第十八讲 广义特征值问题及对称矩阵特征值的极性
线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量
线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量线性代数是数学的一个重要分支领域，广义特征值问题与广义特征向量是线性代数中的关键概念。
本文将介绍广义特征值问题及其相关概念，并探讨其在实际应用中的重要性。
1. 特征值与特征向量在线性代数中，我们常常研究矩阵和向量的性质。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv，其中λ是一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
2. 广义特征值问题在某些情况下，特征值问题的定义需要进行推广，这就引入了广义特征值问题。
广义特征值问题可以被描述为：对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，存在一个矩阵B，使得Av = λBv，其中B是一个非零矩阵，λ是一个常数。
3. 广义特征向量根据广义特征值问题的定义，我们可以定义广义特征向量。
对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果存在一个矩阵B使得Av = λBv，则称v为A的广义特征向量。
4. 广义特征值问题的求解广义特征值问题的求解与特征值问题类似，都需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
通常，我们会使用特征值分解或者广义特征值分解来解决这个问题。
4.1 特征值分解特征值分解将一个矩阵A分解为A = PDP^(-1)的形式，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
对于广义特征值问题，我们可以通过广义特征值分解来求解。
4.2 广义特征值分解广义特征值分解将一个方阵A分解为A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
广义特征值分解的特征值和特征向量满足广义特征值问题的要求。
5. 广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，广义特征值问题被用于描述量子力学中的粒子波函数。
在工程学中，广义特征值问题被用于描述振动和波动现象。
在计算机科学中，广义特征值问题被用于图像处理和模式识别。
总结：线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量是重要的概念，通过对矩阵特征值问题的推广，我们可以解决更多实际问题。
广义特征值
T α 1 β 1T + L + α n β n = E
GEM
，
设 Ai = α i β iT , i = 1,2, L n 则 A = λ1 A1 + L + λ n An 性质: 性质:
(1) Ai2 = Ai
(2) Ai A j = O
i = 1,2, L n
工科研究生数学 --矩阵论
第 1 章 基础知识
吴群 同济大学数学系 wuqun@ Graduate Engineering Mathematics
同济大学数学系
2009-3-22 2009-
1.5 矩阵分解 矩阵分解
1. LR (LU) 分解
定理： 定理：若非奇异阵 A 满足以下二者之一 （1） A的各阶顺序主子式 ） 的各阶顺序主子式
可以三角分解： 且分解是唯一的. 则 A可以三角分解：A = LR 且分解是唯一的 可以三角分解 为单位下三角形， 为可逆上三角形。 其中 L 为单位下三角形，R 为可逆上三角形。
57
GEM
An−1 B 设A= ，An−1 = Ln −1 Rn−1 a nn C
O An−1 B An−1 B E n −1 Q C = −1 −1 a nn O a nn − CAn−1 B − CAn−1 1
E n −1 O Ln −1 O Rn −1 = −1 CAn −1 1 O 1 O
O Rn−1 Ln −1 = −1 CAn−1 Ln −1 1 O
L−1 1 B n− d
GEM
例：设
1 2 3 2 5 1 , A= 3 2 5
线性代数中的广义特征值问题
线性代数中的广义特征值问题线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间和线性变换等概念。
在线性代数的学习中，广义特征值问题是一个重要的概念。
本文将详细介绍广义特征值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、广义特征值的概念在传统的特征值问题中，我们考虑的是一个方阵A的特征值和特征向量。
特征值是一个标量，而特征向量是方阵A乘以该向量等于特征值乘以该向量。
然而，在某些情况下，方阵A可能是非方阵，这时候就需要考虑广义特征值问题。
广义特征值是非方阵的特征值。
设矩阵A为m×n维，特征向量x为n维列向量，特征值λ为标量。
则广义特征值问题可以表示为Ax = λBx，其中B为m维方阵。
为了求解该问题，需要考虑B的非奇异性。
二、广义特征值问题的求解方法解决广义特征值问题的方法有很多，下面介绍几种常用的方法。
1. 通用特征值问题的转化：将广义特征值问题转化为标准特征值问题。
这种方法适用于一些特殊情况，例如B是正定的或者B很接近一个正定矩阵时。
通过对矩阵进行相似变换，可以将广义特征值问题转化为标准特征值问题，从而利用已有的求解方法求解。
