(x)不是周期函数p，则f(x)不是正弦函数. 4. 若整数a能被2整除，则a是偶数；
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则
q”的形式。
p
q
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题
的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不 是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要 p,就有q”等形式。
“若p则q”形式的命题的书写
对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论 。
条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
”具有（“若p1则q）”的形垂式。 直于同一条直线的两个平面平行；
若x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。 真 如何判断一个语句是不是命题？
(1) 原命题：若一个整数的末位数字是0，则这
个整数能被5整除；
真命题
知识详解：命题的四种形式
命题的四种形式有关命题的四种形式考点，已经在近年许多省市的试卷中出现，往往和其他知识结合起来进行综合考查，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。
学习本知识，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否定，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。
一、知识点精讲1．命题的结构在数学中，具有“若p则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
数学中有一些命题虽然表面上不是“若p则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p则q”的形式。
2．四种命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便。
3．四种命题的形式用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p⌝、q⌝分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p，则q，即p q⇒；逆命题：若q，则p，即q p⇒；否命题：若p⌝则q⌝，即p⌝⇒q⌝；逆否命题：若q⌝则p⌝，即q⌝⇒p⌝。
4．四种命题之间的关系5．四种命题间真假命题的判断一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假说明：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
7．否命题与命题的否定否命题与命题的否定是两个不同的概念，若p 表示命题，“非p ”叫做命题p 的否定。
如果原命题是“若p 则q ”的形式，，那么这个命题的否定是“若p 则非q ”，即只否定结论。
原命题的否定命题是“若非p ，则非q ”，即既否定条件，又否定结论。
二、范例剖析例1将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
（1）正数的平方根不等于0；（2）当2x =时，260x x +-=；分析：首先分清条件p 和结论q ，然后写成“若p 则q ”的形式。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
课件2：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
复习引入
1.命题的定义 (要点：能判断真假的陈述句)．
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题。
判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假 命题。 理解：
1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须 确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句 的真假。
否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ． 否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真．
事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只 有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事， 不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。” 张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又 道：“哎，不该走 的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学原理解释 这两人离去的原因。
否命题： 若x１且x２， 则x２－３x＋２ ０。
逆否命题： 若x2－３x＋２ ０， 则x１且x ２ 。
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写 出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们 的真假：
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．
（真命题） （真命题）
例2.原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 若逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。
（假命题） （假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题. 原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
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成才之路 ·高中若m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命 题的真假．
[解析] ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0， ∴x2＋2x－3m＝0的根的判别式Δ＝12m＋4>0， ∴方程x2＋2x－3m＝0有实数根 ∴原命题为真，∴原命题的逆否命题也为真．
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章 常用逻辑用语
第一章 常用逻辑用语
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第一章 1.3 充分条件、必要条件 与命题的四种形式
第一章 1.3 第2课时
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对四种命题的理解应注意以下两点． (1)原命题是人为规定的，其他三种命题是随之产生的，例 如：原命题：若¬p，则¬q; 逆命题：若¬q，则¬p； 否命题：若p，则q； 逆否命题：若q，则p. (2)要注意区分否命题与命题的否定．否命题是既否定命题 中的条件，又否定命题中的结论；而命题的否定只否定结 论．“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相 等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否定题 是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等”．
第一章 1.3 第2课时
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二 四种命题的关系 1．一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题之间的 相互关系为：
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2．四种命题真假的关系 一般地，四种命题真假有且仅有下面四种情况：
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在商品大战中，广告成了一道美 丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 悉这样的命题变换艺术：“拥有的人 们都幸福，幸福的人们都拥有”．初 听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句 话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭不 希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样巧妙的命题 变换达到了目的.
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命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是 ()
A．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数 B．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数 C．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数 D．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数 [答案] D [解析] 本题考查命题的四种形式，一般的命题：“若p则 q”形式的逆否命题为“若非q则非p”．
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1. 处 理 充 分 条 件 、 必 要 条 件 问 题 时 ， 首 先 __________________，然后__________________．
2．证明“充要条件”的一般步骤：
→
→
→
答案：1.要分清条件和结论 进行推理和判断 2．分清条件 p 和结论 q 证充分性 p⇒q 证必要性 q⇒p 结论 p⇔q
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命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否
命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[答案] B
[解析] 本题考查四种命题以及真假性间的关系．依题
意，注意到题中的命题本身是真命题，其逆命题是假命题，因
第2课时 命题的四种形式
第一章 1.3 第2课时
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1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
第一章 1.3 第2课时
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课前自主预习
第一章 1.3 第2课时
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
第一章 1.3 第2课时
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规律：判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真 假，只需要判断两个命题的真假，因为原命题与其逆否命题互 为逆否命题，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为 逆否命题的两个命题具有相同的真假性．
此其逆否命题是真命题，其否命题也是假命题，选B.
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三 四种命题及其关系的应用 原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题和否命题也是互 为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系． 应用一：逆否命题真假可以通过判断原命题的真假得出， 否命题的真假可以通过判断逆命题的真假得出，因此，要判断 四种命题的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可． 应用二：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所 以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它 的逆否命题为真命题，来间接证明原命同为真命题．
第一章 1.3 第2课时
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一 四种命题的概念 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和 ¬q 分别表示 p 和 q 的否定，则一共可构成四种不同形式的命题． 1．原命题：若 p，则 q； 2．逆命题：条件和结论“换位”，若 q，则 p； 3．否命题：条件和结论“换质”(分别否定)，若¬p，则¬q； 4．逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，若¬q，则 ¬p.