线性变换例题 (3)
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【例9.15】已知系统具有如下形式
u y y y y 66116')2()3(=+++
试求此系统对角形式的状态方程。
解 令 y x =1，'2y x =，)
2(3y x =
即 21x x =& 32x x =&
u x x x x 661163213+---=&
写成矩阵—向量形式
u x x x x x x ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡6006116100010321321&&& (9.76)
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y
可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为
321321-=-=-=λλλ，，
即 321λλλ≠≠ 。
这时我们选转换矩阵P 形式为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=---11211
2
22
2
121
111
n n n n n n P λλλλλλλλλΛ
M ΛM M ΛΛΛ
n 为相同的阶数，这里n =3。
本题中 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=921321111
P 令x=Pz
将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=&
CPz
y Bu P APz P z =+=--11&
系统可写为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡363300020001321321&&& 输出方程为
[][]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=321321111921321111001z z z z z z y