高三数学一诊模拟考试试题理

合集下载

四川省南充市2024届高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)试题(含答案)

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的四川省南充市高2024届高考适应性考试（一诊）理科数学。

1．抛物线24x y =的准线方程为（）A ．1x =-B ．1x =C ．1y =-D ．1y =2．当12m <<时，复数1(2)m m i -+-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=（）A ．0BC．D ．44．已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，m α⊂/，则“m n ∥”是“m α∥”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．已知全集U R =，集合{}3log (1)1A x x =->，2214x B x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，则能表示A ，B ，U 关系的图是（）A ．B．C．D ．6．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y （万件）与时间x （月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 与x 的回归直线方程为：0.480.56y x =+．则下列说法错误的是（）时间x （月）12345销售量y （万件）11.62.0a3A ．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B ．表中数据的样本中心点为()3,2.0C ． 2.4a =D ．由表中数据可知，y 和x 成正相关7．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-8．已知：123a +=，3123b -=，则下列说法中错误的是（）A ．2a b +=B ．312b <<C ．1b a -<D ．1ab >9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为（）A ．32B ．92C ．9D ．1810．如图1是函数()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中()g x 的部分图象，则（）图1图2A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．202332g ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．方程14()log g x x =有4个不相等的实数解D ．1()2g x >的解集为152,266k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈11．已知双曲线2213y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线在第一象限上的一点，若211cos 4PF F ∠=，则12PA PA ⋅= （）A ．2-B ．2C ．5D ．5-12．已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221m x e x <②122x m >+③3233m e x m<<-④121x x >A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届绵阳市南山中学高三数学(理)上学期一诊考试卷附答案详析

2024届绵阳市南山中学高三数学（理）上学期一诊考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A ．{}12x x <<B ．{}12x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}01x x <≤2．若复数5i43i z =-，则z =（）A ．34i 55+B ．34i55-+C ．34i 55--D ．34i 55-3．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A ．15B ．30C ．45D ．604．已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．(),1-∞C ．[)0,1D ．(]0,15．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC6．执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A ．9B ．12C ．14D ．167．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈=⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．1515B 5C ．53D ．1539．函数π()412sin 2x x f x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数()1e x xf x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A ．40,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()0,1C ．[)1,1-D ．()1,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =．14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =m ．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =.16．已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()1212f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c的前n 项和n T ．19．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20．已知函数()()e x f x a a x=+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．21．已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为24y x x =-+，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线M ，N 的极坐标方程；(2)若射线00π:(0,0)2l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a ++≥．1．D【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x =>得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2．C【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i 43i 5i 34i 43i 2555z +===-+-，得34i55z =--．故选：C 3．C【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.4．B【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B 5．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD=+ ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+ ，之后将其合并，得到3144BE BA AC=+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC=- ，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC=- ，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．A【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A 7．D【分析】根据题意可得1530507.5C λλ=⨯=⨯，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C λλ=⨯=⨯，所以50304157.5λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg 2lg23λ=，所以2lg220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--．故选：D ．8．A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴-，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9．D【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cos x x f x x -=-⋅，()22cos()()x x f x x f x --=-⋅-=，所以()f x 为偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，所以排除A ，C 选项；又1(2)4cos 204f =-<，所以排除B 选项，故选：D ．10．C【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．11．A【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e e x x x xy x x +--=-，可得()201e x x m +=，设()()21e xx g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x xf x +=可得()()2e e 1e e x x xx x x f x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()000e x xk f x -'==，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e e x x x xy x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e e x x x x m x +--=--，即()201e x x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21exx g x +=，则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21e xx g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41e g =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40e m <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.12．C【分析】由题意可先做出函数()f x 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()233f x x ¢=-．由()0f x ¢>，得1x <-，由()0f x '<，得10-<≤x ，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示．设()t f x =，则()m f t =，由图可知当3m >时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m =时，()m f t =的解是11t =-，23t =．1f x t =（）有2个不同的实根，2f x t =（）有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当13m ≤<时，()m f t =有3个不同的实根3t ，4t ，5t，且()321t ∈--,，(]41,0t ∈-，[)52,3t ∈．3f x t =（）有2个不同的实根，4f x t =（）有2个不同的实根，5f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有7个不同的实根，不符合题意．当11m -≤<时，()m f t =有2个不同的实根6t ，7t，且()631t ∈--,，[)71,2t ∈．6f x t =（）有2个不同的实根，7f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有5个不同的实根，符合题意．当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同的实根8t ，9t，且()831t ∈--,，()901t ∈,，8f x t =（）有2个不同的实根，9f x t =（），有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是[)1,1-．故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m 的讨论应有3m =，13m ≤<，11m -≤<，3<1m -<-，3m ≤-这几种情况,也是解题关键.13．103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14．300【分析】先求,AC AMC ∠，由正弦定理得sin sin MCA AMCAM AC ∠∠=，最后由sin MN AM MAN =⋅∠可求.【详解】由题意，2002sin BCAC CAB ==∠，18045AMC MAC MCA ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得32sin sin 2220032002MCA AMCAM AM AC AM ∠∠=⇒=⇒=m ，所以3sin 2003300MN AM MAN =⋅∠==m.故答案为：30015．3【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q-++==-，又()43251111a a a q a q a q q -=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.16．①②④【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f =，进而分析得到1x =时函数()f x 的一条对称轴，，函数()f x 时周期为4的周期函数，且函数()f x 在[1,1]-上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是R 的奇函数，则()00f =，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当2x =，有()()0220f f ==，即()20f =，则有(2)()f x f x -=，即1x =时函数()f x的一条对称轴，又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 时周期为4的周期函数，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()1212f x f x x x ->-，可函数()f x 在[1,1]-上单调递增，对于①中，由()()2f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f ++++=+++ ()(1)(2)(3)20f f f f +++==，所以①正确；对于②中，由1x =时函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 时周期为4的周期函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()y f x =在[7,7]-上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6---，所以C 错误；对于④中，函数()y f x =在[1,1]-上为增函数且周期为4，可得()y f x =在[5,3]--上为增函数，又由5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7,5]--上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④17．(1)()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)332⎡-⎢⎣【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A ，由最小正周期求出ω，并确定ϕ.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【详解】（1）解：根据函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象可得3A =1252632ππππω=-=⋅，所以2ω=.再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，所以3πϕ=，()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，可得323sin 2333y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()343g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦又函数()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减∴3(0)2g =-，5324g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴3()34,332g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦∴函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域332⎡-⎢⎣.18．(1)13n n b -=，21n a n =-(2)13n n T n +=⋅【分析】（1）根据对数运算得13n n b b +=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}n a 为等差数列，建立方程求出公差，从而可得{}n a 的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【详解】（1）∵313log 1log n n b b +-=，∴313log log (3)n n b b +=，则13n n b b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+知{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =，∴111327339a d a d +=⎧⎨+=⎩，得11a =，2d =．∴21n a n =-.（2）因为21n a n =-，13n n b -=，所以()11213n n n n c a b n ++=⋅=+，所以()()1231335373213213n nn T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅则()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅上面两式作差得()223123232323213n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅()()111913922132313n n n n n -++⎛⎫-⎪=+-+⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，∴13n n T n +=⋅19．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b =，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R ==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R ⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +-=⋅．②由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32ca =，当22,33c c a b ac ===时，333c ca b c+=<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD =，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A =∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b =，化简得2sin sin 3C A=．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a=．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c +-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b a c c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++⋅-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||,||6,32a BC c BA b ====，由余弦定理得2227cos 212a c b ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.20．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1xx ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为()()e x f x a a x=+-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1x f x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1a f aa x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a -'=-=，令()0g a '<，则20a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 202222g a g ⎛⎛==--=> ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1xx ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x+=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a -'=-=，令()0g a '<，则20a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 202222g a g ⎛⎛==--=> ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.21．(1)2y x =(2)(,1)-∞-【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【详解】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e x x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x xa xa x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -≤≤,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+≥,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=,令(),1,e x x h x x =>-则1(),1,e xxh x x -'=>-所以()x xh x e =在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()1()1e h x h ≤=，又ee10a-->，e 1e 10e e a af a -⎛⎫-≥-+⋅= ⎪⎝⎭，所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x ∈-=+-设()()e 2xh x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，当()1,0x ∈-，()()1eh x h >-=-，又e 1e 10a -<-<，()e e 1e e 0af a a -<-=而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.22．(1)π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2sin 218ρθ=(2)π4【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M 和N 的极坐标方程；（2）将0θθ=代入曲线M 和N 的方程，求得018||sin 2OB ρθ==0||4cos OA ρθ==，结合题意求得0tan 1θ=，即可求解.【详解】（1）解：由24y x x =-+224(0)y x x y =-+≥，即224(04,0)x y x x y +=≤≤≥，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得2π4cos (0)2ρρθθ=≤≤，所以曲线M 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．由9xy =，可得2cos sin 9ρθθ=，即2sin 218ρθ=，即曲线N 的极坐标方程为2sin 218ρθ=.（2）解：将0θθ=代入2sin 218ρθ=，可得018||sin 2OB ρθ==将0θθ=代入4cos ρθ=，可得0||4cos OA ρθ==，则012||||tan OA OB θ⋅=因为||||12OA OB ⋅=，所以0tan 1θ=，又因为0π02θ<<，所以0π4θ=．23．(1)7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见详解【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m =，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1）由题意可得：()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得23x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-；综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）∵()()1112g x f x x x x =++---≥=，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立，∴函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，又∵222a a b b a b b +≥⨯=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；222b b c c b c c +≥⨯，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；2222c c a a c a a +≥⨯，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立；上式相加可得：222222a b c b c a a b cb c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立，∴2222a b c a b c b c a ++≥++=.。

2024届重庆一诊数学试题+答案

1．已知集合{1 2 3 4 5}A 2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，，，，，2{|211120}B x x x ，则A BA ．{1 2}，B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2．已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4．若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25．在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1exxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686．已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 ]2，B ．15[ ]28，C ．52[ ]83，D ．12[ ]23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷(Word版含答案)

遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学总分: 150分一单选题（5分*12） 1. 已知复数 z 满足z =1+i , 则i zz+3i=（）A.−35−35iB.−15+35iC.−35+35iD.15+35i 2. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（）A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加D.乡村人口数逐次增加3. 已知命题 p : “a >1”; 命题q : “函数f(x)=ax +cosx 单调递增”, 则p 是q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件4. 已知角 α的顶点与坐标原点O 重合, 始边与x 轴的非负半轴重合. 若角α终边上一点P 的坐标为(cos 2π3,sin 2π3),则sinαtanα=（） A.−32B.−√32C.√32D.325. 执行下侧所示的程序框图, 输出 S 的值为（）A.30B.70C.110D.1406. 函数 y =x 28−ln|x|的图象大致为（）A. B. C. D.7. 已知离心率为 32的双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则C 的方程是（）A.x 25−y 24=1 B.x 24−y 25=1 C.x 28−y 210=1 D.x 23−y 26=1 8. 已知 a =e 0.1,b =√3c =ln2, 则a,b,c 的大小关系为（）A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a9. 已知函数 f(x)=acos (x −π3)+√3sin (x −π3)是偶函数,g(x)=f (2x +π6)+1, 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根, 则实数m 的取值范围是（） A.[0,3] B.[0,3) C.[2,3) D.[√2+1,3)10.已知函数 f(x)的定义域为R,f(2x −2)为偶函数,f(x −3)+f(−x +1)=0, 当x ∈[−2,−1]时,f(x)=1a x −ax −4(a >0且a ≠1), 且f(−2)=4. 则∑k=119|f(k)|=（） A.28B.32C.36D.4011. 某四棱锥的底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形中心, 该四棱锥所有顶点都在半径为 3 的球 O 上, 当该四棱锥的体积最大时, 底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（） A.πB.4πC.8πD.9π12. 已知函数 f(x)=sinωx +cosωx , 其中ω>0. 给出以下命题:①若 f(x)在(0,π4)上有且仅有 1 个极值点, 则1<ω≤5;①若 f(x)在(π2,π)上没有零点, 则0<ω≤34或32≤ω≤74;①若 f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增, 则0<ω≤13或52≤ω≤3.其中所有真命题的序号是（） A.①①B.①①C.①①D.①①①二填空题（5分*4）2a 54 150 , 214. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A , 右焦点F(c,0), 若直线x =c 与该双曲线交于B 、C 两点,△ABC 为等腰直角三角形, 则该双曲线离心率为__________15. 若数列 {a n }对任意n ∈N ∗满足:a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n , 则数列{an n+1}的前n 项和为__________16. 已知函数 f(x)=sin π2x , 任取t ∈R , 记函数f(x)在[t,t +1]上的最大值为M t , 最小值为m t ,设ℎ(t)=M t −m t , 则函数ℎ(t)的值域为__________ 三解答题（共70分）17. （12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附表及公式：其中 K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n =a +b +c +d .18. （12分）在 △ABC 中,a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边,c(acosB +bcosA)=a 2−b 2+bc . (1)求 A ;(2)若角 A 的平分线AD 交BC 于D , 且BD =2DC,AD =2√3, 求a .19. （12分）已知数列 {a n }的前n 项和为S n , 且S n+1=S n +a n +1, __________. 请在a 4+a 7=13;a 1,a 3,a 7成等比数列;S 10=65, 这三个条件中任选一个补充在上面题干中, 并解答下面问题. (1)求数列 {a n }的通项公式;(2)设数列 {a n 2n }的前n 项和T n , 求证:1≤T n <3.20. （12分）如图, 四棱锥 P −ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD , 底面ABCD 为梯形,AB//DC , 且AP =PD =CD =2AB =2√3,∠APD =∠ADC =60∘. 作PH ⊥AD 交AD 于点H , 连结AC,BD 交于点(1)设 G 是线段PH 上的点, 试探究: 当G 在什么位置时, 有GF//平面PAB ; (2)求平面 PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值.21. （12分）已知函数 f(x)=lnx +ax +1(其中a ∈R ).(1) 讨论函数 f(x)的单调性;(2) 对任意 x ∈(0,+∞)都有f(x)≤xe x 成立, 求实数a 的取值范围.22. （10分）在直角坐标系 xOy 中, 曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =1+sinα(α为参数). 以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=√2. (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;(2)已知点 A 的直角坐标为(−1,3), 直线l 与曲线C 相交于E,F 两点, 求AE ∙|AF|的值. 23. （10分）已知函数 f(x)=|x −1|+2|x +1|. (1) 求不等式 f(x)<5的解集;(2) 设 f(x)的最小值为m . 若正实数a,b,c 满足a +2b +3c =m , 求3a 2+2b 2+c 2的最小值.答案1. D【解析】z=1+i, 故i zz̅+3i =i(1+i)1−i+3i=−1+i1+2i=(−1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+3i5=15+35i.故选: D2. D【解析】根据给定的条形图，可得城镇人口在逐年增加，所以A正确；从给定的条形图象，可得再历次人口普查中第七次普查城镇人口最多的，所以B正确；从图表中的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为13.06，18.30，20.91，26.40，36.32，69.68，63.89，可知城镇人口比值逐次增加，所以C正确；由图表，可得乡村人口先增加后减少，所以D不正确.故选：D。

