上海市高三数学一模填选难题解析
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．2.函数21log 1xy x +=-的定义域是______.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b =，则2a b + 在a 方向上的数量投影的最小值是______.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）10.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12.对于正整数n ，设nx 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.2415.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．【答案】{2}【解析】【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A ={1，2}，B ={2，3}，∴A ∩B ={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2.函数21log 1xy x+=-的定义域是______.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据已知，可得101xx+>-，解出不等式即可得到结果.【详解】要使函数21log 1xy x +=-有意义，则应满足101x x+>-，即101x x +<-该不等式等价于()()110x x -+<，解得11x -<<.所以，函数21log 1xy x+=-的定义域是()1,1-.故答案为：()1,1-.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.【答案】【解析】【分析】化简z ，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为()i 2i 12i z =-=+，所以z ==..4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】将所求代数式变形为441111x x x x +=-++--，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，所以41x x +-的最小值为5.故答案为：5.5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________【答案】3【解析】【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.【详解】函数y =a x (a ＞0，a ≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为212a a +=.解得3a =或-4（舍）.答案为：3.6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.【答案】0.3【解析】【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件A ，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件B ，则()0.6P A =，()0.5P B =，事件A 和B 相互独立.则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件AB 来表示，()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.故答案为：0.3.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.##3π3【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，∴1r =.∴圆锥的高h ==，∴圆锥的体积21ππ33V r h ==.故答案为：33π.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b = ，则2a b + 在a方向上的数量投影的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】先求出()2a b a +⋅的范围，根据()2a ab a +⋅ 即可求得结果.【详解】因为2a b + 在a方向上的数量投影为()2a ab a +⋅ ，所以当()2a b a +⋅最小时，数量投影取得最小值.设,a b θ= ，则()222a b a a a b +⋅=+⋅ 22cos a a b θ=+1812cos θ=+.因为1cos θ1-＃，则当cos 1θ=-时，()21812cos a b a θ=+⋅+有最小值6.所以，2a b +在a方向上的数量投影的最小值是()2263a b a a⋅=+= .故答案为：2.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【解析】【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1344C A 96=种.故答案为：9610.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.【答案】53【解析】【分析】根据双曲线的对称性，可得PQ 与x 轴平行.双曲线的渐近线方程为by x a =±，可得出0,bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.根据1//MP OF ，可得1MP MA OF OA=，代入相关数值，可得43a b =，进而得出离心率.【详解】如图，PQ 交y 轴于M .根据双曲线的对称性，知PQ 与x 轴平行，且12PM PQ =.设5AP k =()0k >，则6PQ k =，3PM k =，所以4MA k ==.双曲线渐近线方程为by x a =±.()1,0F c -，由已知直线1AF 斜率为b a，则直线1AF 的方程为()b y x c a =+，则0,bc A a ⎛⎫⎪⎝⎭，bc OA a =.因为1//MP OF ，所以有1MPMAOF OA=，即34k kbc c a=，整理可得，43a b =，则43b a =，则22222242539a c a b a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以有222259c ea ==，所以53e =.故答案为：53.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理62sin 30sin CD C DC D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒12.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】2021【解析】【分析】根据导数可得()f x 为单调递增函数，根据零点存在性定理找到n x 的取值范围，代入[](1)(2)n n a n x n =+≥即可得出通项公式，求出答案.【详解】设()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当2n ≥时，()0f x ¢>因此()f x 为单调递增函数，又因当2n ≥时，()()2332111110n n n n f n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++<+且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x ，且,11n n x n ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，所以(1)1n n n x n <+<+，[](1)n n a n x n =+=，因此()()()234202222022202111234202220211012101221012a a a a +⨯+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯故答案为：2021二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.【详解】令1a =，3b =，则4a b +=是偶数，而,a b 都是奇数；若a ，b 都是偶数，显然a b +是偶数.所以，“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的必要而不充分条件.故选：B.14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.24【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得抽样比为120，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为6k ，则高二学生数为5k ，高三学生数为4k .所以，该高中共有学生数为654151200k k k k ++==，解得80k =.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为601120020=，所以，高三年级应该抽取14801620⨯⨯=人.故选：A.15.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求出21sin cos 2x αα-=，则可以得到，333232103322sin cos a x x a x a x x a αα+==++-+，进而可得0123a a a a +++的值.【详解】sin cos x αα+=，故22(sin cos )x αα+=，得212sin cos x αα+=，得到21sin cos 2x αα-=，3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα+=+-+23(3)3222x x x x -==-，所以，2321033322a x a x a x a x x =++-+，得00a =，132a =，20a =，312a =-，则01231a a a a +++=故选：C16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出抛物线C 方程，再假设出直线AB 的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】将点()1,1A 代入抛物线方程，可得12p =，故抛物线C 的准线为14y =-，①错误；抛物线C 方程为2x y =，令()2f x x =，()12AB f k '==，抛物线在A 点处切线斜率与直线AB 斜率相同，因此直线AB 与抛物线C 相切，②正确；由题可知22OA =，直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为1y kx =-，交点()211,P x x ，()222,Q x x ，联立方程21x yy kx ⎧=⎨=-⎩，整理可得：210x kx -+=22404k k ∆=->⇒>，且12x x k +=，121=x xOP OQ ⋅==因为24k >22OA >=，③正确；()22121211BP BQ k x x k ⋅===+=+因为24k >，所以215BP BQ k ⋅=+>()()22210115BA =-++=，所以2BP BQ BA ⋅>，④错误故选：B ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .【答案】（1）5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z ；（2）a =.【解析】【分析】（1）由已知可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）先解出π3A =，根据面积公式可求得4c =，根据余弦定理，即可求解.【小问1详解】由题意可得，()sin 22f x x x =+12sin 2222x x ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 可得，5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z .【小问2详解】由（1）知，()π2sin 23f A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()0f A =，所以π2π3A k +=，k ∈Z ，则ππ62k A =-+，k ∈Z ，又A 是锐角，所以πππ0622k <-+<，k ∈Z ，解得1k =，则π3A =.又1b =，ABC S =113sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以，4c =.根据余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-22114214132=+-⨯⨯⨯=，所以a =.18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.【答案】（1）证明见解析；（2）32nn a =-；（3）1138388-.【解析】【分析】（1）利用构造法，得到123(2)n n a a -+=+，可证明{}2n a +是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出23nn a +=，进而可求{}n a 的通项公式；（3）直接写出5211i i a-=∑的具体展开式，根据n a ，利用等比数列的前n 项和公式，直接计算5211i i a-=∑可得答案.【小问1详解】134(2)n n a a n -=+≥，等式两边同时加上2，得123(2)n n a a -+=+，又11a = ，123a +=则{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列【小问2详解】由（1）得，{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列，23n n a ∴+=，故32n n a =-.【小问3详解】521135791i i aa a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）arccos 10；（3）13.【解析】【分析】（1）由已知可证明11//A B CD 和1//MN A B ，即可证明1//MN A B ，进而得出结果；（2）1//MN CD ，所以1PD C ∠即等于异面直线1PD 与MN 所成角，在1PD C V 中，求出各边长，用余弦定理即可求出；（3）根据已知可得，四边形1MNA B 为梯形，112MNB MA B S S =V V ，则112P MNB P MA B V V --=，根据等体积法可知11P MA B M PA B V V --=，求出1P MA B V -，即可解出.【小问1详解】证明：如图1，连结MN 、1A B 、1CD .由已知可得，11//A D BC ，11=A D BC ，所以四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B CD .又M 、N 分别是11C D 、1C C 的中点，所以1//MN CD ，且11=2MN CD ，所以1//MN A B ，且11=2MN A B .所以M 、N 、1A 、B 四点共面.【小问2详解】如图2，连结DP 、1D P 、CP .因为CD ⊥平面11ADD A ，DP ⊂平面11ADD A ，所以CD DP ⊥.因为，P 是1AA 的中点，所以11PA PA ==.又111A D A A ⊥，所以1PD ==同理DP =.在Rt PDC 中，3PC ==.又1D C ==在1PCD V 中，有3PC =，1D C =，1PD =，由余弦定理可得，22211111cos 2PD D C PC PD C PD D C +-∠=⋅10==.又1//MN CD ，所以异面直线1PD 与MN 所成角的大小即等于直线1PD 与1CD 所成角的大小，即等于1arccos10PD C ∠=.【小问3详解】如图3，1.,,,MP MB PN MA NB ，因为1//MN A B ，且11=2MN A B ，且M 、N 、1A 、B 四点共面，所以四边形1MNA B 为梯形，设梯形高为h ，则12MNB S MN h =⨯⋅V ，1112MA B S A B h =⨯⋅V ，所以1111112222MNB MA B S MN h A B h S =⨯⋅=⨯⋅=V V .设P 到平面MNB 即到平面1MNA B 的距离为d ，则13P MNB MNB d V S -=⨯⋅V ，1113P MA B MA B d V S -=⨯⋅V ，则11111322P MNB MA B P MA B V S d V --=⨯⨯⋅=V ，且11P MA B M PA B V V --=.因为11//C D 平面11ABB A ，11C B ⊥平面11ABB A ，11M C D ⊂，所以M 到平面11ABB A 的距离等于线段11C D 到平面11ABB A 的距离112C B =.又111112122PA B S PA AB =⨯⋅=⨯⨯=V ，所以11112212333M PA B PA B V S -=⨯⨯=⨯⨯=V ，所以，111212233P MNB P MA B V V --=⨯==.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=；（2）3+；（3）3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）观察可知，,Q M 都在椭圆上，即满足椭圆方程，若()1,3P 在椭圆上，代入方程，联立解得2210a b ==，舍去；因此,,Q M N 三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；（2）要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.当过点E 的直线l 与MN 平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；（3）写出直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，可得()2231690k x kx ++-=，根据韦达定理求出AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程，代入0y =，即可求得m 的值.根据基本不等式，可求出实数m 的取值范围.【小问1详解】因为()3,1Q ，()3,1M -关于y 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有22911a b +=成立.若()1,3P 在椭圆上，则有22191a b+=.联立2222911191a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得，2210a b ==，不合题意，舍去.所以，()0,2N 在椭圆上，即有241b =，所以24b =，代入22911a b+=，可得212a =.所以，椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.由()3,1M -，()0,2N ，可得直线MN 方程为360x y -+=.过点E 作直线l ，使得//l MN ，则E 到直线MN 的距离即等于直线l 到直线MN 的距离.显然，当直线l 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线l 方程为30x y m -+=，联立直线与椭圆的方程22112430x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩可得，22126120y my m -+-=.因为，直线l 与椭圆相切，则()()()22264121212480m m m ∆=--⨯-=--=，解得，m =±.则当m =-时，此时直线方程为30x y --=，与直线360x y -+=距离最大，此时5d +==.又MN ==，所以EMN面积的最大值为113225MN d +⋅==+.【小问3详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在一点(),0D m ，使得DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形.因为直线l 过()0,1R 点，则直线l 的方程为1y kx =+()0k >，联立直线l 的方程与椭圆的方程2211124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2231690k x kx ++-=，()()()()222Δ6431936410k k k =-⨯+⨯-=+>恒成立，且122631k x x k +=-+，122931x x k -=+，111y kx =+，221y kx =+，所以()12122y y k x x +=++226231k k =-++2231k =+，则AB 的中点坐标为2231,3131k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以线段AB 的垂直平分线方程为221133131k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，显然该直线过点(),0D m .令0y =，则221133131k m k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即2231km k -=+.因为0k >，所以23113k k k k +=+≥=，当且仅当13k k =时，即33k =时，等号成立.所以，231k k+≥231k k ≤+2232313k k -≥-=-+，所以33m ≥-.即实数m 的取值范围为3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）5[1,27-；（3）[]2ln 22,1-.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，11221122()()()()()()()()f xg x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2ax =，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.【小问2详解】()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，得1a =；32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，故1(,)3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3x ∈-上，()F x 单调递减，因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3F m F ≤≤-时，满足题意，得5127m -≤≤，故5[1,]27m ∈-【小问3详解】()e x g x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e xy x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.。
上海市宝山区高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n ≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n ，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t ≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。
2024届上海市长宁区高三一模数学试题及答案
上海市长宁区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 ,4A ， 1,3,5,7B ，则A B ．2.复数z 满足11z i（i 为虚数单位），则z ．3.不等式11 的解集为． 4.5.将46.物体的瞬时速度为．7.第1支水笔的编号为．8.10lg II ．其中I 为2，则其相应的声9.10.11.若函数 sin cos f x x a x 在27,36上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为．12.设 2log f x x ax b （0a ），记函数 y f x 在区间 ,1t t （0t ）上的最大值为 ,t M a b ，若对任意b R ，都有 ,1t M a b a ，则实数t 的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A 2f x x ；.B 2f x x ；.C ln f x x ；.D x f x e ．14.“ P A B P A P B ”是“事件A 与事件B 互相独立”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置 01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角（02）后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4到达2P ．若点2P 的横坐标为35，则点1P 的纵坐标为（）.A 10；.B 5；.C 5；.D 10．16.，5AC ，点P 在ABC Q ，都存在点P ，满足.A 12三、17.（1）（2）A ，求事件A 发生如图，在三棱锥A BCD 中，平面ABD 平面BCD ，AB AD ，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ；（2）若BD DC ，BD DC ，AO BO ，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．18题图汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心．如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为 ，右前轮转向角为 ，转向中心为O ．设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米．（1）试用w 、l 和 表示tan ；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米．试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由．假设：①转向过程中，左前轮转向角 的值始终为30 ；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d 且OM OD ，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w ， 2.680l ．问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？第19题图1第19题图2已知椭圆22:142x y ，1F 、2F 为 的左、右焦点，点A 在 上，直线l 与圆22:2C x y 相切．（1）求12AF F 的周长；（2）若直线l 经过 的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y 上，O 为原点，若OA OD ，求证：直线AD 与圆C 相切．若函数 y f x 与 y g x 满足：对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ，则称函数 y f x 是函数 y g x 的“约束函数”．（1）若 2f x x ，判断函数 yg x 的奇偶性，并说明理由；（2）若 3f x ax x （0a ）， sing x x ，求实数a 的取值范围；（3）若 y g x 为严格减函数， 01f f ，且函数 y f x 的图像是连续曲线，求证：y f x 是 0,1上的严格增函数．参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. {}1,3；2.2；3. ()0,1；4. 2；5.12；6. 80；7．14；8. 130；9.()0,1,1−；10．[)2,−+∞；11. ⎡⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=−，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数， 当27,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x −<恒成立，所以1tan 0a x −>在27,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan x ⎛∈ ⎝是，所以a ≤≤ 12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++ 所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b =++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++−++=()()()()()2222log 11loglog 1log 2122t a t b t at b t t aa ++++−+++−+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.A ；14.C ；15. D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．BD17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =. （1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+−，所以1011090100S a =+=， ……..2分得11a =， …….4分 所以()1121n a a n d n =+−=−. …….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =， ……..3分 事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个， ……..6分 所以事件A 发生的概率()632010P A ==. …….8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点， 所以AO DB ⊥， …….2分 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ， …….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥. …….6分 （2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA 分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a −，()0,,0D a ，()2,,0C a a ， …..6分 因为()2,2,0BC a a =，()0,,AD a a =− 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅==，所以60θ=︒ ……8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O. 设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β； （2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=， …….2分 所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，……..4分 进而tan tan llw βα=+. …….. 6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y轴建立坐标系， 则()3.5, 3.5M −−. 4.642tan lOD α===， 6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b <<，2 6.642a =−=−，d b =−，OM ==， ……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b −<<−， 由OB d <，得 6.766b <−，…….6分所以当 6.917 6.765b −<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道. 答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道. …….8分 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.xD C BA B C S F E C D B A已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ， 则24a =，22b =，所以22c =， ……..2分 所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F的周长为4+. ……..4分 （2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =−， ……..2分 因为圆222x y +=与直线l 相切，= ……..4分解得2k =±，直线l的方程为)22y x =±−. …….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=， …….2分当0m x =时，2020x y +=， 由2200142x y +=，得01y =−，0x = 直线AD方程为x =22:2C x y +=相切， …….4分 当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m−−−=−+=+−−− 则原点O 到直线AD 的距离为d =， …….6分因为02y m x =−，2200142x y +=，所以2216844422202040020202020200200=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ． 此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切． ……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x −≥−，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数. ……2分 因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x −−≥−−， 所以()()()220g x g x x x −−≤−−=，得()()g x g x −=，所以()y g x =为偶函数. ………4分 （2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <， 进而()()()()1221g x g x f x f x −≤−，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x −≤−， 设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =−，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数， …….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+−≥恒成立因为230x ≥，cos 1x −≥−，所以23cos 1a x x a +−≥−，得1a ≥， 当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥. ………..6分 （3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >， 而()()()()2112f x f x g x g x −≥−，所以()()120f x f x −> 所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*） ……2分 ①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<， 假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =−，则()00h <，()00h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()31f x f =，与结论*矛盾， 所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<. ……5分 ②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <， 假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >， 则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =−，则()00h <，()10h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()32f x f x =，与结论*矛盾，所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x < 所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数 ……8分。
