1用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
运筹学考试题b卷附标准答案
运筹学期末考试题（ b 卷）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。
2、答案用钢笔或圆珠笔写在答题卡上，答在试卷上不给分。
3、考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（每小题 1 分，共 10分） 1：下列关于运筹学的缺点中，不正确的是（）A.在建立数学模型时，若简化不慎，用运筹学求得的最优解会因与实际相差大而失去意义B.运筹学模型只能用借助计算机来处理C.有时运筹学模型并不能描述现实世界D.由于运筹学方法的复杂性使一些决策人员难以接受这些解决问题的方法2：在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（）max S 4X Y min S 3X Y max S X2Y2min S 2XYA. s.t. XY 3B. s.t. 2X Y 1 C. s.t. XY2 D. s.t. XY3X,Y 0 X,Y 0 X,Y 0 X,Y 03．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（）代换。
A．和 B ．商 C．积 D．差4：以下关系中，不是线性规划与其对偶问题的对应关系的是（）。
A.约束条件组的系数矩阵互为转置矩阵B.一个约束条件组的常数列为另一个目标函数的系数行向量C.两个约束条件组中的方程个数相等D.约束条件组的不等式反向 5．对偶问题的对偶是（）A．原问题 B ．解的问题 C．其它问题 D．基本问题 6：若原问题中x i0 ，那么对偶问题中的第i 个约束一定为（）A．等式约束 B ．“≤”型约束矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
C．“≥”约束D ．无法确定7：若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（）A ．小于或等于零B ．大于零C．小于零D ．大于或等于零8：考虑某运输问题，其需求量和供应量相等，且供应点的个数为 m，需求点的个数是 n。
若以西北角法求得其初始运输方案，则该方案中数字格的数目应为（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
A.（ m+n）个B.（ m+n-1 ）个C.（ m-n）个D. （ m-n+1）个9：关于动态规划问题的下列命题中错误的是（）A、动态规划分阶段顺序不同，则结果不同B、状态对决策有影响C、动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相对独立性D、动态规划的求解过程都可以用列表形式实现10：若 P为网络 G 的一条流量增广链，则 P中所有逆向弧都为 G 的（）A ．非零流弧B ．饱和边C ．零流弧D ．不饱和边 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析
线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
高考高中数学线性规划中最优解问题
不满足条件①
例题分析 1
例1：设z=2x+y,且实数x,y满足： 4≤x+y≤6 ①
2≤x-y≤4 ②
求z的最大值和最小值. 分析：二元一次不等式表示平面区域，所以上述不等式组表示
一个平面区域，画出图形，对每一个确定的 z，z=2x+y表示一条 直线，这样点 (x,y) 既在区域之内，又在直线 z=2x+y 上，即直线 z=2x+y与区域有公共点。
12
·
·
0
(
20 60 , ) 7 7
(3,8)
8
10
x 6x+5y=60
5x+3y=40
4x+3y=0
1 4x+3y=37 7
某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与
4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员， 在建筑某段高速公路中，此公司承包了每 天至少搬运360t沥青的任务。已知每辆卡 车每天往返的次数为A型卡车8次， B型卡 车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型 卡车160元， B型卡车252元，每天派出A 型卡车与B型卡车各多少辆时公司所花的 成本费最低？
平米/间
装修 费用/间
住宿 价格/人
18 大房间 15 小房间 室内面积 筹款
1000 600
40 50 180平米 8000元
住宿 人数/间 5 3
解：设隔出大房间x间，小房间y间，收益为z元，则 18x+15y≤180 1000x+600y ≤ 8000 x≥0 y ≥ 0 Z=200x+150y 6x+5y≤60 即 5x+3y ≤ 40 x≥0， y ≥ 0 Z=200x+150y
高中线性规划试题及答案
高中线性规划试题及答案一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数的最优解一定在可行域的（）。
A. 边界上B. 内部C. 边界上或内部D. 边界上和内部答案：A2. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有最优解，则其最优解一定在（）。
A. 可行域的边界上B. 可行域的内部C. 可行域的边界上或内部D. 可行域的边界上和内部答案：A3. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有多个最优解，则其最优解一定在（）。
A. 可行域的边界上B. 可行域的内部C. 可行域的边界上或内部D. 可行域的边界上和内部答案：A4. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题无最优解，则其可行域一定（）。
A. 是空集B. 不是空集C. 是空集或不是空集D. 不能确定答案：A5. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有无穷多个解，则其可行域一定（）。
A. 是空集B. 不是空集C. 是空集或不是空集D. 不能确定答案：B二、填空题1. 线性规划问题中，目标函数的最优解一定在可行域的____上。
答案：边界2. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有最优解，则其最优解一定在可行域的____上。
答案：边界3. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有多个最优解，则其最优解一定在可行域的____上。
答案：边界4. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题无最优解，则其可行域一定____。
答案：是空集5. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有无穷多个解，则其可行域一定____。
答案：不是空集三、解答题1. 某工厂生产两种产品A和B，生产1单位产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，生产1单位产品B需要2小时的机器时间和3小时的人工时间。
工厂每天有18小时的机器时间和24小时的人工时间。