2024届绵阳中学高三数学(理)上学期一诊模拟卷(五)附答案解析

2024届绵阳中学高三数学（理）上学期一诊模拟卷（五）2023.10（试卷满分150分；考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{1,22x U x y A x ⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，则U A =ð（）A ．(],1-∞-B ．[)2,1--C ．[]2,1--D ．[)2,-+∞2．实数a ，b 满足a b ≥，则下列不等式成立的是（）A ．1a b ≥B ．tan tan a b ≥C ．21a b -≥D ．()ln 0a b -≥3．已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，命题p ：若222a b c +<，则ABC 为钝角三角形，命题q：若a b <，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（）A ．p q∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q⌝∨4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，则输出的s =（）A ．10B ．11C ．16D ．175．如图，在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE=，若AF AB AD λμ=+ ，则λμ-=（）A ．32B ．112-C ．112D ．06．等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=，则746S a -=（）A ．60B ．30C ．10D ．07．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系tv a b=⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg20.3≈）A ．20B ．27C ．32D ．408．函数()()3π3πe e 2sin ,22x x f x x x x -⎛⎫⎛⎫=--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像大致是（）A．B ．C．D．9．定义：{},max ,,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}max sin ,cos f x x x =，下列选项正确的是（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 不是周期函数C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图像关于9π4x =对称10．若α，β为锐角，且π4αβ+=，则tan tan αβ+的最小值为（）A．2B1C．2D111．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a+⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦12．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f xg x x +=+，则()()77f g =（）A ．615B ．616C ．1176D ．2058第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知()1,2AB =- ，点()()2,0,3,1C D -，则向量AB 在CD 方向上的投影为．14．若πtan 9α=，则7πcos()18πsin()9αα+=+.15．已知函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．16．已知正整数数列{}n a 满足：11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩，则2022a =三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第．22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -≤≤的解集.18．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，11,,22,.nn n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数(1)证明：{}22n a -是等比数列；(2)求满足20n S >的所有正整数n.19．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2AD CD ==.(1)当四边形ABCD 内接于圆O 时，求角C ；(2)当四边形ABCD 面积最大时，求对角线BD 的长.20．已知函数322()2f x x ax a x m =+++在1x =处取得极小值．(1)求实数a 的值；(2)若()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围．21．已知函数()()2e 2x f x ax a =-∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()sin cos 0e x x xf x -+≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩（t 为参数，0πβ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2216OA OB +=，求β的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-．(1)解不等式()()216f x f x ++≥；(2)对()1,0a b a b +=>及R x ∀∈，不等式()412f x m x a b ----≤+恒成立，求实数m 的取值范围．1．C【分析】因为集合,U A 的代表元素都是x ，所以分别解关于x 的不等式可得集合,U A ，进而求出U A ð.【详解】由20x +≥得2x ≥-，由122x >得122x ->，即1x >-，所以{}{}2,1U x x A x x =≥-=>-，所以[]2,1U A -=-ð.故选：C.2．C【分析】举反例即可判定ABD ，由a b ≥，得出0a b -≥，利用指数函数的性质即可判定C.【详解】取1,1a b ==-,满足a b ≥,但1ab =-,所以A 错误；取3ππ,44a b ==,满足a b ≥,但tan 1tan 1a b =-<=，所以B 错误；若a b ≥，则0a b -≥,0221a b-≥=,所以C 正确；取1e a b -=,则()1ln ln 1e a b -==-,所以D 错误.故选:C.3．B【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.【详解】因为222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，则p 为真命题.因为a b <，所以A B <，又cos y x=在[]0,π上是减函数，所以cos cos A B >，则q 为假命题，只有()p q ∧⌝为真命题.故选：B4．B【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果.【详解】解：∵输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件；当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件；当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件；故输出的S 值为11．故选：B 5．D【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【详解】在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE =，所以()3344AF AD DF AD DE AD DC CE=+=+=++ 31334344AD AB AD AB AD⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，若AF AB AD λμ=+ ，则34λμ==，则0λμ-=．故选：D ．6．B【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.【详解】等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=,∴44120a =即430a =,∴()1774444470763662a a S a a a a a +-=-==-=.故选：B.7．B【分析】根据v 和t 的两组值求出,a b ，再根据100%1v ==求出t 即可得解.【详解】依题意得5105%10%a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解得152b =， 2.5%a =，则152.5%2v =⋅，这种垃圾完全分解，即分解率为100%，即152.5%21t v =⋅=，所以15240=，所以21log 405t =，所以25lg 405log 40lg 2t ==5(lg 41)5(2lg 21)lg 2lg 2++==55101027lg 20.3=+≈+≈.故选：B8．A【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】由()()()()()e e 2sin e e 2sin xxxxf x x x x x f x ---=-+-=--=，又3π3π,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可知()f x 为偶函数，排除B ；因为()π0f =，可排除D ，又由1(1)(e2)sin10ef=--⋅>，可排除C.故选:A 9．D【分析】利用正弦曲线、余弦曲线确定(){}max sin,cosf x x x=的图像.【详解】因为(){}max sin,cosf x x x=，所以()f x的图像如下：由图可知，A，B，C错误，D正确.故选：D.10．A【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得tan tan2αβ++≥，从而求得tan tanαβ+的最小值.【详解】因为()tan tantan11tan tanαβαβαβ++==-，所以()()1tan1tan1tan tan tan tanαβαβαβ++=+++()11tan tan tan tan2αβαβ=+-+=，所以()()21tan1tan1tan1tan2αβαβ+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，即2≤()2tan tan24αβ++，得()2tan tan28αβ++≥，由于α，β为锐角，所以tan tan20αβ++>，所以tan tan2αβ++≥，当且仅当tan tan1αβ==时等号成立，所以tan tanαβ+的最小值为2-．故选：A11．D【分析】推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在23xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{an}为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a52k π≠（k ∈Z ），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sina5cos2d•2cosa5sin2d ，∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调∴23ππω≥，∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．12．B【分析】由题意可以推出()()6f x f x =-，()()46g x g x =---，再结合()()21f xg x x +=+可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【详解】由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f xg x x +=+，可得()()266(6)1f xg x x -+-=-+，所以()()24(6)1f x g x x --=-+，故()()()()2214(6)1f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x xg x x =-+=-，所以()()27672128,67202277f g =-⨯+==⨯-=，所以()()772822616f g =⨯=.故选：B.13．2-【分析】根据投影的计算公式即可求解.【详解】由点()()2,0,3,1C D -，得()1,1CD =-，所以向量AB在CD方向上的投影为：cos ,2AB CD AB AB CD CD⋅⋅==-．故答案为:322-.14．3-##3-+【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan 9α=，则7π7π7ππππcos()cos cos sin sin cos sin sin cos tan tan 181818999ππππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan999999αααααααααααα+---===++++3=-=.故答案为：315．222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用导数研究()f x 的单调性和极值，作出()f x 的图像；由关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根，得到函数()y f x =与2y a =有一个交点，利用图像法求解．【详解】对于函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩．当()2()e 1x f x x x =<时，2()(2)e x f x x x '=+．令()0f x '>，解得：<2x -或01x <<；令()0f x '<，解得：20x -<<；所以()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增．而<2x -，()0f x >；24(2)e f -=，(1)e f =．当()2e ()1x f x x x =≥时，24e ()(2)x f x x x x '=-．令()0f x '<，解得：12x <<；令()0f x '>，解得：2x >；所以()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．而()1e f =；2e (2)4f =，2x >，()0f x >．作出()f x的图像如图所示：解关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根,即关于x 的方程()[()2]0f x f x a -=有两个不相等的实数根，()0f x =只有一个实数根0x =，所以关于x 的方程()20f x a -=有一个非零的实数根，即函数()y f x =与2y a =有一个交点，横坐标0x ≠．结合图像可得：224e 2e4a <<或2a e >，所以a 的取值范围是222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．630【分析】根据已知条件，易得到数列的初值，根据初值，可以进行归纳，得到1k n a =中项数满足的递推关系，然后使用数列归纳法进行推导论证，得到1213(21)k k n n ++=+的递推公式，然后通过构造等比数列求解出k n 的表达式，结合2022所满足的关系代入合适的关系式求解即可.【详解】由11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩可得：n1234567891011121314na 1241510411312213114我们可以看到1k n a =的下标：1231,4,13,,n n n === 它们满足的递推关系：131,1,2,3k k n n k +=+=①，对k 归纳：1,2k =时已经成立，设已有1k n a =，则由条件，11k n k a n +=+，222k n k a n +=+，3k n ka n +=，423k n k a n +=+，归纳易得：212,1,2,3,,1k n m k k a n m m n +-=+-=+ ，221,1,2,3,,k n m k ka n m m n +=++= ，②于是，当1k m n =+时，312(1)1k n k k a n n +=+-+=，因此，131,(1,2,3,)k k n n k +=+= 即①式成立，根据①式，1213(21)k k n n ++=+，令21k kn x +=，所以13k kx x +=，13x =，所以3kk x =，因此312k k n -=，1,2,3,k = ，而773110932n -==，883132802n -==，则782022n n ＜＜，7202224651n =+- ，故由②式可得，20227246510932465630a n =+-=+-=故答案为：630.17．(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k k x x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T ＝2π，即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x ＋φ)，因为函数y ＝f(x)的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z.因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋kπ<2x ＋4π<2π＋kπ，k ∈Z ，得3244k x k k Zππππ-+<<+∈，，即38282k k x k Zππππ-+<<+∈所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间．（2）由（1）知，f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z所以不等式－42242k k x x k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，.18．(1)证明见解析(2)正整数n 为1，2【分析】（1）由定义能证明数列{}22n a -是等比数列；（2）由1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，从而()()()22123421233123222nnn n S a a a a a a n -⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由求和式子由此能求出满足20n S >的所有正整数n 的值．【详解】（1）由已知得()222122111214211222n n n n a a n a n n a ++=++=-++=+，所以()2221222n n a a +-=-，其中232a =，21202a -=-≠，所以{}22n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以2122n n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1211642n n a n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，所以()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++()2211118412326332222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦233123222nn ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，{}2n S 单调递减，其中252S =，474S =，6218S =-，所以满足20n S >的所有正整数n 为1，2.19．(1)π3C =【分析】（1）根据πA C +=，结合余弦定理求解即可；（2）将四边形ABCD 的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：222222cos 12212cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，222222cos 32232cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，所以54cos 1312cos A C -=-.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以πA C +=，所以()54cos 1312cos C Cπ--=-，化简可得1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅△△，又222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⋅⋅，所以2222111223221221223223S sinA sinC cosA cosC ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，即3,23,S sinA sinC cosC cosA =+⎧⎨=-⎩平方后相加得24106sin sin 6cos cos S A C A C +=+-，即()266cos S A C =-+，又()0,2πA C +∈，所以πA C +=时，2S 有最大值，即S 有最大值.此时，πA C =-，代入23cos cos C A =-得1cos 2C =.又()0,πC ∈，所以π3C =在BCD △中，可得：22222π2cos 23223cos73BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD 所以，对角线BD.20．(1)1-(2)4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得22()34f x x ax a '=++，根据题意得到2(1)340f a a '=++=，求得a 的值，再利用函数极小值的定义，进行判定，即可求解；（2）由（1）得到函数的()f x 单调性和极值，结合题意，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数322()2f x x ax a x m =+++，可得22()34f x x ax a '=++，因为()f x 在1x =处取得极小值，所以2(1)340f a a '=++=，解得3a =-或1a =-．①当3a =-时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'．令()0f x '>，解得1x <或3x >；令()0f x '<，解得13x <<．所以()f x 在(,1)-∞，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，不合题意，舍去．②当1a =-时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--．令()0f x '>，解得13x <或1x >；令()0f x '<，解得113x <<．所以()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意．综上可知，1a =-．（2）解：由（1）知，当1a =-时，函数32()2f x x x x m =-++，且()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使()f x 有3个零点，只需112132793f m ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭且(1)1210f m =-++<，解得4027m -<<．故实数m 的取值范围为4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．(1)答案见解析(2)(],2-∞【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤与0a >即可得解；（2）构造函数()2sin cos e 2e x x x xh x ax -=-+，利用导数得到()h x '的单调性，从而分类讨论2a >与2a ≤，结合()00h =的特性进行分析即可得解.【详解】（1）因为()2e 2x f x ax=-，所以()()222e 22e x x f x a a'=-=-，当0a ≤时，2e 0x a -≥，即()0f x '≥，所以()f x 在R上单调递增；当0a >时，令2e 0xa -=，得1ln 2x a =，令()0f x '<，得1ln 2x a <；令()0f x ¢>，得1ln 2x a >；所以()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()2e 2x f x ax=-，所以由()sin cos 0e x x x f x -+≥，得2sin cos e 20e x x x x ax --+≥在[)0,∞+上恒成立，令()()2sin cos e 20e x x x x h x ax x -=-+≥，则()22cos 2e 2e xx x h x a '=-+，()00h =，令()()2cos e 0e x x x x a x ϕ=-+≥，则()22πsin cos 42e 2e e e x xx x x x x x ϕ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭'=+=-，因为0x ≥，则e 1x≥，2e 1x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则π4e x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤所以2π42e 20e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-≥>，则()0x ϕ'>在[)0,∞+上恒成立，所以()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，则()h x'在[)0,∞+上单调递增，令()()32e 2e 0x x m x x x =-≥，则()()()326e 21e 2e 3e 1x x x x m x x x '=-+=--，令()()23e 10x n x x x =--≥，则()26e 10x n x '=-≥在[)0,∞+上恒成立，所以()n x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00n x n ≥>，即()0m x '>，所以()m x 在[)0,∞+上单调递增，则()()02m x m ≥=，则32e 2e 2cos 22cos 0x xx x x -+≥-≥，故22cos 2e 20e x x xx -+≥，所以当2a >时，()002cos002e 2420e h a a '=-+=-<，()22cos 2e 20e a aah a a '=-+≥，所以()h x'在(]0,a 上必存在0x ，使得()00h x '=，又()h x '在[)0,∞+上单调递增，故当00x x <<时，()00h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递减，而()()00h x h <=，不满足题意；当2a ≤时，()()002cos 002e 22420e h x h a ''≥=-+≥-+=，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，满足题意；综上：2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用导数求得当2a >时，存在()00,x x ∈使得()0h x <，从而排除2a >的情况，由此得解.22．(1)24cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)π12β=或5π12β=【分析】（1）首先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据转化公式，化为极坐标方程；（2）首先将直线的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，利用韦达定理表示22OA OB+，即可求解.【详解】（1）曲线C 的直角坐标方程：224440x y x y +--+=，根据公式直角坐标与极坐标转化公式，222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以C 的极坐标方程：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）直线l 的极坐标方程：()R θβρ=∈，代入C 的极坐标方程得：()24cos sin 40ρββρ-++=，124cos 4sin ρρββ∴+=+，124ρρ=，()222221212122816sin 216OA OB ρρρρρρβ+=+=+-=+=，1sin 22β∴=，0πβ≤<，π26β∴=或5π12，即π12β=或5π12β=，23．(1)(,1][3,)-∞-+∞ ；(2)135m -≤≤.【分析】（1）写出()()21f x f x ++的分段函数的形式，分类讨论即可求得不等式的解集.（2）利用均值不等式，根据1a b +=，求得41a b +的最小值，再结合绝对值三角不等式，即可将问题转化为关于m 的不等式，则问题得解.【详解】（1）依题意，133,21()(21)2211,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-，则1x ≤-；当122x ≤≤时，16x +≥，解得5x ≥，无解；当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，则3x ≥，所以不等式()()216f x f x ++≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞ .（2）由1(,0)a b a b +=>，得41414()559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即223a b ==时取等号，则当223a b ==时，min 41(9a b +=，依题意，R x ∀∈，|2||2|9x m x -----≤，而当x ∈R 时，|2||2||(2)(2)||4||4|x m x x m x m m -----≤--+--=--=+，当且仅当(2)(2)0x m x ----≤，且|2||2|x m x --≥--时取等号，因此|4|9m +≤，解得135m -≤≤，所以135m -≤≤.。