2023年上海市金山区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023届金山区高考数学一模一､填空题1. 函数sin 24y x的最小正周期是_________ 2. 已知集合{1,0,1,2}A ，{|03}B x x ，则A B ___________3. 若0x ，则2x x的最小值为___________.4. 已知抛物线22(0)y px p 的焦点坐标为2,0，则p 的值为___________.5. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．6. 已知2f x x x，则曲线y f x 在0x 处的切线方程是___________.7. 若0x 时，指数函数23xy m 的值总大于1，则实数m 的取值范围是___________.8. 已知m 是实数，i 是虚数单位，若复数6i12i m z的实部和虚部互为相反数，则z ___________.9. 从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.10.函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x的值域为___________. 11. 若集合2,20A x y x y x y， 222,211B x y x a y a a ，且A B ，则实数a 的取值范围是___________.12. 设n a 是由正整数组成且项数为m 增数列，已知11a ，100m a ，数列 n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于n a 中任意序数不同的两项s a 和t a ，在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p qa a a a ，则1mii a的最小值为___________.二､选择题13. 已知直线1:3260l x a y ，直线2:2320l ax a y ，则“9a ”是“12l l //”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A sin ,cos ,tan B. sin ,tan ,cos C 22sin ,cos ,tanD. 22cos ,sin ,tan的..15. 已知正四面体ABCD 棱长为6，设集合Ω|P AP P 平面 BCD ，则Ω表示的区域的面积为（ ） A.B. 3C. 4D. 616. 对于函数 y f x ，若自变量x 在区间 ,a b 上变化时，函数值 f x 的取值范围也恰为 ,a b ，则称区间,a b 是函数 y f x 的保值区间，区间长度为b a .已知定义域为R 的函数 y g x 的表达式为21g x x ，给出下列命题：①函数 y g x 有且仅有4个保值区间；②函数 y g x 的所有保值区间长度之和为32.下列说法正确的是（ ） A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立 C. 两个结论都成立D. 两个结论都不成立三､解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD 中，已知PA 底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB .（1）求证：直线BD 平面PAC ； （2）求直线PC 与平面PBD 所成角的大小.18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若100a ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）19. 在ABC 中，设角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､，且 cos 4cos 0a B b c A . （1）求cos A ；（2）若2,1BD DC AD，求2c b 的最大值.20. 已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b的左､右焦点分别为12F F ､.（1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5,4a b ，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；的的（3）已知2,a b，过点2F 且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l 也过点2F 且与椭圆Γ交于M N ､两点（均不同于A ），是否存在定直线00:l x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM AC AN ､､的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值；若不存在，请说明理由.21. 若函数 y f x 是其定义域内的区间I 上的严格增函数，而 f x y x是I 上的严格减函数，则称y f x 是I 上的“弱增函数”.若数列 n a 是严格增数列，而n a n是严格减数列，则称 n a 是“弱增数列”. （1）判断函数ln y x 是否为 e, 上的“弱增函数”，并说明理由（其中e 是自然对数的底数）；（2）已知函数 y f x 与函数2248y x x 的图像关于坐标原点对称，若 y f x 是 ,m n 上的“弱增函数”，求n m 的最大值；（3）已知等差数列n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数.记 n a 的前n 项和为n S ，设2(2n n nS T n是正整数，常数2) ，若存在正整数k 和m ，使得1k m 且k m T T ，求 所有可能的值.2023届金山区高考数学一模一､填空题1. 函数sin 24y x的最小正周期是_________ 【答案】【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可 【详解】sin 24y x的最小正周期为22， 故答案为：2. 已知集合{1,0,1,2}A ，{|03}B x x ，则A B ___________ 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A ，{|03}B x x ， 所以{1,2}A B . 故答案为：{1,2}. 3. 若0x ，则2x x的最小值为___________.【答案】.【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】因为0x ，则2x x ≥，当且仅当2x x 时，即x 时，等号成立，所以2x x的最小值为.故答案为：4. 已知抛物线22(0)y px p 的焦点坐标为 2,0，则p 的值为___________. 【答案】4【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得p 值. 【详解】因为抛物线22(0)y px p ， 所以抛物线的焦点坐标为,02p， 又因为抛物线22(0)y px p 的焦点坐标为 2,0， 所以22p，则4p . 故答案为：4.5. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积．【详解】由题意底面半径为3r ，高为4h，则母线长为5l ，所以侧面积为3515S rl ． 故答案为：15 ．6. 已知 2f x x x ，则曲线 y f x 在0x 处的切线方程是___________.【答案】y x【分析】首先求出原函数的导函数 'fx ，然后将切点处的横坐标0x 代入导函数中求出直线的斜率 0k f ，再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式 00y y k x x 求出切线方程. 【详解】因为 21f x x ， 2f x x x ，所以 00,01f f ， 即切点为 0,0，斜率为1k ，代入点斜式直线方程 00y y k x x 中 则曲线 y f x 在0x 处的切线方程是y x . 故答案为：y x .7. 若0x 时，指数函数23xy m 的值总大于1，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】2m 或m>2【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于m 的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，230m 且231m . 又0x 时，1y ， 即22313xm m ，所以有231m ，即 220m m ， 解得2m 或m>2 故答案为：2m 或m>2.8. 已知m 是实数，i 是虚数单位，若复数6i12im z 的实部和虚部互为相反数，则z ___________.【答案】【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出m 的值，再用模长公式计算即可. 【详解】由题意6i (6i)(12i)62(12)i12i (12i)(12i)5m m m m z， 因为实部和虚部互为相反数，所以62120m m ，解得2m ， 此时22z i，则z故答案为：9. 从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）..【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.【详解】从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为211754C C C 2154420 .故答案为：420.10. 函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x的值域为___________.【答案】 1,4【分析】由三角恒等变换得 π2sin 226f x x，再整体代换求解值域即可.【详解】221cos21cos23sin cos cos 3?22x xy x x x x xcos222sin 226x x x，因为π0,2x，所以ππ5π2,666x，所以π1sin 2,162x ，所以 π2sin 221,46x，所以函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x的值域为 1,4.故答案为： 1,4 11. 若集合2,20A x y x y x y，222,211B x y x a y a a，且A B ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】11,17【分析】化简集合 ,21A x y x y，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合B表示以 ,21M a a 为圆心为半径的圆及其圆内的点，而A B ，即表示该圆与阴影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题. 【详解】因为2,20,21A x y x y x y x y x y，所以集合A 是被两条平行直线2,1x y x y 夹在其中的区域，如图所示，222,211B x y x a y a a，其中 222211x a y a a 由210a ，解得1a 或1a ， 当1a 时，B 表示点(1,3)或 1,1 ，当1a 时，B 表示以 ,21M a a为半径的圆及其内部的点， 其圆心在直线21y x 上， 依题意A B，即表示圆M 应与阴影部分相切或者相交，当1a 时，显然满足题意，当1a 时，不满足题意， 当1a 时，因为A B ，所以d r，所以 17110a a ， 所以1117a； 当1a 时，因为A B ，所以d r，所以2720a ，无解； 综上，头数a 的取值范围足11,17. 故答案为：11,1712. 设 n a 是由正整数组成且项数为m 的增数列，已知11a ，100m a ，数列 n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于 n a 中任意序数不同的两项s a 和t a ，在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ，则1mi i a 的最小值为___________.【答案】5454【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当2k m 时，1k k a a 或11k k a a ，根据11a ，可推出数列 n a 前6项，结合题意，应有73a ，84a ，95a ，…，698m a ，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m 值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值.【详解】因为数列 n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，11a ，所以202a ， 又 n a 是由正整数组成且项数为m 的增数列，所以21a 或22a ， 当22a 时，432a a ，此时12343a a a a ，这与在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p q a a a a 矛盾， 所以21a ，类似地，必有31a ，41a ，52a ，62a ， 由s t p q a a a a 得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，121mim i aa a a 要最小，则每项尽可能小，且m 值要尽量小，则56174a a a a ，73a ，同理，84a ，95a ，…，698m a ，当 n a 中间各项为公差为1等差数列时，可使得m 值最小，且满足已知条件.由对称性得最后6项为123100m m m m a a a a ，4599m m a a ， 则121mi m i a a a a 的最小值 1999941003129954542S.【点睛】对于数列新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当2k m 时，1k k a a 或11k k a a ，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.二､选择题13. 已知直线 1:3260l x a y ，直线 2:2320l ax a y ，则“9a ”是“12l l //”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可. 【详解】若9a ，则两直线方程分别为1:3760l x y 和22:3703l x y ， 满足两直线平行，即充分性成立， 若12l l //，当0a 时，两直线分别为1:3260l x y 和2:320l y ， 此时两直线不平行，不满足条件.当0a 时，若两直线平行则 236232a a a， 由2323a a a 得 3232a a a ，即2890a a ， 所以9a 或1a ，的的当1a 时， 236232a a a，不满足条件. 则1a ，即9a ，则“9a ”是“12l l //”的充要条件， 故选：C14. 已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A. sin ,cos ,tan B. sin ,tan ,cos C. 22sin ,cos ,tan D. 22cos ,sin ,tan【答案】D【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用三角函数的基本关系式即可判断.【详解】对于A ，令π4，则sin ,cos ,tan 122，所以21cos ,sin tan 1222，即2cos sin tan ，故A 错误； 对于B ，令π4，则21tan 1,cos sin 2，即2tan cos sin ，故B 错误；对于C ，令π6 ，则2222111sin ,cos ,tan 24233， 所以2223111cos,sin tan 44312，即222cos sin tan ，故C 错误； 对于D ，因为角 的终边不在坐标轴上，所以cos 0 ，sin 0 ，tan 0 ， 所以sin tan cos，即sin cos tan ，则222sin cos tan ， 所以22cos ,sin ,tan 一定成等比数列，故D 正确. 故选：D.15. 已知正四面体ABCD 的棱长为6，设集合Ω|P AP ，点P 平面 BCD ，则Ω表示的区域的面积为（ ） A.B. 3C. 4D. 6【答案】C【分析】过点A 作AO 平面BCD 于点O ，利用正四面体的特点求出,BO AO 的长，从而得到2OP ，即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积. 【详解】过点A 作AO 平面BCD 于点O ，则2π2sin 63332BO BCAO因为AP ，则2OP，则Ω表示的区域为以O 为圆心，2为半径的圆及其内部， 面积为4 ， 故选：C.16. 对于函数 y f x ，若自变量x 在区间 ,a b 上变化时，函数值 f x 的取值范围也恰为 ,a b ，则称区间,a b 是函数 y f x 的保值区间，区间长度为b a .已知定义域为R 的函数 y g x 的表达式为21g x x ，给出下列命题：①函数 y g x 有且仅有4个保值区间；②函数 y g x 的所有保值区间长度之和为32.下列说法正确的是（ ） A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立 C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立【答案】B【分析】分析可知0a b ，分01a b 、0a b 两种情况讨论，分析函数 g x 在 ,a b 上的单调性，根据函数 g x 在 ,a b 上的值域为 ,a b 求出a 、b 的值，即可得出结论. 【详解】因为 210gx x ，所以0a b ，①当01a b 时，当 ,x a b 时， 21g x x ，则函数 g x 在 ,a b 上单调递减，由题意可得 221101g a a bg b b a a b，解得01a b ；②当0a b 时，则当 ,x a b 时， min 10g x g ，必有0a ，则 221,011,1x x g x x x b，所以，函数g x 在 0,1上递减，在 1,b 上单调递增，由 211g b b ，可得b ，当1b 时， 210,1g b b ，故当 0,x b 时， min 10g x g ， max max 0,01g x g g b g ，故当1b 时，函数 g x 在 0,b 上的值域为 0,1，不合乎题意；当b 时，有 21g b b b ，得12b ， 此时，当 0,x b 时， min 10g x g ， max max 0,g x g g b g b b ，合乎题意.综上， y g x 有2个保值区间，故①错；所有的保值区间为 0,1和10,2，长度之和为1310022 ，故②对. 故选：B. 三､解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD 中，已知PA 底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB .（1）求证：直线BD 平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin 3【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA 平面ABCD ，且BD 平面ABCD ，所以PA BD .在正方形ABCD 中，AC BD .而PA AC A ，,PA AC 平面PAC ，故BD 平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB ，则 1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而 1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC .设平面PBD 的法向量为 ,,n x y z r， 0000PB n x z x z y z y z PD n， 令1z ，则 1,1,1n .设直线PC 与平面PBD 所成的角为 ， 则1sin |cos ,3PC n PC n PC n ∣， 故PC 与夹面PBD 的所成角大小为1arcsin 3.18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若100a ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）【答案】（1）936万元（2）3000万元【分析】（1）用n a 表示第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算123,,a a a 可得；（2）由已知写出1236,,,,a a a a ，然后由63000a 求得a 的范围．【小问1详解】记n a 为第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则1500 1.4100600a ，2600 1.4100740a3740 1.4100936a故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.【小问2详解】1500 1.4a a ，22500 1.4 1.4500 1.4 1.4a a a a aL6546500 1.4 1.4 1.41a a 661 1.4500 1.41 1.4a 由63000a ，得46.8a ，故运营成本最多控制在46.8万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.19. 在ABC 中，设角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､，且 cos 4cos 0a B b c A .（1）求cos A ；（2）若2,1BD DC AD ，求2c b 的最大值.【答案】（1）1cos 4A （2）5【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；（2）由cos cos 0ADB ADC 得2222411199*********a c ab a a ，因为2221cos 42bc a A bc ，两方程联立结合均值不等式即可得出答案.【小问1详解】由 cos 4cos 0a B b c A ，得 sin cos sin 4sin cos 0A B B C A即 sin 4sin cos 0A B C A ，从而sin 4sin cos 0C C A ，由sin 0C ，得1cos 4A. 【小问2详解】 由cos cos 0ADB ADC 得2222411199*********a c ab a a ，从而222241121099a c a b ，即2223232a c b 又因为2221cos 42b c a A bc，得22212a b c bc 所以2222132322b c bc c b ，即2249c bc b ， 从而 2293c b bc ， 而 223332224b c bc b c ，故 2232298b c c b解得 27225c b ，当且仅当,105b c 时取等号，所以2c b 的最大值为5. 20. 已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b的左､右焦点分别为12F F ､. （1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5,4a b ，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）已知2,a b ，过点2F 且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l 也过点2F 且与椭圆Γ交于M N ､两点（均不同于A ），是否存在定直线00:l x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM AC AN ､､的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12（2）答案见解析 （3）存在，04x ，理由见解析【分析】（1）由题意知2a c ，即可知离心率；（2）分12PF PF ，112PF F F 和212PF F F 三种讨论即可；（3）设直线 :1l y k x ，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算AM AN k k ，将韦达定理式整体代入，再计算AC k ，得到方程即可.【小问1详解】2c 即2a c ，所以离心率12c e a. 【小问2详解】 由题意得椭圆22:12516x y ①当12PF PF 时，由对称性得 0,4P .②当112PF F F 时，1126PF F F ，故2124PF a PF ，设 ,P x y ，由 123,0,3,0F F 得 2222222233662767316x y x x y x x y x y， 两式作差得53x ，代入椭圆方程，得3y （负舍），故5,33P③当212PF F F时，根据椭圆对称性可知5,33P. 【小问3详解】 由题意得椭圆 22123Γ:1,1,0,1,0,1,432x y F F A. 设直线 :1l y k x ，由 221143y k x x y 得 22224384120k x k x k . 设 1122,,,M x y N x y ，则2122212284341243k x x k k x x k， 1212121233331122221111AM AN y y k x k x k k x x x x221212222212122234123822232223243243214128114343k k kx x k x x k k k k k k k k k x x x x k k ， 000003313221121AC y k x k k x x x， 由032121k k x，得04x . 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线 :1l y k x ，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出AM AN k k 的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入m ，设直线:1l x my .21. 若函数 y f x 是其定义域内的区间I 上的严格增函数，而f x y x 是I 上的严格减函数，则称y f x是I 上的“弱增函数”.若数列 n a 是严格增数列，而n a n是严格减数列，则称 n a 是“弱增数列”. （1）判断函数ln y x 是否为 e, 上的“弱增函数”，并说明理由（其中e 是自然对数的底数）；（2）已知函数 y f x 与函数2248y x x 图像关于坐标原点对称，若 y f x 是 ,m n 上的“弱增函数”，求n m 的最大值；（3）已知等差数列 n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数.记 n a 的前n 项和为n S ，设2(2n n n S T n 是正整数，常数2) ，若存在正整数k 和m ，使得1k m 且k m T T ，求 所有可能的值. 【答案】（1）ln y x 是 e, 上的“弱增函数”，理由见解析（2）1 （3） 所有可能的值为1 和2【分析】（1）根据“弱增函数”的定义，分析ln y x 和ln x y x在 e, 上的单调性即可； （2）由函数 y f x 与函数2248y x x 的图像关于坐标原点对称，求出函数 2248f x x x ，因为y f x 是 ,m n 上的“弱增函数”，根据二次函数和对勾函数的图像性质分别求出 f x 的增区间和 f x x 的减区间，得到 ,1,2m n ，即可求出n m 的最大值； （3）由等差数列 n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数，解得2d ，即可求出2322n n n n T ，通过分析n T 的单调性，可得2m ，从而赋值别求得符合题意的 的值.【小问1详解】函数ln y x 是 e, 上的“弱增函数”，理由如下：显然，ln y x 是 e, 上的严格增函数， 对于函数ln x y x ，21ln x y x， 当 e,x 时，0 y 恒成立， 故ln x y x是 e, 上严格减函数， 从而ln y x 是 e, 上的“弱增函数”.【小问2详解】记 2248g x x x ， 由题意得 2248,,f x g x x x x m n ，824,,f x x x m n x x， 的的由 y f x 是 ,m n 上的“弱增函数”可得函数 y f x 是 ,m n 上的严格增函数，而 f x y x是 ,m n 上的严格减函数，函数2248y x x 图像的对称轴为1x ，且是区间 1,n 上的严格增函数，令 824,,h x x x m n x ，则 282h x x， 当 0h x ，即2820x时，解得2x 或2x ， 当22x 时， 2820h x x，则函数 h x 在 ,2m 上单调递减， 即函数 h x 是区间 ,2m 上的严格减函数，由 y f x 是 ,m n 上的“弱增函数”，得 ,1,2m n ，所以12m n， 所以n m 的最大值为1.【小问3详解】441,n n a d a n d d n n， 由 n a 是“弱增数列”得0,40d d ，即04 d .又因为d 是偶数，所以2d ，从而 22113222,23,22n n n n n n n n a n S na n n T . 故211422n n n n n T T ， 由2 得428 ，所以当3n 时，10n n T T ，即1n n T T ，故若3k m ，则不存在k 和m ，使得k m T T . 从而252,2m T. 若238992T T，解得1 ，满足； 若241612216T T，解得2 ，满足； 若252515232T T ，解得2027 ，不满足. 当5n 时，2520n T T T T ，故不存在大于5的正整数，使得2n T T .综上， 所有可能的值为1 和2 .【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法。
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
上海市2021届高三一模数学填选压轴汇编(2020.12)word版含解析
上海市2021届高三一模考试客观题难题解析数学2020.12一､(宝山区)11.设函数f(x)=a·sin2x+b·cos2x(a,b ∈R),给出下列结论: (1)当a=0,b=1时,f(x)为偶函数 (2)当a=1,b=0时,f(2x)在区间(0,)4π上是单调函数;(3)当3,1a b ==-时,(||)2xf 在区间(-2π,2π),上恰有3个零点; (4)当3,1a b ==时,设f(x)在区间[,]()4t t t R π+∈上的最大值为φ(t),最小值为()t ψ,则()()22t t ϕψ-≤，则所有正确结论的序号是___.12.若定义在N 上的函数f(x),g(x)满足:存在0,x N ∈使得00()()f x g x <成立,则称f(x)与g(x)在N 上具有性质P(f,g).设函数1()2x a f x -=与3(),g x x =其中a>0,已知f(x)与g(x)在N 上不具有性质P(f,g),将a 的最小值记为0,a 设有穷数列{}n b 足*1101,1(,504),][n n b b b n N n a +==+∈≤⨯这里0[]a 表示不超过0a 的最大正整数｡若去掉{}n b 中的一项t b 后,剩下的所有项之和恰可表示为2*(),m m N ∈则t b m +的值为___. 16.下列结论中错误的是() (A)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)>9成立;(B)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=7成立:(C)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=-9成立的实数v x 不存在;(D)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩且使得4(x+1)(y+1)<-9成立的实数x,y 不存在.二、崇明区)11.已知函数y=f(x),对任意x ∈R,都有f(x+2)f(x)=k(k 为常数),且当x ∈[0,2]时,则f(2021)=___.12.已知点D 为圆O 22:4x y +=的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且1,AM AN ⋅=则OA OD ⋅的最大值为___.16.设函数y=f(x)的定义域是R,对于下面四个命题: (1)若函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(f(x))是奇函数; (2)若函数y=f(x)是周期函数,则函数y=f(f(x))是周期函数; (3)若函数y=f(x)是单调减函数,则函数y=f(f(x))是单调减函数; (4)若函数y=f(x)存在反函数1(),y f x -=且函数1()()y f x f x -=-有零点,则函数y=f(x)-x 也有零点;其中正确的命题共有() A.1个B.2个C.3个D.4个三､[虹口区)11.若a,b 分别是正数p,q 的算术平均数和几何平均数,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则P+q+pq 的值形成的集合是____. 12.已知数列{}n a 满足132,2n n a S a n =-=+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和),f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(2-x)=f(x),则,2021()f a =___.16.在空间,已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A,B,过直线l 做平面α,使得点A,B,到平α的距离相等,则这样的平面α的个数不可能是() A.1个B.2个C.3个D.无数四､(闵行区)11.已知平面向量,,,a b c 对任意实数t,都有||||,|||b ta b a b tc -≥--≥|b c -成立.若||3,||2,||7,a c a c ==-=则||b =___.12.已知函数1()||,f x x x=+给出下列命题: ①存在实数a,使得函数y=f(x)+f(x-a)为奇函数;②对任意实数a,均存在实数m 使得函数y=f(x)+f(x-a)关于x=m 对称;③若对任意非零实数a,使得f(x)+f(x-a)≥k 都成立,则实数k 的取值范围为(-∞,4]; ④存在实数k,使得函数y=f(x)+f(x-a)-k 对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是_____.(写出所有真命题的序号)15.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,点12,F F 分别为双曲线的左右焦点,点I 是12PF F ∆的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆-=,则双曲线的渐近线方程是()A.y=±x.2B y x =± .C y =.3D y x =±16.如图,正四棱锥P-ABCD 的底面边长和高均为2,M 是侧棱PC 的中点,若过作该正四棱锥的截面,分别交棱PB ､PD 于点E ､F(可与端点重合),则四棱锥P-AEMF 的体积的取值范围是()1.[,1]2A14.[,]23B4.[1,]3C8.[,1]9D五､[普陀区)11.如图所示,在直角梯形ABCD 中,已知AD//BC,∠ABC=AB=AD=1,BC=2,M 为BD 的中点设P ､Q 分别为线段AB ､CD.上的动点,若P ､M ､Q 三点共线,则AQ CP ⋅的最大值为____.12.设b,c 均为实数,若函数()bf x x c x=++在区间[1,+∞)上有零点,则22b c +的取值范围是___. 16.设b ､c 均为实数,关于x 的方程2||0x b x c ++= 复数集C 上给出下列两个结论:(1)存在b ､c,使得该方程仅有两个共轭虚根. (2)存在b ､c,使得该方程最多有6个互不相等的根. 其中正确的是() (A)①与②均正确(B)①正确,②不正确(C)①不正确,②正确 (D)①与②均不正确六､[青浦区)11.记m a 为数列{3}n在区间*(0,]()m n ∈N 中的项的个数,则数列{}m a 的前100项的和100S =___.12.已知向量e 的模长为1,平面向量,m n 满足:|2|2,||1,m e n e -=-=则m n ⋅的取值范围是___. 七､[徐汇区)11.己知函数f(x)=ax+b(其中a,b ∈R),对任意x ∈[0,1],f(x)≤1则(2a+1)(2b+1)的最小值为___.12.已知双曲线Γ：22145x y -=的左右焦点分别为F 1､F 2,直线与Γ的左右支分别交于点P ､Q(P ､Q 均在x 轴上方).若直线12,PF QF 的斜率均为k,且四边形21PQF F的面积为则k=___.16.