线性变换例题 (3)
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
第六章习题课线性代数 (3)
性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A
2
2 2
0 2
.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注 用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判 断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由
4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2
y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解 该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f
1.4 线性变换
例1.32 取
1 0 E11 0 0
0 1 E12 0 0
E 21 0 0 1 0
0 0 E 22 0 1
1 1 为线性空间R22的一组基，设 A 1 ，在R 22上定 1
（5）设线性空间V中任一个向量与其T()象在基
1 , 2 ,L , n 下的坐标分别为
X x1 , x2 , L , xn 与 Y y1 , y2 , L , yn ，则
T
T
Y=AX. 这就是线性变换的坐标变换公式即
。
y1 x1 y2 x2 A M M yn xn
（4）可逆变换：对变换T1，若存在变换T2，使得 T1T2=T2 T1=I（恒等变换）， 则称T1为可逆变换，T2是T1的逆变换，记为T2=T1
-1
关于线性变换的运算，有以下几点值得一提： （1）上述线性变换运算的结果仍是线性空间V上的 线性变换（可以证明）； （2）线性变换T可逆的充分必要条件是T为一一对 应的（可以证明）； （3）若线性变换T可逆，则其逆变换是唯一的（可 以证明）； （4）线性变换的乘法一般不满足交换律，即 T1T2≠T2 T1 （5）对线性变换T，当n个T相乘时，常用T的n次 644 n 44 8 47 4 幂来表示，即 T n T T L T
T 1, 2 ,L , n 1, 2 ,L , n A
a11 a12 L a1n 其中 a21 a22 L a2 n A M M O M an1 an 2 L ann 则n阶矩阵A就称为线性变换T在基
1 , 2 ,L , n 下的矩
有限维线性空间上线性变换的值域与核
有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系 04数本 410401142 郭文静摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。
本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。
本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。
简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。
正文：定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ值域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用()10σ-或()Ker σ表示。
且记为：()(){}m V I V σσσαα==∈()(){}1(0)0,Ker V σσασαα-===∈.不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。
一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V .证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。
应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是，()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则秩2σ=秩σ⇔()()10V V σσ-=+ 证明：()⇒设1,2,...,n εεε是V 的一组基，而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε==这里()()1,,i is σεσε为()V σ的一组基.于是，()()()()2221,,i is V L σσεσε=已知 秩2σ=秩σ 则()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。
()()10V ασσ-∀∈⋂ 则 ()()11i s is a a ασεσε=++且()()()22110i s is a a σασεσε==++从而10s a a ===即0α=故()()10{0}V σσ-⋂= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()()()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；()⇐设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕(),.V s t βασβ∃∈=，而 ()()1110,V βσβγγσβ-=+∈∈于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ⊆ 显然，()()2V V σσ⊇ 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ.特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。
6.3 双线性变换法
s
p
16
3、 N
lg k sp lg sp
1 . 99
∴ 取N＝2
17
③ 查表得N=2时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数
H aL ( p) 1 p 1.4142 p 1
2
④ 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)
H ( z ) H aL ( p) p
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。
① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T ， ； T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
14
由低通到高通的频率转 H aH ( s ) H aL ( ) s 用双线性变换法得到数 H ( z ) H aH ( s ) | s 1
换关系得到模拟高通：
字高通： 2 1 z
1 1
T 1 z
15
例2：设计一个巴特沃斯型数字高通滤波器，通带截止频 率 p 0.2π弧度，衰减3dB。阻带下边频 ＝0.05π弧 s 度，阻带衰减 As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。
13
• 典型例题
例1：设计一个 3 阶巴特沃斯型数字高通滤波器 ，3dB数字截频为0.2π弧度，求该滤波器的系统 函数。
解：
① 3阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为：
注意：这里是 模拟低通的， 应该是多少？
去归一化得到低通系统
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数总结汇总+经典例题线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
关于线性变换的一个典型问题
。 ．
●
Ｏ
Ｏ
…
通过计算容 易得知 ％ 一 ０ ； ｉ ≠Ｊ ，即
由于 维 线性空 间上 的线性变换 与 × 方 阵是
一 一
Ａ ＝ ＝
对应 的，因此 要证 明与 Ｖ 上全 体线 性 变换 可 交
换 的线性变 换 一定 是数 乘 变换 这 个命 题 ，一般 是从
证 明 由上面分析 可知 ， 只需要证 明与所有 × 矩阵可交换 的矩 阵一 定是 数乘矩 阵． 设 Ａ一 （ ａ ） 为 × 矩 阵 ， 并 且对 于任 意的 咒 ×ｒ ｔ 矩 阵 Ｂ都有 Ａ Ｂ
一
Ｏ
●
步， 与线性 空 间上 所 有线 性 变换 可 以交 换 的映射
／ １ ４．取
关 于 线 性 变 换 的 一 个 典 型 问题
付 本 银 ，王 圣 强
（ １ ．上 海金 融 学 院 应用 数 学 系 ，上 海 ２ ０ １ ２ ０ ９ ； ２ ．华 东 理 工 大 学 理 学 院 ，上 海 ２ ０ ０ ２ ３ ７ ）
摘
要 本 文 证 明 了 与线 性 空 间上 的所 有 线性 变 换 可 交 换 的 映射 仍 然 是线 性 变 换 ， 从 而是 数 乘 变 换 ．
与 Ｖ上 的 所 有 线 性 变 换 可 交 换 ，则 一 定 是 数 乘
变换 ．
ｒ
吼
数上 一个非 常典 型 的例 题．一 般方 法 是把 线 性 变换
转化 为矩阵 ， 然 后从矩 阵的角度证 明此结 论．如果 Ｖ 是一个 无限维 的线性 空 间 ， 类似 的 结论是 否成 立？ 进
一
矩 阵的角度 加 以说 明．这 个命 题 尽管 在 高 等代 数 的 教 材里都能 找到 ， 但 为了与本文 的结 果做一对 比 ， 对
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
线性变换可对角化的条件及对角化方法
邯郸学院本科毕业论文题目线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法学生苏成杰指导教师张素梅教授年级2006 级专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2010年5月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师张素梅老师的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．毕业论文作者（签名）：年月日摘要通过从特征值、特征向量、特征子空间、不变子空间、最小多项式、特征多项式以及线性变换矩阵本身的结构特点等七个不同的角度去分析线性变换可对角化的条件，总结出了七个充要条件和四个充分条件．第二部分给出了利用特征向量将线性变换对角化的一般方法并赋予了典型例题加以具体说明，同时又就以上某些条件的等价关系进行了说明．关键词线性变换对角化条件特征值特征向量Linear transformation’s “diagonalizable”conditions and“diagonalization” methods Su Chengjie Directed by Professor. ZhangSumeiAbstract According to the characteristic number, characteristic vector, subspace, invariant subspace, minimal polynomial, characteristic polynomial and the linear transformation matrix itself we get seven different sufficient conditions and four different necessary conditions. The second part of the text will show a common method to diagonalization the linear transformation with characteristic number and characteristic vector and also there will be an example to make it clear and then the construction of the above conditions are discussed on equivalence relation.Key words Linear transformation Diagonalization Condition Characteristic number Characteristic vector目录摘要 (Ⅰ)外文页 (Ⅱ)1 引言 (1)2 线性变换及其矩阵表示 (1)2．1 线性变换的定义 (1)2．