2023届绵阳市高三数学(理)上学期11月一诊考试卷附答案解析

2023届绵阳市高三数学（理）上学期11月一诊考试卷【考试时间：2022年11月1日15：00—17：00】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}13A x x =∈-≤≤Z ，{}22B x x =≤，则A B = （）A ⎡-⎣ B.{}1,0,1- C.{}1,0,1,2- D.⎡⎤⎣⎦2.若0a b >>，则一定有（）A.cos cos a b< B.220a b -< C.11a b> D.33a b >3.若命题“x ∀∈R ，sin cos m x x ≥+”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.m ≥B.2m ≥ C.m ≤ D.2m ≤-4.设9log 4a =，则3a 的值是（）A 1B.2C.4D.95.在ABC 中，点M 为边AB 上一点，2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+ ，则μ=（）A.3B.2C.1D.1-6.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1957S =，则5143a a a --=（）A.2B.3C.4D.67.某地锰矿石原有储量为a 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m （01m <<，且m 为常数）倍，那么第n （*n ∈N ）年在开采完成后剩余储量为()1na m -，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（ 1.4≈）A 4B.5C.6D.88.若函数πcos 6y x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一极值点，则ω的取值范围为（）A.17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.27,33⎛⎫⎪⎝⎭9.函数()()1,21,20x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A. B.C. D.10.已知()tan 2tan cos 22ααα-⋅=，则tan α=（）A.2B.C.2- D.1211.已知直线l ：0x my n ++=既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2e x y -=的切线，则m n +=（）A.0B.2- C.0或eD.2-或e-12.若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()1f x -关于点()3,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2②()223f =③()f x 的一条对称轴为5x =④()19157i f i ==∑A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,3a =-，()1,b m = ，且()2a a b ⊥- ，则m =______．14.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，48a =，则5S =______．15.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．16.已知函数c ()223,,2,,x x x a f x x x a ⎧--≥=⎨-<⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数())cos cos f x xx x =-．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()1f x =-在[]0,π上的解．18.已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，2145n n n a a a +++=（*n ∈N ）．（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．19.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且()cos 1cos a B b A ⋅=+．（1）证明：sin sin 3C B =；（2）求ca的取值范围．20.已知函数()3211124326k f x x x kx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭（R k ∈）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在()0,3上恰有两个零点，求函数()f x 在[]0,3上的最小值．21.已知函数()22e 2x f x x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥．（1）求a 的取值范围；（2）求证：232222111152e 12e 12e 12e 1n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+< ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n ∈N ）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参考方程]22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos ,3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为πcos ,3π6sin 3x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系，并说明理由；（2）设P 是圆C 上一动点，()4,0A ，若点P 到直线l的距离为2，求CA CP ⋅ 的值．[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()221f x x x =+++．（1）求()f x 的最小值；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()()()18f a f b f c ++=，证明：2221119a b c a b c ++≥++一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}13A x x =∈-≤≤Z ，{}22B x x =≤，则A B = （）A.⎡-⎣B.{}1,0,1- C.{}1,0,1,2- D.⎡⎤⎣⎦【答案】B【分析】先解不等式，再求交集即可.【详解】由{}13A x x =∈-≤≤Z ，可得{}1,0,1,2,3A =-，由{}22B x x =≤，可得{B x x =≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：B2.若0a b >>，则一定有（）A cos cos a b < B.220a b -< C.11a b> D.33a b >【答案】D 【解析】【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幂函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，cos y x = 在(),2ππ上单调递增，∴当2a b ππ>>>时，cos cos a b >，A 错误；对于B ，2x y = 在()0,∞+上单调递增，22a b ∴>，即220a b ->，B 错误；对于C ，1y x =在()0,∞+上单调递减，11a b∴<，C 错误；对于D ，3y x = 在()0,∞+上单调递增，33a b ∴>，D 正确.故选：D.3.若命题“x ∀∈R ，sin cos m x x ≥+”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.m ≥B.2m ≥ C.m ≤ D.2m ≤-【答案】A 【解析】【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.【详解】sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据命题是真命题可知，()max sin cos m x x ≥+，即m ≥故选：A4.设9log 4a =，则3a 的值是（）A.1B.2C.4D.9【答案】B 【解析】【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.【详解】由9log 4a =，则94a =，234a =，32a =.故选：B.5.在ABC 中，点M 为边AB 上一点，2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+ ，则μ=（）A.3B.2C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.【详解】由2AM MB = 得13AM AB =，所以()11213333CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，所以32CM CA CB =+，即1μ=，故选：C.6.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1957S =，则5143a a a --=（）A.2 B.3C.4D.6【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得103a =，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.【详解】由题意，()11910191019192195722a a a S a +⨯====，解得103a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()514111110334393a a a a d a a d a d a --=+--+=+==.故选：B.7.某地锰矿石原有储量为a 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m （01m <<，且m 为常数）倍，那么第n （*n ∈N ）年在开采完成后剩余储量为()1na m -，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（1.4≈）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】根据题意得关系式1012n y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而根据指数与对数式的互化即可求解.【详解】设第n 年开采完后剩余储量为y ，则()1ny a m =-，当10n =时，12y a =，所以()10112a a m =-，0a >，故()11010111122m m ⎛⎫=-⇒-= ⎪⎝⎭，进而1012ny a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第x 年时，70%y a =，故10101222271717101log log log 1.4log 102102101072nn a n a ⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒==≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故5n ≈,故选：B8.若函数πcos 6y x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一极值点，则ω的取值范围为（）A.17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.27,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.【详解】当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，πππ66,26πx ωω⎛⎫∈-+ ⎪+⎝⎭，由于πcos 6y x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一极值点，故满足0ππ2π6ω≤-+<-，解得17,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选：C9.函数()()1,21,20x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先利用导函数研究01x <≤上的单调性，得到()f x x =-在10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且1144f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而研究10-<≤x 上的单调性，得到在314x -<≤-上单调递减，在304x -<≤上单调递增，且3142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而选出正确答案.【详解】当01x <≤时，()1f x '=-=当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x ¢>，故()f x x =10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x x =-14x =处取得极小值，11114424f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当10-<≤x 时，011x <+≤，故()(21f x x =+-，()2f x '==，当314x -<≤-时，()0f x '=<，当304x -<≤时，()0f x '=>，()(21f x x =+-在314x -<≤-上单调递减，在304x -<≤上单调递增，且33121442f ⎛⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎝⎭⎝，显然1124-<-，综上：只有D 选项满足要求.故选：D10.已知()tan 2tan cos 22ααα-⋅=，则tan α=（）A.2B.C.2- D.12【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为()tan 2tan cos 22ααα-⋅=，所以sin 2tan cos 22cos 2αααα⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭，所以sin sin 2cos 22cos αααα-⋅=，即()2sin 2sin cos 2cos 12cos ααααα-⋅-=，即sin 2sin cos 2sin cos 2cos αααααα-+=，即sin tan 2cos ααα==.故选：A11.已知直线l ：0x my n ++=既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2e x y -=的切线，则m n +=（）A.0B.2-C.0或eD.2-或e-【答案】D 【解析】【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为0x my n ++=，通过等量关系可得到,m n 的取值.【详解】()ln f x x =,2()e x g x -=,''21(),()e x f x g x x-∴==，设切点分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则曲线()ln f x x =的切线方程为：()1111ln y x x x x -=-，化简得，1111111ln ()ln 1y x x x x x x x ∴=+-=⋅+-，曲线2()e x g x -=的切线方程为：22222e e ()x x y x x ---=-，化简得，22222e (1)e x x y x x --=⋅+-，22212211e (1)e ln 1x x x x x --⎧=⎪∴⎨⎪-=-⎩，故111(1)(ln 1)0x x --=，解得1x =e 或11x =.当1x =e ，切线方程为e 0x y -=，故e,0,m n =-=故e m n +=-.当11x =，切线方程为1y x =-，故1m n ==-，则2m n +=-.故m n +的取值为e -或2-.故选：D12.若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()1f x -关于点()3,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2②()223f =③()f x 的一条对称轴为5x =④()19157i f i ==∑A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据函数的对称性，可得()()11f x f x -=+，()()262f x f x -=-+，且()23f =，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得()()136f f +=，()()246f f +=，可判④的正误.【详解】因为()21f x +偶函数，所以()()1212f x f x -=+，则()()11f x f x -=+，即函数()f x 关于直线1x =成轴对称，因为函数()f x 的图象是由函数()1f x -的图象向左平移1个单位，所以函数()f x 关于点()2,3成中心对称，则()()262f x f x -=-+，且()23f =，对于①，()()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--=---=-+-=-，()()()()()()4226226611f x f x f x f x f x +=++=---=--=--+()()6112f x f x =-++=-()()()1111f x f x f x =+-=-+=，则函数()f x 的周期4T =，故①错误；对于②，()()()2224523f f f =+⨯==，故②正确；对于③，()()()()()()51411145f x f x f x f x f x f x +=++=+=-=-+=-，故③正确；对于④，()()()121621f f f =-=-+，则()()136f f +=，()()()()()40111123f f f f f ==-=+==，则()()246f f +=，由19443÷= ，则()()()()1911219i f i f f f ==+++∑ ()()()()()()()()41234171819f f f f f f f =++++++()()()()466123486357f f f =⨯++++=++=，故④正确.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,3a =-，()1,b m = ，且()2a a b ⊥- ，则m =______．【答案】2【解析】【分析】根据向量加法的坐标公式，结合垂直向量的坐标表示，可得答案.【详解】由题意，()23,32a b m -=--，因为()2a a b ⊥- ，所以()20a a b ⋅-= ，则()33320m +-=，解得2m =.故答案为：2.14.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，48a =，则5S =______．【答案】31【解析】【分析】利用等比数列通项公式，结合0q >，可求得公比2q =，进而得到1a ，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0n a > ，0q ∴>，又2424a q a ==，2q ∴=，211a a q ∴==，()551123112S ⨯-∴==-.故答案为：31.15.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．【答案】10.5【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设t 时刻的坐标为(,)x y ，转过的角度为2266t t ππ=⨯，根据三角函数的定义有20sin()20cos 626y t t πππ=-=-，地面与坐标系交线方程为0.5y =-，则第10分钟时他距离地面的高度大约为100.520cos 10.56π-=米.故答案为：10.516.已知函数c ()223,,2,,x x x a f x x x a ⎧--≥=⎨-<⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是______．【答案】(-2，1)【解析】【分析】根据函数()f x 图象与y m =的交点即可求解.【详解】在直角坐标系中画出21223,2y x x y x =--=-的图象，当2a ≤-时，()f x m =至多有2个实数根，如图（1），当1a ≥时，()f x m =至多有2个实数根，如图（2），当21a -<<时，()f x m =恰好有3个实数根，如图（3），故a 的取值范围为21a -<<，故答案为：21a -<<三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数())cos 3cos f x xx x =-．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()1f x =-在[]0,π上的解．【答案】（1）π5πππ36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(Z k ∈)（2）2π0π3x =，，【解析】【分析】（1）利用三角恒等变化化简三角函数，根据正弦函数的单调性，结合整体思想，可得答案；（2）利用整体思想，结合正弦函数求值，可得答案.【小问1详解】2()cos cos f x x x x =-2sin 2cos 2x x =-cos 21sin 222x x +=-112cos2222x x =--π1sin 262x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+(Z k ∈)，解得π5πππ36k x k +≤≤+(Z k ∈)，∴函数()f x 的单调递减区间为π5πππ36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(Z k ∈)．【小问2详解】由()1f x =-，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∵[]0πx ∈，，∴ππ11π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．∴ππ7π11π26666x -=-，，，解得2π0π3x =，．18.已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，2145n n n a a a +++=（*n ∈N ）．（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）n a 23*1(21)()3n n N -=+∈【解析】【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【小问1详解】证明：∵*2145n n n a a a n +++=∈N ，，∴*2114()，n n n n a a a a n +++-=-∈N ，∵12112，a a ==，∴2112a a -=，∴数列{1n n a a +-}是以12为首项，4为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知，12311422n-n n n a a -+-=⨯=，当2n ≥时，112211()()()+n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++- 2527291122222n n n -----=+++++ ()()123114112212143n n ---=+=+-当n =1时，1111(21)32a -=+=满足上式．所以，n a 23*1(21)()3n n N -=+∈．19.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且()cos 1cos a B b A ⋅=+．（1）证明：sin sin 3C B =；（2）求ca的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()23，c a ∈【解析】【分析】（1）由正弦定理化简cos (1cos )a B b A ⋅=+可得2A B =，所以3C A B B ππ=--=-，即可证明.（2）因为△ABC 为锐角三角形，可求出B 的范围，即可求出cos B 的范围，由正弦定理化简c a =12cos 2cos B B -，令cos B t =，1232,,222y t t t ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由函数的单调性即可求出ca 的取值范围．【小问1详解】∵cos (1cos )a B b A ⋅=+，由正弦定理，得sin cos sin (1cos )A B B A ⋅=+，即sin cos cos sin sin A B A B B ⋅-⋅=，∴sin sin A B B -=（），∴A B B -=或A B B π-+=（）（舍），即2A B =，∴3C A B B ππ=--=-，∴sin sin(3)sin 3C B B π=-=．【小问2详解】由锐角△ABC ，可得02B π<<，022A B π<=<，032C B ππ<=-<．即64B ππ<<，∴cos 22B <<．∵sin sin 3sin sin 2c C B a A B ==sin 2cos cos 2sin sin 2B B B B B ⋅+⋅=12cos 2cos B B=-．令cos B t =，12,,222y t t t ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，因为122y t t =-在,22t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当min ,222t y ===，当max ,233t y ===，∴(23，c a ∈．20.已知函数()3211124326k f x x x kx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭（R k ∈）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在()0,3上恰有两个零点，求函数()f x 在[]0,3上的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）()min116136********.265k f x k k ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，，【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，（2）根据第一问可知()f x 的单调性，进而可判断()f x 在()0,3上恰有两个零点，满足03k <<，根据零点存在性定理即可列不等式求解.【小问1详解】由题意得2()(4)4(4)()f x x k x k x x k '=-++=--．当4k =时，由2()(4)0f x x '=-≥，函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．当4k >时，令()04f x x k ¢<Þ<<,令()04f x x ¢>Þ<或x k>故函数()f x 在(4)k ，上单调递减，在(4)∞-，和()k ∞+，上单调递增．当4k <时，令()04f x k x ¢<Þ<<，令()0f x x k ¢>Þ<或>4x 函数()f x 在(k ，4)上单调递减，在()k ∞-，，(4)+∞，上单调递增．【小问2详解】当0k ≤或3k ≥时，函数()f x 在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．当03k <<时，函数()f x 在(0，k )上单调递增，在(k ，3)上单调递减．要使函数()f x 在(0，3)上有两个零点，则需满足：03k <<且()()()00030f k f f ⎧>⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1319k <<．∴()()(){}min min 03f x f f =，．又15(3)(0)92f f k -=-，∴当65k >时，(3)(0)f f >；当65k <时，(3)(0)f f <．又61359<，∴()min 116136********.265k f x k k ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，21.已知函数()22e 2x f x x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥．（1）求a 的取值范围；（2）求证：232222111152e 12e 12e 12e 1n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+< ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n ∈N ）．【答案】（1）(]2-∞，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数法对2a ≤、2a >分类讨论()min 0f x ≥是否满足即可；（2）由（1）结论，当2a =时，()0f x ≥恒成立，即可得22e 121n n n -≥++，即可列项得211212n n n <--+e ，构造()ln 1h x x x =-+，由导数法证()(1)0h x h ≤=，则有ln 1≤x x -，即2211ln(1)2e 12e 12n n n n +<<---+，最后结合对数运算性质即可证【小问1详解】由题意得()2e 2x f x x a '=--．令()2e 2xx a g x -=-，则()2e 20x g x '=->．∴函数()f x '在区间[0)，+∞上单调递增，则函数()f x '的最小值为(0)2f a '=-．①当20a -≥，即2a ≤时，可得()(0)0f x f ''≥≥，∴函数()f x 在[0)，+∞上单调递增．又()00f =，∴()()00f x f ≥=恒成立．②当20a -<，即2a >时，函数()f x '的最小值为(0)2f a '=-<0，且存在00x >，当0[0)x x ∈，时，()0f x '<．又()00f =，∴当0[0)x x ∈，时，()0f x <，这与0x ≥时，()0f x ≥相矛盾．综上，实数a 的取值范围是(]2-∞，．【小问2详解】由（1）得当2a =时，不等式()22e 220xf x x x =---≥恒成立，∴22e 121x x x -≥++．令x n =，得22e 121n n n -≥++．∴2222112121(2)2n n n n n n n <=--++++≤e ．令()ln 1h x x x =-+，则()1xh x x'-=，(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 为(0,1)上的增函数；(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 为(1,+)∞上的减函数；∴()(1)0h x h ≤=，则ln 1≤x x -．∴2211ln(1)2e 12e 12n n n n +<<---+，∴232222ln(1)(1(1)2e 12e 12e 12e 1n ++++---- =232222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)2e 12e 12e 12e 1n +++++++---- <111111111(1)()(()()32435112n n n n -+-+-++-+--++ =311212n n --++32ln e ln 5<=<=．∴232222(1(1)52e 12e 12e 12e 1n ++++<---- ．【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参考方程]22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos ,3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为πcos ,3π6sin3x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系，并说明理由；（2）设P 是圆C 上一动点，()4,0A ，若点P 到直线l的距离为2，求CA CP ⋅ 的值．【答案】（1）直线l 和圆C 相离；理由见解析（2）2CA CP ⋅=-【解析】【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.（2）用参数方程表示P 点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.【小问1详解】圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消参得圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=，圆心C 坐标为()3,0，半径为3．直线l 的参数方程为πcos ,3π6sin 3x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消参得直线l60y -+=．∵圆心C 到直线l的距离632d +=>，∴直线l 和圆C 相离．【小问2详解】设[)()π33cos 3s )0,2in Pθθθ+∈（，，由点P 到直线l2=，∴2cos()26θ+++=πcos 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π．∴6θ+=ππ，则5π6θ=，∴332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，()1,0CA =，32CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴2CA CP ⋅=- ．[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()221f x x x =+++．（1）求()f x 的最小值；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()()()18f a f b f c ++=，证明：2221119a b c a b c++≥++．【答案】（1）32（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；（2）由题意得3a b c ++=，再由基本不等式及不等式的性质可证明.【小问1详解】11()222f x x x x =+++++≥11(2)()22x x x +-+++=3122x ++≥32．(当且仅当12x =-时，取等号)∴函数f (x )的最小值为32．【小问2详解】因为a ，b ，c 均为正数，所以()()()33333318f a f b f c a b c ++=+++++=，∴3a b c ++=．由111()()a b c a b c++++111a ab bc c b c a c a b =++++++++()()()3a b c a c b b a a c b c =++++++≥9，得1113a b c++≥．∵2()a b c ++222222a b c ab bc ac =+++++2223()≤a b c ++，∴2233a b c ++≥．∴()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++⎪⎝⎭，∴2221119≥a b c a b c ++++．。

