高等代数期末试题

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高代2期末考试试题及答案

高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。

答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。

答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。

答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。

答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。

答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。

答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。

高等代数期末考试复习题及参考答案

高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。

3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。

1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。

X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。

求证当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。

证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。

故 p(x) |1 矛盾。

(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。

高代期末考试试卷

高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。

2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。

3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷

《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的维数为（）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的（）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。

高等代数期末考试试卷

一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为。

2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。

3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。

4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为。

5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是。

二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（）。

a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（）。

a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（）。

a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。

a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。

高等代数期末考试试卷及答案

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。

3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案一、选择题1. 设A和B都是n阶方阵，下列哪个条件可以推断出A与B一定可交换？A. AB = BAB. AB = 0C. det(A) = 0D. AB = I （单位矩阵）正确答案：A2. 设A是n阶方阵且可逆，则A^-1的列向量组是否一定线性无关？A. 是B. 否正确答案：A3. 设A是n阶对称矩阵，则A肯定满足的性质是：A. A的特征值为实数B. A的特征向量构成一组正交基C. A一定可以对角化D. A的秩等于n正确答案：A4. 设A是n阶可逆矩阵，下列哪个等式成立？A. (A^-1)^T = AB. (A^T)^-1 = AC. (A^-1)^T = (A^T)^-1D. (A^T)^-1 = (A^-1)^T正确答案：D5. 设A是n阶方阵，则A可能是可逆矩阵的充分必要条件是：A. 行列式det(A)不等于0B. 矩阵A的秩等于nC. 矩阵A有n个互不相同的特征值D. 矩阵A的伴随矩阵可逆正确答案：A二、计算题（请写出详细过程并附上最后计算结果）1. 计算矩阵相乘：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [1 -1; 2 -2; 3 -3]解答：A *B = [1*1 + 2*2 + 3*3 1*(-1) + 2*(-2) + 3*(-3);4*1 + 5*2 + 6*3 4*(-1) + 5*(-2) + 6*(-3)]= [14 -14;32 -32]2. 计算矩阵的逆：设A = [1 2; 3 4]解答：计算A的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2计算伴随矩阵：adj(A) = [4 -2;-3 1]计算A的逆：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) = (1/-2) * [4 -2;-3 1]= [-2 1;1.5 -0.5]三、证明题证明：若A是n阶对称矩阵，则A一定可以对角化。

解答：要证明A一定可以对角化，需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1) * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。

高等代数期末考试试卷及答案

3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

高等代数期末考试题库及答案解析

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。

–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 $ V $ 的基 $ B $ 包含 $ n $ 个线性无关向量，则 $ V $ 的维数为 _______。

7. 若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n\times p $ 矩阵，则 $ AB $ 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 $ T: V \rightarrow W $ 的核是所有满足 $ T(v) = 0 $ 的向量 $ v $ 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 $ A $ 与 $ B $ 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 $ n $ 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 $ A $ 可逆，则 $ A $ 的行列式不为零。

(完整版)高等代数期末试卷

数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）课程名称：高等代数任课教师：考试时间： 120 分钟考试性质（学生填写“√”）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、填空题（每小题2分）1. 设n x f =∂))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ∂=_________．2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式．3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则)(x f =_________________．4. 在行列式55511511a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项．5. 在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________．8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 ,m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________．9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____．10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．二、单选题（每小题2分））.(A) S 1={Z n m mn ∈,2}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}．2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1))()(,)()((=x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =．3. 设行列式D 1=333231232221131211a a a a a a a a a , D 2=313233212223111213a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．4. )(x f =xx x x x111123111212-中 4x 的系数为（）(A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3．5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（）(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)31())((9--+x i x i x ．6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件是（）(A) r k k k ,,,21 不全为零, (B) r k k k ,,,21 全为零, (C) r k k k ,,,21 全不为零, (D)以上结论都错．7. 在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 8. 若矩阵A 的秩为r ，则（）(A)A 有r 阶非零子式； (B)A 有r 阶非零子式且任意r +1阶子式为0； (C)A 的任意r +1阶子式为0； (D)A 的r 阶子式都不等于0． 9. 下列矩阵中( )不是初等矩阵(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101．10. 若数域P 上三元齐次线性方程组0=AX 的基础解系中仅含有一个向量,则其系数矩阵的秩是( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3．三、判断正误（每小题2分）1. 若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g .( )2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵. ( )4. 若A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则A+B 也是n 阶可逆矩阵． ( )5. 等价的向量组含有相同个数的向量． ( ) 四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）1. 计算n 阶行列式nnna a a a a a a a a a a a +++111321321321．2. 设111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．3. 用导出组的基础解系表出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）1. 设P[x]的多项式)(x f 与不可约多项式)(x p 有一个公共根, 则)()(x f x p ．2. 若方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++11212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解, 则行列式111111111+++n nn n n nnn n b a a b a a b a a=0．。

(完整word版)高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3．写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。