设T 是平面直角坐标系xOy 上以A((0,2),(1),1)B C --为顶点的正三角形,考虑以下五种平面上的变换:①绕原点作120°的逆时针旋转;②绕原点作240°的逆时针旋转;③关于直线OA 的对称:④关于直线OB 的对称;⑤关于直线OC 的对称.任选三种变换(可以相同)共有125种变换方式若要使得T 变回起始位置(即点A,B,C 分别都在原有位置),共有() 种变换方式. A.12B.6C.20D.24八､[长宁区)11.设O 为坐标原点,从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的元素x ､y,组成A ､B 两点的坐标(x,y)､(y,x),则12arctan 3AOB ∠=的概率为___.12.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若数列{}n a 满足:存在三个不同的正整数r,s,t,使得,,r s t a a a 成等比数列,222,,r s t a a a 也成等比数列,则1990nnS S a +的最小值为___.16.设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---,其中常数k>0,123,,b b b ∈R .若函数y=f(x)的图像如图所示,则数组123(,,)b b b 的一组值可以是().(3,1,1);A -.(1,2,1);B -- .(1,2,2);C - .(1,3,1).D -九､[嘉定区)11.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 首项10,a >公差d<0,若对任意的*,n N ∈总存*,k N ∈使21(21).k n S k S -=-则k-3n 的最小值为___.12.已知函数f(x)=x|x-a|+3x,若存在a ∈[-3,4],使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则实数t 的取值范围是___.16.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是该正方体棱上一点.若满足1||||(0)PB PC m m +=>的点的个数为4,则m 的取值范围是()4]A.[4,2B + .[4,C .[2D +十､[金山区]11.关于x 的方程230(,)x ax b a b R ++-=∈在上有实根,则22(4)a b +-的最小值为___.12.若f(x)=|x+1|+|x+2|+...+|x+2020|+|x-1|+|x-2+...+|x-2020|,x ∈R,且2(32)(1)f a a f a -+=-)则满足条件的所有整数a 的和是____.16.已知△ABC 的外接圆圆心为O,∠A=120°,若(,)AO x AB y AC x y R =+∈,则x+y 的最小值为()1.2A2.3B3.2C D.2十一､[浦东新区) 11.设函数2()||,f x x a a x=--+若关于x 的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a 的取值构成的集合为____.12.对于任意的正实数a ､b,___.16.已知函数2,(),()()x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数.则下列4个命题:①f(x)是偶函数;②f(x)在[0,+∞)上是增函数; ③f(x)的值域为R;④对于任意的正有理数a ，g(x)=f(x)-a 存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为() A.0B.1C.2D.3十二､[杨浦区)11.如图所示矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,分别将边BC 与DC 等分成8份,并将等分点自下而上依次记作127,,,,E E E 自左至右依次记作127,,F F F 满足2,j i AE AF ⋅≤(其中*,,1,7i j N i j ∈≤≤)的有序数对(i,j)共有___对.12.已知函数y=f(x)在定义域R 上是单调函数,值域为(-∞,0),满足1(1),3f -=-对于任意x,y ∈R ,都有f(x+y)=-f(x)f(y)，y=f(x)的反函数为1(),y f x -=将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图像向上平移1个单位,将得到函数1()y fx -=的图像,则实数k 的值为___.16.设集合{|,0}xA y y a x ==>(其中常数a>0,a≠1),{|,}kB y y x x A ==∈(其中常数k ∈Q),则"k<0"是"A B ⋂=∅"的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件十三､(松江区)11.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x+y 的最大值为___. 12.对于定义城为D 的函数f(x),若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得221212()()2()f x f x f x x ==+,则称函数f(x)具有性质M.若函数2()|log 1|g x x =-x ∈(0,a]具有性质M,则实数a 的最小值为___.16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知点(,)n n a 在直线y=10-2x 上､若有且只有两个正整数n 满足,n S k ≥则实数k 的取值范围是() (A)(8,14](B)(14,18](C)(18,20]81()(18,)4D 十四､[奉贤区)11在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段B ､1BD (不包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD 则四面体121PP AB 的体积的最大值___.12､已知y=f(x)是奇函数,定义域为[-1,1],当x>0时, 211()|()2|1x a f x x --=-(a>0,a ∈Q),当函数g(x)=f(x)-t 有3个零点I 时,则实数t 的取值范围是___.16.是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出,在高等数学的应用,其定义黎曼函数R(x)为:当(,q x p p =q 为正整数,是既约真分数)时1()R x p=,当x=0或x=1或x 为[0,1]上的无理数时R(x)=0.已知a,b,a+b 都是区间[0,1]内的实数,则下列不等式一定正确的是() A.R(a+b)≥R(a)+R(b) B.R(a·b)≥R(a)·R(b)C.R(a+b)≤R(a)+R(b)D.R(a·b)≤R(a)·R(b)答案一、宝山区11.12.16.二、崇明区11.12.16.三、虹口区11.12.16.四、闵行区11.12.15.16.五、普陀区11.12.16.六、青浦区11.12.七、徐汇区11.12.16.八、长宁区11.16.九、嘉定区11.16.十、金山区11.12.16.十一、浦东新区11.12.16.十二、杨浦区11.12.16.十三、松江区11.12.16.十四、奉贤区11.12.16.。
2024届上海黄浦区高三一模数学试卷和答案
2024年上海黄浦区高考数学一模试卷一、填空题1.已知集合{2},{1}A x x B x x =≤=≥-∣∣，则A B = __________．2.若函数()()1y x x a =+-为偶函数，则=a _______3.已知复数1i z =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为__________．4.若双曲线22116x y m -=经过点，则此双曲线的离心率为__________．5.已知向量(0,2),a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为__________．6.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．7.某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，4y ，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为__________．8.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22255650a b bc c -+-=，则sin 2A 的值为__________．9.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________．10.若ϕ是一个三角形的内角，且函数3sin(2)y x ϕ=+在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是__________．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为1313233343log log log log (1)log 18n n a a a a a +-+-++-> 的最小正整数n 的值为__________．12.若正三棱锥A BCD -的底面边长为6，动点P 满足()()DA CB PA PB PC PD +⊥+++ ，则||2||PA PB PA ++的最小值为__________．二、选择题13.设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A.720 B.710C.310D.3515.若实数,a b 满足221||a b ab +=+，则必有（）A.222a b +≥ B.221a b -≤ C.1a b -≤ D.2a b +≤16.在平面直角坐标系xOy 中，对于定点(,)P a b ，记点集(){},1,1x y x a y b-≤-≤‖∣中距离原点O 最近的点为点P Q ，此最近距离为()f P ．当点P 在曲线2284160x y x y +--+=上运动时，关于下列结论：①点P Q 的轨迹是一个圆；②()f P 的取值范围是2]+．正确的判断是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立三、解答题17.已知等比数列{}n a 是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，数列{}n b 的前n 项和()312nn S =-，向量(),nna b 的模为nt，求数列{}n t 的前n 项和．18.如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//,45,2,42BC AD BAD CDA CD AD ∠=∠=︒==．（1）证明：CD ⊥平面ABF ；（2）求二面角B EF A --的正切值．19.某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中2π3AOB ∠=．现拟用长度为100米的隔离档板（折线DCE ）与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==．（1）设πππ333DOC αα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．20.设a 为实数，1Γ是以点(0,0)O 为顶点，以点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，2Γ是以点(0,)A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a =下方的部分．（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2y x =+被1Γ所截得的线段的中点在2Γ上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2Γ在1Γ的上方，且2Γ有两条不同的切线被1Γ所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.设函数()f x 与()g x 的定义域均为D ，若存在0x D ∈，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称函数()f x 与()g x “局部趋同”．（1）判断函数1()51f x x =+与32()2f x x x =+是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数212()(0),()e (0)xg x x ax x g x b x =-+>=>．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数1()(0)nh x mx x x=+>与2()ln h x x =“局部趋同”，求实数m 的取值范围．参考答案：一．填空题：1、{|12}x x -≤≤；2、1；3、i -；4、54；5、12；6、；7、56；8、2425；9、220；10、0,6π⎛⎤⎥⎝⎦；11、25；12、8；二．选择题：13、A ；14、B ；15、D ；16、C ；三．解答题：17、（1）因为等比数列{}n a 为严格增数列，所以其公比1q >，由345,,a a a 分别乘以4,3,2后依然成等差数列，得435642a a a =+，有4353456421000a a a a a a =+⎧⎨=⎩，即324111323416421000a q a q a q a q++⎧=+⎨=⎩，由10a ≠，解得152,4q a ==，所以13152n n n a a q --==⋅；（2）由题意知，设等比数列{}n b 的公比为(1)p p ≠，则111(1)111n n n b p b bS p p p p-==-⋅---，又3(12)332n n n S =-=-⋅，所以1312n n b p p ⎧=⎪-⎨⎪=⎩，解得13,2b p =-=，所以11132n n n b b p --==-⋅，则3132n n t -===⋅，所以数列{}n t 的前n 项和为221322(12)1313(2222)13132124n n n ------++++=⨯=⋅-- .18、（1）由于//,45BC AD BAD CDA ∠=∠=︒，所以四边形ABCD是等腰梯形，2,AB CD AD ===，所以B 到AD的距离是2sin 45⨯︒=，所以()22cos 45BC =⨯⨯︒=.依题意，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，由此以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，(),0,BF ，设平面ABF 的法向量为()1111,,n x y z =，则111110n AB n AF ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设()11,0,1n =-.((),,C D CD =，由于1CD = ，所以1//CD n，所以CD ⊥平面ABF .（2）平面AEF 的一个法向量为()0,0,1m =，()E，((),BF FE ==，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则0n BF n FE ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可设()0,1,4n = ，设二面角B EF A --为θ，由图可知θ为锐角，则cos n m n mθ⋅==⋅sin θ==，所以sin 1tan cos 4θθθ==.19、（1）πππ333DOC αα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，2π3AOB ∠=，2233ππD πOC αα⎛-∴∠==⎫+ ⎪⎝⎭-，3233πEOC ππαα∠⎛⎫+= ⎝⎭=--⎪，2332πOC πE παα⎛⎫- ⎪⎝=⎭-+∠=，设OD a =,CD b =，则OE a =,100CE b =-，则n 3sin si 23a b ππαα=⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭+⎝⎭，100sin si 323n a πbπαα⎪+-=⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎝⎭⎝⎭，则3sin n 2i 3s a b ππαα⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛+-⎫ ⎪⎝⎭，则sin 100sin si 3n sin 33223a aππππαααα⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎭⎝+-⎝⎭，即2sin sin 100sin sin 33332a a ππππαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝-⎭⎝+⎭+，即sin sin 3100sin 3sin 3232πππa παααα-+++-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则sin cos cos sin sin cos sin cos sin 223cos cos sin 1003333sin cos sin co 3322s 3a ππππππππαααααααα-+=+-+，11sin sin 10022222313122222a αααα-+=，1111cos sin cos sin 22222222100sin sin 2222aαααααααα⎫-+⎪⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎭ ⎪=⎝⎭⎭⎝⎭⎝可得：22223cos cos 4123c 1cos sin cos sin sin 2424242sin 22os co 1sin cos sin s s 10041inos 222424242sin 22a αααααααααααααααααααα--+-+-⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2223cos cos 100231cos 41sin sin22sin 242a αααααα+-=，则1sin sin 2221cos coscos cos 1003cos 11co 242s 42a αααααααα=+⎛-⎫⨯++ ⎝-⨯⎭，则cos coscos 312221003cos 1cos 88a αααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--+，则cos cos cos 10033cos 1c 2282os 1a ααααα=++-+，则8cos cos 10024cos 122a ααα⎛⎫⎝=+⎪⎭+，则2cos cos 10c 12201os 2a ααα⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪+⎭+⎝，即21002cos aα=，即250cos a α=，即250cos OD α=.（2）设πππ333DOC αα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，由（1）得250cos OD OC OE α===，3πEOC α∠-=则2213503150sin sin 22cos c 2s 2o ODCE ODC OECS ππS S αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，2500sin cos cos sin sin cos cos sin cos 13333ππππααααα⎛⎫=++-⎪+⎝⎭，25002sin cos cos 13παα⎛⎫= ⎪+⎝⎭2500cos cos 1αα=+250011cos α=+，ππ33α-<< ，1cos ,12α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，25002500,1250131cos α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦+，要使花卉育苗区的面积最大，则cos 1α=，即0α=，故当3DOC E πOC ∠=∠=,50OD OC OE ===时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250.20、（1）设21:2x py =Γ，则124F p y ==，解得12p =，故21:x y Γ=，依题意有()()222:,10x y a x y a Γ+-=≥≤.（2）设2y x =+被1Γ所截得的线段为DE ，中点为G ，联立2y x =+和21:x y Γ=有220x x --=，故11,222D E D E G D E x x x x x x x +=⎧+==⎨=-⎩，故522G G y x =+=，15,22G ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()222:,10x y a x y a Γ+-=≥≤得：()215,4210a x y a ⎛⎫+-=≥≤ ⎪⎝⎭，解得52a =.（3）如图，2Γ在1Γ的上方时，抛物线和圆无交点，联立2x y =和()221x y a +-=有()221210y a y a +-+-=且()()2212410a a ∆=---<，解得54a >，显然，2Γ切线斜率存在，设切线方程为y kx b =+，由2Γ为四分之一圆知,0b a k <<，1=，故b a =-切线方程为y kx a =+，与2x y =联立得20x kx a --+=，设2Γ被1Γ所截得的线段为HK，则H K x x -=，H K HK x =-=记t =1t >，HK ==，记()()432441,1f t t t a t t =-+->，则()()1450,lim t f a f t →+∞=->→+∞，依题意有：对给定的a ，d HK ∃=使得()f t 和2y d =有两个交点，由()()()322'4128222641f t t t a t t t t a =-+-=-+-知1t ∃>使226410t t a -+-<即可，否则()f t 在()1,+∞上单调，不存在12t t ≠使得()()12f t f t =，而126322t t -+=-=>，故只需()()2642410a ∆=--⨯->，解得118a <，综上所述：51148a <<.21、（1）由1()51f x x =+，32()2f x x x =+，得()15f x '=，()2232f x x '=+，令()()12f x f x ''=，解得：1x =±，()12(1)63f f x =≠= ，且()12(1)43f f x -=-≠=-，即不存在0x D ∈，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则函数1()51f x x =+与32()2f x x x =+不是“局部趋同”；（2）函数212()(0),()e (0)xg x x ax x g x b x =-+>=>，则12()2(0),()e (0)x g x x a x g x b x =-+>'>'=，若函数1()g x 与2()g x “局部趋同”，则存在0x D ∈，满足1020()()g x g x =且1020()()g x g x ''=，即0200e xx ax b -+=，且002e xx a b -+=，则若20002x ax x a -+=-+有解，不论b 为何值，都存在0x D ∈，满足1020()()g x g x =且1020()()g x g x ''=，即对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”，20002x ax x a -+=-+即()20020x a x a -++=，其2244440a a a a ∆=++-=+>，高中11即20002x ax x a -+=-+有解，所以对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”，（3）若函数1()(0)nh x mx x x =+>与2()ln h x x =“局部趋同”，则000ln n mx x x +=且10202001()()n h x m h x x x -=+==''，由2001n m x x -+=，得200200x mx nx -+=，即2000x mx n -+=，则200n mx x =-，代入000ln n mx x x +=，得000002ln mx x mx xx -+=，即0021ln mx x -=，则若0021ln mx x -=有解，函数1()(0)n h x mx x x =+>与2()ln h x x =就“局部趋同”，即00ln 12x m x +=有解，令()ln 1x d x x +=，则()221ln 1ln x x xx d x x x ---'==，在01x <<上，ln 0x <，在1x >上，ln 0x >，则在01x <<上，()0d x '>，在1x >上，()0d x '<，即()d x 在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，最大值为()ln11111d +==，x 从+∞趋向于0时，ln 1x +趋向于-∞，x 趋向于0，则()ln 1x d x x+=在x 从+∞趋向于0时，趋向于-∞，则()(]ln 1,1x d x x +=∈-∞，则要使00ln 12x m x +=有解，即(]2,1m ∈-∞，即1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，故实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1203．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．57198．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2210．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz +=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年上海市嘉定区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2022学年第一学期高三年级质量调研数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.已知集合{}11A x x =-<，Z 是整数集，则Z A ⋂=________.2.已知复数1i z =，i 是虚数单位，则z 的虚部为________.3.直线1x =10y -+=的夹角大小为________.4.已知m ∈R ，若关于x 的方程()22223111mx x m m x m x ++-=⋅+++解集为R ，则m的值为_________.5.已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为________.6.某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：242536272832202629302633据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第75百分位数为_______千克.7.已知常数m ∈R ，在()nx my +的二项展开式中，33x y 项的系数等于160，则m =_______.8.若函数11y x =-的值域是12(,0)[,)-∞+∞ ，则此函数的定义域为___________．9.如图为正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线A B '异面的共有______条.10.关于x 的方程|23||2||1|x x x -+-+=-的解集为_________.11.在空间直角坐标系中，点(1,0,0)A ，点(5,4,3)B -，点(2,0,1)C ，则AB 在CA方向上的投影向量的坐标为_________.12.已知抛物线2=3x y ，动点A 自原点出发，沿着y 轴正方向向上匀速运动，速度大小为v .过A 作y 轴的垂线交抛物线于B 点，再过B 作x 轴的垂线交x 轴于C 点.当A 运动至()0,100时，点C 的瞬时速度的大小为___________.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.已知ABC ，那么“222AC AB BC +-<uuu r uu u r uu u r ”是“ABC 为钝角三角形”的（）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充要条件D.以上皆非14.已知四条双曲线，2211x y Γ-=：，222194x y Γ-=：，223149y x Γ-=：，22411616x y Γ-=：，关于下列三个结论的正确选项为（）①4Γ的开口最为开阔；②1Γ的开口比3Γ的更为开阔；③2Γ和3Γ的开口的开阔程度相同.A .只有一个正确B.只有两个正确C.均正确D.均不正确15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（）A.100元B.150元C.175元D.200元16.中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值.若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（）A.8B.9C.10D.11三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，底面正方形ABCD 的边长为2，13AA=.（1）求证：平面11AA CC ⊥平面1A BD ；（2）求点A 到平面1A BD 的距离.18.若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则称数列{}n a 为调和数列.若实数a b c 、、依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项.（1）求13和1的调和中项；（2）已知调和数列{}n a ，16a =，42a =，求{}n a 的通项公式.19.李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A B 、两款车型中选择其一，A 款车是燃油车，B 款车是电动车，售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息：A 款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B 款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.20.如图所示，由半椭圆()2212104x y C y b+=≤：和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y -+=≥组成曲线:(,)0C F x y =，其中点12A A 、依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12F F 、依次为1C 的左、右焦点.若点12F F 、分别为曲线23C C 、的圆心.（1）求1C 的方程；（2）若点P Q 、分别在23C C 、上运动，求BP BQ +的最大值，并求出此时点P Q 、的坐标；（3）若点M 在曲线:(,)0C F x y =上运动，点(0,1)N -，求NM 的取值范围.21.已知()ln xf x x=，（1）求函数()y f x =的导数，并证明：函数()y f x =在[)e,+∞上是严格减函数（常数e 为自然对数的底）；（2）根据（1），判断并证明9989与8999的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；（3）已知a 、b 是正整数，a b <，baa b =，求证：2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.2022学年第一学期高三年级质量调研数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.已知集合{}11A x x =-<，Z 是整数集，则Z A ⋂=________.【答案】{}1【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合A ，再取交集即可.【详解】()111,02,0,2x x A ∴-<-<∴<<∴=，{}1.A ∴⋂=Z 故答案为：{}1.2.已知复数1iz =，i 是虚数单位，则z 的虚部为________.【答案】1-【分析】先利用复数的除法法则计算得到i z=-，从而求出z 的虚部.【详解】()()1i 1i i i i z ⨯-===-⋅-，故虚部为-1.故答案为：-13.直线1x =10y -+=的夹角大小为________.【答案】π6##30 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】因为直线1x =的斜率不存在，倾斜角为π2，10y -+=，倾斜角为π3，故直线1x =10y -+=的夹角为πππ236-=，故答案为：π6．4.已知m ∈R ，若关于x 的方程()22223111mx x m m x m x ++-=⋅+++解集为R ，则m 的值为_________.【答案】2【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出2m =，验证后得到答案.【详解】()22223111mx x m m x m x ++-=⋅+++的解集为R ，先令等号左右两边的常数项相等，即11m -=，解得：2m =，将2m =代入方程可得：22431431x x x x ++=++，解集为R ，满足要求.故答案为：25.已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为________.【答案】16π【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，则2π16πr =，解得：4r =，则圆锥底面周长为2π8πr =，设圆锥的母线长为l ，则18π=20π2l ⨯，解得：5l =，由勾股定理得：3h ==，故圆锥的体积为π1163π163⨯⨯=.故答案为：16π.6.某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：242536272832202629302633据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第75百分位数为_______千克.【答案】①.2800②.31【分析】先计算样本的平均数，然后再估计整体总产量，找出样本的第八与第九的均值表示第75百分位数.【详解】()12425362728322026293026332812x =+++++++++++= （千克），所以总产量：281002800⨯=千克；样本总共有12个数，所以1275%9⨯=，只需找出第9个数字和第10个数字取平均数即可，从小到大排列后第九个数字为30，第十个数字为32，所以第75百分位数为：31故答案为：2800；31.7.已知常数m ∈R ，在()nx my +的二项展开式中，33x y 项的系数等于160，则m =_______.【答案】2【分析】首先根据展开式中存在33x y 一项可知6n =，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于m 的方程，解方程即可求出参数m 的值.【详解】根据已知条件33x y 是二项式展开式的某一项，故得6n =.由()66166C C rr r rr r r r T x my m x y --+==，令6r 3-=，得3r =.得3333316C T m x y +=，根据已知可得3336C 20160m m ==，解得38m =，即2m =.故答案为：2.8.若函数11y x =-的值域是12(,0)[,)-∞+∞ ，则此函数的定义域为___________．【答案】()(],11,3-∞⋃【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.【详解】当(),0y ∈-∞时，10,1;1x x <∴<-当1,2y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，11,012,1 3.12x x x ≥∴<-≤∴<≤-故答案为：()(],11,3-∞⋃9.如图为正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线A B '异面的共有______条.【答案】5【分析】作出辅助线，得到,,,A D B C ''四点共面，,A B CD ''不是异面直线，同理得到EF '与A B '共面，再由//E A B D ''，,,AB A F BC '''与A B '相交，得到与A B '不是异面直线的面对角线，从而得到与A B '异面的面对角线，求出答案.【详解】连接A D ''，因为六边形A B C D E F ''''''为正六边形，所以//B A D C ''''，故//A D BC ''，所以,,,A D B C ''四点共面，,A B CD ''不是异面直线，同理可得：EF '与A B '共面，不是异面直线，而//E A B D ''，又,,AB A F BC '''与A B '相交，故12条面对角线中，与A B '不是异面直线的面对角线为,,,,,A D DE F EF B A BC C ''''''，其余面对角线均与A B '异面，分别为,,,,BC C D D E FE AF '''''，共5条.故答案为：510.关于x 的方程|23||2||1|x x x -+-+=-的解集为_________.