高三数学一诊考试试题理含解析试题

2021届高三数学一诊考试试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{1,0,1,2,3}M =-，{}2|20=-N x x x ，那么MN =〔〕A. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】C 【解析】【分析】求出N 中不等式的解集确定出N ，找出M 与N 的交集即可．【详解】由N 中不等式变形得：x 〔x ﹣2〕≤0，解得：0≤x ≤2，即N ＝[0，2]， ∵M ＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴M ∩N ＝{0，1，2}，应选C ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．212ii+=-〔〕 A. i B. -iC.4i 5+ D.4i 5- 【答案】A 【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+．应选A ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．()()121a b m =-=-，，，，假设a b λ=〔λ∈R 〕，那么m ＝〔〕A. -2B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标运算计算即可．【详解】∵向量()()121a b m =-=-，，，，a b λ=〔λ∈R 〕，∴()12-，＝λ()1m -，， ∴12mλλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，应选C ．【点睛】此题考察了一共线向量的坐标运算，属于根底题．{}n a 的前n 项和为n S ，假设2466++=a a a ，那么7S=〔〕A .7B. 14C. 21D. 42【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：a 4＝2，而由求和公式可得S 7＝7a 4，代入可得答案．【详解】由等差数列的性质可得：2a 4＝a 2+a 6，又2466++=a a a ，解得a 4＝2，而S 7()17477222a a a +⨯===7a 4＝14 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的性质和求和公式，属根底题． 5.,a b ∈R ，那么“0a b <<〞是“11a b>〞的〔〕 A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【详解】假设11a b >，即b a ab->0， ∴00b a ab ->⎧⎨⎩＞或者00b a ab -<⎧⎨⎩＜，即a ，b 同号时：a <b ，a ，b 异号时：a >b ，∴当a <b<0时，11a b >成立，但11a b>成立，不一定有a <b<0，所以“0a b <<〞是“11a b>〞的充分不必要条件应选A ．【点睛】此题考察了充分必要条件，考察不等式问题，是一道根底题． 6.执行右图所示的程序框图，那么输出的n =〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】第一次执行循环体后，n＝1，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，故输出的n值为5，应选C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．7. 1.22a =，0.43b =，8ln 3=c ，那么〔〕 A. b a c >>B. a b c >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】B 【解析】【分析】容易得出 1.20.4822132013ln ><<<，，＜，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】 1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==，＞，＜； ∴a ＞b ＞c ．应选B ．【点睛】此题考察指数函数、对数函数的单调性，考察了比拟大小的方法：中间量法．3()e 1=+xx f x 的图象大致是〔〕 A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进展排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f 〔x 〕<0．排除AC ，f ′〔x 〕()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′〔x 〕()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈〔0，2〕，g ′〔x 〕＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈〔2，+∞〕，g ′〔x 〕＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0，存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈〔0，0x 〕，g (x )>0，即f ′〔x 〕＞0，函数f 〔x 〕是增函数，当x ∈〔0x ，+∞〕，g (x )<0，即f ′〔x 〕＜0，函数f 〔x 〕是减函数， ∴B 不正确，应选D ．【点睛】此题考察函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，那么sin 2α=〔〕 A. 1225-B. 725-C.725D.2425【答案】B 【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，∴345cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴27212?2242542cos cos cos sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴7225sin α=-，应选B ．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考察了逻辑思维才能，属于根底题．()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么ϕ的最小值为〔〕A.12πB.6π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】【分析】由正弦函数图象的性质可得φ＝23k ππ-，〔k ∈z 〕再求解即可．【详解】由f (x )＝sin 〔2x +φ〕，令23π⨯+φ＝kπ，〔k ∈z 〕得：φ23k ππ=-，〔k ∈z 〕又φ＞0，所以k =1时那么φmin 3π=，应选C ．【点睛】此题考察了正弦函数图象的性质，属简单题．a =22b a b =⋅=-，，.假设1c a b --=，那么c 的取值范围是〔〕A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,3]D. [1,3]【答案】D 【解析】【分析】由题意得到a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，利用向量加减法的几何意义求出C 的轨迹，那么可求得c 的取值范围. 【详解】因为向量a =22b a b a b cos θ=⋅==-，，可得12cos θ=-，所以a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，那么A ，B 在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图，不妨令A 〔2，0〕，那么B 〔-13，那么13OA OB OD +==，，那么1c a b OC OA OB OC OD DC --=--=-==，所以C 在以D 为圆心，1为半径的圆上，c OC =，即求以D 为圆心，1为半径的圆上的动点C 到〔0，0〕的间隔的最值问题，又|OD |2=．所以OC ∈[21-，21+]= [1，3]，应选D ．【点睛】此题考察了向量加减法的几何意义的应用，考察了动点的轨迹问题，考察了转化思想，解题时我们要根据题目中的条件，选择转化的方向，属于中档题.R 上的可导函数()f x 满足(2)()22-=-+f x f x x ，记()f x 的导函数为()f x '，当1x 时恒有()1f x '<.假设()(12)31---f m f m m ，那么m 的取值范围是〔〕A. (],1-∞-B. 1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C. [)1,-+∞D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，求得g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕，那么g 〔x 〕关于x =1对称，再由导数可知g 〔x 〕在1x 时为减函数，化f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1为g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，利用单调性及对称性求解．【详解】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，g ′〔x 〕＝f ′〔x 〕﹣1，当x ≤1时，恒有f '〔x 〕＜1．∴当x ≤1时，g 〔x 〕为减函数，而g 〔2﹣x 〕＝f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕， ∴由(2)()22-=-+f x f x x 得到f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕=f 〔x 〕-x∴g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕．那么g 〔x 〕关于x =1对称，由f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1，得f 〔m 〕-m ≥f 〔1﹣2m 〕-〔1﹣2m 〕，即g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，∴1121m m -≥--，即-113m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是[﹣1，13]．应选D ．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