2 线性变换矩阵的定义 (1)3 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (2)4 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充分条件 (6)5 复数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (8)6 线性变换对角化方法介绍 (9)7 对各条件之间的联系进行分析和总结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法1 引言线性变换是线性空间中的重要研究内容之一，过去我们把对线性变换的研究转化为了对矩阵的研究，这样极大地丰富了线性变换的研究内容，线性变换的对角化问题就是其中一例．值得注意的是，并不是所有的线性变换都可以对角化，因此对线性变换可对角化的条件的研究是十分有价值的．本文从不同的角度分析了线性变换可对角化的条件并给出了相应的结论．2 线性变换及其矩阵表示2.1 线性变换的定义 定义2.1296]1[ 设V 是数域P 上的线性空间，若存在V 上的一个变换σ满足条件（1）)()()(βαβασσσ+=+ V ∈∀βα, （2）αασσk k =)( V P k ∈∀∈∀α, 则称σ为V 的一个线性变换．2.2 线性变换矩阵的定义 定义2.2324]1[ 设n εεε,,,21Λ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一组基，σ是V 中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n nn n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛσσσ 用矩阵来表示就是A εεεεεεεεε),,,(),,,(),,,(212121n n n ΛΛΛ==σσσσ其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a aa a aa a a ΛM M M ΛΛ212222111211A ， 则称A 为线性变换σ在基n ε,,ε,εΛ21下的矩阵．3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题3.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 中存在由σ的特征向量组成的一组基．证明 必要性 设线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下具有对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n λλλO21A 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n λλλσOΛΛ212121),,,(),,,(εεεεεε 这就是说n i i i i ,,2,1,Λ==εελσ．因此n εεε,,,21Λ就是σ的n 个线性无关的特征向量．充分性 如果V 中存在由σ的特征向量组成的一组基，显然在这组基下σ的矩阵是对角矩阵，即线性变换σ可以对角化．命题 3.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和.引理3.2.1260]2[ 如果ξ是数域P 上的线性空间V 上的线性变换σ的一个特征向量，则ξ生成的子空间)(ξL 是σ的一维不变子空间．引理3.2.2 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换，如果W 是σ的一维不变子空间，则W 中任何一个非零向量都是σ的特征向量．证明 设W 是σ的一维不变子空间，任取)(0αα≠∈W ，则α是W 的一组基．因为W 是σ的一维不变子空间所以W ∈ασ，从而αα0k =σ对某个P k ∈0成立，这表明α是σ的特征向量．下面证明命题3.2必要性 设σ可对角化，由命题3.1可知V 中存在由σ的特征向量组成的一组基n ααα,,,21Λ，因此)()()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=Λ．根据引理3.2.1有),,2,1)((n i L i Λ=α是σ的一维不变子空间．由此得线性空间V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和．充分性 设V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间n W W W ,,,21Λ的直和n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21在),,2,1(n i W i Λ=中取一组基i ε,据引理3.2.2得i ε是σ的特征向量．由于和n W W W ⊕⊕⊕Λ21是直和，所以n εεε,,,21Λ是n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21的一组基，即线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量组成的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．命题3.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ的所有特征子空间的维数之和等于n ．引理3.3.1251]2[ n 维线性空间V 上的线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的特征向量是线性无关的；线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的线性无关的特征向量组合在一起仍然线性无关．下面证明命题3.3必要性 设线性变换σ的所有不同特征值分别是m λλλ,,,21Λ，),,2,1(m i V i Λ=λ是属于特征值),,2,1(m i i Λ=λ的特征子空间，因为线性变换σ可对角化，由命题3.1知σ有n 个线性无关的特征向量，从而有m V V V V λλλ⊕⊕⊕=Λ21．所以)dim ()dim ()dim ()dim ()dim (2121m m V V V V V V V λλλλλλ+++=⊕⊕⊕=ΛΛ．其中)dim(V 表示线性空间V 的维数，下同．从上面的等式可以看出，线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ． 充分性 设线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ，即∑===mi n V V i1)dim()dim(λ在m V V V λλλ,,,21Λ中各取一组基，把它们合起来供共有n 个向量．据引理3.3.1它们仍然线性无关，从而它们构成线性空间V 的一组基．