[初二数学]直角三角形的性质定理2
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相似三角形之射影定理
相似三角形之射影定理 1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ） A 、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm 2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、9 16 4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1 ,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60 【填空题】 5、ABC 中，90A ∠= ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ， 22:AB AC = 。 6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥， AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】 7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽ 8、已知90CAB ∠= ，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥ 9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证： DE =
参考答案 1、C 2、B 3、C 4、C 5 、3,4:1 6、 8 7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得， 2CD CE AC = ，在R t B C 中， 2C D C F B C = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴ = 又ECF BCA ∠=∠ ，CEF CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中， 22,AC CD CB AB BD BC == AC CD AD AB AD BD ∴===== ,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴ = 60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠ 又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴ ∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥ 9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE 所以AB AM DE AD = ，因为AB=a ，BC=b ，
直角三角形与勾股定理练习题
直角三角形与勾股定理 一、选择题 1. 2. 3. （2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ A.1 , 2, 3 B.2, 3, 4 C.3, 4, 5 D.4 , 5, 6 （2010四川 泸州）在^ ABC 中，AB=6, AC=8, BC=10，则该三角形为（ A .锐角三角形 B .直角三角形 C . 钝角三角形 D .等腰直角三角形 （2010浙江台州市） 如图，△ ABC 中，/ C=90°, AC=3，点P 是边BC 上的动点, 则AP 长不可能是（▲） 4. B (第 3 题) E A . 2.5 B . 3 （2010山东临沂）如图， 同一条直线上，连接 BD ，则BD 的长为 C . 4 △ ABC 和i DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在 (A ) 73 ( B ) 2 奥(C ) 3^/3 ( D ) 4 泵 5. （2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 现将△ ABC 折叠，使点B 与点A 重合， （A ） 4 cm AC = 6 cm 、BC = 8 cm , 折痕为DE ，贝y BE 的长为 E 第15题 C D 6. （ 2010广西南宁） 式：(A ) a 相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A 【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C 直角三角形与勾股定理 一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4 A． 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） ．． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F 分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为． A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换； ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a, , ,是四条线段，欲证 d c b a =，可先证得 f e b a =（f e,是两条线段）然 后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD ②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD?CN=BM?CE． ③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP?PC=BM?CN D C A word. 相似三角形(二)（射影定理及角平分线的性质） 射影定理： 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt △ABC 中，∠C=90o，则 2 + 2 = 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt △ABC 中，∠C=90o，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC = 2 2 ③射影定理： CD 2 = · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ， S△ABC=20，AB=10。求AD 、BD 的长. B A 2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D 。（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。 【典型例题】 例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。 求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3 A M C D C 直角三角形的定理及知识要点 一、补充定理 直角三角形的定理 1、直角三角形两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 30角所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形中0 直角三角形的逆定理 1、两锐角互余的三角形是直角三角形。 2、一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 30。 4、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角为0 等腰三角形的定理 1、三角形中等边对等角。 