2. 修正特征值问题的求解：对于一些特殊的B矩阵，例如对称正定的B矩阵，可以利用修正特征值问题进行求解。
通过将广义特征值问题转化为修正特征值问题，进一步求解得到广义特征值。
3. 广义特征值问题的迭代法：迭代法是一种常用的数值求解方法，对于广义特征值问题也有相应的迭代算法。
例如广义幂法，可以通过迭代的方式逐渐逼近广义特征值问题的解。
三、广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际问题中具有广泛的应用。
以下列举一些常见的应用领域。
1. 物理学中的应用：广义特征值问题在量子力学中有很多的应用。
例如，通过广义特征值问题可以求解量子力学中的能量本征值和波函数等。
2. 工程中的应用：广义特征值问题在结构动力学和振动工程中有着重要的应用。
通过求解广义特征值问题，可以得到结构物的固有频率和振型等信息，从而评估结构物的稳定性和安全性。
§6 广义特征值问题
及非零向量x,使
Ax Bx
(6.1)
或
ABx x
(6.2)
等关系式成立,其中 A [aij ] 为n阶实对称矩阵, B [bij ] 为n阶实对称 正定矩阵.若将矩阵B作对称三角分解,则这类特征值问题可以化为一 般的对称矩阵的特征值问题．
令
L1 A( L1 )T P, LT x y,
(6.5)
(6.6)
(6.4)式便可简写成
Py y.
(6.7)
因A是对称的,据(6.5)式可得
PT [ L1 A( L1 )T ]T L1 A( L1 )T P.
因此,P也是一个对称矩阵.这样,广义特征值问题(6.1)就化为一个对 称矩阵的特征值问题(6.7). 矩阵P的特征值 就是所要求的特征 值.但是,矩阵P的特征向量y则并不是原问题的特征向量.据(6.6)式 可知原问题的特征向量为
(6.8)
其次,还得计算矩阵
P L1 A( L1 )T
为此,先把它改写成
L1 A PLT ,
(6.9)
并令
L1 A X ,
即
L X A.
(6.10)
T 从而便可将(6.9)式写成 PL X .
(6.11)
这样,计算P分成二步:先由(6.10)式计算X,后据(6.11)式计算P． 由(6.10)式所确定的矩阵X一般是非对称的.但对于计算对称矩阵
k 1 k i i 1 j 1
xij
aij lik xkj
k 1
i 1
, i j.
(6.12)
l jj
,
i 1, , n, j i, , n.
广义特征值问题的求解方法
广义特征值问题的求解方法广义特征值问题是数学领域中的一个重要的问题，它在许多领域中都有着广泛的应用，如化学、物理、工程、金融等领域。
而求解广义特征值问题也有着多种方法，本文将从理论和实践两个方面来探讨广义特征值问题的求解方法。
一、理论方面1.1 基本概念广义特征值问题是解决形如Ax=λBx的问题，其中A和B均为n维实对称矩阵，x为n维向量，λ为待求的广义特征值。
当B为单位矩阵时，即A为普通特征值问题。
广义特征值问题与普通特征值问题相比，其解的包容性更强，更适用于复杂的实际问题。
1.2 特征值的性质广义特征值问题中的λ和x存在着多种性质。
首先，λ一般为复数，且具有二次代数方程的性质。
其次，x一般是正交矩阵的列向量，即任意两个列向量的点积为0，与单位矩阵的乘积等于其本身。
这也使得求解广义特征值问题能够采用正交化方法，即将矩阵A和B进行正交分解，得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵Q，其中D的主对角线上的元素即为广义特征值，Q的列向量即为对应的广义特征向量。
1.3 求解方法广义特征值问题的求解方法主要有几种，包括迭代法、变形法、分解法、约减法等。
其中，迭代法是一种基于计算机的数值方法，能够通过收敛迭代来求解广义特征值和广义特征向量。
变形法和分解法则是基于代数和几何关系的方法，能够通过变形和分解来简化问题，进而求解广义特征值问题。
约减法则是基于矩阵特征的方法，能够通过矩阵的特征值和特征向量进行约减，将问题的规模降低到可解范围。
二、实践方面2.1 应用领域广义特征值问题在实际应用中有着广泛的应用领域。
在化学中，它可以用于研究分子的振动频率和各种化学反应的性质；在物理中，它可以用于研究材料的物理特性和电路的运行特性等；在工程中，它可以用于研究建筑结构的稳定性和机器组件的强度等；在金融领域中，它可以用于研究金融市场的风险特性和投资策略的优化等。
2.2 实际案例广义特征值问题在实践中的应用也有着很多的案例。
比如，在物理中，研究由离子织成的晶体结构时，就需要求解晶体的振动频率，以决定其稳定性。
第十八讲 广义特征值问题及对称矩阵特征值的极性
Sy y 。
于是广义特征值问题等价地转化为对称 矩阵 S 的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题3、特征向 Nhomakorabea的共轭性
定义 2、若向量系 x1, , xn 满足
xiT
Bx j
0 1
i j i j
(2)
则称为按 B 标准正交化向量系。(2)的第一式
小极大性质：
k
min[max Vk 0 xVk
R( x)] ，
称此式为特征值的极小极大原理，
nk 1
max[ min Vk 0 xVk
R(x)] ，
称此式为特征值的极大极小原理。
二、 对称矩阵特征值的极性
推论 1、把定理 5 中的“广义特征值问题
Ax Bx ”换为“实对称矩阵 A ”结论成立。
称作 B 正交（共轭）条件。
一、 广义特征值问题
按 B 标准正交化向量系 x1, , xn 具有以 下性质：
性质 1、 xi 0 (i 1, 2, , n) 性质 2、 x1, , xn 线性无关。
二、 对称矩阵特征值的极性
1、实对称矩阵Rayleigh商的极性