(完整word版)高等代数期末试卷

高等代数课程期末试卷命题人：审题人：姓名数学系班学号：题号一二三四五总分得分一、是非题（每小题2分，共10分）1．f(x)=ax+b (a≠0)在任意数域上不可约。

（）2．行列式D=0，则行列式定有两行成比例。

（）3.两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（）4.若对于方阵A，存在0021≠≠αα，满足2211αααα-==A A ，，则21αα、线性无关.()5.设δ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，则δ关于V 的任一基的矩阵都为正交矩阵.()二、选择题（每小题3分，共18分）1.设f(x)∈R[x],若对任意的首项系数为1的g(x)∈R[x],都有（f(x),g(x)）=g(x),则f(x)必为()A.零次多项式B.零多项式C.f(x)≡1D.不存在得分得分2.记D=ba c a cb cb a ,A=a+b+c,B=a 2+b 2+c 2,C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（）A.A=0B.B-C=0C.A=0或B-C=0D.A,B,C 不确定3.若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（）A.维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +；B.维()21W W +=维()1W +维()2W ；C.维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ；D.维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。

4.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A.合同的；B.相似的；C.相等的；D.正交的。

5.设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（）A 若()()γβγαβα=⇒=,,；B 若βαβα=⇒=；C 若()11,=⇒=ααα；D 若()βα,>βα=⇒0。

6、设u 是正交矩阵，则（）A u 的行列式等于1B u 的行列式等于-1C u 的行列式等于±1D u 的行列式等于0三、填空题（每小空3分，共21分）1.2i 是多项式f(x)=x 7+x 5+2x 4-8x 3+8x 2-12x+8的二重根，f(x)的其他根是。

(完整word版)高等代数期末考试题A答案

高等代数课程 A 卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）1. 8；2. 0；3. 0；4. 92111⎛⎫ ⎪⎝⎭；5. 1或52;6。

1()3A E E A -+=-；7. 2；8。

23a ≠； 9. 6;10。

112-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。

二、选择题(本题共10小题，每小题2分,满分20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）三、计算题(本题共2小题，每小题10分，满分20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 计算n阶行列式a b bb b a bb D b b ab b b ba=。

解:观察行列式，每一行只有一个a 而有1n -个b ,于是将第2列，第3列,……，第n 列分别乘以1加到第1列，得(1)...(1)...(1)..................(1)...a nb b b b a n b a b b D a n bb a b a n b b ba+-+-=+-+-[]1 (1)...(1)1 (1)...b b b a b ba nb b a b bba =+-[]1...00...0(1)00...0 000...b b b a b a n b a b a b-=+--- []1(1)()n a n b a b -=+--2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A AB 23-.解:1111231111111242111111051111323AB A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭05822221322305622221720.2902224292-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。

高等代数期末考试题库及答案解析 (2)

高等代数期末考试题库及答案解析1. 矩阵运算1.1 矩阵加法考察矩阵的相加，要求加法可交换。

题目：已知矩阵 A = $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$，矩阵 B = $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$。

求 A + B 的结果。

答案解析：根据矩阵加法的定义，对应位置的元素相加，即有：\[ A + B = \begin{bmatrix} 3+5 & 1+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]1.2 矩阵乘法考察矩阵的相乘，要求乘法满足结合律。

题目：已知矩阵 A = $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$，矩阵 B = $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$。

求 A * B 的结果。

答案解析：根据矩阵乘法的定义，对应位置元素相乘并求和，即有：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 8 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \]2. 矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义考察特征值和特征向量的定义和性质。

题目：设矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，求 A 的特征值和特征向量。

国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案(试卷代号：1079)

国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案（试卷代号:1079）一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 下列运算中」）是有理数域Q 上的代数运算.B.D. a v b __«/2a2. 按通常教的加法与乘法.复数域C 可以者成实数域R 上的蛾性空间,则它的维数是《4. 设A 是正交矩曲,则F 列选项中惜误的是（A. /V = EB. A T =A 1C. A 的苛一行的元素的平万和等于1 0. A 的不同行的对应元素乘积之和等于。

5.设人是“阶实对称矩阵.则人是正定的充分必要条件是（）.A. A 的行列式大于零 R .存在矩阵C .使得AgC C A 的特征值全为正 D.存在村维非零向用X ・使得X r AX>0二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 实敝域上的不可约多项式的次数是次的.7. 向匿组（, = （0.0,1 ）^=（0.1,2）3.5）线性相关,则 a =・8. 设A 是线性空间V 的线性变换.则A 的属于不同特祉值的特征向51线性9.设a 是欧氏空间V 的对林变换,姻。