2、三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合为一线。 60。 3、等边三角形三内角都是0 逆定理 1、三角形中等角对等边。 等边三角形的判定 60的三角形是等边三角形。 1、有两个角等于0 2、三个角相等的三角形是等边三角形。 60的等腰三角形是等边三角形。 3、有一个角是0 1 2 二、常见的图形及规律 1、Rt △ABC 中，若∠A =30°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB = 1:3:2。 2、Rt △ABC 中，若∠A =45°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB =1:1:2。 三、常见的勾股数 （一）3、4、5序列 ×2：6、8、10 ×10：30、40、50 ×0.1：0.3、0.4、0.5 1 2 ?：1.5、 2、 2.5 ×3：9、12、15 ×20：60、80、100 ×0.2：0.6、0.8、1.0 ×13：1、 43、 53 ×4：12、16、20 ×100：300、400、500 ×0.3：0.9、1.2、1.5 ×14：3544 、 1、 ×5：15、20、25 ×200：600、800、1000 ×0.4：1.2、1.6、2.0 ×1341555： 、 、 ×6：18、24、30 ×0.8：2.4、3.2、4.0 （二）由公式22a m n =-，2b mn =，22 c m n =+（m n >）推导出的序列 1 2 3 4 5 6 … 2 3,4,5 3 6,8,10 5,12,13 4 8,15,17 12,16,20 7,24,2 5 5 10,24,2 6 20,21,29 16,30,34 9,40,41 6 12,35,37 24,32,40 27,36,45 20,48,52 11,60,61 7 14,48,50 25,45,53 40,42,58 33,56,65 24,70,74 13,84,85 … … … … … … … … 勾 股 数 n m 教 案 课题三角形全等的条件（SSS） 专业 指导教师 班级 学号 §三角形全等的条件（SSS） 一.教学目标 知识目标：掌握“边边边”条件的内容，并能结合已学过的三角形全等的判定定理来判定两个三角形是否全等. 能力目标：在探索三角形全等的判定条件的过程中，培养学生动手画图和观察识图的能力，及类比推理的能力. 情感目标：通过实践，在探索中体验发现数学规律的乐趣，以及获得成功的愉悦感. 二.教学重难点 重点：“SSS”判定定理并灵活运用. 难点：尺规作图画全等三角形；及恰当地选择三角形全等的判定定理. 三.教学分析 教学方法：探究式教学法为主、讲练结合法为辅. 教学手段：粉笔、木条、直尺、多媒体. 课型：新授课. 四.教学过程 (一) 复习引入，自然过渡. 问题1：目前我们已经学习了几种三角形全等的判定方法(找同学回答，在同学回答问 题的过程时，写下他们回答的三个判定定理SAS、ASA、AAS) 问题2：两个三角形具有哪些性质（找同学回答） 思考1：如果两个三角形只有对应角相等，那么这两个三角形一定全等吗（在学生回答后，给出图形加以说明） 思考2：如果两个三角形只有对应边相等，那么这两个三角形一定全等吗（学生猜想结果） （二）探索发现 1．作出猜想 根据同学的回答，做出猜想——三边分别对应相等的两个三角形一定全等. 2．证明猜想 将班集体分为3个小组，第一组的同学画一个边长为2cm、9cm、12cm的三角形；第二组的同学画一个边长为6cm、8cm、10cm的三角形；第三组的同学画一个边长为7cm、11cm、17cm的三角形.每位同学将自己画好的三角形用剪刀剪下来.（每一组叫两个同学展示他们的图形，同学们可以发现他们是重合的，说明这两个三角形是全等的），此时，证明同学们的猜想正确. 3．得出结论 带领学生总结出结论：三边对应相等的两个三角形一定全等.（SSS） （三）例题讲解 例1 如下图，在四边形ABCD中，已知,. AD CB AB CD ==求证ABC CDA ???. 证明：在ABC ?与CDA ?中， () () () CB AD AB CD AC CA = ? ? = ? ?= ? 已知 已知 公共边 初三数学相似三角形知 识点归纳 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： n m b a = 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ，= ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或. 勾股定理及直角三角形的判定 知识要点分析 1、勾股定理 222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。 2、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4、勾股数 222的三个正整数a、b、c称为勾股数。满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。 【典型例题】 考点一：勾股定理 例1：在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=3，b=4，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________； （3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________. 例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 解： 考点二：勾股定理的验证 例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。 （2）用这个图形证明勾股定理。 （3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明） 相似三角形中的射影定 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A 【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o ，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF A B M C N D C 1 / 2 第2课时 直角三角形的判定定理“HL ” (参考用时:30分钟 ) 1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件: ①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 和CE 交于O,AO 的延长线交BC 于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是经过A 点的一条直线,且B,C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E,CE=2,BD=6,则DE 的长为( D ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为 E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL). 第4题图 5.如图,MN ∥PQ,AB ⊥PQ,点A,D,B,C 分别在直线MN 与PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 . 第5题图 6. 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与BD 相交于点 O. (1)求证:△ABC ≌△DCB; (2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°, AC=BD,BC=CB.所以Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL). (2)解:△OBC 是等腰三角形. 