换句话说，线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1知线性变换σ可以对角化．命题3.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是线性变换σ在某一组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积．引理3.4.1 设A 是一个准对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A 并设1A 的最小多项式为1g （x ）,2A 的最小多项式为2g (x )，那么A 的最小多项式为1g （x ）和2g (x )的最小公倍式)](),([21x g x g ．证明 记)](),([)(21x g x g x g =，首先0A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(21g g g 因此g(x )能被A 的最小多项式整除，其次，如果0A =)(h ,那么0A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(21h h h 所以0A 0A ==)(,)(21h h ，因而)(|)(),(|)(21x h x g x h x g ．并由此得)(|)(x h x g ．这样就证明了g(x )是A 的最小多项式．引理3.4.286]3[ 设n 维线性空间V 上的线性变换σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式为)(x g ，它可以分解成一次因式的乘积s r s r r x x x x x x x g )()()()(2121---=Λ则V 可以分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，其中},)(|{V x V i ri i ∈=-=ξ0ξE A ξ，s i ,,2,1Λ=．下证命题3.4根据引理3.4.1，条件的必要性是显然的，现在证明充分性．根据矩阵和线性变换之间的对应关系，定义任意线性变换σ的最小多项式为其对应矩阵A 的最小多项式．设线性变换σ的最小多项式为)(x g ，由)(x g 是数域P 上互素的一次因式的乘积，我们有∏=-=li i a x x g 1)()(由引理3.4.2可得l V V V V ⊕⊕⊕=Λ21其中},)(|{V a V i i ∈=-=ξ0ξE A ξ，这里E 表示单位矩阵．因此把l V V V ,,,21Λ各自的基合起来就是线性空间V 的基，而每个基向量都属于某个),,2,1(n i V i Λ=，因而是线性变换σ的特征向量．换句话说就是线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．命题3.5 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对于线性变换σ的每个特征值λ都有等式：k r n =--)(A E λ（其中k 是λ的重数，A 表示线性变换σ在某一组基下的矩阵，)(A E -λr 表示矩阵A E -λ的秩，下同）．证明 必要性 设λ是线性变换σ的任一特征值，且其重数为k ,由于σ可以对角化，所以属于特征值λ的线性无关的特征向量有k 个，从而齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ．由参考文献［1］第142页定理8可知齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为)(A E --λr n所以有k r n =--)(A E λ．充分性 由于对线性变换σ的每个特征根λ有k r n =--)(A E λ (k 是λ的重数)，所以齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ，即属于k 重特征值λ的线性无关的特征向量的个数为k ，从而线性变换σ共有n 个线性无关的特征向量，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．由上面的证明过程可知，条件：对于线性变换σ的每个特征值λ都有k r n =--)(A E λ(k 是λ的重数)也可改为线性变换σ的每个特征值λ的重数等于齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系所含向量的个数．或改为如果令r λλλ,,,21Λ是σ的所有不同特征值，则有n r n r i i =--∑=)]([1A E λ．或改为线性变换σ的每个特征值λ的特征子空间的维数等于λ的重数．4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件命题4.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ有n 个不同的特征值．证明 由于属于不同特征值的特征向量是线性无关的，且线性变换σ有n 个不同的特征值，所以线性变换σ有n 个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可对角化．命题4.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 的特征多项式在数域P 内有n 个单根．证明 由于矩阵A 的特征多项式||)(A E -=λλf在数域P 上有n 个单根，从而线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1得线性变换σ可对角化．命题4.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 为幂等矩阵)(2A A =．引理4.3.1130]3[ 幂等矩阵的特征根只能是0或1．下面证明命题4.3设线性变换σ在某组基下矩阵A 为幂等矩阵，且r r =)(A ,由引理4.3.1知线性变换σ的特征值是0或1，所以矩阵A 相似于对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00110O OA 由于相似矩阵具有相同的秩，所以 )()(0A A r r =)()(0A E A E -=-r r又n r r =+-)()(00A A E ，所以rn r n r r -=-=+-)()()(A E A A E ． 于是齐次线性方程组0X A E =-)(的基础解系所含向量的个数为n )(A E --r =r r n n =--)(．