每单位产品A的利润是100元，每单位产品B的利润是120元。
如何安排生产计划以最大化利润？答案：设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
则有以下线性规划问题：目标函数：最大化 Z = 100x + 120y约束条件：3x + 2y ≤ 18 （机器时间）2x + 3y ≤ 24 （人工时间）x ≥ 0y ≥ 0通过求解该线性规划问题，可以得到最优解为x=6，y=4，此时最大利润为Z=100*6+120*4=1200元。
高考数学命题热点名师解密：专题(33)线性规划求解技巧(文)(含答案).doc
专题33 线性规划求解技巧一．【学习目标】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．二．【知识要点】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．2．线性规划相关概念一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——列出约束条件(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．三．解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z＝ax＋by变形为y＝－abx＋zb，所求z的最值可以看成是求直线y＝－abx＋zb在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使zb最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；④答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.四．典例分析例1．设满足约束条件，则的最大值是A．0 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，此时，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.练习1．已知实数x,y满足，若不等式ax y0恒成立，则实数a的取值范围为( )A．（－∞，） B．（4，＋∞） C．（，4） D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．练习2．若满足则的最小值等于A． B． C． D．【答案】B（二）含绝对值的不等式=+的最大值是__________．例2. 设,x y满足约束条件，则z x y【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由图形得，当0,0x y ≥≥时，，且当直线经过点()0,2A 时z 有最大值2，故可得z x y =+的最大值为2．【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元．答：公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)
应用线性规划求最值典型例题：例1. （2012年天津市理5分）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ .【答案】(0,1)(1,4)。
【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。
【分析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ，当1>x 时，11112+=+=--=x x x x y ，当1<x 时，⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ， 综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，。
作出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k 满足21<<k ，当经过蓝色区域时，k 满足10<<k ，综上实数k 的取值范围是(0,1)(1,4)。
例2. （2012年陕西省理5分）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ▲ . 【答案】2。
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。
【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D ，利用线性规划的方法求出目标函数z 的最大值即可：∵1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩，(1)1f '=，∴曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-。
∴由x 轴和曲线()y f x =及1y x =-围成的封闭区域为三角形。
2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2。
管理运筹学作业题
管理运筹学复习题一、简答题1、试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2、求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。
3、举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。
4、什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
5、试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。
二、判断题1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；( )2、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；( )3、若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；( )4、线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
( )5、求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。
( )三、计算题1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
2、线性规划问题：试用图解法分析，问题最优解随c1(-∞，+∞) 取值不同时的变化情况。
3、某饲养场需饲养动物，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每营养成分含量及单价如表1-8所示。
要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。
4、写出下列线性规划问题的对偶问题。
5、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如表2-12所示，试分别回答下列问题：(a) 建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；(b)若产品乙、丙的单件利润不变，则产品甲的利润在什么范围内变化时，上述最优解不变。
