高等代数期末试题

六、证明： 设 α = (a1 , a2 , . . . , an ) , β = (b1 , b2 , . . . , bn ) ,
Dn = |En − αβ | = e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, en − bn α
1. 要证 Dn = 1 − α β = 1 − (a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn ) . 用数学归纳法。 当 n = 1 时， D1 = 1 − a1 b1 ，结论成立； 设 n − 1 时，结论成立。考察 Dn ，先把 Dn 写成两行列式的和，
6. [ χ ] 理由: A = B = C = 二、 1. 答案: (A − 4E )−1 0 1 2. 答案: X = 0 . 0 3. 答案: (n − 1)a + b = 0 . 4. 答案: 0 . 5. 答案: x > 4 , y > 1 . 2
−1 0 0 = 1 1 0 . 0 0 −1
则 a, b 满足条件
. .
2 0 0 x 0 0 是正定的. 0 2 −1 0 −1 y 1 2 时，矩阵 0 0
4. 设 A 是 6 阶方阵， r (A) = 4 ，那么 r (A∗ ) =
5. 当 x, y 满足
三、[15分] 问 a , b 为何值时，线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x2 + 2x3 + 2x4 = 1, − x + ( a − 3) x3 − 2x4 = b, 2 3x1 + 2x2 + x3 + ax4 = −1. 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有解时，求线性方程组的解(用向量 表示) 四、[15分] 用非退化的线性替换化二次型
当 a = 1 , b = −1 时，无解; 当 a = 1 , b = 1 时，有无穷多解，阶梯形矩阵可化为简化阶梯形矩阵 1 1 1 1 0 1 0 −1 −1 −1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以通解为 γ = (−1, 1, 0, 0) + k1 (1, −2, 1, 0) + k2 (1, −2, 0, 1) . 四、解： 二次型矩阵是 1 −1 1 A = −1 4 2 1 2 2 作初等变换，
2004级高等代数第一学期期末试题 2004.01.20, 8:00–10:00am 请在答题纸上解答试题，并与试题纸一起交给监考教师。 一、[24分] 判断下列命题是否成立，并说明理由 以下设 A , B , C , D 都是 n 阶方阵 1. 如果 A 可逆，那么 A + A 可逆. 2. 如果 Ak = 0 ， B k = 0 ( k 是正整数)，那么 (AB )k = 0 . 3. 如果向量组 α1 +α2 , α2 +α3 , α3 +α1 线性相关，那么 α1 , α2 , α3 也线 性相关. 4. 如果 |A| = 0 ，那么 |A∗ | = 0 . 5. 如果 A 是正定矩阵，那么 A2 也是正定矩阵. 6. 如果 A 合同于 B , C 合同于 D ，那么 A + C 合同于 B + D . 二、[20分] 填空

三、解： 1 0 0 3
对增广矩阵作初等行变换，得 1 1 1 0 1 0 1 2 2 1 − − − → 0 −1 a − 3 −2 b 2 1 a −1 0
1 1 1 0 1 2 2 1 0 a−1 0 b + 1 0 0 a−1 0
当 a = 1 时，有唯一解，解向量为 γ= − a − b − 2 a − 2b − 3 b +1 , , , 0 a−1 a−1 a−1 ;
−bn e1 , . . . , en−1 , α = −an bn
所以得递推公式 Dn = Dn−1 − an bn 。根据归纳法假设即证。 [ 方法二 ] 用分块矩阵的方法证明，
|En − αβ | = En − αβ β 0 E = n 1 β α E = n 1 0 α = 1 − α β. 1−β α
3 0 1. A = 1 5 0 0 1 2 2. 设 A = 4 8 0 0 , 则 (A − 4E )−1 = . 3 2 1 1 1 3 4 5 3 , 则 A X = β 的解是 , β = . 4 9 16 25 5 27 64 125 a a ··· a b a a · · · b a 3. 设 n > 2 ， n 阶矩阵 . . . . . . . . . . . . . 的秩是 n − 1 , 其中 ab = 0 , a b · · · a a b a ··· a a
1 −1 −1 4 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 (2)+(1) 1 2 − − − − → 0 [2]+[1] 1 0 0 0 1 0 3 3 1 1 0 1 1 0 3 (3)−(1) 0 2 − − − − → 0 [3]−[1] 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 3 (3)−(2) 0 3 1 − − − − → 1 −1 [3]−[2] 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 0 −2 1 −2 1 −1 0 1
αβ 0 En + 1−α β 1 ∗
0 1
[ 方法二 ] 用分块矩阵初等变换的方法亦可，
En − αβ β 0 En 0 1 0 1 → En 0
0 1
Fra Baidu bibliotek
于是
En − αβ β 0 1
−1
αβ E + = n 1−α β ∗
=
(E − αβ )−1 ∗
0 1
比较最后两个矩阵，即得 (E − αβ )−1 = E +