又因为r r =)(A ，故齐次线性方程组0AX X A E =-=-)0(的基础解系所含向量的个数为r n r n -=-)(A ．于是线性变换σ共有n r n r =-+)(个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．另外，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵A 满足E A =2或)(2P k k ∈=A A ，由以上的证明过程可知线性变σ同样可以对角化．命题4.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是线性变换σ在某组基下矩阵A 为下三角矩阵，且),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠（其中ii a 为主对角线上元素）．证明 因为A 是一个下三角矩阵，所以A 的特征多项式为|λA E -|=∏=-n i ii a1(λ），又由于),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠，从而A 的特征多项式有n 个不同的根),,2,1(n i a ii Λ=，即线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1可得线性变换σ可对角化．5 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题5.1 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式无重根．证明 由命题3.4可知σ可对角化的等价条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积，而当P 是复数域时这个条件就等价于A 的最小多项式无重根，从而命题成立．另外不难证明如果A 的特征多项式无重根，则线性变换σ可对角化．命题5.2 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对σ的每个特征值i λ均有m i r r i i ,,2,1,)()(2Λ=-=-A E A E λλ．证明 必要性 因线性变换σ可对角化，故A 的最小多项式)(λf 无重根，即A 的任一特征根i λ只能是)(λf 的单根．于是)(λf 与(i λλ-2)的最大公因式是i λλ-，由最大公因式的性质知，有多项式][)(),(λλλP v u ∈使 EA E A A A A i i ii v f u v f u λλλλλλλλλ-=-+-=-+22))(()()())(()()(．因 0A =)(f ,故 E A E A A i i v λλ-=-2))((．所以r (E A i λ-)≤2)(E A i r λ-但2)(E A i r λ-≤)(E A i r λ-,故有)(E A i r λ-=m i r i ,,2,1,)(2Λ=-E A λ．充分性 由命题5.1知，只需证明A 的最小多项式无重根，用反证法．假设线性变换σ的某个特征根i λ是最小多项式)(λf 的重根，可设)()()(2λλλλg f i -=，因多项式)()(λλλg i -的次数低于)(λf 的次数，故0A E A ≠-)()(g i λ，但0A A E A ==-)()()(2f g i λ所以)(A g 中必存在非零的列向量0X 使0X E A 0X E A =-≠-020)()(i i λλ．这就是说，齐次线性方程组0X E A =-)(i λ与0X E A =-2)(i λ有不同解，故2)()(E A E A i i r r λλ-≠-．这与2)()(E A E A i i r r λλ-=-矛盾．故)(λf 无重根，从而线性变换σ可对角化．6 线性变换对角化方法介绍命题6.162]4[ 设数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ有m 个不同的特征值，它们分别为)(,,,21n m m ≤λλλΛ，且其对应有n 个线性无关的特征向量为n ααα,,,21Λ，A 为线性变换σ的矩阵．如果令),,,(21n αααP Λ=则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n λλλO 211AP P ． 上述命题就是将一个线性变换的矩阵变成一个其主对角线上全为其特征值的对角矩阵的具体方法．例298]6[ 数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ在某组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A试将其对角化．解 矩阵A 的特征多项式)6()2(533242111||)(2--=-----=-=λλλλλλλA E f 令 0)6()2()(2=--=λλλf得6,2321===λλλ．所以线性变换σ的特征值为6,2321===λλλ．当2=λ时，由,)2(0X A E =-求得属于特征值2=λ的线性无关的特征向量为T T )1,0,1(,)0,1,1(21=-=αα．当6=λ时，由,)6(0X A E =-求得属于特征值6=λ的线性无关的特征向量为T )3,2,1(3-=α．再令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==310201111),,(321αααP可求得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4141414143432121211P 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6221AP P ．至此已将线性变换对角化，其对角化的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6220A ．从上面的解题过程可以看出，线性变换对角化的过程实际上就是求解特征值与特征向量的过程．换句话说就是求得一组基，使线性变换在这组基下的矩阵为对角矩阵．显然这组基中的每一个向量都是线性变换的特征向量，而对角矩阵主对角线上元素都是其对应特征值．从而不难理解线性变换的矩阵对角化后并没有改变线性变换本身，它只是在另一组基下的矩阵．7 对各条件之间的联系进行分析和总结通过对以上各种条件进行分析和总结可以看出，线性变换可对角化的条件虽然有很多，但从本质上说它们其实是一致的．例如，线性变换σ可对角化的充要条件“σ有n 个线性无关的特征向量”与“线性空间V 上的线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”其实就是同一问题的不同表述：有“线性变换σ有n 个线性无关的特征向量”就必然有“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”．