(c)若原材料A市场紧缺,除拥有量外一时无法购进,而原材料B如数量不足可去市场购买,单价为0. 5,问该厂应否购买,以购进多少为宜；6、某厂生产I、、三种产品，分别经过A、B、C三种设备加工。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.【答案】（1）；（2），1.【解析】（1）由，且，即可求出点的坐标，继而求出的值；（2）因为，所以，即，两式相减得：令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.试题解析：（1），又（2）即两式相减得：令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算；线性规划.3.若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.4.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．5.当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．【考点】线性规划.6.若，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.【考点】1.线性规划；2.斜率7.（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7B．﹣4C．1D．2【答案】A【解析】设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．8.满足约束条件的目标函数的最大值为_______.【答案】【解析】由x,y满足如图可得可行域.目标函数过点A时在y轴上的截距最大，最小值为.【考点】1.线性规划的知识.2.线性的最值问题.9.已知点M(x，y)是平面区域内的动点，则的最大值是( )A．10B．C．D．13【答案】D【解析】解：点M(x，y)所在的平面区域如下图中的阴影部分，设点的坐标为由图可知当最大时，点M应在线段上；而的最大值是13.故应选D.【考点】1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2、两点间的距离公式.10.已知实数、满足不等式组，且恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示，作出不等式组所表示的可行域如下图所示，直线交轴于点，交轴于点，作直线，结合图象可知，当直线经过可行域上的点或点时，取最大值，因此有且有，即，即有，，所以，故选B.【考点】线性规划11.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.12.已知函数（且）的图象恒过定点，则不等式组所表示的平面区域的面积是.【答案】2【解析】令=0，解得=2，代入得，故恒过的定点为（2，-1），∴m=2,n=-1,∴不等式组为，作出不等式组表示的平面区域如右图阴影部分所示，解得C（1,4），易得A（，0），B（0,2），不等式表示的面积为=2.【考点】1.指数函数图像；2.一元二次不等式组表示的平面区域.13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】10【解析】作出可行域如图，令，则，作出目标直线，经过平移，当经过点时，取得最大值，联立得，代入得，∴【考点】线性规划。
2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)
2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。
由32z x y =-变形得322z y x =-。
要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。
由右图，易知 当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。
联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。
故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（ ）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值， 此时min 033z =-=-。
管理运筹学-期末复习题及参考答案1
《管理运筹学》复习题及参考答案第一章运筹学概念一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。
13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表示约束。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。
二、单选题1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。
A．观察 B．应用 C．实验 D．调查3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数5.模型中要求变量取值（D ）A可正B可负C非正D非负6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）A 连续性B 整体性C 阶段性D 再生性7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
精编30题：高考数学根据线性规划求最值或范围专题集训含答案
精编高考数学30题根据线性规划求最值或范围专题集训含答案例题详解若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x 则z=3x-4y 的最小值为________。
解：由题，画出可行域如图目标函数为z=3x-4y ，则直线443z x y -=纵截距越大，值越小 由图可知：在A(1,1)处取最小值，故z min =3×4-4×1=-1巩固练习1、（2023全国乙卷）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则z=2x-y 的最大值为______。
答案：82、（2023全国甲卷）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+3233321y x y x y x ，设z=3x+2y 的最大值为_________。
答案：153、(2022全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0422y y x y x ，则z=2x-y 的最大值是______。
答案：84、(2022浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥-0207202y x y x x ，则z=3x+4y 的最大值是_____。
答案：185、(2021浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-≥+0132001y x y x x ，则z=x-21y 的最小值是______。