因为Rt △ABC ≌Rt △DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt △ABC 中,∠ ACB=90°,CA=CB,D 是AC 上一点,E 在BC 的延长线上,且AE=BD,BD 的延长线与AE 交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与AE 有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性 . 解:猜想:BF ⊥AE. 理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°. 又BC=AC,BD=AE,所以△BDC ≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE. 又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°. 所以∠BFE=90°,即BF ⊥AE. 8.(1)如图1,点A,E,F,C 在一条直线 上,AE=CF,过点E,F 分别作DE ⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,试证明BD 平分线段EF; (2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由 . (1)证明:因为DE ⊥AC,BF ⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF, 所以 AE+EF=CF+EF, 三角形全等的条件（一） 学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测 一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已 知： 求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知）， 分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断 一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c . 直角三角形、勾股定理、面积 ★★知识考点 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 ★★精典例题 ●例1.（1）有一块地，如图6，已知AD＝4 米，CD＝3 米，∠ADC＝90°，AB＝13 米， BC＝12 米，求这块地的面积． （2）已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。 ●例2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？ ●例3.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。 ●例4.如图，在ABC Rt?中， 90 = ∠A,D为斜边BC中点，DF DE⊥,求证：2 2 2CF BE EF+ = A B C D ●例5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的长。 ●例6.如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3 5 ，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知 道AD的长吗？ 1、已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。求证:BD=DE+CE. 2、如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F． (1)求证：PD+PE=CF； (2)若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明． 3、在△ABC中, ∠C为直角,BC=AC, BD是∠ABC的平分线,AE⊥BD,垂足为E, 求证:BD=2AE. 九年级二轮专题复习材料 专题十一：直角三角形（勾股定理、三角函数） 【近3年临沂市中考试题】 1．（2014?临沂）如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为 （A ）20海里．（B ）海里．（C ） 海里． （D ）30海里． A 、 B 、12 C 、14 D 、21 2．（2015临沂22题） 小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m ，这栋楼有多高？ 3．(2016临沂19题)一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sin α?cos β+cos α?sin β；sin （α﹣β）=sin α?cos β﹣cos α?sin β．例如sin90°=sin （60°+30°）=sin60°?cos30°+cos60°?sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值 是 ． 4．(2016年临沂22题) 一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处（参考数据： ≈1.732，结果精确到0.1）？ 【中考集锦】 一、选择题 C （第22题图） 4.(2016湖北襄阳第9题)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( ) 2 1. A 55. B 1010. C 55 2.D 二、填空题 1．(2014?济宁)如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°， AC=2，则AB 的长为 ． 2.（2016浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测 得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为 m （结果保留根号） 3.（2016湖南岳阳第14题）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上 走了200米到达点B ，则小辰上升了 米． 4．（2013?巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b ， 且满足 ，则该直角三角形的斜边长为 ． 直角三角形全等判定定理教案 主题：直角三角形全等判定定理 授课人：范金华 【教学目标】 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法． 3.让学生领会无处不在的数学之美 【教学重点和难点】 1．重点：“斜边、直角边”定理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”定理的灵活运用． 【教学手段】：剪好的直角三角形硬纸片和展示板若干 【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 【教学过程】 (一)情景引入 故事：乌龟和兔子关于滑梯的争论。 (二)引入新课 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？ （三）探究新知 如图3-43，在△ABC 与△A ＇B ＇C ＇中，若AB=A ＇B ＇，AC=△A ＇C ＇，∠C=∠C ＇=Rt ∠，这时Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇是否全等？ 学生讨论后得出结果： 把Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A ＇C ＇B ＇=Rt ∠，所以B 、C(C ＇)、B ＇三点在一条直线上，因此，△ABB ＇是一个A(A’) C(C’) B B 等腰三角形，于是利用“SSS ”或“AAS ”可证三角形全等． 从而引出直角三角形全等判定定理——“HL ”定理． (四)知识形成 1.斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)． 1）这是直角三角形全等的一个特殊的判定定理，其他判定定理用于任意三角形全等的判定定理．（前提、条件） 2）证明直角三角形全等的方法总结 2.分组小游戏： 图形展示：请同学们将手中的全等的直角三角形两个一组摆出不同的位置关系，贴在展示栏内。看哪组贴的又快又多又漂亮！ 3．应用 例1已知：如图,在△ABC 和△ABD 中，AC ⊥BC, AD ⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC. 求证:△ABC ≌△BAD. 此题由学生分析，找出全等条件，由老师写出板书过程。 例2 例2.已知:如图,AB=CD,DE ⊥AC,BF ⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:AE=CF. 变式：求证：AB//DC 此题由学生讨论后说出思路，由学生推举代表 上台板演 A B D C A B C D E D C F A B 直角三角形与勾股定理 一、选择题 1. （2016·四川达州·3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【考点】勾股定理的应用． 【分析】从点A ，B ，C ，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：∵从点A ，B ，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形， ∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为． 故选D ． 2.（2016·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D ，连接CD ，CD ＝( ) A 、3 B 、4 C 、4.8 D 、5 图2 A ［难易］ 中等 ［考点］ 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质 ［解析］ 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC 为直角三角形，因为DE 为AC 边的中垂线，所以DE 与AC 垂直，AE=CE=4，所以DE 为三角形ABC 的中位线，所以DE=12 BC =3,再根据勾股定理求出CD=5 ［参考答案］ D 3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（ ） A．B．C．D． 【考点】勾股定理；实数与数轴． 【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：连接OC， 由题意可得：OB=2，BC=1， 则AC==， 故点M对应的数是：． 故选：B． 4．（2016·山东烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC 分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（） A．40° B．70° C．70°或80°D．80°或140° 【考点】角的计算． 【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO． ∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD， ∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时， ∠BCD=40°或70°， 相似三角形 ――相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1直角三角形的性质: (1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2) Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U 2 + (3) 直角三角形的斜边上的中线长等于 2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。 精品文档 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理 (只能用于选择填空题) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那 么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则 ① S s ②射影定理： CD 2= ______ 【常规题型】 AC 2= _____ BC 2= ____ 1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90 【典型例题】 例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90 BM 2=MN ? AM 。 例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ? AF 【拓展练习】 1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB ? AC=AD ? AE 。求证：△ BEF ACF ,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证: 例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？ AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的 C B C F D 1.如图，凸四边形ABCD 中，∠A=90° AB=3,AD=4,BC=12,CD=13 则四边形ABCD 的面积为 2.锐角三角形的两边分别为1、2， 则第三边x 的取值范围是 3.已知直角三角形的三边均为整数，且一直角边为1997， 则另一直角边是 4如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, D 为AB 边的中点，∠EDF=90°,AB=10 则DE+DF 的取值范围是 5. 如图，△ABC 中，AB=13,AC=15,BC=14,AD ⊥BC 则AD= 6. 如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90° D 为AB 边的中点，∠EDF=90° 求证：2 2 2 EF BF AE =+ 7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, △ABD 、△CDE 都是等边三角形，AB=2 求 BE 的长 8.如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，AD=BC,DC=BE 求∠AFD 9.如图，凸四边形ABCD 中, ∠BAD=60°∠BCD=30°AB=AD 求证：2 2 2 AC BC CD =+ 10.如图，△ABC 是等边三角形，O 为内一点，AO=3,BO=4,CO=5 求∠AOB 11.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ,O 为内一点，AO=1, CO=2, BO=3, 求∠AOC C C A C E C P B 12.如图，O 为矩形ABCD 中一点 求证：2 2 2 2 OD OB OC AO +=+ 13.正方形ABCD 中，边长为1，∠DOC=90° 2 122= -OB AO 求∠DCO （需用三角函数，超纲） 14如图，P 为三角形ABC 的边BC 上一点，且PC=2PB ∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB 15. ?ABC 中，AB=AC ，P 为BC 边上的一点 求证：AB 2 =AP 2 +BP ?CP 若P 在直线BC 上结论是否成立呢？(完整版)相似三角形中的射影定理
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