反过来，如果“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”则必有“σ有n 个线性无关的特征向量”．所以，抓住问题的本质有助于真正理解和掌握线性变换可对角化的条件及对角化方法．参考文献：[1] 王萼芳 ，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2001[3] 钱芳华. 高等代数方法选讲[M].桂林：广西师范大学出版社，1991[4] 程云鹏 .矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社，2001[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005[6] 唐忠明.高等代数[M].南京:南京大学出版社，2000[7] Y.Q.Guo,K.P.Shum and G.T.Xu.Linear Algebra[M].Beijing:Science Press ，2008致谢在此篇毕业论文划上句号之际，我郑重地向我的指导教师张素梅老师表示我最诚挚的感谢！衷心地感谢她的关心、指导和教诲．在张老师的精心引导下，几经修改和完善我终于完成了毕业论文，从她身上我获得了太多的文化和知识，更汲取了诸多纯朴而伟大的高尚品德．我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在张老师的全面、具体指导下进行的．老师渊博的学识、民主而严谨的作风，使我受益匪浅．张老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助．。
例题与证明
坐标变换设向量x 在此二组基下的表示式分别为：∑==nk k k 1e x ξ∑=''=ni ii1e ξ，则我们有：Tn n nk k k Tn Tn Tnnni ii A ),,,)(,,,( ),,,(),,,( ),,,)(,,,(21211212121211e e e e e e e e e e e x ξξξξξξξξξξξ=='''=''''''=''=∑∑==所以，可得： T n n A ),,,(),,,(2121ξξξξξξ'''= ， 亦即： T n T n A ),,,(),,,(2121ξξξξξξ'''= ， 或 Tn Tn A),,,(),,,(21121ξξξξξξ -='''。
子空间例1： 在n 维线性空间n P 中，子集{}n P A W ∈==x x x ,|θ构成了n P 的一个r n -维的子空间，这里r 是n m P A ⨯∈的秩。
例2：由数域P 上线性空间V 的m 个向量m x x x ,,,21 生成的子空间：()()P L im m m ∈+++=λλλλx x x x x x 221121,,,。
例3 ),,,,,,,(),,,(),,,(21212121t s t s L L L y y y x x x y y y x x x =+。
例4：设有四维空间4R 的三个子空间：(){}R b a b a V ∈=,|0,0,,1，(){}R c c V ∈=|0,,0,02；(){}R e d e d V ∈=,|0,,,03。
则31V V T +=不是直和，但21V V T +=是直和。
00维数公式：)dim()dim(dim dim 212121V V V V V V ++=+证明思路：假设t V V k V V s V r V ==+==)d i m (,)d i m (,d i m ,d i m 212121 。
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示分布图示★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则AP P B 1-=.定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.例题选讲线性变换与其矩阵的关系例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.解 ,03003002020001100000432124432134321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ ==则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
线性空间与线性变换习题
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子 空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解 空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
a b = a+b, °a = a, (R, a, bR+)
问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的) 线性空间.
解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于 八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.
例如,
(8) (k+l)°a = ak+l = ak al ak+al = ak al = k°a l °a .
小结与习题
σ + τ a A + B, στ a AB , kσ a kA,
可逆， 可逆， 若 σ 可逆，则A可逆，且 σ −1 a A−1 . 可逆
4）设 σ (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A, ） 对 ∀ ∈V 若 α 在基下的坐标为 ( x 1 , x 2 , L , x α ， 则σ (α )在基下的坐标 ( y1 , y2 ,L , yn ) 満足
σ 在某组基下的矩阵为准对角形
⇔ V 可分解为一些 σ －子空间的直和 子空间的直和.
σ 在某组基下的矩阵为对角形
⇔ σ 的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积 的最小多项式是 上的互素的一次因式的乘积. 上的互素的一次因式的乘积
A ∈ C n×n 与对角矩阵相似 特别地， 特别地，
⇔ A 的最小多项式没有重根 的最小多项式没有重根.
