附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
转动惯量理论力学
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影。 由矢量投影定理得
OB x cos y cos z cos
因 ( OA )2 x2 y2 z2 ，故
L α B rL A
O
β
y
J x mrx2 m( y2 z2 )
J y mry2 m(z2 x2) J z mrz2 m(x2 y2)
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
O
z
rz
y
x
x y
图1
在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2 。
转动惯量
§1 转动惯量的概念
2.回转半径
刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一 个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式
z
Jz , m
J z mz2
可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变 这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转 半径。
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
dm
m πr2
2πd
2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
(dm)
2
2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
常见刚体的转动惯量
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编
惯性矩总结(含常用惯性矩公式)
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。
惯性矩的国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
转动惯量详细资料大全
转动惯量详细资料大全转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI 单位为kg·m2。
对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
基本介绍•中文名：转动惯量•外文名：Moment of Inertia•表达式：I=mr2•套用学科：物理学•适用领域范围：刚体动力学•适用领域范围：土木工程基本含义,质量转动惯量,面积转动惯量,相关定理,平行轴定理,垂直轴定理,动力学公式,张量定义,实验测定,实验原理,实验内容,计算公式,对于细杆,对于圆柱体,对于细圆环,对于薄圆盘,对于空心圆柱,对于球壳,对于实心球体,对于立方体,对于长方体,基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的 ... 来进行测定，因而实验 ... 就显得十分重要。
转动惯量套用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
附录(惯性矩、静矩)
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
附录II-简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
附录II-简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩物体简图质心位置转动惯量与惯性矩细直杆C为杆的中点=xJ2121mlJy=2121mlJz=任意三角板AC为中线AB的2/32181mhJ x=)(18122abbamJ y-+=)(181222abhbamJ z-++=)2(361bamhJxy-=直角三角板AC为中线AB的2/32181mhJ x=2181maJ y=)(18122hamJ z+=mahJ xy361-=矩形板C为对角线的中点2121mbJ x=2121maJ y=)(12122bamJ z+=zlxCyABCxyzabhABCxyzahC xyzab圆板C 为圆心241mr J x =241mr J y =221mr J z =半圆板π34ry C =)649(361222-=ππmr J x 241mr J y =)329(181222-=ππmr J z 四分之一圆板π34rx C = π34r y C = )649(361222-=ππmr J x )649(361222-=ππmr J y )649(181222-=ππmr J z )329(181222-=ππmr J xy 椭圆板C 为椭圆中心241mb J x =241ma J y =)(4122b a m J z +=C xy zrC xy zry C O y C rC xy zO x C bC xy za长方体C 为对角线交点)(12122c b m J x +=)(12122a c m J y +=)(12122b a m J z +=圆柱体C 为上、下底圆的圆心连线的中点)3(12122h r m J x +=)3(12122h r m J y +=221mr J z =中空圆柱体C 为上、下底圆的圆心连线的中点)33(121222h r R m J x ++=)33(121222h r R m J y ++=)(2122r R m J z +=细圆环 (a r >>)C 为圆环中心线的圆心221mr J x = 221mr J y =2mr J z =z rC yxh bCyzxac R z r C yxh az yxrC粗圆环(R > r) C为圆环中心线的圆心)45(2122rRmJx+=)45(2122rRmJy+=)43(22rRmJz+=圆锥体hzC41=)4(80322hrmJx+=)4(80322hrmJy+=2103mrJz=球形体C为球心252mrJx=252mrJy=252mrJz=椭球体C为椭球心)(5122cbmJx+=)(5122acmJy+=)(5122bamJz+=rzyx RCzCyrzxChCyzxryCbzxac半圆柱体π34r x C =)3(12122h r m J x +=2222121)649(361mh mr J y +-=ππ)329(181222-=ππmr J z 半圆锥体πrx C =4h z C =)4(80322h r m J x +=222803)1803(mh mr J y +-=π22)1803(mr J y π-=mrh J xz π201-=半球体r z C 83=232083mr J x =232083mr J y =252mr J z =半球形壳r z C 21=2125mr J x =2125mr J y =232mr J z =z rC yxh x C h /2 z rCy xhz Cx CC yz xr z C z C C yzxr四分之一椭圆板π34axC=π34byC=222)36649(mbJxππ-=222)36649(maJyππ-=)()36649(2222bamJz+-=ππmabJxy)18649(22ππ-=扇形板2sin34ααrxC=（α的单位为弧度）2)sin(41mrJxααα-=22)cos1(984sinmrJy⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=ααααα22)cos1(9821mrJz⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=αα（α的单位为弧度）b CxyxCayCO C xyxCr2α2αzlxC y 细直杆ABC x y z ab任意三角板A B Cxy za h直角三角板C xyza b矩形板圆板Cxyzr半圆板Cxy zry CO 四分之一圆板C rCxyz O x C 椭圆板bCxyza圆柱体z rCyxh 长方体bCy zxac 中空圆柱体Rz rCyxh 细圆环az y xrC粗圆环rz yxRC 圆锥体z C yrzxCh球形体Cyzxr椭球体yCbzxa c半圆柱体z r Cyxhx C h /2 半圆锥体zrC y xhz C x C 半球体C yz xrz C 半球形壳z C C yz xr四分之一椭圆板b Cxyx Cay C扇形板OC xyx C r2α 2α。