定义 3：设 A 是 n 阶实对称矩阵，x Rn ， 称
R(x)
xT Ax xT x
，
x
0
为矩阵 A 的 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
性质： 1） R( x)是 x 的连续函数。
2） R ， 0 ， R( x) R( x) 。
3） x L(x0 ) ( x0 0) 时， R( x)是一常数。 4） R( x)的最大值和最小值存在，且能 够在单位球面 S {x | x Rn, x 1}上达到。
中科院矩阵分析_第五章
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。
这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。
5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。
广义对称矩阵的定义
广义对称矩阵的定义
广义对称矩阵是一种特殊的矩阵，它具有对称性和正定性的特点。
在数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广义对称矩阵则是其中的一种重要类型。
广义对称矩阵的定义是指，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正定矩阵B，使得B^-1AB是对称矩阵，那么A就是广义对称矩阵。
其中，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身。
广义对称矩阵的性质非常重要，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
首先，广义对称矩阵具有正定性，这意味着它们的所有特征值都是正数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以保证最小值是存在的。
广义对称矩阵具有对称性，这意味着它们的转置等于它们本身。
这个性质在物理学中非常有用，因为它可以保证物理系统的能量守恒。
广义对称矩阵还具有一些其他的性质，比如它们的特征向量是正交的，它们的逆矩阵也是广义对称矩阵等等。
这些性质使得广义对称矩阵在数学和物理学中都有广泛的应用。
广义对称矩阵是一种非常重要的数学工具，它们具有对称性和正定性的特点，这些性质在数学和物理学中都有广泛的应用。
研究广义对称矩阵的性质和应用，对于深入理解数学和物理学都非常有帮助。
广义特征值问题与特征分解
广义特征值问题与特征分解广义特征值问题与特征分解是线性代数领域中的重要概念和问题。
在很多实际应用中，我们经常需要求解矩阵的特征值和特征向量，而广义特征值问题和特征分解提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在介绍广义特征值问题之前，我们先来回顾一下特征值和特征向量的定义。
对于一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值问题的求解相当于求解矩阵A的特征根和特征向量。
然而，在某些情况下，我们需要考虑广义特征值问题，即求解形式为(A-λB)x=0的特征值和特征向量。
其中，A和B都是n×n的方阵，A和B不一定对称，特征值λ和特征向量x是待求解的量。
广义特征值问题可以看作是特征值问题在不同内积定义下的推广。
对于广义特征值问题的求解，一种常用的方法是通过特征分解来实现。
特征分解是将一个矩阵分解成特征值和特征向量的形式，常用于矩阵的对角化和相似变换。
对于方阵A和B，特征分解的形式可以表示为A=XΛX^(-1)和B=XΓX^(-1)，其中X是一个可逆矩阵，Λ和Γ是对角矩阵，对角线上的元素分别是A和B的特征值。
利用特征分解，我们可以将广义特征值问题转化为普通特征值问题，进而求解特征值和特征向量。
特征分解在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在机器学习领域中，特征分解可以用于主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等方法，用于数据降维和特征提取。
在物理学中，特征分解可以用于矩阵近似和求解量子力学问题。
另外，特征分解还可以应用于信号处理、图像处理和网络分析等领域。
总结起来，广义特征值问题与特征分解是线性代数中的重要内容，对于矩阵特征值和特征向量的求解提供了有力的工具和方法。
通过特征分解，我们可以将广义特征值问题转化为普通特征值问题，简化求解过程。
特征分解在各个领域都有广泛应用，对于解决实际问题具有重要意义。
（此为1500字文章，如有需要可适当增加字数）。
矩阵特征值ppt课件
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 )1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
(2 ) 12 nA .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
3edet思考题思考题解答相似矩阵一相似矩阵与相似变换的概念二相似矩阵与相似变换的性质三利用相似变换将方阵对角化一相似矩阵与相似变换的概念对称性传递性利用上述结论可以很方便地计算矩阵a定理证明与对角矩阵相似的情形只证明adiagapapapapapap说明如果阶矩阵与对角阵相似
矩阵的特征值及特征向量
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 .
