浅谈求极限的方法

浅谈求极限的方法

极限是高等数学中最基本最重要的概念，极限思想贯穿高等数学的全部内容，它是研究问题，分析问题的重要理论基础．因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至无从下手．本文总结了12种常用的求极限的方法，意在广开思路，然后举出三个一题多解的例子，希望这些例题对初学者有所帮助．

1 求极限的方法

1.1 利用斯托兹定理 定理1

[1](57)

P (

∞

∞

型Stolz 公式) 数列{},{}n n x y ，设{}n x 严格递增(即∀n ∈N 有1n n x x +<)，且lim n n x →∞

=+∞，若11lim

n n n n n y y a x x -→∞

--=- (有限数，+∞，或-∞)，则lim n n n

y

a x →∞=．

证 )1( (a 为有限数)目的在于证明:

0,0,ε∀>∃N >当n >N 时，有

n

n

y a x ε-<. ① 记 1

1

n n n n n y y a x x α---≡

--． ②

按已知条件有lim 0n n α→∞

=，即0,0,ε∀>∃N >当n ≥N 时，有2

n ε

α<

． ③

现在的目的在于从③推出①，为此从②解出n y 再代入①，由②得

11()()n n n n n y y a x x α--=++- (再迭代使用此式)

21121()()()()n n n n n n n y a x x a x x αα-----=++-++- =⋅⋅⋅

111()()()()n n n y a x x a x x ααN N+N+N -=++-+⋅⋅⋅++- 1111()()()n n n n n y x x x x a x x ααN N+N+N --=+-+⋅⋅⋅+-+- 两边同时除以n x ，再同时减去a ，得

111

n n n n n n n

x x x x y y ax a x x x ααN+N+N -N N -+⋅⋅⋅+---≤+

22

n n n n y ax y ax x x x x x εεN N N N N

---<+<+

将n 再进一步增大，因n x →+∞，故1∃N >N ，使得1n >N 时有

2

n y ax x ε

N N -<．于是 22

n n y a x εε

ε-<+=． )2( (极限为+∞的情况)因已知11lim

n n n n n y y x x -→∞

--=+∞-，所以1

1

lim 0n n n n n x x y y -→∞--=-，利用(1)中的结

论，只要证明n y 严↗+∞(严格单调上升趋向无穷大)，则有lim

0n n n x y →∞

=，lim n n n

y x →∞=+∞(问题得证)．因

n x 严↗，要证n y 严↗，只要证

1

1

1n n n n y y x x --->-，

事实上， 11lim

n n n n n y y x x -→∞

--=+∞-，所以对1,0M =∃N >，当n >N 时，有1

1

1n n n n y y x x --->-，

即 n >N 时，110n n n n y y x x --->-> ④ 所以当n >N 时， n y 严↗．④式中令1,2,,,n k =N +N +⋅⋅⋅然后相加， 可知k k y y x x N N ->-，令k →∞，知k y →∞，证毕．

)3( (极限-∞的情况) 只要令n n y z =-，即可转化为)2(中的情况．

注 11lim

n n n n n y y x x -→∞

--=∞-，一般推不出lim n n n

y

x →∞=∞，如令n x n =，222{}{0,2,0,4,0,6,}n y =⋅⋅⋅，

这时虽然 1

1

lim

n n n n n y y x x -→∞

--=∞-，

但{

}{0,2,0,4,0,6,}n

n

y x =⋅⋅⋅并不趋向于无穷． 定理2

[1](60)

P (

型Stolz 公式 ) 数列{},{}n n x y ，设n →∞时0n y →，n x 严↘0(严格单调下降趋向零) 若11lim

n n n n n y y a x x -→∞

--=- (有限数，+∞，或-∞)，则lim n n n

y

a x →∞=．

注 定理1是

∞

∞

型，其实只要求分母n x ↗+∞，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．

定理2则是名副其实的

型．因为定理条件要求分子，分母都以0为极限． 例1 1112lim ln n n n

→∞++⋅⋅⋅+ 解 设11

12n y n

=++⋅⋅⋅+，ln n x n =．

显然，n x 严格单调递增，且lim n n x →∞

=+∞，

11lim n n n n n y y x x -→∞--=-1lim ln

1

n n n n →∞-11lim lim 1ln ln(1)11n n n n n n n →∞→∞==+-- 11

lim 111

ln[(1)(1)]

11

n n n n →∞-==++-- 由斯托兹定理1， 1112lim ln n n n

→∞++⋅⋅⋅+1= 例2 求(ln 2)(ln 3)(ln )lim 12n n n

K K K

→∞++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ (K 为正整数)．

解 令(ln 2)(ln 3)(ln )n y n K K K

=++⋅⋅⋅+，12n x n =++⋅⋅⋅+ ，

显然，{}n x 单调递增，且lim n n x →∞

=+∞，

1

1

lim n

n n n n y y x x -→∞--=-()n n n K

∞→ln lim 又1(ln )(ln )!

lim

lim lim 0k k x x x x k x k x x

x -→+∞→+∞→+∞==⋅⋅⋅==，由海涅定理()n n n K

∞→ln lim 0= ，

由斯托兹定理1， (ln 2)(ln 3)(ln )lim 12n n n

K K K

→∞++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+0=

1.2 定义法 定义1

[2](23)

P 数列极限的""N ε-方法 设{}n a 为数列，a 为定数，

lim 0,0,,.n n n a a n a a εε→∞

=⇔∀>∃N >>N -<有

定义2

[2](4244)

P - 函数极限的""N ε-方法 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为定数，

lim ()0,()0,x f x a ε→∞

=A ⇔∀>∃M ≥>使得当x >M 时有()f x ε-A <．