2019届天津市河西区高二上学期期末考试数学理试卷

2018-2019学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）

A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0

B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0

C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0

D．若x2+y2=0，则x，y都不为0

2．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：

①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；

②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；

③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；

④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．

其中正确的个数是（）

A．3 B．2 C．1 D．0

3．准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）

A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）

A．B．C．D．

5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1

8．已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

9．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．

10．已知向量m，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，cos＜m，＞=﹣，则l与α所成的角为．

11．设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，则C的方程为．

12．已知p：x，若p且q为真，则x的取值范围

是．

13．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为．

14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

15．已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．

（Ⅰ）若（k+）∥（﹣3），求实数k的值；

（Ⅱ）若（k+）⊥（﹣3），求实数k的值．

16．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

17．命题p：设c＞0，c≠1，函数y=c x是R上的单调减函数，命题q：1﹣2c＜0，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．

18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|，求C的方程．

19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ

（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦

点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

2018-2019学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1-5：BBCDC6-8：BAB

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

9．∃x0＞0，使得．

10．300

11．．

12．{x|﹣1＜x＜2}．

13．1或3．

14．

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

15．解：已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5），

则k+=（k﹣2，5k+3，5﹣k），﹣3=（7，﹣4，﹣16）

（Ⅰ），若（k+）∥（﹣3），则有==，

解可得：k=﹣，

故k=﹣，

（Ⅱ）若（k+）⊥（﹣3），则有（k+）•（﹣3）=7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，

解可得：k=；

故k=

16．解：把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为，

由此可知实半轴长a=4，虚半轴长b=3，c==5，

焦点坐标（0，﹣5），（0，5），

离心率e==，渐近线方程为y=±x．

17．解：∵函数y=c x是R上的单调减函数，∴0＜c＜1，即p：0＜c＜1，

由1﹣2c＜0得c＞，即q：c＞，

若p∨q是真命题，p∧q是假命题，

∴p，q为一真一假，

若p真q假，则，即0＜c≤，

若p假q真，则，即c＞1，

综上0＜c≤，或c＞1．

18．解：设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，

由P（0，4），得|PQ|=．

又|QF|=x0+=，|QF|=|PQ|，

∴=，解得p=2，或p=﹣2（舍去）．

故C的方程为y2=4x．

19．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；

则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），