在V 的坏准正交基下的矩阵是・10. 埃性空间V 上.的双线性函数在不同.基下的度度疤阵•三、计算题（本题共45分，每小题15分）11. 没R'的线性变换D 定义如下口.，工1> = （2卫L 工SI —七.心+上$），求a 在基j ==,D)・j = (0・0・D 下的矩阵.2-2012 .设人一一2 I -2 .求一个正交矩阵丁.使丁 ‘,4丁=丁「人丁为对用炬阵.0 T0A ・0 G 23. 矩阱A 与B 拇似的允分必要条件是（ A ・A 与3的持祉多瑚式相等C. 人与B 的秩相等 B. 1D. 无限）.H.人与8的行列式相句D.存在可逆炬阵丁，使T '/Vf-B13. 求人取何值时，下面的实二次型是正定的J (xi >x： fXi)卜4工；4-4xx b 2A TIX2~ 2xixj + 4x2四、证明题(本题15分)14. 设/GH,gCt)是数域P上的一元多项式，且</S〉,gCr)) = 】,证明：</(x) ,/(x)-Fg(jr)) = 1.试题答案及评分标准：-.■项»i*n(本BI共20分小m 4分｝t B2.CID4. A5.C二■堵空01(本幌共20分.符小IR 4分), 6. I 或 27.0&光关9. Xj林炬阵10. 相含三,计鼻81(本01共45分,梅小H IS分)；1L «hxi・«・0.0〉・2^.,■(Ot —lel)«—1|+g|.……(7分) IM此.。

高等代数期末考试题

高等代数期末考试题一、选择题（共5题，每题2分）1. 考虑线性方程组的系数矩阵A，若A的秩为r，那么下列哪个选项是正确的？A. 方程组的基础解系包含n-r个自由变量。

B. 方程组的基础解系包含r个自由变量。

C. 方程组的基础解系包含n个自由变量。

D. 方程组的基础解系包含m个自由变量，其中m是方程个数。

2. 若线性变换T: V → W，其中V和W是向量空间，且dim(V) = n, dim(W) = m。

设T的值域的维数为k，则下列哪个等式成立？A. k + n = mB. k ≤ min{n, m}C. k = n - mD. k = m - n3. 给定一个上三角矩阵L和一个下三角矩阵U，它们的乘积LU是一个对角矩阵。

那么，L和U的乘积的对角线元素是多少？A. L的对角线元素与U的对角线元素的和B. L的对角线元素与U的对角线元素的积C. L的对角线元素与U的非对角线元素的积D. U的对角线元素与L的非对角线元素的积4. 若多项式f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，且f(1) = 1, f(-1) = -1。

则f(x)的表达式可以是：A. (x - 1)(x + 1)^(n-1)B. (x + 1)(x - 1)^(n-1)C. (x^n - 1)/(x - 1)D. (x^n - 1)/(x + 1)5. 设A是一个n阶方阵，且A的特征值都不相同。

如果A是可对角化的，那么下列哪个选项是正确的？A. A的每个特征值都有对应的特征向量。

B. A可以表示为几个特征向量的线性组合。

C. A可以表示为其特征向量矩阵的逆乘以特征值对角矩阵再乘以特征向量矩阵。

D. A的逆矩阵存在当且仅当所有特征值都不为零。

二、填空题（共5题，每题2分）6. 若二次型f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2，且该二次型表示的曲面在原点处的切平面方程为4x + 2y = 0，则a + b + c = _______。

高代期末考试题及答案解析

高代期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3x3的方阵，且|A| = 3，那么矩阵A的伴随矩阵的行列式是：A. 9B. 27C. 81D. 243答案：B解析：矩阵A的伴随矩阵记为adj(A)，根据行列式的性质，|adj(A)| = |A|^(n-1)，其中n是矩阵的阶数。

因此，|adj(A)| = 3^(3-1) = 9。

2. 向量空间V中，若向量v1和v2线性无关，则下列哪个向量与v1和v2都线性无关？A. v1 + v2B. 2v1C. 3v2D. v1 - v2答案：A解析：线性无关意味着任何向量不能表示为另一个向量的倍数。

选项B、C和D都是v1或v2的倍数，因此它们与v1或v2线性相关。

选项A是v1和v2的和，它既不是v1的倍数也不是v2的倍数，因此与v1和v2都线性无关。

二、填空题（每空1分，共10分）1. 设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为[A|b]，若|A| = 0且b 不在A的列空间中，则该方程组有____个解。

答案：无穷解析：当系数矩阵A的行列式为0时，表示A不是满秩矩阵，方程组可能无解或有无穷多解。

如果增广矩阵的列向量b不在A的列空间中，则方程组无解。

2. 矩阵B的特征值是λ1和λ2，那么矩阵B的特征多项式是____。

答案：(λ-λ1)(λ-λ2)解析：矩阵的特征多项式是其特征方程的展开式，特征方程为|λI - B| = 0，其中I是单位矩阵。

对于有两个特征值的矩阵B，其特征多项式通常为(λ-λ1)(λ-λ2)。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是矩阵的秩，并说明如何计算一个矩阵的秩。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。

计算矩阵的秩通常有两种方法：一是利用初等行变换将矩阵转换为行简化阶梯形矩阵（或简化行阶梯形），秩即为非零行的数目；二是通过高斯消元法，将矩阵转换为行简化阶梯形，秩即为主元所在的行数。

2. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。