k 1 ,2 , ,m 1
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm1
2
m 210 ,0 , ,0
1 m m m1
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
1 2 x 0 ,
由 1于 20 ,则x0, 与定义矛盾.
.
18
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n阶方阵，其特征多项式为 f A E A n a n 1 n 1 a 1 a 0
求AT的特征多项. 式
解 fA TE A T
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
线性代数中的广义特征值问题与奇异值问题
线性代数中的广义特征值问题与奇异值问题在线性代数学科中，广义特征值问题和奇异值问题都是重要的概念和研究领域。
它们在数学、物理学、工程学等众多领域都有广泛的应用。
本文将介绍广义特征值问题和奇异值问题的概念、性质以及应用，并探讨它们在实际问题中的重要性。
一、广义特征值问题广义特征值问题是指在给定线性变换下，寻找一个非零向量，使得该向量在变换后与原向量之间存在一个非零比例。
换句话说，我们要找到一个向量和一个数，满足一个齐次线性方程组的解。
广义特征值问题可以表示为Ax = λBx，其中A和B是已知的两个矩阵，x是未知的非零向量，λ是未知的数。
广义特征值问题在许多实际问题中有着重要的应用。
例如，在物理学中，广义特征值问题与量子力学的研究密切相关。
在工程学中，广义特征值问题用于分析结构的振动频率和振动模态等问题。
此外，广义特征值问题还在信号处理、图像处理等领域中被广泛应用。
二、奇异值问题奇异值问题是指矩阵分解的一种形式，它将一个任意形状的矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T。
在这个分解中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角线上有奇异值的矩阵。
奇异值问题是线性代数中的核心问题之一，也是许多其他重要问题的基础。
奇异值问题在数据处理和模型分析中扮演着重要角色。
例如，在图像处理中，奇异值分解可以用于压缩图像和去噪图像。
在统计学中，奇异值问题可以用于主成分分析和线性回归等问题。
此外，奇异值问题还在机器学习、信号处理等领域中被广泛应用。
三、广义特征值问题与奇异值问题的关系广义特征值问题和奇异值问题在某种程度上是相关的。
事实上，当矩阵A和B都是对称矩阵时，广义特征值问题可以归结为奇异值问题。
此外，广义特征值问题和奇异值问题都可以通过特征分解和奇异值分解的方法来求解。
广义特征值问题和奇异值问题在理论和应用上都有深入的研究。
它们的解法和性质对于解决实际问题具有重要意义。
通过研究广义特征值问题和奇异值问题，我们可以深入了解和应用线性代数在科学和工程领域中的实际应用。
第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性
1 2 n ．
定理 2 设 A (aij ) C nn ， A 的特征值为 k (k 1,2,n) ，则
| k | n max | aij | ，
i, j
| Re k | n max | bij | ，
i, j
| Im k | n max | cij | ．
定理 8（圆盘定理 1） 设 A (aij ) C nn ，则 A 的一切 特征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值 满足
S Si ．
i 1
n
设 为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x 0) ，即 Ax x ，写成分量形式为 证明
解
A AH 0 ， 设 A 的 特 征 值 为 k (k 1,2,3) ， B 2
A AH C A ．则由定理 2 得 2 | k | 3 max | aij | 0.6 ，
i, j
| Re k | 3 max | bij | 0 ，
i, j
| Im k | 3 max | cij | 0.6 ．
A AH A AH B (bij ) ， C (cij ) ， 2 2 则 B 为 Hermite 矩阵， C 为反 Hermite 矩阵，且 A B C ．
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
则有
x H Ax k x H x k ．
取共轭转置得
x H AH x k ，
于是