答案：23-6、(2020全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥--≤-+0101022y y x y x ，则z=x+7y 的最大值为________。
答案：17、(2020新课标Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≥+1211y x y x y x ，则z=x+2y 的最大值是______。
答案：88、(2020新课标Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x ，则z=3x+2y 的最大值为________。
用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
连结 Ｐ Ｍ ，设
值， 则初 始 直线 ０ ＋６ ：０ 与直 线 Ａ Ｂ平行
（ 此时线 段 Ａ Ｂ一 定 是可行 域 的边 界 ， 且 线 段
ＣＤ ＝ ， ＡＢ ＝ Ｙ ，
图４
由 Ｐ Ａ＋ Ｐ Ｂ： ２ Ｐ Ｍ ① ，Ｐ Ａ— Ｐ Ｂ： Ｂ Ａ ②， ① ＋ ② ， 得
用Ｉ ‘ 线性规划问题的
｛ ． 一 ｙ 一 ＝ ０ 的 解 ） ． 由 以 上 结 论 （ ３ ） ， 得 ｔ ２ — Ｙ 一３ ＝ ０
（ ２ ， １ ） 是 最优 解 ， 所以 ２ 。＋ ｂ＝ ２ √ ５ ．
接 下来 ， 可用 减 元法 、 三角 换元 法或 柯 西
线性 规 划 问题 是 指 在 线 性 约 束 条 件 （ 即 不 等式 求得 答案 ．
换， 解 法 自然 流 畅 ．
（ １ ） 若 线性 规 划 问题 存 在 最 优 解 ， 则 最
优 解一定 在 边界 上 ．
解法 ４ ：如 图
４ ，取 Ｃ Ｄ 的 中 点
，
（ ２ ） 若 目标 函数 ｚ＝ ａ ｘ＋ｂ ｖ在 两 个 不 同的点 Ａ， Ｂ处 均 取 到 最 大值 或均 取 到最 小
做 这个 线 性 规 划 问题 的最 优解 ． 求 解 线 性 规
划 问题 ， 通常是通过平移初 始直线 ａ ｘ＋６ ｖ
＝
分析 ： 向量 是解题 的利器 ， 通 过 向量可 以
０来 解决 的 ， 所 以有下 面 的结论 ：
顺利 地 实 现 已 知 条 件 与 解 题 目标 之 间 的 转
２ ０ １ ５年 第 ３期
＝
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短 文 集锦
高二数学线性规划试题答案及解析
高二数学线性规划试题答案及解析1.已知满足不等式组,使目标函数取得最小值的解（x，y）有无穷多个，则m的值是A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】画出可行域，目标函数z=mx+y，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为负，最小值应在边界3x-2y+1=0上取到，即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行，进而计算可得m值．【考点】线性规划2.若x，y满足则的最大值是．【答案】 10【解析】根据线性约束条件划出可行域，由目标函数得，即只需求直线在轴上的最大值即可。
【考点】线性规划求最值问题。
3.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则实数a的值为．【答案】3【解析】由题意得：不等式组(a为常数)所表示的平面区域必须为一个封闭图形.直线恒过定点所以平面区域为三角形，面积为【考点】线性规划4.已知实数满足条件，则的最大值为．【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知点目标函数经过点时取得最大值，且最大值为．【考点】简单的线性规划．5.若实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】表示单位圆,表示单位圆上的点与点形成的直线的斜率.显然当与圆相切时,如图所示，可知 .【考点】线性规划求最值.6.不等式组所围成的平面区域的面积是 .【答案】2【解析】根据题意作出不等式组所表示的平面区域（如下图）直线的斜率都为，而直线的斜率都为1，所以该区域为正方形区域，其中该正方形的边长为，所以该平面区域的面积为.【考点】1.二元一次不等式表示的平面区域问题；2.两直线垂直的判定.7.设变量满足则目标函数的最小值为( )A．2B．4C．6D．以上均不对【解析】因为变量满足，符合的x,y的可行域如图所示的阴影部分，目标函数. 其中的最小值即为直线CD在y轴的截距最小.所以通过移动直线CD可知过点B是符合题意.又因为B（1,0）.所以.故选A.【考点】1.线性规划问题.2.作图的能力.3.对比归纳的思想.4.复杂问题简单化的转化过程.8.已知实数满足,且目标函数的最大值为6,最小值为1, 其中的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】本题为线性规划含有带参数直线问题.需要对含参直线的斜率以及b进行讨论.另外借助选项,观察4个选项都是正数，所以.这样可以减少讨论情况 .利用现行约束条件作出可行域.当讨论（ⅰ）：若无论我们都可以作图，若则表示虚线下方无最大值不合题意.所以建立方程组和分别代入目标函数可以得出.（ⅱ）：同理当时，结合图像仍然会得如上的方程组.所以.所以答案为D.【考点】线性规划、分类讨论思.9.下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是A．（0，0）B．（2，4）C．（-1，4）D．（1，8）【答案】A【解析】把选项中的点的坐标代入不等式检验，得点（0,0）符合题意，故选A【考点】本题考查了二元一次不等式表示平面区域点评：只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+by+C>0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0 时，常把原点作为此特殊点．10.已知实数x,y满足,若取得最大值时的最优解有无数个,则a的值为（）A．0B．2C．-1D．【解析】先画出可行域，该可行域是一个三角形，因为取得最大值时的最优解有无数个，根据图象可知应该与边界平行，所以【考点】本小题主要考查简单线性规划.点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．11.(本题满分12分)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:432【答案】【解析】设每周生产空调台、彩电台、则生产冰箱台,产值(千元). (2分)目标函数为(6分)所以题目中包含的限制条件为即: 可行域如图.(10分)解方程组得点的坐标为所以(千元) (12分)【考点】线性规划的最优解运用点评：解决该试题的关键是能根据题意抽象出不等式，同时结合二元一次不等式组表示的区域，平移法得到最值，属于基础题。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.2.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.3.若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y－4的最大值为()A．－4B．－1C．1D．5【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x＋y－3＝0与y＝1的交点)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z＝2x＋y－4取得最大值，最大值为z＝2×2＋1－4＝1，因此选C.max4.