【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.【详解】由绝对值三角不等式可得：2322321x x x x x -+-+≥--+=-，当且仅当()()2320x x --+≥，即3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，故|23||2||1|x x x -+-+=-的解集为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.11.在空间直角坐标系中，点(1,0,0)A ，点(5,4,3)B -，点(2,0,1)C ，则AB 在CA方向上的投影向量的坐标为_________.【答案】77,0,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求出AB 和CA的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.【详解】依题意：()()4,4,3,1,0,1,AB CA =-=--所以AB 在CA方向上的投影向量为：()()2777cos ,1,0,1,0,.222AB CA CAAB AB CA CA CA CA⋅-⎛⎫⨯=⨯=--= ⎪⎝⎭故答案为：77,0,22⎛⎫⎪⎝⎭12.已知抛物线2=3x y ，动点A 自原点出发，沿着y 轴正方向向上匀速运动，速度大小为v .过A 作y 轴的垂线交抛物线于B 点，再过B 作x 轴的垂线交x 轴于C 点.当A 运动至()0,100时，点C 的瞬时速度的大小为___________.【答案】320v 【分析】根据x x y t y t∆∆∆=⋅∆∆∆进行求解.【详解】不妨取点B 为第一象限的点，则点C 位于x 轴正半轴，由()2=30x y x >可得：x，x x y v v t y t∆∆∆'=⋅==∆∆∆，当当A 运动至()0,100时，B 点的纵坐标为100，将其代入上式，320x v t ∆==∆，即点C 的瞬时速度的大小为320v .故答案为：320v 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.已知ABC ，那么“2220AC AB BC +-<uuu r uu u r uu u r ”是“ABC 为钝角三角形”的（）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充要条件D.以上皆非【答案】A【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】2220AC AB BC +-<uuu r uu u r uu u r ，即2220b c a +-<，由余弦定理得：222cos 02b c a A bc+-=<，因为()0,πA ∈，所以π,π2A ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形，充分性成立，ABC 为钝角三角形，若B 为钝角，则A 为锐角，则2220AC AB BC +->uuu r uu u r uu u r ，必要性不成立，综上：“2220AC AB BC +-<uuu r uu u r uu u r ”是“ABC 为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.故选：A14.已知四条双曲线，2211x y Γ-=：，222194x y Γ-=：，223149y x Γ-=：，22411616x y Γ-=：，关于下列三个结论的正确选项为（）①4Γ的开口最为开阔；②1Γ的开口比3Γ的更为开阔；③2Γ和3Γ的开口的开阔程度相同.A.只有一个正确 B.只有两个正确 C.均正确 D.均不正确【答案】D【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：12341313,32c e e e e a =====2413.e e e e <=<可知：三个结论均为错误；故选：D15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（）A .100元B.150元C.175元D.200元【答案】C【分析】我们需要计算出继续比赛甲获胜的概率按照比例给甲分得奖金.【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是1,2假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，甲获胜的概率317711,200175288P ⎛⎫=--=∴⨯= ⎪⎝⎭（元）故选：C16.中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值.若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【分析】先求出圆内接正6n 边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.【详解】如图，圆内接6n 边形，122ππ,63AOA B n n∠==为12AOA 中点，半径为1211ππ,22sin 2sin,12sin 66r A A A B r A OB r C nr n n∴==∠=∴=，圆周率π12sinπ6π6sin 26nr n n r n≈=，由计算器可得：10.n ≥故选：C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，底面正方形ABCD 的边长为2，13AA=.（1）求证：平面11AA CC ⊥平面1A BD ；（2）求点A 到平面1A BD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）32211.【分析】（1）证明出BD ⊥平面11AA CC ，从而得到面面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.【小问1详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥BD ，因为1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11AA CC ，所以BD ⊥平面11AA CC ，又BD ⊂平面1A BD ，所以平面11AA CC ⊥平面1A BD .【小问2详解】设点A 到平面1A BD 的距离为d ，AC 与BD 相交于点O ，连接1AO ，因为正方形ABCD 的边长为2，13AA =，所以11A B A D ===BD ==，由三线合一可得：1AO ⊥BD ，且BO OD ==，由勾股定理得：1AO ===，所以111122A BD S BD A O =⋅=⨯= ，故1113223A BD A A BD V d S d -⋅==，又122ABD S AB AD =⋅=△，1A A ⊥平面ABD 故11123A ABD ABD V S AA -=⋅= ，由11A ABD A A BD V V --=⇒11d ==，故点A 到平面1A BD 的距离为32211.18.若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则称数列{}n a 为调和数列.若实数a b c 、、依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项.（1）求13和1的调和中项；（2）已知调和数列{}n a ，16a =，42a =，求{}n a 的通项公式.【答案】（1）12（2）1821n a n =+【分析】（1）根据题意得到3、1b、1成等差数列，从而得到方程，求出1=2b ，得到答案；（2）根据题意得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出12118n n a +=，得到{}n a 的通项公式.【小问1详解】设13和1的调和中项为b ，依题意得：3、1b 、1成等差数列，所以13+1==22b ，解得：1=2b ，故13和1的调和中项为12；【小问2详解】依题意，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，则1113269d d =-⇒=，所以()()1111121116918n n n d n a a +=+-=+-=，故1821n a n =+.19.李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A B 、两款车型中选择其一，A 款车是燃油车，B 款车是电动车，售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息：A 款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B 款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买B 款或买A 款车进行分析.【小问1详解】李先生可能还需要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆使用情况；2、油价和电价的变化；3、工作单位能否提供免费充电；4、电动车的国家减免政策的变化；5、车辆的外观、内饰与品牌效应.6、车牌费用【小问2详解】假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价0.65元/度、油价8.5元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.使用年数够车费里程数油耗油费车险费用购置税保养费车辆残值总费用1300000100006005100400030000200026400077100 2300000200001200102008000300004000232320119880 33000003000018001530012000300006000204442158858 43000004000024002040016000300008000179909194491 530000050000300025500200003000010000158320227180 630000060000360030600240003000012000139321257279 730000070000420035700280003000014000122603285097 830000080000480040800320003000016000107890310910 93000009000054004590036000300001800094944334956 1030000010000060005100040000300002000083550357450使用年数够车费里程数电耗电费车险费用购置税保养费车辆残值电池更换费总费用1300001000020001300600001000255000053300230000200004000260012000020002167500998503300003000060003900180000300018423801406634300004000080005200240000400015660201765985300000500001000065003000050001331122083886300000600001200078003600006000113145100000336655730000070000140009100420000700096173100000361927830000080000160001040048000080008174710000038465393000009000018000117005400009000694851000004052151030000010000020000130006000001000059062100000423938写出1至5年任意一年中的一组对比数据，例如：A 款车使用5年的总费用为：4025053000008.5400053000016A y ⨯⨯=+⨯+⨯+54025052000300000(10.12)228243,+⨯⨯⨯-⨯-=B 款车使用5年的总费用为：402505300000200.6560005100B y ⨯⨯=+⨯⨯+⨯54025051000300000(10.15)208388,10000⨯⨯+⨯-⨯-=所以，如果李先生打算开5年就按二手车卖掉，可以选B 款车.再写出6至10年任意一年中的一组对比数据，结论：使用年数不超过5年，建议买B 款车；使用年数超过5年，建议买A 款车.20.如图所示，由半椭圆()2212104x y C y b+=≤：和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y -+=≥组成曲线:(,)0C F x y =，其中点12A A 、依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12F F 、依次为1C 的左、右焦点.若点12F F 、分别为曲线23C C 、的圆心.（1）求1C 的方程；（2）若点P Q 、分别在23C C 、上运动，求BP BQ +的最大值，并求出此时点P Q 、的坐标；（3）若点M 在曲线:(,)0C F x y =上运动，点(0,1)N -，求NM 的取值范围.【答案】（1）()221043x y y +=≤（2）最大值为6，3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（3）1⎤-+⎦【分析】（1）由圆心的横坐标确定c 的值，再用222b a c =-可得方程；（2）将,BP BQ 运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计算出点P Q 、的坐标；（3）需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算.【小问1详解】依题意，()()121,01,0F F -、，所以2413b =-=，于是1C 的方程为()221043x yy +=≤【小问2详解】由对称性，不妨设2P C ∈，3Q C ∈，()()()()112221216BP BQ BF F P BF F Q +≤+++=+++=，当1B F P 、、三点共线，同时2B F Q 、、三点共线，()max6BP BQ+=，此时122π,3OF P OF Q ∠=∠=∴33,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22Q ⎛ ⎝⎭.【小问3详解】曲线:(,)0C F x y =关于y 轴对称，不妨设点M 在曲线2:C ()()22110x y y -+=≥或曲线1C 的右半部分()2210,043x yx y +=≥≤上运动.①当点M 在曲线()()22110x y y -+=≥上运动，设()cos 1,sin M θθ+，0θπ≤≤.()()222=cos 1+sin 1324NMπθθθ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，0θπ≤≤22NM ⎡⇒∈⎣2NM ⎡⎤⇒∈⎣⎦；②当点M 在曲线()2210,043x y x y +=≥≤上运动，设()2cos 3M θθ，02πθ-≤≤.())2222=2cos +31sin 35NMθθθθ+=-++，02πθ-≤≤243,5NM ⎡⎤⇒∈-⎣⎦35NM ⇒∈-，综合①②，321NM ⎤∈-+⎦.【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都需要采用分类讨论的方法，与圆有关系的问题一般都考虑几何法优先.21.已知()ln xf x x=，（1）求函数()y f x =的导数，并证明：函数()y f x =在[)e,+∞上是严格减函数（常数e 为自然对数的底）；（2）根据（1），判断并证明9989与8999的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；（3）已知a 、b 是正整数，a b <，b a a b =，求证：2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.【答案】（1）21ln xy x-'=，证明见解析；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）求导，有导函数的正负得到函数的单调性，从而得到()y f x =在[)e,+∞上是严格减函数；（2）在第一问的基础上，得到ln 89ln 998999>，变形后得到99898999>，写出一般的结论；（3）先得到2,4a b ==满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若3a ≥，可知b a a b >，与b a a b =矛盾；若1a =，求出1b =，与a b <矛盾；若2a =，则()222,N b b b b =<∈即ln 2ln 2b b=，容易验证3b ≠，4b =成立，当5b ≥，得到ln 2ln 4ln 24bb=>，于是22b b >，矛盾，故2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.【小问1详解】()y f x =的导函数为21ln xy x -'=，令21ln 0x y x -'==，得e x =，列表：x()0,e e()e +∞，()f x '+0-()f x极大值所以，函数()y f x =在[)e,+∞上是严格减函数；【小问2详解】判断得到99898999>，下面证明：由（1），()()8999f f >，即ln 89ln 998999>，所以9989ln 89ln 99>，由ln y x =的单调递增，得到99898999>.推广：对于实数,a b ，若e a b <<，则ln ln a ba b>即b a a b >，以下是证明过程：由（1）知：()ln xf x x=在[)e,+∞上是严格减函数，因为e a b <<，所以ln ln a ba b>，则ln ln b a a b >，ln ln b a a b >，因为ln y x =单调递增，所以b a a b >.【小问3详解】因为422416==，可见2,4a b ==满足()1,,N baa b a b a b =≤<∈，下面证明唯一性：①若3a ≥，由第二问的结论可知b a a b >，与b a a b =矛盾；②若1a =，则11b b =即1b =，与a b <矛盾；③若2a =，则()222,N bbb b =<∈即ln 2ln 2b b=，显然3b ≠不满足，4b =成立，若5b ≥，由第二问结论可知：ln 4ln 4b b >，则ln 2ln 4ln 24bb=>，于是22b b >，与22b b =矛盾.综上，2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对9989与8999先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.。
上海市高三数学一模考试试题(含解析).doc
高三数学一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 2.已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3 【解析】 【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3．【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈ 【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66 【解析】 【分析】直接利用组合数的应用求出结果．【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9- 【解析】 【分析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞ 【解析】 【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x ，则k =_____【答案】2± 【解析】 【分析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x 求得a 与b 的值，则k 可求． 【详解】解：方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ，可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】 【分析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l的距离d ==，AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ， 所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 【答案】47- 【解析】 【分析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ．【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n nc a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭； 所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(． 故答案为：(．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ．【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 2()log (41)x f x x =+-B. ()||2cos f x x x =-C. 2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D. |lg |()10x f x =【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解； 【详解】解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， 当0x 时，函数122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ．【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面【答案】B 【解析】 【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ=，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果. 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈-对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133；（2）5arccos 8；【解析】 【分析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 边的距离为3，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+⨯=梯形． 13DD =，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯=⨯⨯=四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+=， 222211121211()942C E EC CC =+=+-⨯⨯⨯-+=．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值．【详解】解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02xπ，所以72666x πππ+，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，函数的图象有两个交点， 故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=，即20.90.90.20x x +-=， 可得0.9x=， 可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于AB 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）2y x =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标； （2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F -22(2)||x y x t ++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：22221222222x x x x tx t +++-=-+，(22)2x t ∴=--；又因为2t =，代入得：642M x =-+；（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MABSt y =⋅，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则MAB S≤，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩令，则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=令ln n nb a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：112n n nlna lna lna +++，可得1n lna lna +，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b ，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t ，解得t R ∈．2n 时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出．【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +>2ln na + 又因为2n a +=2lnn a +=，要证明2lnn a+>> 要证明>()1ln n n aa +⋅> 又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b ，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n nn n n n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--====--所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． nb 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭-===--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫==⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合{}21,RA y y x x ==-∈，{B x y ==，则A B = ______.【正确答案】⎡-⎣【分析】先求函数21,R y x x =-∈的值域，即可化简集合A，再求函数y =的定义域，即可化简集合B ，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为{}21,R A y y x x ==-∈，所以A 为函数21,R y x x =-∈的值域，因为211y x =-≥-，所以{}1A y y =≥-.因为{B x y ==，所以B为函数y =的定义域，由220x -≥得22x ≤，即x ≤≤，所以{B x x =≤≤，所以{}{1A B y y x x ⎡⋂=≥-⋂≤≤=-⎣.故⎡-⎣2.若复数z 满足32iiz -=（其中i 是虚数单位），则||z =______.【分析】化简复数z ，再求出z ，进而求出||z .【详解】∵32i (32i)i 23i23i i i i 1z --+====--⨯-，∴23i z =-+，∴||z ==3.已知向量()3,6a = ，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【正确答案】3-【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-====-.故答案为.3-4.若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，即不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，当0a =时，不等式等价与20x ->，不符合题意；则满足2)22(40a a ->⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，即实数a 的取值范围是(1,)+∞.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是______.【正确答案】24【分析】先由等差数列的通项公式化简18153120a a a ++=得到1724a d +=，再由等差数列的通项公式把9102a a -化为17a d +即可求出答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()1815111173312014535d a a a a a a a d d ++=++++=+=，所以1724a d +=.所以()()9101112224897d a a a a a d d -=++-=+=.故246.过抛物线24x y =的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，直线l 的倾斜角为3π4，设直线l 与抛物线交于,M N 两点，则直线l 的方程为1y x =-+，代入24x y =得2610y y -+=，则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，126y y +=，则1228MN MF NF y y =+=++=，故8二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设:x a α>，1:0x xβ->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【正确答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥.故选：C8.函数()(1f x x =+）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出()f x 的定义域不关于原点对称，即可判断()f x 为非奇非偶函数.【详解】函数()(1f x x =+的定义域为101x x -≥+，则()()110111x x x x ⎧+-≥⇒-<≤⎨≠-⎩，由于定义域不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数.故选：C .9.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A.)(0P A B ⋂= B.)()()(P A B P A P B ⋂=C.)()(1P A P B =- D.)(1P A B ⋃=【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A B 、不一定是互斥事件，所以()P A B ⋂不一定为0，故选项A 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A B ⋂=∅，则()0P A B ⋂=，而()()P A P B 不一定为0，故选项B 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A B ⋃是必然事件，所以()1P A B ⋃=，故选项D 正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B ，则()|P A B 的值是（）A.59B.49C.29D.19【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得()P A B到答案.【详解】由题意知，()101202P A ==，()920P B =()P AB 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，()51204P AB ==，根据条件概率的计算公式得()()()1549920P AB P A B P B ===.故选：A11.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A.MC AN⊥ B.平面//DCM 平面ABN C.直线GB 与AM 是异面直线 D.直线GB 与平面AMD 无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 的中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC的中点，则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH ===，于是四边形EFHG 是平行四边形，//,GH EF GH EF =，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD =，则//,GH AD GH AD =，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ==，点G 为MC 的中点，有DG MC ⊥，所以MC AN ⊥，A 正确；因为//MD NB ，MD ⊂平面DCM ，NB ⊄平面DCM ，则//NB 平面DCM ，又//AB CD ，CD ⊂平面DCM ，AB ⊄平面DCM ，则//AB 平面DCM ，而,,NB AB B NB AB =⊂ 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确；取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB ==，即四边形ABGO 为梯形，因此直线,AO BG 必相交，而AO ⊂平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A ∈平面ABGO ，点M ∉平面ABGO ，直线BG ⊂平面ABGO ，点A ∉直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-，*n ∈N ，关于数列{}n a 有以下命题：①{}n a 一定是等比数列，但不可能是等差数列；②{}n a 一定是等差数列，但不可能是等比数列；③{}n a 可能是等比数列，也可能是等差数列；④{}n a 可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤{}n a 可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】分0a =，1a =，0a ≠且1a ≠三种情况讨论，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当0a =时，1n S =-，则111a S ==-，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，即1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列；当1a =时，0n S =，则110a S ==，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，则()0n a n N *=∈，此时，数列{}n a 为等差数列，但不是等比数列；当0a ≠且1a ≠时，111a S a ==-，当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S a aa a ---=-=---=-，则()21a a a =-，()()1111n n n n a a a a a a a+--∴==-且()2111a a a a a a -==-，则数列{}n a 是以a 为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项n a 与n S 的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程3342x t ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[]1,1t ∈-，则下列曲线方程符合该方程的是（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令20y t ==得1,0,1t =-，将其分别代入334x t t =-得1,0,1x =-，所以该方程所表示的曲线恒过点()()()1,0,0,0,1,0-，显然只有B 项满足.故选：B.14.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A.π6B.π2C.7π6D.π【正确答案】B【分析】先求()3[,0]2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()3[,0]2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈.[]0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,63326m m πππππ-∈∈.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A.