2025届湖南省怀化三中高三一诊考试数学试卷含解析

2025届湖南省怀化三中高三一诊考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（）A ．255B ．419C ．414D ．2532．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =3．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=4．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 5．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（） A ．10B ．16C ．20D ．24 6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．68．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞10．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（） A ． B ． C ． D ．11．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 12．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题

四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}22A x x =-<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB u u u r u u u r，则12z z +=（）A ．1BC ．3D ．53．已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（） A ．15B ．16C ．20D ．304．中国营养学会把走路称为“最简单､最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能､血管弹性､肌肉力量等，甲､乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（）A ．甲走路里程的极差等于11B ．乙走路里程的中位数是27C ．甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差 5．若向量,a b r r满足2,1,22,a b a b a b ==-=⋅=r r r r r r （）A ．2-B ．1-C ．1D ．26．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥ C ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则m //α D ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥7．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则tan β=（）A B ．C ．13D ．13-8．已知函数()sin22cos f x x x =-，下列说法中，正确的是（） A ．函数()f x 不是周期函数B ．点()π,0是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的增区间为()π7π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的最大值为29．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．10．设292,ln ,sin 555a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．已知边长为ABCD 中，60A =o ，沿对角线BD 把ABD △折起，使二面角A BD C --为直二面角，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．20πB ．28πC ．36πD ．54π12．定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凹函数”.已知()()32113e 1ln ln 622x f x m x x x m ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（） A ．()1,e 1-B ．()0,e 1-C ．()1,eD ．()0,e二、填空题13．已知变量x ，y 满足约束条件31212x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.14．在()53(1)x x -+的展开式中2x 的系数为__________.三、双空题15．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π,2,3B AB M ==是BC的中点，AM =AC =__________，cos MAC ∠=__________.四、填空题 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60o ，则双曲线C 的离心率为__________.五、解答题17．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若__________，求数列{}n b 的前n 项和n T .（在①1n n n b a a +=；②(1)n n n b a -=；③1113n a n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）18．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，得到以下的2×2列联表：(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？(2)若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩墩，记X 为抽取的2人中男生人数，求X 的分布列和数学期望. 附：()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.19．如图三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为正三角形，且1AA ⊥平面1,,ABC AC AA D E F =､､分别是棱11AB BC AC ､､的中点，记EF 与平面ABC 所成的角为α，二面角F BC A --的平面角为β.(1)求证：CD EF ⊥；(2)判断α与β的大小，并说明理由.20．已知函数2()ln(1)f x x x kx =-+-（其中R k ∈，e 是自然对数的底数）.(1)当14k =时，讨论函数()f x 在[)0,∞+上的单调性；(2)证明*12ln(23)0,N 21ni n n i =-+<∈+∑. 21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1PA 、B 是椭圆上异于点P 的两点，且0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线PA 、PB 分别交直线3y =于G 、D 两点.(1)求椭圆的标准方程； (2)求GD 的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 10ρθθ+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若点(0,1)P -，直线l 与曲线C 的交点为M ，N ，求||||PM PN +的值. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=（I ）若1142x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围；（II ）证明：()33114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.。

2025届四川省内江市高中高三一诊考试数学试卷含解析

2025届四川省内江市高中高三一诊考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,12．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -6．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（）A ．iB ．2iC ．1-D ．17．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞8．已知复数21iz i=+，则z =（） A ．1i +B ．1i -C 2D ．29．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（） A ．156B ．124C ．136D ．18011．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（） A ．232B ．12C ．252D ．1312．已知向量11,,a b m ⎛⎫==，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（）A ．12BC ．12±D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省绵阳市三台中学校2023届高三一诊模拟考试数学(理)试题(四)(含解析)

四川省绵阳市三台中学校2023届高三一诊模拟考试数学（理）试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________e e-．．．．．已知菱形ABCD 的对角线相交于点O 为AO 的中点，若2AB =，60BAD =︒，则AB DE ⋅=（）．2-B ．12-72-D ．12．函数()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>><的部分图象如图所示，为了得到C ．()()2e 22ln 211xf x x =---D ．()()2e 22ln 212xf x x =---二、填空题（1）当[0,)θπ∈，求以极点为圆心，（2）设点P 是由（1）中的交点所确定的圆求点P 到直线l 的距离的最大值．参考答案：【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.9．B【详解】2A = ,22T π= ，T π= ,2ω= ,23π⨯66614．728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】由7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得1sin [,1]2x ∈-，即可求解.7ππ⎡⎤1由（1）知π3B=，于是在ABC中，由正弦定理知所以21 sin BAC∠=．()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。

高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题

第七中学2021届高三一诊模拟考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理〕试题〔考试时间是是：120分钟试卷满分是：150分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，且，那么〔〕【答案】A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴对称轴是x=3．∵P〔X≥5〕=0.2，∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．应选：A．【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，应选D.【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选：B．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】【分析】令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．【详解】令z=a+bi，代入，〔a-1+bi〕= a+3+bi，,，应选C.【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；所以横线处应填写上的条件为，应选C.【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．满足，那么的最大值是〔〕A. -1B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A〔〕，的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“〞是“〞的充分不必要条件.应选A.【点睛】此题考察了对数函数的单调性、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．的图象的一条对称轴方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.【详解】f〔x〕==sinx=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，应选B.【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．分解因式得，为常数，假设，那么〔〕A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，应选D.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球〔与四个面都相切〕的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．那么由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．应选B.【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．分别是的内角的对边，，设是边的中点，且的面积为，那么等于〔〕A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.应选A.【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“部分等差〞数列，那么条件概率〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“部分等差〞数列一共有以下24个根本领件，〔1〕其中含1，2，3的部分等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的部分等差数列的同理也有3个，一共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，含5，3，1的也有上述4个，一共24个，=.应选C.【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比拟根底．的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值〔〕A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.应选：D．【点睛】此题考察了抛物线的定义HY方程及其性质、向量的一共线，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．，，为自然对数的底数，假设，那么的最小值是________.【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．【详解】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如下图：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如下图：有三个不同的交点，a≤4故答案为：【点睛】此题主要考察函数的零点与方程的根的关系，表达了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.中，，.求的前项和；对于中的，设，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．【详解】设正项等比数列的公比为，那么由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.于是，所以，.由，，所以当时，由累加法得，.又也合适上式，所以的通项公式为，.【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2021～2021年梅雨季节的降雨量〔单位：〕的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答以下问题：“梅实初黄暮雨深〞.假设每年的梅雨天气互相HY，求镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；“江南梅雨无限愁〞.在〔/亩〕与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为〔元/〕，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润〔万元〕的期望更大？〔需说明理由〕；降雨量亩产量500 700 600 400【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比拟得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为〔或者0.15625〕.根据题意，总利润为〔元〕，其中.所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.27 35故总利润〔万元〕的数学期望〔万元〕.因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点.求椭圆的HY方程；设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.【答案】【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的HY方程为.设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得. 解得，于是，即.设，那么.由得，得，解得，于是.又，由两点的坐标可得直线的方程为.又由点坐标可得直线的方程为.两式相乘，消去参数得.〔假如只求出交点的坐标，此步不得分〕又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.故直线与的交点的轨迹方程.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.作平面与平面的交线，并写出作法及理由；求证：平面平面；假设多面体的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】见解析见解析【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而平面平面.利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.和交于一点，四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，那么，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．，其中为常数.假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；假设对，都有，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．【详解】求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.对，，所以在区间内单调递减.①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公一共点的极坐标.【答案】【解析】【分析】〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．[选修4-5：不等式选讲]，且.假设，求的最小值；假设，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

广东汕头市2025届高三一诊考试数学试卷含解析

广东汕头市2025届高三一诊考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．192．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒3．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（）A ．54B ．55C ．102D ．1055．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.6．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（）A ．16B ．18C ．20D ．157．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<8．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 9．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲11．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（） A ．2B ．22C ．24D ．2212．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

一、单选题二、多选题1. 若，则复数=（）A．B．C．D．2. 如图，在四棱锥中，，底面ABCD 为长方形，，，Q 为PC 上一点，且，则异面直线AC 与BQ 所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．3. 已知双曲线的左顶点为A ，若在双曲线的右支上存在两点M ，N ，使△AMN 为等边三角形，且右焦点为△AMN 的重心，则该双曲线的离心率为（）A．B ．2C．D．4. 集合，，则A．B．C．D．5.设，其中，为实数，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒7. 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且的周长为12，那么的方程为（）A．B．C．D．8. 已知集合，，，则的子集共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．64个四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题三、填空题四、解答题9. 设数列的前n项和为，若，则下列说法中正确的有（）A ．存在A ，B ，C 使得是等差数列B ．存在A ，B ，C 使得是等比数列C ．对任意A ，B ，C都有一定是等差数列或等比数列D ．存在A ，B ，C使得既不是等差数列也不是等比数列10. 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）的销量已跃居全球首位，同时我国也加大了新能源汽车公共充电桩的建设，以解决新能源汽车的充电困境.下面是我国2021年9月至2022年8月这一年来公共充电桩累计数量统计图，则针对这12个月的数据，下列说法正确的是（）A ．这12个月以来，我国公共充电桩累计数量一直保持增长态势B ．这12个月我国公共充电桩累计数量的中位数低于123万台C ．这12个月我国公共充电桩的月平均累计数量超过115万台D ．2022年6月我国公共充电桩累计数量的同比增长率最大11.已知函数的最小正周期为,且图象经过点,则( )A．B ．点为函数图象的对称中心C ．直线为函数图象的对称轴D．函数的单调增区间为12. 已知函数，则（）A ．的一个对称中心为B．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是偶函数C．在区间上单调递减D ．若在区间上与有且只有6个交点，则13. 已知函数，则________，满足的x 的取值范围是________.14.点为直线上的一点，点为圆上的一点，则的最大值为_______________.15. 已知数列，，对于任意正整数m ，n，都满足，则______．16.在中，内角的对边分别为(1)求角；(2)茬是边上的点，且，求的值.17. 如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为，，的中点，，为线段上一动点.(1)证明：；(2)求几何体的体积.18. 已知函数，其导函数的图象关于轴对称．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．19. 如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若是等边三角形，求二面角的余弦值.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. 在中，，.(1)若，求的长及边上的高；(2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.。