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．5.变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－，6]B．[－，－1]C．[－1,6]D．[－6，]【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由，解得A(2,0)；由，解得B(，3)．∴zmax ＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．6.已知x，y，满足，x≥1，则的最大值为．【答案】【解析】因为，又因为构成一个三角形ABC及其内部的可行域,其中而表示可行域内的点到定点连线的斜率，其范围为，所以当时，取最大值为【考点】线性规划，函数最值7.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，画出可行域，如图所示.表示可行域内的点与定点连线的斜率，观察图形可知的斜率最大为，故选.【考点】简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.8.给定区域：,令点集在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______个不同的三角形.【答案】25【解析】把给定的区域:画成线性区域如图：，则满足条件的点在直线上有5个，在直线上有2个，能组成不同三角形的个数为.【考点】线性规划、组合问题.9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定. 若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（）A．3B．4C．D．【答案】B【解析】画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.【考点】线性规划10.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.11.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2y－3x的最大值为( ) A．－3B．2C．4D．5【答案】C【解析】满足约束条件的可行域如图所示．因为函数z＝2y－3x，所以zA ＝－3，zB＝2，zC＝4，即目标函数z＝2y－3x的最大值为4，故选C. [【考点】线性规划.12.如图,已知可行域为及其内部,若目标函数当且仅当在点处取得最大值,则的取值范围是______.【答案】【解析】根据线性规划的知识,可知目标函数的最优解都是在可行域的端点,所以根据题意,故填【考点】线性规划13.设实数x、y满足，则的最大值是_____________.【答案】9【解析】由可行域知,当时,【考点】线性规划14.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y)的值在逐渐变小，当l 通过点A(－2,2)时，(2x －y)min ＝－6.15. 已知x,y 满足条件则的取值范围是( )A ．[,9]B ．(-∞,)∪(9,+∞)C ．(0,9)D ．[-9,-]【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图),其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).表示区域内的点与点(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线BD 重合时,倾斜角最小且为锐角;连线与直线CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.k BD =,k CD =9,所以的取值范围为[,9].16. 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a≤b≤4c －a ，cln b≥a ＋cln c ，则的取值范围是________． 【答案】[e,7] 【解析】由题意知作出可行域(如图所示)．由得a ＝，b ＝ c. 此时max＝7. 由得a ＝，b ＝.此时＝＝e.所以∈[e,7]．min17.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最值转化为轴上的截距，当直线经过点B时，最小，由得：，代入直线得，故选Ａ．【考点】简单线性规划．18.已知实数、满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故的取值范围是，故选D.【考点】简单的线性规划问题19.设变量满足约束条件,则的最大值为( )A．6B．3C．D．1【答案】A【解析】这是线性规划的应用.目标函数是线性约束条件所确定的三角形区域内一点与原点的连线的斜率.先画出三条直线所围成的三角形区域，可知，直线与直线的交点坐标(1,6)代入计算得.【考点】线性规划的应用.20.已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为________．【答案】【解析】作出可行域及圆如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是，得，，得得弧长 (为圆半径)．【考点】1.线性规划；2.两角和的正切公式；3.弧长公式.21.设变量x,y满足约束条件其中k(I)当k=1时，的最大值为______；(II)若的最大值为1，则实数k的取值范围是_____.【答案】1，．【解析】目标函数的可行域如图所示：不妨设（由可行域可知，），即，它表示一条开口向上的抛物线，且a的值越大，抛物线的开口就越小． (I)当时，由图象可知当抛物线图象经过点时，有最大值1； (II)表示一条经过点且斜率为k的直线及直线下方的区域，结合(I)可知，当抛物线经过点A时，有最大值1．从而可知，要使有最大值1，抛物线在变化过程中必先经过可行域内的点A，考虑临界状态，即直线与抛物线相切于点，此时，切线斜率，从而有k的取值范围是．【考点】线性规划．22.设满足约束条件，则的最大值为____________.【答案】6【解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点，因此的最大值为6.【考点】线性规划的目标函数最值23.已知实数x，y满足且不等式axy恒成立，则实数a的最小值是．【答案】.【解析】由画出如图所示平面区域,因为区域中,恒成立得恒成立, 令则，函数在上是减函数，在上是增函数所以函数最大值为要使恒成立只要，所以的最小值是.【考点】线性规划,不等式及函数极值.24.已知x，y满足，则的最小值是（）A．0B．C．D．2【答案】B【解析】因为，x，y满足，所以，，画出可行域，表示A(-1,-1)到可行域内的点距离的平方，所以，其最小值为A到直线=0的距离的平方，=。
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用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论：
(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.