(1,)+∞B.(,1]-∞C.(](),11,-∞-⋃+∞ D.[1,0)(1,)-+∞U 【正确答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得.1λ≤-所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C16.已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-；③当[0,1]x ∈时，3()2f x x =；④()(4)g x f x =．若过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.60,11⎛⎫⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(0,1)D.330,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合①②可知()f x 是周期为2的函数，再结合④可知()g x 是周期为12的函数，结合③作出()g x 在[0,2]上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-，所以()(2)()f x f x f x =-=-，从而()(2)f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数，因为()(4)g x f x =，则()g x 图像是()f x 的图像的横坐标缩短为原来的14得到，故()g x 也是偶函数，且周期为11242⨯=，结合当[0,1]x ∈时，3()2f x x =，可作出()g x 在[0,2]的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当74x =时，易知3()2g x =，即73(,)42A ，则直线MA 的斜率362711(1)4MAk -==--，过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则只需6011MA k k <<=，即直线l 斜率k 的取值范围是60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）①22k =；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出224,2a b ==，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】22c e a ==，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】①直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412kx x k+=+()()22111,,,,MB x y AN x k y =-=--- 又212241,12k MB AN x x k =+==+ 由得：解得:2k =±.由0k >得22k =;②证明：由①知2122412k x x k +=+212224,12k x x k-=+)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++⎪⎝⎭()2222222472449151124121616k k k k k k k -⎛⎫=++--++=- ⎪++⎝⎭，QA QB ∴⋅为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆22:16C x y +=，直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=（,a b 不同时为0），当,a b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=化为(21)(3)0a x yb x y --+-+=2103301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，恒过定点(3,1)，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为，圆心到直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=距离，此时直线弦长为最小值=.故答案为.19.若随机变量()3,XB p ，()22,YN σ，若()10.657P X ≥=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=______．【正确答案】0.2【分析】解不等式1﹣（1﹣p ）3＝0.657得到p ＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P （X ≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p ）3＝0.657，即（1﹣p ）3＝0.343，解得p ＝0.3，∴P （0＜Y ＜2）＝p ＝0.3，∴P （Y ＞4）＝12(02)2P Y -<<＝120.30.22-⨯=．故0.2．20.已知在R 上的减函数()y f x =，若不等式()()2233f x x f y y -≤---成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0中心对称，则当14x ≤≤时，yx的取值范围是______.【正确答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由对称性得函数()f x 是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，yx表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，∴函数()y f x =的图象关于原点对称，即()f x 是奇函数，不等式()()2233f x x f y y -≤---可化为()()2233f x x f y y -≤+，又()f x 是R 上的减函数，∴2233x x y y -≥+，即()(3)0x y x y +--≥030x y x y +≥⎧⎨--≥⎩或030x y x y +≤⎧⎨--≤⎩，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，如图阴影部分（含边界），yx表示阴影部分的点与原点连线的斜率，1x =与4x =分别代入30x y --=，可得(1,2)D -，(4,1)B ，2OD k =-，14OB k =，∴124y x -≤≤．故12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【正确答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果.【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132([1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1(](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈U 因为13n n S S -在343(,2][,232U 上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故94本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若P 在曲线22:14x C y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线C 上所有点都是H 点B.曲线C 上仅有有限多个点是H 点C.曲线C 上所有点都不是H 点D.曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是H 点【正确答案】D【分析】设出22P A x x -≤<≤,利用相似三角形求得P x 和A x 的关系,设出PA 的方程与椭圆方程联立求得A P x x 的表达式,利用判别式大于0求得k 和m 的不等式关系,最后联立①②③求得A x 的范围,进而通过1A x <时,242P A x x =-<-,故此时不存在H 点,进而求得H 点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，P 、A 的位置关系对称，于是不妨设22,(P A x x -≤<≤此时)PA AB =.由相似三角形，244A P x x -=-即:24P A x x =-⋯①设:PA y kx m =+，与椭圆联立方程组，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解得22114A P m x x k -=⋯+②0∆> ，2241k m >-⋯③联立①②③，得2222114A A x x k-<+，而2202114k<<+，即222A A x x -<，即12A x ≤≤，而当1A x <时，242P A x x =-<-，故此时不存在H 点又因为P 的位置可以和A 互换（互换后即)PA PB =，所以H 点的横坐标取值为[2,0][1,2]-⋃.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H 点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB 所成的角是60°的棱共有8条B.AB 与平面BCD 所成的角为30°C.二面角A BC D --的余弦值为33-D.经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积为2π【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A 选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B 选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C 选项，先作出二面角的补角∠AFE ，在△AEF 中，求出3cos 3EF AFE AF ∠==即可得结果；D 选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a .由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为33+，可得223228633422a ⎛⎫⎫⨯⨯+⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =1.对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故A 不正确；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成角为∠ABE =45°，故B 不正确；对于C ，取BC 中点F ，连接EF ，AF ，则有AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，故二面角A -BC -D 的补角为∠AFE .二面角A -BC -D 的余弦值为-cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，1,,24AE EF AE EF ==⊥，∴AF =3cos 3EF AFE AF ∠==，cos 3AFE -∠=-，故C 正确;对于D ，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影为投影点O 1，则有1111,22OO AO ==，∴22AO ==，故经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面的半径为面积为2422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P 总保持1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为3，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C 平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C 平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1BC ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z，则x =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误.对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z +-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）26.对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足||||m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”.（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“1(2L 条件”.求q 的范围；（3）在（2）的条件下，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.【正确答案】（1）符合（2）1[,1]2（3）证明见解析【分析】(1)将12(1)n a a n =+-代入||||m n a a k m n -≤-即可得证；(2)由“正项等比数列”分成1q =，1q >，01q <<三类，结合数列单调性进行分析求证；(3)1q =时，n S n =，01k ≥即可成立；当112q ≤<时，设m n <，则等价于证明0(1)()m n q q k q n m ---≤即可.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意m ，*n ∈N ，m n ≠，11|||[2(1)][2(1)]||2()|2m n a a a m a n m n m n -=+--+-=-≤-恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”.【小问2详解】因为0n a >，所以0q >.若1q =，则1||0||2m n a a m n -=≤-，数列{}n a 符合“1()2L 条件”；若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122n m a n a m -≤-，(*)设12n n b a n =-，由(*)式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，所以11111()(1)022n n n n n b b a a q q -++-=--=--≤，*n ∈N ，则当[2(1)]41log q n ->-时，11(1)02n q q --->，矛盾.若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122m n a m a n +≤+，(**)设12n n c a n =+，由(**)式中的m ，n 任意性得，数列{}n a 不递减，所以11111()(1)022n n n n n c c a a q q +++-=-+=-+≥，*n ∈N .因为01q <<时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，所以1()(1)(1)02max f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q ≤<.综上，公比q 的范围为1[,1]2.【小问3详解】由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0||||n m S S k n m -≤-，只要01k ≥即可.当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得011||11n mq q k n m q q---≤---，*n ∈N ，不妨设m n <，则只要证0(1)()m n q q k q n m ---≤，只要证00(1)(1)m m n n q k q q k q ≤+-+-.设0()(1)n n g n q k q =+-，由m ，n 的任意性，只要证00(1)()(1)(1)(1)()0n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*n ∈N ，因为112q ≤<，所以存在0k q ≥，上式对*n ∈N 成立.所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.思路点睛：对于数列中的恒成立或存在性问题，通常结合条件进行分类讨论，构造合适的函数模型，借助函数性质进行判断.。
上海市高三数学一模填选难题解析汇报(2014)
2013年上海市高三数学一模客观压轴题汇编一、填空题1（2014年闵行区一模理科12）设,i j r r依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，且25a i a j -+-=r r r r ，则2a i +r r 的取值范围是答案：65[,3]5详解：根据题意，25a i a j -+-=r r r r的几何意义为一个点到(1,0)的距离加上这个点到(0,2)的距离等于5，如下图所示，即到A 点的距离加上到B 的距离等于5，而AB 就等于5，所以这个点的轨迹即线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点(2,0)-的距离的取值范围，最短距离即下图中的CD 的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得655CD =，因为22BC =，3AC =，所以距离的最大值为3教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用2（2014年闵行区一模理科13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 答案：(32,35)详解：根据题意，如图所示，1ab =，2(12)12abcd cd c c c c ==-=-，45c <<，所以答案为(32,35)教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是 答案：(3,4)详解：根据题意，如图所示120x x +=，21234343333(4)4x x x x x x x x x x ++⋅=⋅=⋅-=-，3(1,2)x ∈3（2014年闵行区一模理科14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =，则所有k A 的交集为答案：5[2,]2详解：因为2,3,......,2014k =，所以2111k k <<，结合耐克函数的图像，如图所示，当211t k ≤≤时，1[2,]k A k k =+，因为2,3,......,2014k =时，1k k +递增，所以所有k A 的交集为5[2,]2教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因为含有参数k 而产生畏难心理，可以让学生先求234,,A A A ，发现一般规律，再总结归纳 变式练习（2014年闵行区一模文科14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积为答案：+23k4（2014年徐汇区一模理科12）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为答案：13详解：解法一：∵,,M G N 三点共线，假设AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，有=1λμ+，∵,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ＝+xAB y AC λμu u u r u u u r ，因为G 是重心，所以1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r即13=x y λμ=，∵=1λμ+，∴11133x y +=，化简xy x y +＝13解法二：特殊值法，取23x y ==教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧5（2014年徐汇区一模理科13）一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律” 答案：2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类① 第二位数与第四位数相差2，情况为318⨯种； ② 第二位数与第四位数相差3，情况为327⨯种； ③ 第二位数与第四位数相差4，情况为336⨯种； ……以此类推，总共的情况为3333333318+27+36+45+54+63+72+81=2892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类6（2014年徐汇区一模理科14）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式111x a x b +≥--()a b >的解的区间长度和不等式111x t x+≥-(0)t >的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分得220()x tx x tx x t --+≥-，因式分解后用数轴标根法解得222424(0,](,]22t t t t x t +-++++∈⋃，区间长度之和为22242422t t t t t +-+++++-2= 教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述7（2014年松江区一模理科11）对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 答案：4-详解：1x =-时，()3f x =-；10.5x -<≤-，()1f x =-；0.50x -<≤，()0f x =；{}3,1,0A =-- 教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解8（2014年松江区一模理科13）已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= 答案：2详解：设()log 1a f x x t =-=，∴log 1a x t -=±，1t x a ±-=，1tx a±-=±1t x a ±⇒=±四个根为1ta +，1ta -，11t a -，11t a +，它们的倒数为11t a +，11t a --，1t t a a -，1t t a a +倒数之和等于2解法二：特殊值，例如2a =，令()1f x =，解出四个根即可教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法9（2014年松江区一模理科14）设集合{1,2,3,,}A n =L ，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝答案：1n +详解：当最大值为n 时，最小值可以为1，2，3…n ，()G B 个数为n ，()G B 之和为12...n n n ++++⨯＝22(1)31222n n n n n ++=+；同理当最大值为1n -时，()G B 个数为1n -，和为231(1)(1)22n n -+-； 以此类推，所有()G B 的个数为(1)12 (2)n n n ++++=，所有()G B 的和为 22231(12...)(12...)22n n +++++++＝1111(1)(21)(1)2222n n n n n ⋅+++⋅+，除以()G B 的个数(1)2n n + 就是()G B 的平均值＝11(21)122n n ++=+教法指导：本题可以举一些{1,2,3,,}A n =L 的子集，让学生理解()G B 的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心10（2014年青浦区一模理科13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q 两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y 到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是 答案：32[,3]2详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，A 为定点，M 的轨迹是A 为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如1,A M 两点的垂直距离较大，那么此时,A M 的非常距离为图中的绿色线段部分，而2,A M 两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出M 与A 的水平距离或垂直距离最大为3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值322，即图中取4M 的时候教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解11（2014年青浦区一模理科14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是答案：[3,2)-详解：当n 为奇数时，131a n -<++，1(3)1a n >-++，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的最大值永远小于3-，所以3a ≥-；当n 为偶数时，131a n <-+，小于最小值，因为n N ∈，0n =时取最小值2 教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且n 是自然数，讨论n 为偶数的时候，n 是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调12（2014年金山区一模理科13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1详解：如下图，11'11PH PA PH PB PH PF PH +=+-=+-≥-=，'PH 用点到直线距离公式求教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析13（2014年金山区一模理科14）在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,2,)2f M x y =，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值为 答案：642-详解：依题意得，122x y +=，122y x =-，将不等式中的a 分离得111(8)(2)6(16)22a x x x x≥--=-+，右边的最大值为642-，所以642a ≥-教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出2x y +是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型14（2014年奉贤区一模理科13）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=-，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-只有4个零点，则a 的取值范围是答案：11(,)(3,5)53⋃详解：根据已知条件，()f x 周期为4，先画()f x 一个周期图像，当13x ≤<时，3(2)(2)()f x x f x -=-=-，3()(2)f x x =--，由此画出[1,3)-的图像，此为一个周期，图像如下，()()log a g x f x x =-只有4个零点即()f x 与log a y x =只有4个交点，因为a 是未知的，需要分类讨论：①当01a <<时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点(5,1)--，解出15a =此时3个交点，代入点(3,1)-，解得13a =②当1a >时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点(3,1)-，解得3a =此时5个交点，代入点(5,1)，解得5a =教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换15（2014年奉贤区一模理科14）已知函数()y f x =，任取t R ∈，定义集合：{}(),(,()),(,()),2t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==≤点，设,t tM m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-，则（1）若函数()f x x =，则(1)h = （2）若函数()sin 2f x x π=，则()h t 的最大值为答案：（1）2；（2）2详解：定义的意思是函数()y f x =在以定点P （点P 在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A ，第一问，1t =，定点P (1,1)，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以(1)h =2第二问，对于()sin2f x x π=，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以()h t 的最大值为2，此时2,t k k Z =∈教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了二、选择题1（2014年奉贤区一模理科18）设双曲线22(1)1nx n y -+=（*n N ∈）上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（ ）A ．22 B. 12C. 0D. 1 答案：A详解：双曲线方程两边同时除n ，得到2211(1)x y nn -+=，当n →+∞，10n→，即方程220x y →-=，这就是方程的极限位置，即求点(1,0)Q 到直线y x =±的距离，所以选A教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把n d 用n 表示出来，这就复杂了2（2014年徐汇区一模理科18） 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x xy y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 答案：D详解：根据题意，对于图像上任意点A ，图像上存在点B ，使得OA ⊥OB ，所以用排除法，①中（1,1）点不符合，③中（1,0）点不符合，所以选D教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用3（2014年青浦区一模理科18）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1313m -≤≤+ B. 1322m -≤≤ C. 2222m -≤≤ D. 2213m -≤≤- 答案：B详解：因为存在实数x ，满足()()f x f x -=-，所以1212423423xx x x m m m m --++-+-=-+-+，化简得：21142(2)26042x x x x m m +-++-=，换元122xxt =+（2t ≥）得：222280t mt m -+-=，根据题意，此方程在[2,)t ∈+∞上有解，设22()228h t t mt m =-+-，按对称轴分类讨论：①当2m ≤，(2)0h ≤，且0∆≥，解得132m -≤≤；②当2m >，0∆≥即可，解得222m <≤ 两种情况取并集，综上所述，所以选B教法指导：本题要透过抽象的定义，看到它的本质，本质上还是一道方程在定义域内有解的问题，是平时练习过程中经常碰到的题型，按对称轴分类讨论即可；讲解的时候，要让学生区分开“恒成立”与“有解”（或者“能成立”的情况），讨论根的分布情况时，最好结合图像帮助理解实用文档文案大全 4（2014年金山区一模理科18）已知有相同两焦点12,F F 的椭圆221x y m +=(1)m >和双曲线221x y n-=(0)n >，点P 是它们的一个交点，则△12F PF 面积的大小是（ ）A ．12B. 22C. 1D. 2 答案：C详解：结合下图，依题意得：211c m n =-=+，122PF PF m +=，122PF PF n -=，两式平方相减得： 122PF PF m n ⋅=-=，∴2222212121212()2444PF PF PF PF PF PF m c F F +=+-⋅=-==，即12PF PF ⊥教法指导：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题，很多时候都需要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。
2023年上海市奉贤区高三上学期一模数学试题含详解