高三数学上学期一诊模拟试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校第七2021届高三数学上学期一诊模拟试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，那么3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭〔〕A.-1B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-，又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，3()11iIm i+∴=-+．应选：A ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于根底题． 2.执行如下列图的程序框图，输出的值是s () A.3B.6-C.10D.15-【答案】C 【解析】【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果.【详解】根据程序框图可知2222123410S=-+-+=，应选C.【点睛】此题考察算法中的选择构造和循环构造，属于容易题.()tan f x x=的性质，以下表达不正确的选项是〔〕A.()f x 的最小正周期为2π B.()f x 是偶函数C.()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D.()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B正确；由()tan f x x=的图象可知，C 、D 均正确；应选A. 考点：正切函数的图象与性质. 4.0,0ab >>，那么“1a ≤且1b ≤〞是“2a b +≤且1ab ≤〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22ab ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤〞是“2a b +≤且1ab ≤〞的充分不必要条件，应选A. 考点：1.不等式性质；2.充要条件.21nx ⎫⎪⎭的展开式中含有常数项，那么正整数n 的最小值是〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5.【详解】因为21nx⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rr n r r r rr n nT C C xx--+=-=-,(0,1,2,)r n=,令52n r-=,那么5n r=,因为*n N∈,所以1r=时,n取最小值5.应选:C【点睛】此题考察了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于根底题.6.在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目的函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，那么ab的最大值等于〔〕A.12B.38C.14D.18【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数获得最大值，确定a，b的关系，利用根本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕，由(0,0)z ax by a b=+>>，那么a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目的函数z ax by=+得21a b+=．那么1222a b ab=+，那么18ab当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，应选：D．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合以及根本不等式是解决此类问题的根本方法．{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．a 2a 4＝1，S 3＝7，那么S 5＝〔〕 A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得．【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1，设{a n }的公比为q ，那么q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或者q 13=-〔舍去〕， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==- 应选B.【点睛】此题考察等比数列的通项公式和求和公式，属根底题．8.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数一共有〔〕 A.288个 B.306个 C.324个 D.342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以一共有90234324+=种,应选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】此题主要考察两个根本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的HY 进展，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进展.()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，那么当24a <<时，有〔〕 A.()()22(2)log a f f f a << B.()()2log (2)2a f a f f << C.()()2log 2(2)a f a f f <<D.()()2(2)log 2a f f a f <<【答案】D 【解析】【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)a f a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-,所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <,所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x=时,函数获得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=,所以224log 3a <-<, 所以224log 2a a <-<,所以2(4log )(2)a f a f -<, 所以2(log )(2)a f a f <,所以()()2(2)log 2a f f a f <<.应选:D【点睛】此题考察了利用导数判断函数的单调性,考察了利用单调性比较大小,考察了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.[6,)+∞B.[4,6]-C.(4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的间隔与到直线2:340l x y a -+=的间隔之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的间隔小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案. 【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,的取值与x ，y 无关, 即圆上的点到直线1;3490l x y --=的间隔与到直线2:340l x y a -+=的间隔之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离, 所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或者4a ≤-且1a ≥, 所以6a ≥. 应选:A【点睛】此题考察了点到直线的间隔公式,利用点到直线的间隔公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.a ，b，c 满足，||||2||2a b c ===，那么()()a b c b -⋅-的最大值为〔〕A.10B.12C. D.【答案】B 【解析】【分析】设OAa =，OBb =，OCc =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OAa =，OBb =，OCc =，那么a b BA -=，c b BC -=4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a b c b --=应选：B【点睛】此题考察向量的数量积的定义，属于中档题.1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD 〔包括边界〕内运动，且1PB 面DEF ，那么PC 的长度范围为〔〕A.B.⎣C.⎣D.5⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】【分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如下列图:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ;取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ;因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MNDF 交1DD 于N ,那么四点1,,,B Q N M 一共面,且123DNDD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动,连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC=,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的间隔为132212⨯⨯=, 所以DP,,所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣.应选:B【点睛】此题考察了作几何体的截面,考察了平面与平面平行的断定,考察了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡相应位置上〕2,1x N x ∀∈>〞的否认为__________．〞【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】,()x M p x ∀∈,()x M p x ∃∈⌝〞，所以“2,1x N x ∀∈>〞的否认是“2,1x N x ∃∈≤〞．,一共有9个小长方形,假设第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,假设样本容量为1600,那么中间一组〔即第五组〕的频数为▲. 【答案】360 【解析】【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016dd d +=∴=∴⨯+= O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，那么MO MF的最大值为__________.【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，那么222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++，令14t x =-，那么14t >-,14x t =+,假设t>021123111399333216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立，所以MOMF的最大值为23. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.根本不等式.【名师点睛】此题主要考察抛物线的定义及几何性质、根本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据条件把所求的问题用一个或者两个未知数表示，即求出其目的函数，利用函数的性质、根本不等式或者线性规划知识求之. 16.14ab=，,(0,1)a b ∈，那么1211a b +--的最小值为．【答案】4243+【解析】试题分析：因为，所以，那么〔当且仅当，即时，取等号〕；故填243+．【方法点睛】此题考察利用根本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决此题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现根本不等式的使用条件〔正值、定积〕，再利用根本不等式进展求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：根本不等式．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.〔1〕求角C 的大小; 〔2〕假设向量()1,sin m A =与()2,sin n B =一共线,求,a b 的值.【答案】(1)3π;(2)3,3a b == 【解析】试题分析：〔1〕根据三角恒等变换，sin 216Cπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；〔2〕由m 与n 一共线，得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：〔1〕21313sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=.〔2〕m 与n 一共线,sin 2sin 0B A ∴-=,由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3ab ab π=+-,②联立①②,3{23a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.为了理解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间是，随机抽取了高三男生和女生各50名进展问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间是超过3小时的学生称为“古文迷〞，否那么为“非古文迷〞，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100〔Ⅰ〕根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷〞与性别有关？〔Ⅱ〕现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进展调查，求所抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数；〔Ⅲ〕现从〔Ⅱ〕中所抽取的5人中再随机抽取3人进展调查，记这3人中“古文迷〞的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0k【答案】〔I 〕没有的把握认为“古文迷〞与性别有关；〔II 〕“古文迷〞的人数为3，“非古文迷〞有2；〔III 〕分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】〔I 〕由列联表得所以没有的把握认为“古文迷〞与性别有关．〔II 〕调查的50名女生中“古文迷〞有30人，“非古文迷〞有20人，按分层抽样的方法抽出5人，那么“古文迷〞的人数为人，“非古文迷〞有人．即抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数分别为3人和2人〔III 〕因为为所抽取的3人中“古文迷〞的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为1 2 3于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.〔Ⅰ〕求证：CD ∥平面1A EB ；〔Ⅱ〕求证：1AB ⊥平面1A EB ；〔Ⅲ〕求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕见解析〔Ⅲ〕直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为155【解析】【详解】证明：〔Ⅰ〕设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点, 所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点，所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC . 又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,那么EC ∥平面1A BE .(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥.由得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由〔Ⅰ〕可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB .所以CD⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1A B ⊂平面1A BE .〔Ⅲ〕解:取11A C 中点F ，连接1,?B F EF .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点，所以111B FAC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影.所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：〔1〕由题意得到c=1b OM ==，所以a =2〕联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析：〔1〕依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直，∴1b OM ==，∴a=∴椭圆C 的方程为2213x y +=.〔2〕①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，那么122233222k k -+=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+--()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，此题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，那么2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．()ln ()f x tx x t =+∈R .〔1〕当1t=-时，证明：()1f x ≤-；〔2〕假设对于定义域内任意x ，()1x f x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围【答案】〔1〕见解析〔2〕(,1]-∞【解析】【分析】〔1〕构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；〔2〕参变别离得到ln 1x x te x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】〔1〕证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证〔2〕原式子恒成立即ln 1x x t e x+≤-在(0,)+∞恒成立设ln 1()x x x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以001xe x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】此题考察利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做选定的题目.假设多做，那么按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭〔1〕求圆O 和直线l 的直角坐标方程；〔2〕当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公一共点的极坐标.【答案】〔1〕圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据222cos ,sin ,xy x y ρθρθρ===+将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程〔2〕先联立方程组解出直线l 与圆O 的公一共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，那么直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公一共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．()2321f x x x =++-．〔1〕求不等式()5f x <的解集；〔2〕假设关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭〔2〕6m >或者2m <- 【解析】【分析】〔1〕通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕求出f 〔x 〕的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】〔1〕原不等式为：23215x x ++-≤，当32x≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-；当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．〔2〕由函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或者2m <-．。

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．45.25m B．50.76mA．52B．10．已知实数0x>，则函数A．(0,)+¥B．11．若函数()y f x=满足由图知：AD BC EC ==，D Ð所以,DM EM AM CM ==，而令,AM a DM x a ==-且2a >所以222(6)()x x a a a -+-=Þ构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m ¢=-+>，设()()()e 20e 2m m g m m m g m ¢=->Þ=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m ¢>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m ¢<单调递减，故()()minln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+³时，即ln 22t ³-时，()()0,f m f m ¢³单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m ¢=，因此一定存在区间()()00,0m m e e e -+>，使得()f m ¢在()()0000,,,m m m m e e -+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m e e -+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y x y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-¥-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>.17．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；。

高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题

外国语2021届高三一诊模拟考试数学〔理〕试题一、选择题.，集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简集合，先求，再求.详解：，，，应选A.点睛：此题主要考察集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进展运算.，〔为虚数单位〕，假设为纯虚数，那么〔〕A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai〔a∈R〕，z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，那么，解得a=1，应选：A．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了纯虚数的定义，是根底题．中,，那么〔〕A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，应选B.考点：等差数列通项公式.4.“〞是“直线的倾斜角大于〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，那么.假设，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或者，即或者，所以“〞是“直线的倾斜角大于〞的充分而不必要条件，应选A.5.，那么〔〕A. 1B. -1C.D. 0 【答案】D【解析】.应选D.6.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积.应选：D．【点睛】此题考察了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．7.如下图，在中，，点在线段上，设，，，那么的最小值为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用，表示，由，，三点一共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．【详解】解：．∵，，三点一共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或者〔舍〕．当时，，当时，．∴当时，获得最小值.应选：D．【点睛】此题考察了平面向量的根本定理，函数的最值，属于中档题．，，的零点依次为，，，那么以下排列正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数，，的零点依次为，，，在坐标系中画出，，与的图象如图：可知，，，满足．应选：B．【点睛】此题考察了函数的零点的断定理，数形结合的应用，属于根底题.9.是定义域为的奇函数，满足．假设，那么〔〕A. 50B. 2C. 0D. -2021 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，假设，可得，，，那么，可得.应选：B．【点睛】此题考察抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考察转化思想和运算才能，属于中档题．：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点．假设以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，那么双曲线的方程为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进展求解即可．【详解】解：∵以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，∴半径，那么圆的HY方程为，，，即，那么，即，即，即，那么，，那么双曲线的方程为，应选：D．【点睛】此题主要考察双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决此题的关键．属于简单题.中，，．那么满足的最大正整数的值是〔〕A. 10B. 11C. 12D. 13 【答案】C【解析】【分析】由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．【详解】解：∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或者〔舍〕，∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，应选：C．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．的不等式有且仅有两个正整数解〔其中为自然对数的底数〕，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得me x＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．【详解】当x＞0时，由x2﹣mxe x﹣me x＞0，可得me x＜〔x＞0〕，显然当m≤0时，不等式me x＜〔x＞0〕，在〔0，+∞〕恒成立，不符合题意；当m＞0时，令f〔x〕=me x，那么f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，令g〔x〕=，那么g′〔x〕==＞0，∴g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∵f〔0〕=m＞0，g〔0〕=0，且f〔x〕＜g〔x〕有两个正整数解，那么∴，即，解得≤m＜．应选：D．【点睛】此题考察了不等式整数解问题，考察函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二、填空题。