(2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解).
(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.
下面用这些结论简解几道线性规划题.
题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.
若z ＝ax ＋y
的最大值为4，则a ＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
解 B.题中的可行域为图1中的OAB ∆(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域.
图1
再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a .
题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.
若z ＝
2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解 C.若1-=m ，可得z 无最大值，所以1-≠m .
先画出不等式组⎩
⎨⎧≥+-≥+0220y x y x 表示的区域为图2中的阴影部分.
图2(请把图中的“A y x x y ,022,=---=”分别改为“)2,2(,22,0A y x y x =-=+”)
直线0=-y mx 过原点且不与直线022,0=+-=+y x y x 不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z 无最大值).又直线2x －y =2与直线022=+-y x 交于点)2,2(A ，再由以上结论(3)，得)2,2(A 是最优解且直线0=-y mx 过点A ，所以1=m .
题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )
A ．5
B ．4 C. 5 D ．2
解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组⎩
⎨⎧=--=--03201y x y x 的解). 由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以522=+b a .
接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.
题4 (2014年高考全国课标卷I 文科第11题)设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是⎪⎭⎫
⎝⎛+-21,21a a (即方程组⎩⎨⎧-=-=+1y x a y x 的解).
由以上结论(3)，得⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-21,21a a 是最优解，所以 72
121=+⋅+-a a a a ＝3或－5
因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a ＝3时，可得“最小值为7”；当a ＝－5时，可得“最大值为7”.所以a ＝3.
题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax
取得最大值的最优解不唯一．．．
，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1 解 D.先作出可行域是图3中的ABC ∆
.
图3(请去掉图中过原点的直线)
由题设及结论(2)知，初始直线ax y =与ABC ∆的某一条边平行，得1-=a 或12
或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….
题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
3,1.先作出可行域是图4中的ABC ∆. 题设即⎩⎨⎧≤+≥+4)(1)(max min y ax y ax ，由以上结论(3)，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤+≤≤+≤≤+≤4231141214011a a a ，即231≤≤a .
图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点C B A ,,的坐标⎪⎭
⎫
⎝⎛23,1),1,2(),0,1(C B A ) 题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x +y −2≥0，
x −2y +4≥0，2x −y −4≤0．若z 的最大值为12，则实数k = ．
解 2.先作出可行域是图5中的ABC ∆(其中)4,4(),0,2(),2,0(C B A )，得以下三种情形：
(1)若在点)2,0(A 处取到最大值，得1220=+⋅k ，这不可能！
(2)若在点)0,2(B 处取到最大值，得6,1202==+⋅k k ，经检验知，这也不可能！
(3)若在点)4,4(C 处取到最大值，得2,1244==+⋅k k ，经检验知，符合题意！ 所以2=k .
图5
题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设
D 为不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≤+12121y x y x y x 表示的平面区域，点),(b a B 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域
D 内的任一点),(y x A ，都有1≤⋅OB OA 成立，则b a +的最大值等于( )
A.2
B.1
C.0
D.3
解 A.先作出平面区域D 为图6中的ABC ∆.
图6
题设即：对于区域D 上的任一点),(y x A ，都有1≤+by ax 成立.其充要条件是ABC ∆的
顶点)1,1(),0,1(),1,0(--C B A 的坐标均满足1≤+by ax ，即⎪⎩
⎪⎨⎧-≥+≤≤111b a a b ，由此可得b a +的最大值是2(这也是一个线性规划问题).
注 由此解法，还可得出b a +的取值范围是]2,1[-.建议把题目中的“区域D 内”改为“区域D 上”，若是“区域D 内”，则所求最大值不存在，只能得到b a +的取值范围是)2,1(-.。