基本内容 基本题型 例题 小测验
基本内容
一、线性变换及其运算 二、线性变换与矩阵 三、特征值与特征向量 四、线性变换与矩阵的对角化 重点： 重点： 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法. 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法 难点： 难点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系
σ ( k1α1 + k2α 2 + L + krα r )
= k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
2）线性变换的基本运算律 ） 3）线性空间V上所有线性变换作成的集合关于线性 ）线性空间 上所有线性变换作成的集合关于线性 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间L(V)，且 ， 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间 若 dim(V)＝n，则 L(V ) ≅ P n×n . ＝ ， σ 的值域σ (V )与核 σ −1 (0)都是 的子空 4）线性变换 都是V的子空 ） 间，且若 V = L(ε 1 , ε 2 ,L , ε n ), 则
7.1 线性变换的定义
第七章 线性变换学习单元1： 线性变换的定义_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。
学习建议：本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。
重点难点：重点：深刻理解线性变换的概念。
难点：理解线性变换的基本性质。
_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的概念及例定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。
则称A 为V 的线性变换。
例1 θℜ为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。
θℜ为2V 的线性变换。
例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在α上的内射影，也即(,)()(,)a ααξξαα∏=， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。
例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。
例4 V 的数乘变换ℜ：,,k k P V ααα→∈∈是V 的线性变换。
例5、例6见书，自学。
二、线性变换的基本性质设A 为V 的线性变换。
性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。
性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。
性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。
注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。
当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。
第五章线性空间与线性变换第一讲
k Vi，取k1 , k2， , km是m个不同的整数, 则k j V jr , j 1,
必存在i j使jr ir，于是ki (k j ) V jr , 即(ki k j ) V jr，ki k j .于是 V jr，矛盾. （因 V jr）本题结论成立.
r , r+1
n 是V的一组基，V1＝L(1
r ),V2 L( r+1
n ),
V V1 V2
(以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V (2) 设1
rs是V 的基.
则由A的定义Az 0,即z A1 (0). 于是V2 A1 (0).对任意的 z A1 (0), 我们证明z V2 . 设z y z1 其中y V1 , z1 V2 , Az y 0,即z z1 V2 , 对任意的x V , Ax Ay Az Ay y. A2 x A( Ax) Ay y, 即Ax A2 x A A2 下面证明唯一性, 若存在B使BV V1 , B 1 (0) V2 , 且B 2 B, 我们证明A B. x V 有x y z , Ax y , Bx By Bz By, By V1 , 若By y1 y , 则 y1 y 0 V1，于是B( y1 y ) By1 By V1，因B 2 B, 故 B 2 y By, 又B 2 y B ( By ) By1，于是By＝By1，即B( y1 y )＝0，于是y y1 V2，即 y y1 V1 V2， 这与V1 V2＝0 矛盾.
第六章欧氏空间与线形变换第一讲
n
令i aik i，则(i , j ) ( i , j ) 0 （i j，i, j 2,
k 2
, n 2） .
即 2， ， n 2 是n 1维空间的n 1个两两成纯角的向量,矛盾. 3. 设T是n维欧氏空间R n的一个变换 ,若它不改变向量的距离且将零向量变为零向量 则它是一个正交变换. 证： 由题设,对任意的 , R n 有 T T ,即(T T , T T ) ( , ) ( T T 0 0 ) , 即 T . 于是 (T , T ) 2(T , T ) (T , T )＝( , ) 2( , ) ( , ) （注意若没有T 0 0的条件,则上式不成立） 我们有(T , T ) ( , ), 即T 不改变向量的内积.下面证明T 是线性的, 则知T 是线性变换. 设1 即T 1 1 i j 0 i j ,
n .设A为线性变换 在一组标准正交基下的矩阵.
B 1 ，则存在正交矩阵M , 使M AM H . D
A与H 有相同的特征根，从而D有特征根 2
n .由归纳法假设,存在正交矩阵G, n , 不妨设G 1DG为上三角形矩阵.
使G 1 DG为三角形矩阵，且对角线上的元素为2
V (2) A是对称变换, 则若V1是A的不变子空间, V 的正交补 也是A的不变子空间,A 11 的特征值 全为实数,属于不同特征值的特征向量互相正交+ .
V1 x : ( x, y) 0, y V1
4. 共轭变换
(1) 设A是酉空间中的线性变换若对 , V有(A , ) ( , A* ), 则称A*为A的共轭变换. (A+B)* =A* +B* , (AB)* =B*A*. 若AA* =A*A，则称A为正规变换 正交变换,对称变换都是正规变换