作线性替换 x1 = y1 + y2 − 2y3 x2 = y2 − y3 x3 = y3
2 2 2 得 f (x1 , x2 , x3 ) = y1 + 3y2 − 2y3 ，所以不是正定的。
五、证明： 1. 已知 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 是 BX = 0 的一个基础解系，所以 Bξi = 0, 故 ABξi = 0, 由 r (B ) − r (AB ) = r ，得 s − r (AB ) = s − r (B ) + r = t + r 于 是 ， ABX = 0 的 基 础 解 系 所 含 解 的 个 数 是 t + r 。 而 任 何 一 组线性无关解都可以扩充为一个基础解系，所以由 t 个线性无关 解 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt ，可以扩充 r 个解 η1 , . . . , ηr ，使 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt , η1 , . . . , ηr 是 ABX = 0 的一个基础解系; 2. 设 k1 Bη1 + k2 Bη2 + · · · + kr Bηr = 0. 要证 k1 = k2 = · · · = kr = 0 . 由矩阵运算的性质，得 B (k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr ) = 0 故 k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr 是 BX = 0 的一个解，可由 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 线 性表出，所以存在 l1 , l2 , . . . , lt ，使得 k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr = l1 ξ1 + l2 ξ2 + · · · + lt ξt l1 ξ1 + l2 ξ2 + · · · + lt ξt − k1 η1 − k2 η2 − · · · − kr ηr = 0 而 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt , η1 , . . . , ηr 是线性无关的，所以 l1 = l2 = · · · = lt = k1 = k2 = · · · = kr = 0 这就证明了，向量组 Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性无关的; 3. 由于 η1 , η2 , . . . , ηr 是 ABX = 0 的解，所以 Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性 方程组 AY = 0 的解。根据2.的结论， Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性无关 的，所以 AY = 0 的基础解系至少包含 r 个解，即 n − r (A) ≥ r = r (B ) − r (AB ) 移项可得， r (AB ) ≥ r (A) + r (B ) − n. i = 1, 2, . . . , t. 即 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 是 ABX = 0 的 t 个线性无关解。 i = 1, 2, . . . , t.
2. [ χ ] 理由: A = 但 AB =
1 0 ， (AB )2 = 0 . 0 0
3. [ ] 理由: 由习题，如果 α1 , α2 , α3 线性无关，那么 α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1 也线性无关。即得. 4. [ 5. [ ] 理由: |A∗ | = |A|n−1 , 所以 |A| = 0 , 可得 |A∗ | = 0 . ] 理由: A 可逆，且 A2 = A A ，所以正定. 1 0 , D= 0 0 0 0 . 0 1
六、[10分] 设 A ∈ Mn (P ) , α, β ∈ P n , 试证： 1. |En − αβ | = 1 − α β ； 2. 因此当 1 − α β = 0 时， En − αβ 是可逆的，求 En − αβ 的逆。
参
一、 1. [ χ ] 理由: A =
考
答
案
0 −1 可逆，但 A + A = 0 不可逆; 1 0 0 1 , B = 0 0 0 0 1 0 满足 A2 = B 2 = 0 ，
Dn = e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, en + e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, −bn α
前一个行列式是 Dn−1 ，对后一个行列式，先在最后一列提出一个公 因子 −bn ，然后再依次把最后一列的 bj (j = 1, 2, . . . , n − 1) 倍分别 加到第 j 列，得
2. 设 A = E − αβ 。则根据 1. 可得代数余子式 Aii = 1 − α β + ai bi 。 当 i = j 时，类似的计算可得 Aij = aj bi 。所以 A∗ = (1 − α β )E + (ai bj ) = (1 − α β )E + αβ 故 (E − αβ )−1 = E + 1 αβ . 1−α β
1 αβ . 1−α β
[ 方法三 ] 设 E + B 使得 (E − αβ )(E + B ) = E. 化简得 αβ B − B = αβ 注意到， αβ αβ −αβ = (1−α β )αβ 。比较两式，可得 B = 所以 (E − αβ )−1 = E + 1 αβ . 1−α β 1 αβ ， 1−α β
2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x2 1 + 4x2 + 2x3 − 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3
为标准形，并判断其是否正定。 五、[16分] 设 A ∈ Mm×n ， B ∈ Mn×s . 设 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 是 BX = 0 的一个基 础解系，且 r (B ) − r (AB ) = r 。 1. 证明存在 r 个 s 维向量 η1 , . . . , ηr 使得 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt , η1 , . . . , ηr 是 ABX = 0 的一个基础解系; 2. 证明向量组 Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 线性无关; 3. 根据1.和2.的结论或用其它方法证明： r (AB ) ≥ r (A) + r (B ) − n.