2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1 设{12},Z A x x B x x ∣∣，则A B __________.2. 已知1i i 3ia a R ，，（i 为虚数单位），则 a __________.3. 方程20x x c 的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x ，则实数c __________. 4. 已知等差数列n a 中，79415,1a a a ，则12a 值等于__________.5. 己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x ，则它的离心率等于__________.6. 若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.7. 在二项式11(1)x 的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.8. 下表是1317 岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317 岁未成年人的身高的主要百分位数数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）.9. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 10. 长方体1111ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________..的11. 设0,0p q 且满足 162025log log log p q p q ，则p q__________.12. 已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q ，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q ，则当产量q 等于__________时，利润最大. 二､选择题（13-14每题4分，1516 每题5分，共18分）13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A. y x 与11y xB. y x与2y C. y x 与ln e x yD. y x与y14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（ ）A. 3100cmB. 3200cmC. 3300cmD.3400cm15. 下列结论不正确的是（ ）A. 若事件A 与B 互斥，则 P A B P A P BB. 若事件A 与B 相互独立，则 P A B P A P BC. 如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么 D X Y D X D YD. 若随机变量Y 的方差 3D Y ，则 2112D Y16. 已知a ，b ， ， R ，满足sin cos a ，cos sin b ，2204a b ，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b R ，使得 sin 的值是一个常数； ②存在常数b ，对任意的实数a R ，使得 cos 的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 D. 结论①、②都不成立三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17. 已知 y f x 为奇函数，其中 cos 2,0,πf x x . （1）求函数 y f x 的最小正周期和 f x 的表达式； （2）若4π,,π252f，求πsin 3的值.18. 如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD .点E 是AD 中点.（1）求证：AD 平面BEC ； （2）已知95,arccos ,625AB BDC AD ，作出二面角D BC E 的平面角，并求它的正弦值.19. 某地区1997年底沙漠面积为52910hm （注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：的（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？ （2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?20. 已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F 为.点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为2.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 斜率分别记作12,k k ，若1234k k ，求点M 的坐标； （3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ，求实数的取值范围.21. 已知函数 ,y f x y g x ,其中 21,ln f x g x x x. （1）求函数 y g x 在点()()1,1g 的切线方程; （2）函数 2,R,0y mf x g x m m 否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式 af x g x a 在区间 0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.的是2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设{12},Z A x x B x x ∣∣，则A B __________.【答案】 0,1## 1,0【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合B 的元素是整数，所以 0,1A B . 故答案为： 0,12. 已知 1i i 3i a a R ，，（i 为虚数单位），则 a __________. 【答案】3【分析】两个复数相等，则实部和虚部分别相等. 【详解】因为 1i i i 3i a a ，又a R , 所以3a ，即3a . 故答案为：3 .3. 方程20x x c 的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x ，则实数c __________.【答案】3【分析】根据韦达定理求解即可.【详解】20x x c ，121x x ，12x x c .11211222223x x x x x x c x x ，解得3c .故答案为：34. 已知等差数列 n a 中，79415,1a a a ，则12a 的值等于__________. 【答案】14【分析】利用等差数列的通项公式求出1a ，d ，便可求得12a . 【详解】解：由题意得：n a 等差数列，所以设等差数列的首项为： 1a ，公差为：d又7915a a ，41a1113121415831138a a d a d d112311311111488a a d故答案为：145. 己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x ，则它的离心率等于__________.【分析】利用双曲线的性质和,,a b c 之间的关系即可求得离心率. 【详解】由已知双曲线的渐近线方程为2by x x a所以2b a ，故22224b a c a所以225c a ，故2225c e a所以离心率e6. 若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________. 【答案】1【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.【详解】根据基本不等式可得12a b，所以a 与b 算数平均数的最小值为1. 故答案为：1.7. 在二项式11(1)x 的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】462【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果.【详解】二项式11(1)x 的展开式的通项公式为11111C r rr T x ，所以当=5r 或6r 时，其系数最大，则最大系数为561111C C 462 ，故答案为：462.8. 下表是1317 岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317 岁未成年人的身高的主要百分位数的【答案】4.8【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可.【详解】小明今年16岁，从表中可以得出，1617 岁男性身高的主要百分位数中，P75175cm ，P90179cm ，小明的身高为176cm ，介于P75和P90之间，说明至少有75%的男性同龄人身高低于小明， ∵小明所城市男性同龄人约有6.4万人， ∴小明的身高至少高于6.475% 4.8 （万人）. 故答案为：4.8.9. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 【答案】635【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体8个顶点中任取4个，有48C 70n 个结果，这4个点在同一个平面有6612m 个， 故所求概率1267035m P n． 故答案为：635． 10. 长方体1111ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.在的的【答案】2【分析】根据190E C B ，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解. 【详解】设 11,,,0,,AA h AE x A E h x x h222222222111,(),1.BE x C E h x BC h又因为190E C B ，所以22211,BE C E BC即2222221()1,x h x h 化简得210x hx ， 即关于x 的方程 210,0,x hx x h 有解，当0x 时，不符合题意， 当0x时，所以12h x x ， 当且仅当1x x，即1x 时取得等号， 所以侧棱1AA 的长的最小值为2， 故答案为:2.11. 设0,0p q 且满足 162025log log log p q p q ，则pq__________.【分析】令162025log log log p q p q k，则45k k p q ，根据224455k k k k p q 即可求解．【详解】令 162025log log log p q p q k ，则16,20,25k k k p q p q所以 224455k k k k p q ，整理得 2224454415555k k k k kk k k k解得4152k k，所以16412052k k k kp q12. 已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q ，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q ，则当产量q 等于__________时，利润最大. 【答案】200【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意可知，设利润为()f q ，则2311()24200500002002400050000055f q q q q q q q，而23()240005f q q ，当()0f q 时，0200q ，()0f q 时，200q ，即()f q 在 0200，单调递增， 200 ，单调递减，所以200q 时，利润最大.故答案为：200二､选择题（13-14每题4分，1516 每题5分，共18分）13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A. y x 与11y xB. y x与2y C. y x 与ln e x y D. y x与y【答案】D【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，函数y x 的定义域为R ；函数11y x的定义域为 |0x x ，不是相同函数.B 选项，函数y x 的定义域为R；函数2y 的定义域为 |0x x ，不是相同函数.C 选项，函数y x 的定义域为R ；函数ln e x y 的定义域为 |0x x ，不是相同函数. D选项，由于y x ，所以y x与y 的定义域、值域都为R ，对应关系也相同，所以y x与y是相同函数.故选：D14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（ ）A. 3100cmB. 3200cmC. 3300cmD.3400cm【答案】B【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R 为圆台下底面圆半径，r 为上底面圆半径，高为h ， 则5R ，3r ，4h ，221π3V h R Rr r 圆台31196ππ425159200cm 33， 故选：B ．15. 下列结论不正确的是（ ）A. 若事件A 与B 互斥，则 P A B P A P BB. 若事件A 与B 相互独立，则 P A B P A P BC. 如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么 D X Y D X D YD. 若随机变量Y 的方差 3D Y ，则 2112D Y 【答案】A【分析】由已知，选项A ，根据事件A 与B 互斥，可知 P A B P A P B ；选项B ，根据事件A 与B 相互独立，可知 P A B P A P B ；选项C ，根据X Y ､分别是两个独立的随机变量，可得 D X Y D X D Y ；选项D ，由 3D Y ，可得221212D Y D Y ，即可作出判断.【详解】由已知，选项A ，若事件A 与B 互斥，则 P A B P A P B ，故该选项错误； 选项B ，若事件A 与B 相互独立，则 P A B P A P B ，故该选项正确； 选项C ，若X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么 D X Y D X D Y ，故该选项正确；选项D ，若随机变量Y 的方差 3D Y ，则 22124312D Y D Y ，故该选项正确； 故选：A.16. 已知a ，b ， ， R ，满足sin cos a ，cos sin b ，2204a b ，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b R ，使得 sin 的值是一个常数； ②存在常数b ，对任意的实数a R ，使得 cos 的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 D. 结论①、②都不成立 【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将 sin 和 cos 用a ，b 表示即可. 【详解】对于结论①，∵sin cos a ，cos sin b ，∴222sin 2sin cos cos a ，222cos 2cos sin sin b ， ∴ 2222sin cos 2cos sin 22sin a b ，∴ 222sin 2a b ，∴当a 为常数，b R 时， 222sin 2a b 不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②， 方法一：∵ sin cos cos sin absin cos sin sin cos cos sin coscos sin cos sin cos又∵ sin cossin cos cos sin cos cos sin sin2222sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos∴ cos sin cos sin cos abcos sin cos22cos cos 22a b化简得 222cos aba b， ∴存在常数0b ，对任意的实数a R ，使得 cos 0 ，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当π2时，cos sin cos sin sin π2sin 0b， ∴π2，∴ cos cos 0π2 .∴存在常数0b ，对任意的实数a R ，使得 cos 0 ，故结论②成立. 故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17. 已知 y f x 为奇函数，其中 cos 2,0,πf x x . （1）求函数 y f x 的最小正周期和 f x 的表达式； （2）若4π,,π252f，求πsin 3的值.【答案】（1）π， sin2f x x（2 【分析】（1）根据2cos2cos 0x 列关于 的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）根据4,,252f，求出4sin 5 ，与cos 然后再求解. 【小问1详解】因为 y f x 为奇函数， 所以 0f x f x ， 化简得到求出2cos2cos 0x0,π ，所以π2sin2f x x ，最小正周期是π；【小问2详解】 若44,sin 255fπ3,π,cos 25所以πππ4sin sin cos cos sin 3331018. 如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD .点E 是AD 中点.（1）求证：AD 平面BEC ； （2）已知95,arccos ,625AB BDC AD ，作出二面角D BC E 的平面角，并求它的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，17【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可； （2）取BC 的中点F ，由BDE CDE △△，得EFBC ，得DEF 是二面角D BCE 的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.【小问1详解】,AB BD E 是AD 中点，BE AD又,AC CD E 是AD 中点，CE AD,BE CE E BE CE ，Q I 面BEC所以AD 面BEC小问2详解】由题知，5BA BD CA CD ，9arccos ,625BDC AD ， 取BC 的中点F ，连接,EF DF ，,DB DC DF BC ,根据三角形全等证明方法,可以证明,BDE CDE EB EC ,EF BC ,所以DFE 是二面角D BC E 的平面角， 利用勾股定理计算出4,BE ,由余弦定理得225259cos 25525BC BDC，解得BC所以DFEF ，所以222EF DE DF ， 所以Rt DEF △中，sin 17DE DFE DF. 19. 某地区1997年底沙漠面积为52910hm （注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每【年底将观测结果记录如下表：（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？ （2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?【答案】（1）529.4610hm（2）到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm【分析】(1) 从增加数看, 数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列. 求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式, 首项可以选2002年的增加数. 列出经过n 年后的沙漠面积, 再根据已知列出不等式.（2）设在2002年的基础上, 再经过n 年, 该地区的沙漠面积将小于 52810hm , 列出不等式能求出结果. 【小问1详解】从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约22000hm ， 假设n a 表示n 年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约42202020021810000182000 4.610hm a a d ，到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成5452910 4.6109.4610hm . 【小问2详解】以2003年年底为第一年，设x 年年底后这个地区的沙漠面积小于52810hm ,54591011020008000810x x ,化简得18.3x ,所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm .20. 已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F 为.点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为2.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k ，求点M 的坐标； （3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ，求实数 的取值范围.【答案】（1）22141x y（2）64,55M（3） 0,1【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、223a b 就是可得答案；（2）设 000,,02 M x y x ，利用点M 在椭圆上和1234k k 可求出点M 坐标； （3）求出直线1MA 、直线2MA 的方程可得P Q 、点坐标及,PB BQ ，利用PB BQ 得到121221k k ，再由1214k k 可得12 k，即1 k ，利用0x 的范围可得答案.【小问1详解】22321122a b a bc b c，所以椭圆标准方程为2214x y ； 【小问2详解】 设 0,Mx y ， 122,0,2,0A A ，2200000000143,2240,0x y y y x x x y得到006545x y，所以64,55M；【小问3详解】因为点M 是椭圆C 上在第一象限内的点，所以002x ， 直线1MA 的方程为 1120,2y k x P k ， 直线2MA 的方程为 2220,2y k x Q k ，所以 120,12,0,21PB k BQ k，PB BQ，121221k k ， 200012200012244y y y k k x x x ，1111221214k k k，010000,22y k x x ，041,22x，则110,2k， 0,1 .21. 已知函数 ,y f x y g x ,其中 21,ln f x g x x x. （1）求函数 y g x 在点()()1,1g 的切线方程; （2）函数 2,R,0y mf x g x m m 是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式 af x g x a 在区间 0,1上恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）10x y（2）0m ,不存在极值点;0m ,存在一个极小值点x ,无极大值点 （3）12a a【分析】(1)对 y g x 求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令 2H x mf x g x ,对 H x 进行求导,再讨论0m 及0m 时导函数的正负及极值点即可;(3)将 ,f x g x 代入,先讨论1x 时a 的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围. 【小问1详解】解:由题知 ln ,g x x 1g x x, 10,g 1111k g ,所以在点()()1,1g 的切线方程为 01y x ,即10x y ; 【小问2详解】设 222ln mH x mf x g x x x,定义域 0, , 2332222m x mH x x x x, 当0m 时, 0H x 恒成立,所以 2H x mf x g x 在 0, 单调递增, 所以不存在极值点,当0m 时,令0,H x x ，当x时, 0H x ，当0x, 0H x ，所以 2H x mf x g x在 单调递减,在单调递增,所以函数存在一个极小值点x ,无极大值点, 综上:0m 时,不存在极值点,0m 时,存在一个极小值点x 无极大值点;【小问3详解】由题知原不等式 af x g x a , 可化为211ln 0a x x, 当1x 时,R a 恒成立, 当 0,1x 时2ln 11xa x,即2ln 11x a x, 由(2)知221ln N x x x在1x 有最小值 11N , 所以2211ln x x, 0,1x ,2110x,2211<ln 0x x,22ln 111x x,即2ln 1121x x, 2ln 11xa x,12a , 综上: 12a a. 【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下: (1)若x D ， f x a 恒成立，则只需 min f x a ; (2) 若x D ， f x a 恒成立，则只需 max f x a ; (3) 若x D ， f x a 恒成立，则只需 max f x a ; (4) 若x D ， f x a 恒成立，则只需 min f x a ;(5) 若12,x A x B ， 12f x g x 恒成立，则只需 max min f x g x ; (6) 若12,x A x B ， 12f x g x 恒成立，则只需 max max f x g x ; (7) 若12,x A x B ， 12f x g x 恒成立，则只需 min min f x g x ; (8) 若12,x A x B ， 12f x g x 恒成立，则只需 min max f x g x .。
2023届上海市闵行区高三上学期一模数学试题含解析
数学练习卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）同学们应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{}012M =,,，{}|210N x x =->，则M N ⋂=______．【答案】{}1,2 【解析】【分析】先解得集合N ，再根据交集的运算即可求得M N ⋂. 【详解】集合{}1|210|2N x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭， 因为{}012M =,,，所以{}1,2M N =，故答案为：{}1,2.2. 若x 满足i 1i x =+（其中i 为虚数单位），则x ＝______． 【答案】1i -##i 1-+ 【解析】【分析】根据复数除法计算求解. 【详解】由i 1i x =+可得1i(1i)(i)=1i ix +==+⋅--， 故答案为：1i -3. 双曲线2218y x -=的离心率为______．【答案】3 【解析】【分析】由双曲线的标准方程求得,a c ，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为双曲线2218y x -=，所以221,8a b ==，则2221,9,3a c a b c ==+==， 所以双曲线的离心率为3ce a==. 故答案为：34. 在ABC中，已知边AB =45A =︒，60C =︒，则边BC =______．【答案】 【解析】【分析】利用正弦定理即可得解.【详解】因为在ABC中，AB =45A =︒，60C =︒，所以由正弦定理得sin sin AB BCC A==，解得BC =所以BC =故答案为：5. 已知正实数x 、y 满足lg x m =，110m y -=，则xy=______． 【答案】10 【解析】【分析】根据指对互化求x ，再根据指数运算求解.【详解】lg 10mx m x =⇔=，所以1101010mm x y -==.故答案为：106. 将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为______． 【答案】16【解析】【分析】利用古典概型的概率求法，先求出总的基本事件的件数，再列举出满足条件的基本事件，从而得解. 【详解】依题意，将一颗骰子连掷两次的基本事件的件数为6636⨯=， 而第一次点数小于3且第二次点数大于3（记为事件A （的基本事件有()()()()()()1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6，共6件，所以()61366P A ==. 故答案为：16.7. 如图，对于直四棱柱1111ABCD A B C D -，要使111AC B D ⊥，则在四边形ABCD 中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）【答案】1111AC B D ⊥（只要使得1111AC B D ⊥即可）. 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论. 【详解】连接11A C ，如下图所示：因为1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111B D CC ⊥，若1111AC B D ⊥，1111AC CC C =，1CC 、11A C ⊂平面11A CC ，11B D ∴⊥平面11A CC ，1A C ⊂平面11A CC ，111AC B D ∴⊥. 故答案为：1111AC B D ⊥（只要使得1111A C B D ⊥即可）.8. 若曲线:y Γ=:240l x y --=的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．【答案】1 【解析】【分析】对函数y =0y x '=>1,02x =>，求解即可.【详解】解：因为12,0y x x ==≥，所以12102y x x -'==>， 又因为直线:240l x y --=的斜率为12，1,02x =>， 解得：1x =， 即切点的横坐标为：1. 故答案为：19. 已知二次函数()2f x ax x a =++的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，则函数()2xg x a =+的值域为______．【答案】1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由二次函数的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，分析求出参数a ，然后代入()2xg x a =+中求出值域即可【详解】由二次函数()2f x ax x a =++的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦得：20013113()24224a a f a a a a a <⎧<⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-+= ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩ 解得：14a =-或1a =（舍去） 所以()124xg x =-因为()111202444x xg x >⇒->-⇒>-所以函数()g x 的值域为：1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故答案为：1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 10. 已知()11,A x y 、()22,B x y 是圆221x y +=上的两个不同的动点，且1221x y x y =，则121222x x y y +++的最大值为______．【解析】【分析】由已知，根据题意，写出圆的参数方程，然后将A 、B 两点坐标表示成参数方程形式，并根据1221x y x y =的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数化简即可求解最大值.【详解】由已知，圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），因为()11,A x y 、()22,B x y 是圆221x y +=上的两个不同的动点，可令11cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（[)0,2πα∈），22cos sin x y ββ=⎧⎨=⎩（[)2π0,β∈），且βα>， 所以()cos ,sin A αα、()cos ,sin B ββ，由1221x y x y =可得：()cos sin sin cos sin 0αβαββα=⇒-=， 又因为αβ≠，所以πβα-=，所以1212s 22co cos 2sin sin 2x x y y αβαβ=++++++()()2cos cos π+2sin sin π+2cos cos 2sin sin αααααααα=+++=-+-πsin cos 4ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，当π4α=..11. 已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．【答案】5π12##5π12【解析】【分析】根据函数值域满足 3n m -=，结合正弦函数的图象可知ππ46ω+=-时满足题意，得解. 【详解】[]1,1x ∈-，令π4t x ω=+， πππ444t x ωωω∴-+≤=+≤+,0ω>, 3n m -=，作出函数2sin y t =的图象，如图，由图可知，以π4为中心，当0ω>变大时，若π04ω<<，函数最大值2y →，最小值0y →，不满足 3n m -=，若π4ω≤时，函数最大值2y =，所以只需要确定函数最小值，因为 3n m -=，需函数最小值为1y =-，所以当ππ46ω-+=-时，即5π12ω=时，函数值域为[1,2]-，满足3n m -=，当5π12ω<时，函数最小值1y <-，此时不满足3n m -=， 综上5π12ω=. 故答案为：5π12.12. 已知平面向量a 、b 、c 和实数λ满足2a b a b ==+=，0a c b c ⋅+⋅=，()()0a c b c λλ-⋅+≥，则a c b c λλ-++的取值范围是______．【答案】2,⎡⎣【解析】【分析】根据2a b a b ==+=，可得2π,3a b =，利用平面直角坐标系取则()(2,0,a OA b OB ====-，设(),c a b =，结合已知条件可得a =，112222b λ--≤≤-+，利用平面向量的坐标运算可得24a c b c b λλλ⎛-++= ，故可得a c b c λλ-++的取值范围.【详解】解：因为2a b a b ==+=，所以2222224a ba ab b +=⇒+⋅+=，则4244a b +⋅+=，所以2a b ⋅=-，于是有21cos ,222a b a b a b⋅-===-⨯⋅， 因为[],0,πa b ∈，所以2π,3a b =则如图所示，在平面直角坐标系中()2,0A ，(B -则()(2,0,a OA b OB ====-，设(),c a b =，因0a c b c ⋅+⋅=，所以()()(()2,0,,0a b a b a ⋅+-⋅=+=，则a =，即()3,c b b =-，因为()()0a c b c λλ-⋅+≥，所以()()()(()()2,0,,0b b λλ-⋅-+≥则22420b b λ---≥，即22210b b λ++≤，解得1122b λ-≤≤+，则a c b c λλ-++=()()(()2,0,,b b λλ-+-+====因为1122b λ≤≤所以241y b λ⎛=+ ⎝⎭在1,222b λ⎡∈---⎢⎣⎦上单调递减，在1222b λ⎡⎤∈--+⎢⎥⎣⎦上单调递增所以min 1y =，当122b λ=--时，2y =，当122b λ=-+时，2y =，所以max 2y =故a c b c λλ-++的取值范围是2,⎡⎣.故答案为：2,⎡⎣.二、选择题（本大题共有4题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，同学们应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（ ） A. 210x -≤ B. 10x -≤C.()()1011x x ≤+-D.101x x -≤+ 【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举反例排除即可； 对于C ，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】对于A ，令1x =，则21110x -=-=，满足210x -≤，所以其解集不为{}11x x -<<，故A 错误；对于B ，令1x =，则1110x -=-=，满足10x -≤，所以其解集不为{}11x x -<<，故B 错误； 对于D ，令1x =，则1110111x x --==++，满足101x x -≤+，所以其解集不为{}11x x -<<，故D 错误；对于C ，由()()1011x x ≤+-得()()()()110110x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≠⎪⎩，即()()110x x +-<，解得11x -<<，故其解集为{}11x x -<<，故C 正确. 故选：C.14. “6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为()211C C 0r n r r n rrr n n T x x r n x --+⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭，1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，6n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出6n =∴6n =是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选：A15. 已知函数()y f x =与它的导函数()'y f x =的定义域均为R ，现有下述两个命题：①“()y f x =为奇函数”是“()'y fx =为偶函数”的充分非必要条件；②“()y f x =为严格增函数”是“()'y f x =为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题B. 命题①为真命题，命题②为假命题C. 命题①为假命题，命题②为真命题D. 命题①和②均为假命题【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质根据函数的充分性和必要性进行判断即可.【详解】解：由题意得： 命题①：()y f x =奇函数()()f x f x ∴-=-为奇函数对两边求导可得：()''()f x f x --=- ，即()''()f x f x -=又导函数()'y f x =的定义域为R ，它关于原点对称 所以函数()'y fx =的定义域为R 上的偶函数所以“()y f x =为奇函数”是“()'y f x =为偶函数”的充分条件；()'23y fx x ==，其定义域为R ，关于原点对称，且()()2'2'33()f x x x f x -=-==其原函数()3f x x C =+（C 为常数），若0C ≠是非奇非偶函数 故“()y f x =为奇函数”是“()'y f x =为偶函数”的非必要条件；所以命题①为真命题； 命题②：令函数()y f x x ==，其定义域为R ，在定义域上是严格的增函数 而其导函数()'1fx =是常数函数，定义域R 上不是严格的增函数所以“()y f x =为严格增函数”是“()'y f x =为严格增函数”的非充分条件；令函数()'fx x =，其定义域为R ，在定义域上是严格的增函数而其原函数()212f x x C =+为二次函数在定义域R 上不是严格的增函数 所以“()y f x =为严格增函数”是“()'y f x =为严格增函数”的非必要条件所以“()y f x =为严格增函数”是“()'y f x =为严格增函数”的即非充分又非必要条件；所以命题②为假命题； 故选:B16. 已知数列{}n a 满足10a >，()211N,1n n n a a a n n +-=∈≥，如果1220221112022a a a +++=，那么（ ）A. 20231202220222a <<B. 20231202220232a << C. 20231202320232a <<D. 20231202320242a <<【答案】A 【解析】【分析】由()211N,1n n n a a a n n +-=∈≥可得202312022a a =+，再由题意结合基本不等式与数列得单调性求出1a 的范围，即可求解【详解】因为()211N,1n n n a a a n n +-=∈≥，所以()11N,1n n n a a n n a +-=∈≥， 所以()()()213220232022202311220221112022a a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-=，所以202312022a a =+， 由()11N,1n n n a a n n a +-=∈≥即()11N,1n n na a n n a +=+∈≥可归纳得0n a >， 所以10n n a a +->， 所以数列{}n a为递增数列， 又11211,0a a a a -=>， 则11212a a a =+≥=， 所以21102a <≤， 所以220221112021202122a a ++<⨯=， 所以122022111202120232022202222a a a ⎛⎫=-++>-= ⎪⎝⎭， 所以1202023a <<，所以12112022+2022<2022+22022202322220a =+<<， 故选：A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 在等差数列{}n a 中，125a =，21a a ≠，1a 、11a 、13a 成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值．