A AH Re k xH x x H Bx ， 2 2 H k k H A A i Imk x x x H Cx ． 2 2
矩阵论中的广义特征值问题研究
矩阵论中的广义特征值问题研究矩阵论作为现代代数学的一个重要分支，研究的是关于矩阵的性质和矩阵运算的规律。
其中，广义特征值问题是矩阵论中的一个重要议题。
本文将探讨广义特征值问题的定义、求解方法以及其在实际应用中的作用。
一、广义特征值问题的定义在矩阵论中，一般的特征值问题是指求解方阵A的特征值和特征向量。
而广义特征值问题则是在一般的特征值问题基础上引入了矩阵B，求解的是广义特征值和广义特征向量。
具体而言，给定两个n阶矩阵A和B，广义特征值问题可以表示为：Ax = λBx其中，x为非零向量，λ为广义特征值。
如果存在一个非零向量x和对应的广义特征值λ，满足上述等式，则称x为A和B的广义特征向量和广义特征值。
二、求解广义特征值问题的方法为了求解广义特征值问题，我们需要利用矩阵分解和特征值分析的方法。
以下介绍两种常用的求解方法。
1. 广义特征值问题的化简方法通常情况下，我们可以通过矩阵的相似变换将广义特征值问题转化为一般的特征值问题。
具体步骤如下：步骤一：对矩阵B进行特征值分解，得到矩阵B的特征值和特征向量。
步骤二：将B特征向量作为基，对矩阵A进行相似变换。
步骤三：转化后的矩阵A即为一般的特征值问题，进行求解即可得到广义特征值和广义特征向量。
2. 广义特征值问题的广义奇异值分解方法广义奇异值分解是求解广义特征值问题的一种有效方法，适用于非对称矩阵或奇异矩阵的情况。
具体步骤如下：步骤一：对矩阵A和B同时进行广义奇异值分解。
步骤二：根据广义奇异值分解的结果，得到广义特征值和广义特征向量。
根据以上求解方法，我们可以有效地解决广义特征值问题，从而获得矩阵A和B的广义特征值和广义特征向量。
三、广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际应用中有着广泛的应用。
下面介绍一些典型的应用场景。
1. 工程结构振动分析广义特征值问题可用于工程结构的振动分析。
通过求解广义特征值问题，可以确定结构的固有频率和振型，从而评估结构的稳定性和抗震性能。
对称矩阵的特征值问题-华东师范大学数学系
ik I cos θk · · · − sin θk . . .. . . . . . sin θk · · · cos θk I jk
Jk = G(ik , jk , θk ) =
ik jk
4/102
引理 设 A ∈ R2×2 是对称矩阵, 则存在 Givens 变换 G ∈ R2×2 使得 GT AG 为对角阵. (板书)
12/102
12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20:
s=c·t A = G(i, j, θ)T AG(i, j, θ) if shif t = 1 then J = J · G(i, j, θ) end if end if end for end for end while
3/102
1
Jacobi 迭代
基本思想: 通过一系列的 Jacobi 旋转 将 A 正交相似于一个对角矩阵: A(0) = A,
T (k) A(k+1) = Jk A Jk ,
k = 0, 1, . . . ,
且 A(k) 收敛到一个对角矩阵, 其中 Jk 为 Jacobi 旋转, 即 Givens 变换:
6/102
算法 1.1 Jacobi 迭代算法
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:
Given a symmetric matrix A ∈ Rn×n if eigenvectors are desired then set J = I and shif t = 1 end if while not converge do choose an index pair (i, j ) such that aij ̸= 0 τ = (aii − ajj )/(2aij ) √ t = sign(τ )/(|τ | + 1 + τ 2 ) % 计算 tan θ √ c = 1/ 1 + t2 , s = c · t % 计算 Givens 变换 A = G(i, j, θ)T AG(i, j, θ) % 实际计算时不需要做矩阵乘积 if shif t = 1 then J = J · G(i, j, θ) end if end while
特征值问题和对称矩阵
特征值问题和对称矩阵特征值问题和对称矩阵在线性代数和数值分析中具有重要的地位和应用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨特征值问题和对称矩阵。
