1用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题

用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题

线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论：

(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.

(2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解).

(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.

下面用这些结论简解几道线性规划题.

题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.

若z ＝ax ＋y

的最大值为4，则a ＝( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

解 B.题中的可行域为图1中的OAB ∆(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域.

图1

再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a .

题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.

若z ＝

2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

解 C.若1-=m ，可得z 无最大值，所以1-≠m .

先画出不等式组⎩

⎨⎧≥+-≥+0220y x y x 表示的区域为图2中的阴影部分.

图2(请把图中的“A y x x y ,022,=---=”分别改为“)2,2(,22,0A y x y x =-=+”)

直线0=-y mx 过原点且不与直线022,0=+-=+y x y x 不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z 无最大值).又直线2x －y =2与直线022=+-y x 交于点)2,2(A ，再由以上结论(3)，得)2,2(A 是最优解且直线0=-y mx 过点A ，所以1=m .

题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件⎩

⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )

A ．5

B ．4 C. 5 D ．2

解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组⎩

⎨⎧=--=--03201y x y x 的解). 由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以522=+b a .

接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.

题4 (2014年高考全国课标卷I 文科第11题)设x ，y 满足约束条件⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )

A ．－5

B ．3

C ．－5或3

D ．5或－3

解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是⎪⎭⎫

⎝⎛+-21,21a a (即方程组⎩⎨⎧-=-=+1y x a y x 的解).

由以上结论(3)，得⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-21,21a a 是最优解，所以 72

121=+⋅+-a a a a ＝3或－5

因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a ＝3时，可得“最小值为7”；当a ＝－5时，可得“最大值为7”.所以a ＝3.

题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.

若z ＝y －ax

取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12

C ．2或1

D ．2或－1 解 D.先作出可行域是图3中的ABC ∆

.

图3(请去掉图中过原点的直线)

由题设及结论(2)知，初始直线ax y =与ABC ∆的某一条边平行，得1-=a 或12

或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….

题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1

时，1≤ax ＋y ≤4

恒成立，则实数a 的取值范围是________．

解 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2

3,1.先作出可行域是图4中的ABC ∆. 题设即⎩⎨⎧≤+≥+4)(1)(max min y ax y ax ，由以上结论(3)，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤+≤≤+≤≤+≤4231141214011a a a ，即231≤≤a .

图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点C B A ,,的坐标⎪⎭

⎫

⎝⎛23,1),1,2(),0,1(C B A ) 题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x +y −2≥0，

x −2y +4≥0，2x −y −4≤0．若z 的最大值为12，则实数k = ．

解 2.先作出可行域是图5中的ABC ∆(其中)4,4(),0,2(),2,0(C B A )，得以下三种情形：

(1)若在点)2,0(A 处取到最大值，得1220=+⋅k ，这不可能！

(2)若在点)0,2(B 处取到最大值，得6,1202==+⋅k k ，经检验知，这也不可能！

(3)若在点)4,4(C 处取到最大值，得2,1244==+⋅k k ，经检验知，符合题意！ 所以2=k .

图5

题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设

D 为不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≤--≥-≤+12121y x y x y x 表示的平面区域，点),(b a B 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域

D 内的任一点),(y x A ，都有1≤⋅OB OA 成立，则b a +的最大值等于( )

A.2

B.1

C.0

D.3

解 A.先作出平面区域D 为图6中的ABC ∆.