【答案】（1）272n a n =-； （2）169. 【解析】【分析】（1）由已知可知，公差0d ≠.根据等比中项的性质，可得211113a a a =⋅，解得2d =-，即得数列{}n a 的通项公式；（2）经化简可求出()213169n S n =--+，即可得到最大值. 【小问1详解】设{}n a 公差为d ，因为21a a ≠，所以0d ≠.则由1a 、11a 、13a 成等比数列可得211113a a a =⋅，即()()21111012a d a a d +=+，整理可得125402d a d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0d ≠，所以12502a d +=， 又125a =，所以2d =-，()11n a a n d +-=()2521272n n =--=-. 【小问2详解】由（1）知，125a =，272n a n =-， 所以()()12527222n n n a a n n S ++-==()222613169n n n =-+=--+， 所以，当13n =时，n S 有最大值，为169.18. 如图，已知圆柱1OO 的底面半径为1，正（ABC 内接于圆柱的下底面圆O ，点1O 是圆柱的上底面的圆心，线段1AA 是圆柱的母线．（1）求点C 到平面1A AB 的距离；（2）在劣弧BC 上是否存在一点D ，满足1//O D 平面1A AB ？若存在，求出（BOD 的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）32（2）存在，π6BOD ∠= 【解析】【分析】（1）先作出点C 到平面1A AB 的距离CM ，再解三角形去求CM 的长即可解决； （2）利用面面平行性质定理去作出点D ，再利用等边三角形的性质去求（BOD 的大小 【小问1详解】连接CO 并延长交AB 于M ，又正（ABC 内接于圆柱下底面圆O ，则CM AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC 则1AA CM ⊥，又CM AB ⊥，1AA AB A =,1AA ⊂平面1AA B ,AB ⊂平面1AA B则CM ⊥平面1AA B ，则点C 到平面1A AB 的距离为CM由圆柱1OO 的底面半径为1，可得2sin 60BC=，则BC =则3sin 60322CM BC === 【小问2详解】 连接1OO ，平面ABC 内过点O 作//OD AB 交劣弧BC 于D ，连接1O D由11//OO AA ，1OO ⊄平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，可得1//OO 平面1A AB 由//OD AB ，OD ⊄平面1A AB ，AB ⊂平面1A AB ，可得//OD 平面1A AB 又1OD OO O ⋂=，OD ⊂平面1DOO ，1OO ⊂平面1DOO则平面1//DOO 平面1A AB ，又1O D ⊂平面1DOO ，则1//O D 平面1A AB ， 连接OB ，则1π26BOD ABO ABC ∠=∠=∠= 19. 2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．【答案】（1）3位；第75百分位数是30 （2）911920【解析】【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率. 【小问1详解】由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为2675%19.5⨯=，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30； 【小问2详解】11名球员没有年龄不小于30的概率11191126C 9C 920P ==, 所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率99111920920P =-=. 20. 如图，点A 、B 、C 分别为椭圆22:14x y Γ+=的左、右顶点和上顶点，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与直线BC 相交于点Q ，直线CP 与x 轴相交于点M ．（1）求直线BC 的方程； （2）求证：4OQ OM ⋅=；（3）已知直线1l 的方程为210x y +-=，线段QM 的中点为T ，是否存在垂直于y 轴的直线2l ，使得点T 到1l 和2l 的距离之积为定值？若存在，求出2l 的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）220x y +-=； （2）见解析； （3）存在，21:2l y =. 【解析】【分析】(1)由题意可得(2,0),(0,1)B C ，由截距式写出直线BC 的方程，再化成一般式即可；(2) 设0000(,)(0,0)P x y x y >>,可得直线,AP CP 的方程，从而可解得,Q M 点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出OQ OM ⋅的值即可得证；(3)由题意可得T 的坐标，设2l 的方程为y m =，设点T 到1l 和2l 的距离分别为1d ，2d ，利用点到线的距离公式表示出1d ，2d ，进而可得1d 2d 的代数式，再判断当1d 2d 为定值时m 是否有解，即可判断. 【小问1详解】解：由题意可得(2,0),(0,1)B C ，所以直线BC 的方程的截距式为12xy +=， 即为220x y +-=； 【小问2详解】证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>, 因为(2,0)A -，所以直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++； 联立00220(2)2x y y y x x +-=⎧⎪⎨=+⎪+⎩，得000000024422422x y x y x y y y x -+⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩， 即00000002444(,)2222x y y Q y x y x -+++++；直线CP 的方程为：0011y y x x --=， 即0011y y x x -=+， 当0y =时，01x x y =-， 即0(,0)1x M y -， 所以OQ OM ⋅=00000002444(,)2222x y y y x y x -+⋅++++00(,0)1x y -=000024422x y y x -+⋅++001x y -=200002000024422x x y x x y x y -+--+，又因为220001,(01)4x y y +=<<，所以220001,4x y y =-==，所以200002000024422x x y x x y x y -+--+2000244x x x -+200022x x x -=20002000114()2241122x x x x x x -=-. 得证； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下：由题(2)可知4OQ OM ⋅=，不妨令4(,0)M t ，则(,1)2tQ t -+， 则241(,)242t t T t +-+，所以点T 到1l :210x y +-=的距离1d=2421122t t t t++-+-=， 设2l 的方程为：y m =， 则点T 到2l 的距离2d =142t m -+-， 所以当12m =时，21d d = 所以存在满足条件的21:2l y =. 21. 定义：如果函数()y f x =和()y g x =的图像上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系．（1）判断函数()()22log 8f x x=和()12logg x x =否具有C 关系；（2）若函数()f x =()1g x x =--不具有C 关系，求实数a 的取值范围；（3）若函数()e xf x x =和()()sin 0g x m x m =<在区间()0,π上具有C 关系，求实数m 的取值范围．【答案】（1）是 （2）(,-∞ （3）(),1-∞-【解析】【分析】（1）根据C 关系的理解，令()()0f x g x +=，解得18x，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到220t at -+-<在[)0,∞+上恒成立，分类讨论0=t 与0t >，利用基本不等式即可求得a 的取值范围；（3）构造函数()e sin xh x x m x =+，将问题转化为()h x 在()0,π上存在零点，分类讨论10m -≤<与1m <-，利用导数与函数的关系证得1m <-时，()h x 在()0,π上有零点，从而得解.【小问1详解】()f x 与()g x 是具有C 关系，理由如下：根据定义，若()f x 与()g x 具有C 关系，则在()f x 与()g x 的定义域的交集上存在x ，使得()()0f x g x +=，因为()()22log 8f x x=，()12log g x x =，0x >，所以()()()222222221log 8log loglog log 3log 8f x x x x x g x x =+++==+-，令()()0f x g x +=，即2log 30x +=，解得18x ， 所以()f x 与()g x 具有C 关系. 【小问2详解】令()()()x f x g x ϕ=+，因为()f x =()1g x x =--，所以()()11x x x ϕ-=≥，令)0t t =≥，则21x t =+，故()()22112y x at t t at ϕ==-+-=-+-，因为()f x 与()g x 不具有C 关系，所以()x ϕ在[)0,∞+上恒为负或恒为正，又因为22y t at =-+-开口向下，所以22y t at =-+-在[)0,∞+上恒为负，即220t at -+-<在[)0,∞+上恒成立，当0=t 时，2220t at -+-=-<显然成立； 当0t >时，2a t t<+在[)0,∞+上恒成立，因为2t t +≥=，当且仅当2t t =，即t =时，等号成立，所以min2t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a <，综上：a <(a ∈-∞. 【小问3详解】因为()e xf x x =和()()sin 0g x m x m =<，令()()()h x f x g x =+，则()e sin xh x x m x =+，因为()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系，所以()h x 在()0,π上存在零点，因为()(1)e cos xh x x m x '=++，当10m -≤<且π()0,x ∈时，因为()1e 1,|cos |||1xx m x m +><≤，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,π上单调递增，则()()00h x h >=， 此时()h x 在()0,π上不存在零点，不满足题意； 当1m <-时，显然当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为()h x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且π2ππ(0)10,1e 022h m h ⎛⎫⎛⎫''=+<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()h x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，设为α，则()0h α'=，所以当(0,),()0x h x α'∈<；当π,,()02x h x α⎛⎫'∈> ⎪⎝⎭；又当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>， 所以()h x 在()0,α上单调递减，在(),πα上单调递增，()h x 在()0,π上存在唯一极小值点α， 因为()00h =，所以()0h α<，又因为π(π)πe 0h =>，所以()h x 在()0,π上存在唯一零点β，所以函数()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系， 综上：1m <-，即(),1m ∈-∞-.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到()f x 与()g x 具有C 关系，则在定义域上存在0x ，使得()()000f x g x +=，从而得解.。
2024届上海静安区高三一模数学试卷和答案
上海静安区2023-2024学年第一学期期末教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1.准线方程为10x +=的抛物线标准方程为______．2.32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 的系数为______.3.若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.4.已知R a ∈，i 是虚数单位，1i a -的虚部为______.5.计算123ii +∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑_____________．6.某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg ，则预估该果园的苹果产量为______kg ．7.下列幂函数在区间()0,∞+上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．①12y x =；②13y x =；③23y x =；④13y x-=．8.若不等式35x x a-+-≥对所有实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，||||2AP AB ==，||4AD =，E 是BC 上的点，直线PB 与平面PDE 所成的角是3arcsin6，则BE 的长为______.10.不等式2log 42x x +<的解集为______.11.在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）12.记22()ln 2f x x x kx k =+-+，若存在实数a b 、，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是______.二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13.已知α：1x >，β：11x <，则α是β的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“1212a b x x y y ⋅=+（其中1122(,),(,)x y x y ==a b ）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④ B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.记22()sin cos cos ()f x x x x x x λ=-++∈R ，其中λ为实常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图像经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，求该函数在区间20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．19.已知双曲线C ：2212x y -=，点M 的坐标为()0,1．（1）设直线l 过点M ，斜率为12，它与双曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长；（2）设点P 在双曲线C 上，Q 是点P 关于y 轴的对称点．记k MP MQ =⋅，求k 的取值范围．20.如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB ，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知10AB =米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路l 上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度H ；（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB 似乎是由于在根部A 处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆AB 是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；（3）已知（1）中的小路l 是东西方向，且与点A 所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆AB 大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．21.如果函数()y f x =满足以下两个条件，我们就称()y f x =为L 型函数．①对任意的()0,1x ∈，总有()0f x >；②当12120,0,1x x x x >>+<时，总有1212()()()f x x f x f x +<+成立．（1）记21()2g x x =+，求证：()y g x =为L 型函数；（2）设R b ∈，记()ln()p x x b =+，若()y p x =是L 型函数，求b 的取值范围；（3）是否存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立？请说明理由．参考答案一．填空题：1、24y x =；2、6；3、π；4、211a +；5、2；6、6216；7、②；8、(,2]-∞；9、2；10、()0,4；11、10；12、9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；二．选择题：13、B ；14、C ；15、D ；16、D ；三．解答题：17、（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．∴函数()y f x =的最小正周期为π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-，则π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令2π6x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，()min 2f x =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max ()1f x =．18、设事件A 表示甲获胜，事件B 表示和棋，事件C 表示甲不输．则C A B = ．因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得()()()()P C P A B P A P B ==+ ．因为()0.9,()0.4P C P A ==，所以()0.90.40.5.P B =-=（2）设事件A 表示甲获胜，则A 表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为E ，则()()()E A A A A A A =⋂⋃⋂⋃⋂，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.所以()0.40.4(10.4)0.40.4(10.4)0.64P E =⨯+-⨯+⨯-=19、（1）直线l 的方程为112y x =+．由方程组2211,21,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2480x x --=．设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,8x x x x +==-，AB ===．（2）设点(),P x y ，则点Q 的坐标为(),x y -．(),1MP x y =- ，(),1MQ x y =--，∴()221k x y =-+-222221y y y =--+-+2221(1)y y y =---=-+．因为R y ∈，所以(],0k ∞∈-．20、（1）解一：(1)如图1，设点A 在水平面的投影点为O ．用测距仪测得CA m =，CB n =．在ABC 中，22100cos 20m n BAC m +-∠=，在AOC 中，22100cos 20m n OAC m +-∠=-，所以22100cos 20n m H m OAC --=∠=．解二：如图2，在平面ABC 上，以点C 为原点，向量CO为x 轴，建立平面直角坐标系xCy ，设点(),A x H ，则(),10B x H +，用测距仪测得CA m =，CB n =，则()22222210x H mx H n⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得22100.20n m H --=（2）如图，用电子尺测得CA m =，CB n =，在广场上从点C 移动至点D ，使得DB n =，再移至点E ，使得EA n =，此时再测量DA EA 、，若CA DA EA ==，则可知旗杆AB 垂直于地面，否则就是倾斜了．理由如下：已知CB DB =，CA DA =，设点M 是CD 的中点，则在等腰CBD △中，BM CD ⊥．同理AM CD ⊥，又,AM BM ⊂平面ABM ，所以AM ⊥平面ABM ；又因为AB ⊂平面ABM ，故AB CD ⊥．同理可证AB DE ⊥．综上所述，旗杆AB 垂直于地面．（3）提问：旗杆AB 向哪个方向倾斜多少角度？说明：用AB 在地平面上的投影来刻画AB 的倾斜方向是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用AB 与小路l 的夹角刻画扣1分．关于如何刻画AB 倾斜多少角度的问题，既可以用AB 与垂直于地面的直线所成角的大小，也可以用AB 与地平面所成角的大小来刻画．解答方案1：如图，在地面画出离点A 距离相等的点的轨迹圆O ，再在圆O 上找到离点B 距离最近的点D ，作BH 垂直于地面，垂足为H ，则ABH ∠的大小就是旗杆AB 倾斜角度．理由如下：先证明OH 与圆O 的交点既是点D ．只需证明：对于圆O 上任意一点M ，MB DB >．因为在MHD 中，ODM OMD ∠>∠，所以MH DH >，故MB DB >．如图5，从图4中的点D 向点A 的方向走到点P ，放置一个物体，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小．同理可得BDO ∠的大小．因此，可以求得图4中的BH 、AO 、DH 、DO 的长．在COD △中，三边已知，利用余弦定理可求得COD ∠，即旗杆AB 向西偏南COD ∠的方向倾斜．又由于DH 、DO 已求得，故AB 倾斜角度为arccos10DO DH-．测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点D 向点A 的方向走到点P ，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小，从而求得A 点的高度1h ．同理可求得B 点的高度2h ．如图，1210h h +-即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度1B G．所以21AG h h =-，在Rt ABG △中，21arccos 10h h BAG -∠=即为所求，测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点O 为原点，以OA 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则容易求出点A 与点B 的坐标(),A A x y 与(),B B x y ，故AB 的倾斜角为arctanB AB Ay y x x --．21、（1）当()0,1x ∈时，1()02g x >>，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()2121212g x x x x +=++，()()2212121g x g x x x +=++，则()()()()2221212121212111222g x g x g x x x x x x x x +-+=++-+-=-12142x x -=，121x x >+≥∴12140x x ->，∴()()()1212g x g x g x x +>+，∴21()2g x x =+为L 型函数.（2）当()0,1x ∈时，由()()ln 00p x b >+≥得1b ≥，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()1212ln p x x x x b +=++，()()()()1212ln ln p x p x x b x b +=+++，由()()()1212p x x p x p x +<+，得()()()1212ln ln ln x x b x b x b ++<+++，即()()1212x x b x b x b ++<++，即()2121212x x b x x b x x b ++<+++，即()()212121210b b x x x x x x ++-+-+>，令()()()21212121h b b b x x x x x x =++-+-+，则对称轴()12110,22x x b -+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以()h b 在[)1,+∞上的最小值为()1h ，只要()10h >，则()0h b >，因为()()()2121212111h x x x x x x =++-+-+120x x =>，所以[)1,b ∈+∞．（3）存在，举例1：()r x =理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,符合()0r x >；当1>0x ，20x >，121x x +<时，()12r x x +=()()12r x r x +=，212x x =++，21212x x x x =+<++，故22<，∴<()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立；举例2：()()1r x x =+；理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,，符合()0r x >，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()12121r x x x x +=++，()()()()121211r x r x x x +=+++，()()121212121111x x x x x x x x ++=+++>++ ，∴()()()1212111x x x x ++<+++，即()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.由此可知存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.。
上海市金山区2024届高三上学期一模试题 数学含解析
2023学年第一学期质量监控高三数学试卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B = ________．2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =________.3.不等式12x x ->+的解集为_________．4.双曲线2212y x -=的离心率为____．5.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m 的值______．7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为1r '=和2r =，母线长为3l =，则该该圆台的高为_________.8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．9.已知函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，且其图像关于点()4π,0对称，则ω的值为________．10.若()33223106x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=________．11.若函数()22(1)()(0)f x x x ax b c c =-++-≠的图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则a b c ++的值为________．12.已知平面向量a 、b 、c 满足42,a b c a b a b a=-=+=-+ ，且π,3a c = ，则a c ⋅ 的取值范围是________．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知事件A 和B 相互独立，且()()13,37P A P B ==，则()P AB =（）A.17B.221C.27D.162115.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF⊥平面11A BC C.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 面11A BC D.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 1AD 16.设集合{1,2,,100}A = ，X 、Y 均为A 的非空子集（允许X Y =）．X 中的最大元素与Y 中的最小元素分别记为M m 、，则满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为（）．A.20010021002-⋅ B.20010021012-⋅ C.20110021002-⋅ D.20110021012-⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．（1）证明：EF //平面PCD ；（2）求三棱锥E ABF -的体积．18.已知数列{}n a 满足212log 1log n n a a +=+，且12a =．（1）求10a 的值；（2）若数列{}n na a λ+为严格增数列，其中λ是常数，求λ的取值范围．19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4α=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）20.已知三条直线:i i l y kx m =+（1,2,3i =）分别与抛物线2:8y x Γ=交于点i A 、i B ，(,0)T t 为x 轴上一定点，且123m m m t <<<-，记点T 到直线i l 的距离为i d ，△i i TA B 的面积为i S ．（1）若直线3l 的倾斜角为45︒，且过抛物线Γ的焦点F ，求直线3l 的方程；（2）若110OA OB ⋅=，且10km ≠，证明：直线1l 过定点；（3）当1k =时，是否存在点T ，使得1S ，2S ，3S 成等比数列，1d ，2d ，3d 也成等比数列？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数()y f x =的定义域为D ，给定区间[,]a b D ⊆，若存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为区间[,]a b 上的“均值函数”，0x 为函数()y f x =的“均值点”．（1）试判断函数2y x =是否为区间[1,2]上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数2112212x x y m --=-+⋅-是区间[1,3]上的“均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）若函数222(22)x a y x x +=-+（常数a ∈R ）是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”．将区间[2,0]-任意划分成1m +（N m ∈）份，设分点的横坐标从小到大依次为12,,,m t t t ，记02t =-，10m t +=，10|()()|mi i i G f t f t +==-∑．再将区间[0,2]等分成21n +（n ∈N ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为122,,,n x x x ，记21()ni i H f x ==∑．求使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值．2023学年第一学期质量监控高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B = ________．【答案】{}3【解析】【分析】根据交集直接计算即可.【详解】由题可知：{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，所以A B = {}3故答案为：{}32.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =________.【答案】1-##1-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1z =-+，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意知，该复数为1z =-+，则1z =-.故答案为：1-.3.不等式102x x ->+的解集为_________．【答案】{|1x x >或}2x <-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.【详解】根据分式不等式解法可知102x x ->+等价于()()120x x -+>，由一元二次不等式解法可得1x >或<2x -；所以不等式102x x ->+的解集为{|1x x >或}2x <-.故答案为：{|1x x >或}2x <-4.双曲线2212y x -=的离心率为____．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====考点：双曲线离心率5.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】 角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m 的值______．【答案】3【解析】【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得m 的值.【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为3234332+=， 甲、乙两组数据的中位数相同，∴甲组数据的中位数为33，即3033m +=，解得：3m =.故答案为：3.7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为1r '=和2r =，母线长为3l =，则该该圆台的高为_________.【答案】【解析】【分析】作出圆台轴截面，求出轴截面的高，即得答案.【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，=故答案为：8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．【答案】25##0.4【解析】【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有25C 10=，所抽到两个数的和大于6共有()2,5，()3,5，()4,5，()3,4共4种，所以所抽到的两个数的和大于6的概率为42=105P =.故答案为：259.已知函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，且其图像关于点()4π,0对称，则ω的值为________．【答案】14或12【解析】【分析】根据增函数和对称中心特征，求出ω范围，进而得到答案.【详解】因为[0,π]x ∈，则[]0,πx ωω∈，函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，所以π0π2ω<≤，即102ω<≤；又因为sin()y x ω=的图像关于点()4π,0对称，则πx k ω=（Z k ∈），则πk x ω=（Z k ∈），所以π4πk ω=（Z k ∈），解得4kω=（Z k ∈），结合102ω<≤，所以14ω=或12.故答案为：14或12.10.若()33223106x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=________．【答案】8【解析】【分析】采用赋值法，令1,2x y =-=即可求得结果.【详解】令1,2x y =-=，则()()310162248a b c d ⨯-+⨯=-+-+，所以324828a b c d -+-+==，故答案为：8.11.若函数()22(1)()(0)f x x x ax b c c =-++-≠的图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则a b c ++的值为________．