高三数学一诊模拟试题理含解析试题

叙州区第二中学2021届高三数学一诊模拟试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷(选择题一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B【点睛】此题考察分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于根底题．121iz i i+=--，那么||z =〔〕A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（）【点睛】此题考察复数的除法及模的运算，是一道根底题．α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β〞是“αβ〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公一共点，∴，即能得到；∴“〞是“〞的必要不充分条件．应选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考察线面平行的定义，线面平行的断定定理，面面平行的定义，面面平行的断定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于根底题；并得不到，根据面面平行的断定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A.516B.54C.52D. 5【答案】A【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选A.【点睛】此题考察分段函数和对数运算，属于根底题. 0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，那么〔〕A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】【分析】运用中介值“1 〞，和指数的同指或者同底时的大小比拟得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>应选B.【点睛】此题考察指数、对数的大小比拟，属于中档题. 6.以下图可能是以下哪个函数的图像〔〕A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项里面的0,y >C 选项里面的0,y < 应选C.【点睛】此题考察函数的定义域和特殊点的函数值区分图像，属于根底题.1:22C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，那么下面结论正确的选项是〔〕A. 把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B. 把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C. 把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D. 把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C 【答案】D【解析】【分析】将2:sin 2cos 2C y x x =+通过合一公式化为2:)4C y x π=+向右平移8π就可以得到1C ．【详解】2:sin 2cos 2)4C y x x x π=+=+，把曲线2C 向右平移8π个长度单位得))]284y x x ππ=-+=即为1C ，应选D ．【点睛】此题考察函数的平移变换，是一道根底题．(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于〔〕A. B. D. 【答案】B 【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为〔a ，-2〕，再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，那么可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为〔a,-2〕，那么r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P 〔1，-2〕.又直线过定点Q 〔-2，0〕，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为应选B ．C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么C 的离心率为〔〕1C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可得222(2)4a c c c -+=，可得2222a ac c += 所以2220,(0,1)e e e +-=∈解得1e == 应选A【点睛】此题考察利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.10.2021年5月22日具有“国家HY 〞意义的“长三角一体化〞会议在举行；长三角城群包括：以及、、三局部城，简称“三一〞. 现有4 名高三学生准备高考后到、、、四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，那么恰有一个地方未被选中的概率为〔〕 A.2764B.916C.81256D.716【答案】B【解析】【分析】根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中一共有：2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：144925616p == 此题正确选项：B【点睛】此题考察古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是可以利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题. 11.()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，假设存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，那么12A x x -的最小值为〔〕 A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍．【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，应选C ．【点睛】此题考察了正弦型三角函数的图像与性质，考察三角函数恒等变换，属中档题．R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，那么不等式()x f x e <的解集为〔〕A .(,0)-∞B. (0,)+∞C. ()4,e-∞D.()4,e +∞【答案】B 【解析】【分析】由题意构造函数()()x f x g x e=，由()()f x f x '<可得()0g x '<在R 上恒成立，所以函数()()xf xg x e =在R 为上单调递减函数，由()2f x +为偶函数，()41f =，可得(0)1f =，故要求不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e =<的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数()()x f x g x e =()x R ∈，那么()()()xf x f xg x e''-=，定义R 在上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()()f x f x '<∴()0g x '<在R 上恒成立，函数()()xf xg x e =在R 上为单调递减函数；又()2f x +为偶函数，那么函数(2)(2)f x f x -=+ ，即()f x 关于2x =对称，∴(0)(4)1f f == ，那么0(0)(0)1f g e==，由于不等式()xf x e <的解集等价于()()1xf xg x e =<的解集，根据函数()()x f x g x e=在R 上为单调递减函数，那么()1()(0)0g x g x g x <⇔<⇔>，故答案选B【点睛】此题考察函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________【答案】【解析】【分析】由条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ,那么曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<，那么()()204240.76P P X X <=<<<= 故答案为0.76．【点睛】此题考察根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用区间表示；正态曲线的主要性质是：〔1〕正态曲线关于x μ=对称；〔2〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，那么213=mx dx ⎰______.【答案】124【解析】【分析】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.【详解】因为66212316631333rrrrrr r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由1230r -=得24634,53r m C ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭,因此1122335533|51=1241m x dx x dx x ⎰=⎰==-.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可. (2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.如图，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为5,13,10AB CD AD BC AC BD ======，那么此四面体的体积为_______；【答案】2 【解析】【分析】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，5、1310a ，b ，c 的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．【详解】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，那么22222251310a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体的体积11142323V abc abc abc =-⨯⨯==，故答案为2. 【点睛】此题运用类比的方法，考察锥体的体积求法，考察学生逻辑推理，计算化简的才能，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属根底题．ABCD 中，M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，假设点N 在线段CD 上，那么NA NB ⋅的取值范围是______. 【答案】3[,0]4- 【解析】【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+计算出NA NB ⋅的表达式,最后根据NM 的大小,可以求出NA NB ⋅的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅， 2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅，M 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-，因此21NA NB NM ⋅=-，°120,1MC C D D M M =∠==∴在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N 的间隔最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-的取值范围为: 3[,0]4-.【点睛】此题考察了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．【答案】〔1〕8a =，sin 8C =〔2〕16【解析】【分析】〔1〕由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC 的值;〔2〕直接展开求值.【详解】〔1〕△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin C =〔2〕)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【点睛】此题主要考察三角变换及正弦定理、余弦定理等根底知识,考察根本运算求解才能.18.某老师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[50，60) 3[60，70) m[70，80) 13 n[80，90) p q[90，100] 9总计t 1(1)求表中t，q及图中a的值；(2)该老师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进展谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】〔1〕t=50，q=0.4，a=0.026 〔2〕详见解析【解析】【分析】〔1〕利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出；〔2〕由表格可知：区间[50，60〕中有3人，区间[60，70〕中有5人．由题意可得：X ＝0，1，2，3．那么P 〔X ＝k 〕33538k k -=，即可得出随机变量X 的分布列和数学期望．【详解】解：(1)由表格可知，全班总人数t ＝＝50，那么m ＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a ＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p ＝50，即p ＝20，所以q ＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝k )＝，所以P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【点睛】本小题主要考察频率分布直方图的性质、超几何分布列及其数学期望，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，12AA a =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．〔1〕求证：CD ⊥平面1AB ；〔2〕在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．【答案】〔1〕见解析;〔2〕3π. 【解析】试题分析: 〔1〕因为面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,由面面垂直的性质定理可得:AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥,由1AC A C =，D 为1AA 中点，根据等腰三角形三线合一可得1CD AA ⊥,结合线面垂直的断定定理可得CD ⊥面11ABB A ;(2)建立空间直角坐标系,由1BE BB λ=，可得E 点坐标为()()1,,a a a λλ-,求出面11A C A 的一个法向量为1n 和面11EA C 的一个法向量为2n ,根据二面角11E AC A --的大小为3π,构造方程组,解出λ可得E 点坐标.试题解析:〔1〕证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥, ∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥；又1AC A C =，D 为1AA 中点，那么1CD AA ⊥. ∴CD ⊥面11ABB A . 〔2〕如下图以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -，设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-，所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，那么有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么1212•cos3n n n n π==()212111λ=+-，得31λ=-.所以，当1313BEBB =-时，二面角11E AC A --的大小为3π. 20.A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.【答案】(1) 2214x y += (2) 3.2 【解析】【分析】〔1〕设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；〔2〕设出P 点坐标，根据斜率存在与否进展分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：〔1〕设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12xx =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.〔2〕设()11,P x y ，那么10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OP y k x =因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫-⎪⎝⎭，OP ∴=OQ == 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数，当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】此题考察了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.22()2(1)x f x axe x -=--，a R ∈.〔1〕当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间〔2〕函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =-()210a =-<，∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内.不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈，要证122x x +>，即证122x x >-，()f x 在()0,1上是增函数，故()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<. 由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦，令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，得()g x 在()1,2上单调递减，∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<，∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证解析：〔1〕当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e-=--，令()'0f x =，得1x =或者2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减；当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增；当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减；所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. 〔2〕证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<，∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈，要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数，所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦，令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，那么()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>〔l 〕设t为参数，假设12y =-，求直线l 的参数方程；〔2〕直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，务实数a 的值.【答案】〔1〕212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由12y t =-+，代入上式得x =，得到直线的参数方程；〔2〕根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】〔1〕直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=，因为t为参数，假设12y t =-+，代入上式得x =，所以直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.〔*〕那么)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 那么1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-，由题设得212124t t t t -=. 那么有()212128t t t t +=，得1a =或者3a =-.因为0a >，所以1a =【点睛】此题主要考察了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.23.选修4-5：不等式选讲函数()23f x x x =-++.〔1〕求不等式()15f x ≤的解集；〔2〕假设2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕[8,7]-〔2〕(,5]-∞【解析】试题分析：〔1〕由，根据解析式中绝对值的零点〔即绝对值等于零时x 的值〕，将函数的定义域分成假设干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；〔2〕由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，那么问题再转化为()min a g x ≤，由〔1〕可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试题解析：〔1〕因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.〔2〕〔方法一〕由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.〔方法二〕设()2g x x a =-+，那么()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高三数学一诊模拟考试试题理

四川省南充市2024届高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)试题(含答案)

2024届绵阳市南山中学高三数学(理)上学期一诊考试卷附答案详析

2024届重庆一诊数学试题+答案

四川省遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷(Word版含答案)

2024届绵阳中学高三数学(理)上学期一诊模拟卷(五)附答案解析

2023届绵阳市高三数学(理)上学期11月一诊考试卷附答案解析

高三数学一诊考试试题理含解析试题

2025届湖南省怀化三中高三一诊考试数学试卷含解析

四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题

2025届四川省内江市高中高三一诊考试数学试卷含解析

四川省绵阳市三台中学校2023届高三一诊模拟考试数学(理)试题(四)(含解析)

高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题

广东汕头市2025届高三一诊考试数学试卷含解析

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

高三数学上学期一诊模拟试题 理含解析 试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

高三数学一诊模拟考试试题 理含解析 试题

高三数学一诊模拟试题 理含解析 试题

高三数学上学期一诊模拟试题理含解析试题

高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题

高三数学一诊模拟试题理含解析试题