一、特征值问题介绍特征值问题是线性代数中一个重要的问题，它涉及到矩阵的特征值和特征向量。
对于一个给定的n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值问题在很多领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学等。
在物理学中，特征值问题可以用于描述量子力学中的能级问题；在工程学中，特征值问题可以用于求解结构振动问题；在计算机科学中，特征值问题可以用于图像处理和模式识别等领域。
二、对称矩阵及其性质对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的方阵。
具体而言，对于一个给定的n阶方阵A，如果A^T = A，那么矩阵A就是对称矩阵。
对称矩阵具有很多重要的性质。
首先，对称矩阵的特征值都是实数。
其次，对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
这些性质使得对称矩阵在实际问题中有很大的应用价值。
三、特征值问题的求解方法特征值问题的求解方法主要分为精确求解和近似求解两种。
1. 精确求解方法精确求解特征值问题的方法有很多，其中最常用的是特征值分解方法。
特征值分解是将一个矩阵分解成特征值和特征向量的形式。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵的所有特征值和对应的特征向量。
特征值分解在理论上是完美的，但在实际计算中往往遇到困难。
因为对于大规模的矩阵来说，特征值分解计算量很大，需要较长的计算时间和较大的存储空间。
2. 近似求解方法由于精确求解特征值问题的方法在实际应用中受到限制，近似求解方法被广泛采用。
近似求解特征值问题的方法主要包括幂迭代法、反幂迭代法、QR迭代法等。
幂迭代法是一种简单有效的求解特征值问题的方法，它通过不断迭代计算来逼近矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂迭代法的原理是利用矩阵乘法的性质，将初始向量不断与矩阵相乘，从而得到越来越接近最大特征值的值。
实对称矩阵特征值的最大值与最小值引理
实对称矩阵特征值的最大值与最小值引理大家好，今天我们来聊聊实对称矩阵特征值的最大值与最小值引理。
别担心，听起来有点学术，但其实并不难懂。
咱们要知道什么是实对称矩阵。
这可不是个什么高深的数学名词，它就是一类特别的矩阵。
简单来说，实对称矩阵的特点就是“对称”，也就是说，矩阵的元素对角线两边是一样的。
如果你看一下像这样的矩阵，你就会发现对角线两边是对称的，像镜子里反射出来的那样。
这么说，你应该能想象出，它跟普通的矩阵比，给人的感觉就像是有点“优雅”又“稳重”对吧。
它不像那些乱七八糟的矩阵，没个规律，特对称，格外简洁，简直是数学世界里的“优等生”。
咱们今天的重点是这个实对称矩阵的“特征值”。
可能你会想，什么是特征值呢？特征值就像是矩阵的“指纹”，是矩阵最有代表性的东西。
特征值不但能告诉你这个矩阵的“性格”，还会影响到它如何变换空间。
其实简单来说，特征值就好像是你和我之间的关系。
就像你每个人都有自己的特点，矩阵也有自己的特征值。
想象一下，这些特征值就好像是矩阵的DNA，决定了它如何影响我们周围的世界。
所以，实对称矩阵的特征值不仅仅是数字，它们还是能揭示出一些数学的奥秘。
好啦，不废话，今天我们要讲的那个“引理”就特别有意思了。
这就是所谓的“特征值的最大值与最小值引理”。
它基本上是告诉我们，实对称矩阵的特征值有一个非常有趣的性质：矩阵的最大特征值和最小特征值之间有某种关系，而这个关系可以帮助我们更好地理解矩阵的行为。
换句话说，这个引理就像是个“秘密武器”，一旦掌握了，你就能轻松地推算出矩阵的某些特性，就像有了火眼金睛一样，轻松看透。
你有没有想过，实对称矩阵的最大值和最小值究竟是怎么回事？在数学上，矩阵的特征值并不是随便什么数都有的。
它们是经过严密计算出来的，就像是给矩阵“量体裁衣”一样。
每个特征值的大小，反映了这个矩阵在某个方向上对空间的“拉伸”或“压缩”程度。
而这个引理告诉我们，无论你怎么搞，最大特征值和最小特征值之间有个底线，基本上它们俩的关系像是一对“永远不离不弃”的老搭档。
矩阵论-- 广义特征值与极大极小原理
第二十一讲 广义特征值与极小极大原理一、 广义特征值问题1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程Ax Bx =λ存在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。
● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。
● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解()A B x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-=→ 特征方程 ()det A B 0-λ=求得λ后代回原方程Ax Bx =λ可求出x本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。
2、等价表述（1） B 正定，1B -存在 →1B Ax x -=λ，广义特征值问题化为了标准特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。
（2） B 厄米，存在Cholesky 分解，H B GG =，G 满秩 H Ax GG x =λ 令H G x y = 则 ()11H G A Gy y --=λ 也成为标准特征值问题。
()11H G A G--为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排列12n λ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在12n y ,y ,y 满足()11H i i G A Gy y --=λH i j ij1i jy y 0i j=⎧=δ=⎨≠⎩ 还原为()1Hi i x G y -= (i=1,2, ,n)，则()()H H HH ij ij ij ij 1i jy y x G G x x Bx 0i j=⎧===δ=⎨≠⎩ （带权正交）二、 瑞利商A 、B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()H H x AxR x x 0x Bx =≠为A相对于B 的瑞利商。
12n x ,x ,x 线性无关，所以，n x C ∀∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使得 ni i i 1x a x ==∑Hnn n n2HHi i i j j j i j i i 1j 1i,j 1i 1x Bx a x B a x a a x Bx a ====⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑n n n2HHH i i j ij j ii j i i i,j 1i,j 1i 1x Ax a a x Ax a a x Bx a =====λ=λ∑∑∑∴ ()n2i ii 1n2ii 1a R x a ==λ=∑∑●()1x 0minR x ≠=λ ()n x 0maxR x ≠=λ证明：()()()()()HHHH kx A kx x Ax R x x Bx kx B kx == k 为非零常数 可取1k x=， kx 1=∴ ()H Hx 1x AxR x x Bx== （闭区域）当1x x =或()i a 0i 2,3,,n == 时，()1R x =λ i 1λ≥λ ()n2i i 111n2ii 1a R x a==≥λ=λ∑∑∴()1x 0minR x ≠=λ另一方面，i n λ≤λ ()n2i i 1n n n2ii 1a R x a==≤λ=λ∑∑∴ ()n x 0maxR x ≠=λ[证毕] 当B ＝I 时，标准特征值问题 A x x =λ （H A A =）12nHi j ijx x λ≤λ≤≤λ⎧⎨=δ⎩ 则 ()H 1H x 0x Ax min x x ≠=λ ()H n H x 0x Axmax x x≠=λ进一步分析可得()12x 0a 0minR x ≠==λ ()n n 1x 0a 0max R x -≠==λ()12k k 1x 0a a a 0minR x +≠=====λ ()n n 1n k n k 1x 0a a a 0max R x ----≠=====λ定理1.设{}r r 1s L span x ,x ,,x += ()r r 1s +λ≤λ≤≤λ ,则 ()r x 0x LminR x ≠∈=λ ()s x 0x Lmax R x ≠∈=λ这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于i x 的一种表达方式。
计算实对称矩阵广义特征值问题的并行算法
计算实对称矩阵广义特征值问题的并行算法
魏立峰;李晓梅
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2001(037)011
【摘要】矩阵广义特征值问题是科学计算与工程应用中的一个重要的研究课题.文章探讨了近年来计算对称矩阵广义特征值问题的并行算法,并着重介绍了二分法、分治算法、同伦连续法和迭代算法.