【答案】32【解析】【分析】根据题意，求得()22(1)()g x x x ax b =-++的图形过点(1,0),(1,0)-，得到()g x 的图象过点(3,0),(5,0)--，结合()()13g g -=-，()()15g g =-，联立方程组，求得,a b 的值，得出()22(1)(815)f x x x x c =-++-，再根据题意，得到2x =-必为函数()y f x =的一个零点，结合()20f -=，求得c 的值，即可求解.【详解】由函数()22(1)()f x x x ax b c =-++-，则函数()22(1)()g x x x ax b =-++的图形过点(1,0),(1,0)-，因为函数()g x 的图象关于2x =-对称，则函数()g x 的图象过点(3,0),(5,0)--，可得()()10,3(19)(93)g g a b -=-=--+，且()()13g g -=-，可得930a b -+=，又由()()10,5(125)(255)g g a b =-=--+，且()()15g g =-，可得2550a b -+=，联立方程组9302550a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得8,15a b ==，所以()22(1)(815)g x x x x =-++，因为函数()y f x =图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则2x =-必为函数()y f x =的一个零点，即()20f -=，可得(14)(48215)0c --⨯+-=，解得9c =，所以32a b c ++=.故答案为：32.12.已知平面向量a 、b 、c 满足42,a b c a b a b a =-=+=-+ ，且π,3a c = ，则a c ⋅ 的取值范围是________．【答案】,6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示与数量积计算，结合双曲线的定义与性质计算即可.【详解】根据题意不妨设()()2,0,,,a OA b x y OB c OC =====，O 为坐标原点，则2a b a b a +=-+⇒，即点B 到()2,0-的距离比到点A 的距离大2，根据双曲线的定义可知B 的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则()22113y x x -=>，又π,3a c = ，易知C点轨迹为():0l y x =>，显然C 点轨迹为B 点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设()C m ，则2a c m ⋅=，由题意12b c CB -==，当BC l ⊥时，此时C 点横坐标m 最小，由点到直线的距离公式可知112BC y ==⇒-=，而双曲线在渐近线y =下方，则1y -=，与双曲线方程联立22143331y x x y y ⎧⎧=-=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨-=⎪⎩⎪=⎩，即23,13B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则:13BC l y x ⎛⎫=-+⎪⎪⎭，联立2313y x x y ⎧⎛⎫=-+⎪⎪⎪⇒=⎨⎭⎪=⎩，即min 53532126m a c m ==⇒⋅=≥，由双曲线的性质可知满足12BC =的点C 横坐标无上限，故a c ⋅的取值范围是6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】难点点睛：本题难点在于利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨迹，再利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．14.已知事件A 和B 相互独立，且()()13,37P A P B ==，则()P AB =（）A.17B.221C.27D.1621【答案】A 【解析】【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.【详解】依题意可()()()17P AB P A P B ==．故选：A15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF⊥平面11A BC C.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 面11A BC D.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 1AD 【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定可判定A 、B 选项；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定C 、D 选项.【详解】如图所示，对于选项A ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，所以1DD ⊥AC ，又11,BD DD D BD DD ⋂=⊂、平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，EF ⊂平面1BDD ，所以EF AC ⊥，故A 正确；对于选项B ，易知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1BDD ，因为11AC ⊂平面11A C B ，所以平面11A C B ⊥平面1BDD ，显然平面1BDD 即平面BEF ，故B 正确；如上图所示，对于C 项，由正方体的特征可知1111//,//AD BC A B D C ，因为1AD ⊄平面11A C B ，1C B ⊂平面11A C B ，所以1//AD 平面11A C B ，同理1CD ⊄平面11A C B ，1A B ⊂平面11A C B ，所以1//CD 平面11A C B ，显然11111,AD CD D AD CD ⋂=⊂、平面1AD C ，所以平面1//AD C 平面11A C B ，由EF ⊂平面1AD C 可得//EF 平面11A C B ，故C 正确；对于D 项，显然1CE CFAE FD ≠时，EF 与1AD 不平行，故D 不正确.故选：D16.设集合{1,2,,100}A = ，X 、Y 均为A 的非空子集（允许X Y =）．X 中的最大元素与Y 中的最小元素分别记为M m 、，则满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为（）．A.20010021002-⋅B.20010021012-⋅ C.20110021002-⋅ D.20110021012-⋅【答案】B 【解析】【分析】根据子集的个数，先求解M m ≤的有序集合对(,)X Y 的个数，然后用总个数减去即可求解.【详解】对于给定的max M X =,集合X 是集合{1,2,,1}m - 的任意一个子集与{}m 的并，故有12m -种不同的取法，又min m Y =,所以{},1,,100Y m m + 的任意一个非空子集，共有121n m +--种取法，因此，满足M m ≤的有序集合对(,)X Y 的个数为()1001001001001100110011001001001111222122100210022112m mm m m m -+--===--=-=⨯-=⨯-+-∑∑∑，由于有序对(,)X Y 有()()()2100100100212121--=-个，因此满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为()()21001001002001002110022121012--⨯-+=-⋅故选：B三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．（1）证明：EF //平面PCD ；（2）求三棱锥E ABF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由中位线定理证明EF PD ，再由判定证明即可；（2）求出点E 到平面ABCD 的距离，再由体积公式求解.【小问1详解】证明： 四边形ABCD 为正方形，F 为AC 与BD 的交点，F ∴是BD 的中点，又E 是PB 的中点，EF PD ∴∥，又EF ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，EF ∴//平面PCD ．【小问2详解】PA ⊥ 平面,ABCD E 是PB 的中点，E ∴到平面ABCD 的距离112d PA ==， 四边形ABCD 是正方形，12,14ABF ABCDADS S =∴==△正方形，∴三棱锥E ABF -的体积11111333ABF V S d =⋅=⨯⨯=△．18.已知数列{}n a 满足212log 1log n n a a +=+，且12a =．（1）求10a 的值；（2）若数列{}n na a λ+为严格增数列，其中λ是常数，求λ的取值范围．【答案】（1）101024a =（2）8λ<【解析】【分析】（1）根据对数运算性质可得12n n a a +=，即可判断{}n a 为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，（2）利用作差法可得212n λ+<对正整数n 恒成立，即可求解.【小问1详解】由212log 1log n n a a +=+，得212log log 2n n a a +=（），故12n n a a +=，即12n na a +=.又120a =≠，故数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.从而，112n n n a q a -=⋅=.所以101024a =.【小问2详解】设数列{}n b 满足22n n n n n b a a λλ=+=+，因为数列{}n b 为严格增数列，故111(2)(2)022n n n n n n b b λλ+++-=+-+>对正整数n 恒成立，即212n λ+<对正整数n 恒成立，当1n =时，212n +取到最小值8.所以8λ<.19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4α=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）【答案】19.冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；20.EF 最小值为125米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为2.6米.【解析】【分析】（1）过A ，D 作水平线12,l l ，作21,CF l DE l ⊥⊥，由h DE CF =+可得；（2）延长EF 与直角走廊的边相交于M 、N ，由EF MN ME NF =--表示出EF ，设πsin cos4t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭进行换元，利用单调性即可求解.【小问1详解】过A ，D 作水平线12,l l ，作21,CF l DE l ⊥⊥如图，当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）ππ0.8sin2.4cos 2.3445h DE CF =+=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．【小问2详解】延长EF 与直角走廊的边相交于M 、N ，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，则 1.8 1.81 1.8(sin cos ) 1.21.2(tan )sin cos tan sin cos EF ββββββββ+-=+-+=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．设πsin cos 24t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(2t ∈，则()221.8 1.263215112t t EF t t --==⋅--，再令32m t =-，则(26541,1,3225552413m EF m m m m ⎤=⋅=⋅∈⎦+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，易知，54y m m=-+在(1,322⎤-⎦上单调递增，所以(541,1,322554y m m m⎤=⋅∈⎦-+单调递减，故当322m =-，即2t =，π4β=时，EF 取得最小值18212 2.695-≈.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．20.已知三条直线:i i l y kx m =+（1,2,3i =）分别与抛物线2:8y x Γ=交于点i A 、i B ，(,0)T t 为x 轴上一定点，且123m m m t <<<-，记点T 到直线i l 的距离为i d ，△i i TA B 的面积为i S ．（1）若直线3l 的倾斜角为45︒，且过抛物线Γ的焦点F ，求直线3l 的方程；（2）若110OA OB ⋅=，且10km ≠，证明：直线1l 过定点；（3）当1k =时，是否存在点T ，使得1S ，2S ，3S 成等比数列，1d ，2d ，3d 也成等比数列？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x =-（2）证明见解析（3）存在点(2,0)T -满足题意【解析】【分析】（1）根据抛物线交点，结合直线的点斜式即可求解，（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解，（3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求解||82i i i A B m =-，根据点到直线距离求解2ii d =，进而根据等比中项即可代入化简求解.【小问1详解】焦点(2,0)F ，斜率1k =，故直线3l 的方程为2y x =-．【小问2详解】联立218,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理，得21880ky y m -+=．易164480k m ∆=-⨯>，即12km <，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1128m y y k =，22212112264y y m x x k==.由110OA OB ⋅= ，即12120x x y y +=，得211280m m k k+=，由于10m ≠，所以18m k =-，直线1:8l y kx k =-，故直线1l 过定点(8,0).【小问3详解】当1k =时，:i i l y x m =+．由于123m m m t <<<-，所以0i t m +<，设(,0)T t，则i d ==.由2213d d d =⋅，得2213()()()t m t m t m +=+⋅+，即22213132()m m t m m m m t +=++．①联立28,,i y x y x m ⎧=⎨=+⎩消去y ，整理，得222(4)0i i x m x m +-+=.由224(4)40i i m m ∆=-->，得2i m <．于是||i i A B =．由2213S S S =⋅，2213d d d =⋅，且1||2i i i i S A B d =⋅⋅，得2221133||||||A B A B A B =⋅，从而22m -=，即2213(2)(2)(2)m m m -=--，化简，得222131342()m m m m m m -=-+．②①②相减，整理，得213(2)(2)0t m m m +--=．而2132(2)(2)(2)m m m -=-+-<，即2132m m m <+，故20t +=，即2t =-．又当2t =-时，比如取11m =-，31m =，22m =满足题意，故存在点(2,0)T -满足题意．.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 21.设函数()y f x =的定义域为D ，给定区间[,]a b D ⊆，若存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为区间[,]a b 上的“均值函数”，0x 为函数()y f x =的“均值点”．（1）试判断函数2y x =是否为区间[1,2]上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数2112212x x y m --=-+⋅-是区间[1,3]上的“均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）若函数222(22)x a y x x +=-+（常数a ∈R ）是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”．将区间[2,0]-任意划分成1m +（N m ∈）份，设分点的横坐标从小到大依次为12,,,m t t t ，记02t =-，10m t +=，10|()()|mi i i G f t f t +==-∑．再将区间[0,2]等分成21n +（n ∈N ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为122,,,n x x x ，记21()ni i H f x ==∑．求使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值．【答案】（1）2y x =为区间[1,2]上的“均值函数”“均值点”（2）(,2)6,)-∞++∞ （3）15【解析】【分析】（1）根据题意，得到方程22202121x -=-，求得0=x ，即可得到答案；（2）设0x 为该函数的“均值点”，则0(1,3)x ∈，根据题意转化为002(23)26x x m -=-在(1,3)上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；（3）根据题意，得到方程2(2)(2)()32(2)f f f --=--，求得0a =，得出22()2(22)x f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性，得到1)(()i i f t f t +≥，求得15G =，结合()(2)1f x f x +-=，进而求得12n H -=，利用指数幂的运算性质，即可求解.【小问1详解】解：设函数2y x =是区间[1,2]上的“均值函数”，且均值点为0[1,2]x ∈，可得22202121x -=-，解得0=x 或0x =(舍).故2y x =为区间[1,2]上的“均值函数”“均值点”.【小问2详解】解：设0x 为该函数的“均值点”，则0(1,3)x ∈，且00520211(2212)(2212)221231x x m m m ---+⋅---+⋅--+⋅-=-，即关于0x 的方程00222360x x m m -⋅+-=在区间(1,3)上有解，整理得002(23)26x x m -=-，①当023x =时，03m ⋅=，方程无解.②当023x ≠时，可得0022623x x m -=-.令023x t =-，则(1,0)(0,5)t ∈- ，且023x t =+，可得2(3)636t m t t t+-==++，又由对勾函数性质，可得函数36y t t=++在(1,0)t ∈-上是严格减函数，在t ∈上是严格减函数，在t ∈上严格增函数，所以当(1,0)t ∈-时，可得2y ＜，当(0,5)t ∈，可得6y ≥+，所以(,2)6,)m ∈-∞++∞ .即实数m的取值范围是(,2)6,)-∞+∞ .【小问3详解】解：由函数222(22)x a y x x +=-+是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”，可得2(2)(2)(32(2)f f f --=--，即22442()2(442)2(442)3222(2)2[()22]33a a a ++-+-+++=---⨯+，解得0a =，所以22()2(22)x f x x x =-+，则22222212(22)(22)(2)()2(22)(22)x x x x x x x f x x x x x ⋅-+-⋅--'=⋅=-+-+，当[2,0]x ∈-时，()0f x '≤，即22()2(22)x f x x x =-+在[2,0]-上单调递减，所以1)(()i i f t f t +≥(0,1,2,,i m = )，则1101001|()()|[()()]()()(2)(0)5m mi i i i m i i G f t f t f t f t f t f t f f +++===-=-=-=--=∑∑，又因为2222(2)()(2)12(1)22(1)2x x f x f x x x -+-=+=-+-+，从而122()()()n H f x f x f x =+++ ，1221()()()n n H f x f x f x -=+++ ，所以22n H=，可得12n H -=.，由11220235n -⋅>，即220230n >，可得2log 2023014.3n >≈，故使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值为15.【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.。
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2013年上海市高三数学一模客观压轴题汇编一、填空题1（2014年闵行区一模理科12） 设,i j r r 依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，且2a i a j -+-=r r r r 则2a i +r r 的取值范围是答案：[5详解：根据题意，2a i a j -+-=r r r r(1,0)的距离加上这个点到(0,2)的如下图所示，即到A 点的距离加上到B，而AB，所以这个点的轨迹即线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点(2,0)-的距离的取值范围，最短距离即下图中的CD 的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得CD =，因为BC =3AC =，所以距离的最大值为3 教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用 2（2014年闵行区一模理科13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 答案：(32,35)详解：根据题意，如图所示，1ab =，2(12)12abcd cd c c c c ==-=-，45c <<，所以答案为(32,35)教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是答案：(3,4)详解：根据题意，如图所示120x x +=，21234343333(4)4x x x x x x x x x x ++⋅=⋅=⋅-=-，3(1,2)x ∈ 3（2014年闵行区一模理科14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =，则所有k A 的交集为答案：5[2,]2详解：因为2,3,......,2014k =，所以2111k k <<，结合耐克函数的图像，如图所示，当211t k≤≤时，1[2,]k A k k =+，因为2,3,......,2014k =时，1k k +递增，所以所有k A 的交集为5[2,]2教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因为含有参数k 而产生畏难心理，可以让学生先求234,,A A A ，发现一般规律，再总结归纳变式练习（2014年闵行区一模文科14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积为 答案：+23k 4（2014年徐汇区一模理科12）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为答案：13详解：解法一：∵,,M G N 三点共线，假设AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，有=1λμ+，∵,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ＝+x AB y AC λμu u u r u u u r ，因为G 是重心，所以1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r即13=x y λμ=，∵=1λμ+，∴11133x y +=，化简xy x y +＝13解法二：特殊值法，取23x y ==教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧 5（2014年徐汇区一模理科13）一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有个五位数符合“正弦规律” 答案：2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类① 第二位数与第四位数相差2，情况为318⨯种； ② 第二位数与第四位数相差3，情况为327⨯种； ③ 第二位数与第四位数相差4，情况为336⨯种； ……以此类推，总共的情况为3333333318+27+36+45+54+63+72+81=2892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种 教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类 6（2014年徐汇区一模理科14）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式111x a x b+≥--()a b >的解的区间长度和不等式111x t x+≥-(0)t >的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分得220()x tx x tx x t --+≥-，因式分解后用数轴标根法解得22(0,(,22t t x t +++∈⋃，t -2= 教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述7（2014年松江区一模理科11）对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 答案：4-详解：1x =-时，()3f x =-；10.5x -<≤-，()1f x =-；0.50x -<≤，()0f x =；{}3,1,0A =-- 教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解 8（2014年松江区一模理科13）已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= 答案：2详解：设()log 1a f x x t =-=，∴log 1a x t -=±，1t x a ±-=，1t x a ±-=±1t x a ±⇒=±四个根为1ta +，1ta -，11t a -，11t a +，它们的倒数为11t a +，11t a --，1t t a a -，1t t a a +倒数之和等于2解法二：特殊值，例如2a =，令()1f x =，解出四个根即可教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法9（2014年松江区一模理科14）设集合{1,2,3,,}A n =L ，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝ 答案：1n +详解：当最大值为n 时，最小值可以为1，2，3…n ，()G B 个数为n ，()G B 之和为12...n n n ++++⨯＝22(1)31222n n n n n ++=+；同理当最大值为1n -时，()G B 个数为1n -，和为231(1)(1)22n n -+-； 以此类推，所有()G B 的个数为(1)12 (2)n n n ++++=，所有()G B 的和为 22231(12...)(12...)22n n +++++++＝1111(1)(21)(1)2222n n n n n ⋅+++⋅+，除以()G B 的个数(1)2n n + 就是()G B 的平均值＝11(21)122n n ++=+教法指导：本题可以举一些{1,2,3,,}A n =L 的子集，让学生理解()G B 的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心10（2014年青浦区一模理科13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x xx x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q 两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y 到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是答案：[2详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，A 为定点，M 的轨迹是A 为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如1,A M 两点的垂直距离较大，那么此时,A M 的非常距离为图中的绿色线段部分，而2,A M 两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出M 与A 的水平距离或垂直距离最大为3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值2，即图中取4M 的时候 教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解 11（2014年青浦区一模理科14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是答案：[3,2)-详解：当n 为奇数时，131a n -<++，1(3)1a n >-++，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的最大值永远小于3-，所以3a ≥-；当n 为偶数时，131a n <-+，小于最小值，因为n N ∈，0n =时取最小值2教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且n 是自然数，讨论n 为偶数的时候，n 是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调 12（2014年金山区一模理科13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1详解：如下图，11'11PH PA PH PB PH PF PH +=+-=+-≥-=，'PH 用点到直线距离公式求教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析13（2014年金山区一模理科14）在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,2,)2f M x y =，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为答案：6-详解：依题意得，122x y +=，122y x =-，将不等式中的a 分离得111(8)(2)6(16)22a x x x x≥--=-+，右边的最大值为6-6a ≥-教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出2x y +是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型 14（2014年奉贤区一模理科13）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=-，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-只有4个零点，则a 的取值范围是答案：11(,)(3,5)53⋃详解：根据已知条件，()f x 周期为4，先画()f x 一个周期图像，当13x ≤<时，3(2)(2)()f x x f x -=-=-，3()(2)f x x =--，由此画出[1,3)-的图像，此为一个周期，图像如下，()()log a g x f x x =-只有4个零点即()f x 与log a y x =只有4个交点，因为a 是未知的，需要分类讨论：①当01a <<时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点(5,1)--，解出15a =此时3个交点，代入点(3,1)-，解得13a =②当1a >时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点(3,1)-，解得3a =此时5个交点，代入点(5,1)，解得5a =教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换 15（2014年奉贤区一模理科14）已知函数()y f x =，任取t R ∈，定义集合：{(),(,()),(,()),t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==≤点，设,t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-，则（1）若函数()f x x =，则(1)h =（2）若函数()sin2f x x π=，则()h t 的最大值为答案：（1）2；（2）2详解：定义的意思是函数()y f x =在以定点P （点P 的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A ，第一问，1t =，定点P (1,1)，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以(1)h =2 第二问，对于()sin2f x x π=，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以()h t 的最大值为2，此时2,t k k Z =∈教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了二、选择题1（2014年奉贤区一模理科18）设双曲线22(1)1nx n y -+=（*n N ∈）上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim nn d →+∞的值为（）A ．212答案：A 详解：双曲线方程两边同时除n ，得到2211(1)x y n n -+=，当n →+∞，10n →，即方程220x y →-=，这就是方程的极限位置，即求点(1,0)Q 到直线y x =±的距离，所以选A教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把n d 用n 表示出来，这就复杂了2（2014年徐汇区一模理科18） 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},sin 1M x y y x ==+；③(){}2,log M x y y x ==；④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是（） A ．①②B.②③C.①④D.②④ 答案：D详解：根据题意，对于图像上任意点A ，图像上存在点B ，使得OA ⊥OB ，所以用排除法，①中（1,1）点不符合，③中（1,0）点不符合，所以选D教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用3（2014年青浦区一模理科18）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．11m ≤≤+1m ≤≤m -≤≤1m -≤≤-答案：B详解：因为存在实数x ，满足()()f x f x -=-，所以1212423423x x x x m m m m --++-+-=-+-+，化简得：21142(2)26042x x x x m m +-++-=，换元122x x t =+（2t ≥）得：222280t mt m -+-=，根据题意，此方程在[2,)t ∈+∞上有解，设22()228h t t mt m =-+-，按对称轴分类讨论：①当2m ≤，(2)0h ≤，且0∆≥，解得12m -≤；②当2m >，0∆≥即可，解得2m <≤两种情况取并集，综上所述，所以选B教法指导：本题要透过抽象的定义，看到它的本质，本质上还是一道方程在定义域内有解的问题，是平时练习过程中经常碰到的题型，按对称轴分类讨论即可；讲解的时候，要让学生区分开“恒成立”与“有解”（或者“能成立”的情况），讨论根的分布情况时，最好结合图像帮助理解4（2014年金山区一模理科18）已知有相同两焦点12,F F 的椭圆221x y m +=(1)m >和双曲线221x y n-=(0)n >，点P 是它们的一个交点，则△12F PF 面积的大小是（）A ．122答案：C详解：结合下图，依题意得：211c m n =-=+，12PF PF +=，12PF PF -=方相减得：122PF PF m n ⋅=-=，∴2222212121212()2444PF PF PF PF PF PF m c F F +=+-⋅=-==，即12PF PF ⊥教法指导：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题，很多时候都需要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。