二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算

1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算

对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数

(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰

⎰

； （1）

若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有

21()

()

(,)(,)d

y c

y D

f x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰

⎰⎰

．[1]

（2）

例1 计算2

2

D

y dxdy x ⎰⎰

，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以

利用公式（1）进行求解．

解 积分区域为x 型区域

()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

则

22

2

1221x

x D

y y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ 32

121

3x

x

y dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰

y y=x

xy=1 D2

D1

x

O 2

1

1 2

图3

图1

2

51

133x dx x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰

22

1

412761264

x x ⎛⎫=+=

⎪⎝⎭

1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算

当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积

分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式

1

2

3

(,)(,)(,)(,)D

D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）

进行计算，

例2 计算二重积分D

d σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．

分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是

y 型区域，但是将可D 划分为

()(){}

12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬

⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区

域，进而通过公式

（3）和（1）可进行计算．

解 D 划分为

()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

，

(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-

则

12

D D D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122x x x x dx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫

=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 12

22013333442x x x ⎡⎤⎡

⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算

二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后

y

图

4

例 3

计算二重积分D

，其中D 为区

域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能

直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发

现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，2

2011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，

被积函数在每一个积

分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．

解 区域D 如图6可分为1

2D D ，其中

21211x y D x ⎧≤≤=⎨

-≤≤⎩，2

2011

y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 由公式（3）则

1

2

D

D D =+

2

212

1

1

1

5

23

x x

dx dx π

--=+=

-⎰⎰⎰⎰

2 利用变量变换法计算

定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续

偏导数且它们的雅克比行列式()()()

,,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则

()()()()(,),,,,D

f x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆

=⎰⎰⎰⎰ （4）

（4）式叫做二重积分的变量变换公式，

2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化

当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．

例4 求x y x y

D

e

dxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）

分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，

根据二重积分的变量变换公式，