【总页数】3页(P4-5,105)
【作者】魏立峰;李晓梅
【作者单位】国防科技大学计算机学院;国防科技大学计算机学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.广义特征值问题与两线性流形之间夹角的计算 [J], 张圣贵
2.非对称广义特征值问题的并行算法 [J], 谢敖文;曾孟佳
3.实对称矩阵束广义特征值逆问题及其最佳逼近 [J], 吴筑筑
4.实对称矩阵广义特征值反问题 [J], 戴华
5.广义特征值问题的EBE－Lanczos并行算法 [J], 周树荃;邓绍忠
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于 是 (1) 式 可 写 为 Ax GGT x ， 令
y GT x，则有 x (GT )1 y (G1 )T y ，代入 上式得
A(G1 )T y Gy ，即 G1 A(G1 )T y y 。
1 r s n ，则有
min x0
R(
x)
r
，
max x0
R(
x)
s
。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 3、（ Couanrt hrFsei
）设实对称
矩阵 A 的特征值按 1 2 n 的次序排 列，则 A 的第 k 个特征值
k
min max{xT Ax Vk
xபைடு நூலகம்Vk ,
x
2
1}，
其 中 Vk 是 Rn 的 任 意 一 个 k 维 子 空 间 ，
1 k n。
二、 对称矩阵特征值的极性
2、广义特征值的极小极大原理
定义 4、设 A 、B 为 n 阶实对称矩阵，且
B 正定， x Rn 。称
R(x)
xT xT
Ax Bx
，
x
0
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 4、非零向量 x0 是 R( x)的驻点的充
推 论 2 、 设 Vnk 1 是 Rn 的 任 意 一 个 n k 1维子空间，则定理 5 或推论 1 的结论
可写成如下形式：
k
max[ min R(x)] ， Vnk1 0 xVnk1
nk 1
min[ max
Vnk1 0 xVnk1
R(x)] 。
第十八讲
广义特征值问题及 对称矩阵特征值的极性
一、 广义特征值问题
1、定义
定义 1、设 A 、 B 都是 n 阶实对称方阵，
且 B 为正定的，求数 C 使方程
Ax Bx
(1)
有非零解 x C n 。 称形如(1)的特征值问题
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义特征值问题，
简称为广义特征值问题；称满足(1)式要求的
称作 B 正交（共轭）条件。
一、 广义特征值问题
按 B 标准正交化向量系 x1, , xn 具有以 下性质：
性质 1、 xi 0 (i 1, 2, , n) 性质 2、 x1, , xn 线性无关。
二、 对称矩阵特征值的极性
1、实对称矩阵Rayleigh商的极性
定义 3：设 A 是 n 阶实对称矩阵，x Rn ， 称
要条件是 x0 为 Ax Bx 的属于特征值 的特
征向量。
推论：若 x 是 Ax Bx 的特征向量，则
R( x)是与之对应的特征值。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 5、设Vk 为 Rn 中的任意一个 k 维子
空间，则广义特征值问题 Ax Bx 的第 k 个
特征值和第 n k 1个特征值具有下列的极
令 S G1 A(G1 )T ， 则 ST S ， 且
Sy y 。
于是广义特征值问题等价地转化为对称 矩阵 S 的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
3、特征向量的共轭性
定义 2、若向量系 x1, , xn 满足
xiT
Bx j
0 1
i j i j
(2)
则称为按 B 标准正交化向量系。(2)的第一式
R(x)
xT Ax xT x
，
x
0
为矩阵 A 的 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
性质： 1） R( x)是 x 的连续函数。
2） R ， 0 ， R( x) R( x) 。
3） x L(x0 ) ( x0 0) 时， R( x)是一常数。 4） R( x)的最大值和最小值存在，且能 够在单位球面 S {x | x Rn, x 1}上达到。
小极大性质：
k
min[max Vk 0 xVk
R( x)] ，
称此式为特征值的极小极大原理，
nk 1
max[ min Vk 0 xVk
R(x)] ，
称此式为特征值的极大极小原理。
二、 对称矩阵特征值的极性
推论 1、把定理 5 中的“广义特征值问题
Ax Bx ”换为“实对称矩阵 A ”结论成立。
数 为矩阵 A 相对于矩阵 B 的特征值；而与
相对应的非零解 x 称为属于 的（广义）特
征向量。
一、 广义特征值问题
2、广义特征值问题的等价形式
1）把 Ax Bx 两端同时左乘 B1 得 B1 Ax x
这样就把广义特征值问题(1)等价地化为矩 阵 B1 A的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
2
二、 对称矩阵特征值的极性
设实对称矩阵 A 的特征值(都是实数)按 其大小顺序排列为 1 2 n ，对应的标 准正交特征向量系设为 p1, p2 , , pn ， 则有
定理 1、设 A 为实对称矩阵，则
min x0
R(
x)
1
，
max x0
R(
x)
n
。
定理 2、设 x L( pr , pr1, , ps ) ，