理论力学 哈尔滨工业大学 第12章
对 z 轴的动量矩 Mz (m ) 等于 [m ]xy 对点O的矩。 v v 对点 的矩。 的矩
Mz (m ) v 是代数量，从 是代数量，
z 轴正向看，逆时针为正，顺 轴正向看，逆时针为正，
时针为负。 时针为负。
[MO(m )]z = Mz (m ) v v
单位： 单位：kg·m2/s 2．质点系的动量矩 ． 对点的动量矩
O
d [Jω+m ] = M −m sinθ ⋅ R vR g dt
(e MO ) =a ， 得 dt R
M −m 2 sinθ R gR a= 2 J +m R
水轮机转轮， 例12-2 水轮机转轮，进口水速度 求水流对转轮的转动力矩。 求水流对转轮的转动力矩。
v ×m = 0 v
因此
d MO(m ) = MO(F) v dt
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式： d Mx (m ) = Mx (F) v dt d My (m ) = My (F) v dt
解：J1α1 = M1 − F′R J2α2 = F R2 −M2 t t 1
α1 R = i12 = 2 ，得 因 F′ = F ， t t α2 R 1
M2 M− 1 i12 α1 = J J1 + 22 i12
R 2 , M , M2 1 R 1
，求： 1 。 α
§12-4 刚体对轴的转动惯量
kgm简单形状物体的转动惯量计算1均质细直杆对一端的转动惯量1均质细直杆对一端的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3
13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)解析
许多常见简单的均质物体的转动惯量 可在工程手册中查到，书中列出了几种 常见的简单形状的均质物体的转动惯量。
二、平行轴定理
1、问题的提出 例如均质圆盘，对于 通过质心轴C的转动 惯量JC已知，但圆盘并不是绕C点转动，而是 绕O点转动。
2. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并 与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平 方的乘积，即 2
出现大小相等、符号相反项，故 J xz mi xi zi 0。
同理， J xy 0
。所以z轴必是主轴之一。
dA
y1
图13-10
应当注意，主轴是对某一点而言的，对于不同的点，主轴 的方位一般是不同的。但是，不论在哪一点，总能找到三 个相互垂直的主轴。 通过刚体质心的主轴称为中心惯性主轴。 通常，求惯性主轴的计算较繁。 但是，如果刚体具有对称面或对称轴，则决定主轴的 问题大为简化。设刚体具有一对称面，则垂直于对称 面的轴即为该轴与对称面交点的主轴之一。 因为，如以对称面为xy面，z轴垂直于对称面，根 据对称面的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在(xi、 yi、—zi)处必有一相同质点与之对应。
起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心
部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
例 均质圆盘与均质杆组成的复摆如图 ，已
知：圆盘质量为m1，半径r，杆质量m2，长L，试 求复摆对悬挂轴O的转动惯量。 解： J o J o杆 J o盘
l J o杆 J c1 m 2 2 1 1 1 2 2 m 2l m 2l m 2l 2 12 4 3
称刚体对x、y轴的惯性积 称刚体对x、z轴的惯性积 称刚体对y、z轴的惯性积
理论力学第12章-动量矩定理
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
材料力学(附录)
2I xy Ix I y
0
x1
x
012tan1(I2xIxIyy )
0
0
2
与 0 对应的旋转轴为x0 、y0 轴，
平面图形对x0 、y0轴惯性矩 I x0 、 I y0 为
y
IIm mianxIx2Iy (Ix2Iy)2Ix2y
y0
x0
0
x
平面图形对x0 、y0 轴的惯性积 I x 0 y 0 为
单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
Iy
Iy
i
I y1
Iy2
1020 3 I y1 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40 15 12
3
1.13104(cm4)
x
Iy Iy1Iy2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
360 40
40
20 180
2.592108(mm4)
t
an20
2I xy Ix I y
52.7(521.15.8932)21.3226
2052.9 , 0 26.45
yo 180 y
I max I min
IxIy 2
(Ix 2Iy)2Ix2y
360 40
§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩：
定义： I x y 2 dA
A
I y x 2dA
y
A
Ix、Iy称为图形对x轴、y轴
理论力学课件—动量矩和转动惯量
HO hO , mO (Fi i ) 0,则
dH O dt
mO (Fie )
一质点系的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
dH x dt
e
mx (Fi ),
dH y dt
动的速度多大？（轮重不计）
解： mO (F e ) 0 , 系统的动量矩守恒。
0mAvArmB (vvA)r
vA
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,
均为 v 。 2
25
三．刚体定轴转动微分方程
对于定轴转动刚体 H z J z
代入质点系动量矩定理：dH z dt
mz (Fi e )
J z
(1)在质点受有心力的作用时。 (2)质点绕某点（轴）转动的问题。
19
二．质点系的动量矩定理
对质点Mi
：
d dt
对质点系，有
hOi mO (
d
dt
hOi
Fi
i ) mO (Fie ) mO (Fii ) mO
(
(i Fe
i
)
1,2,3,, n) (i 1,2,3,
,
n)
左边交换求和与导数运算的顺序，
'
Jz
m( l )2 2
1 ml2 12
1 ml2 4
1 ml2 3
12
[例9]图示复摆，已知 均质细杆：m，L；有 孔圆盘：M，R，r，求 摆对过O点且垂直于图 面的轴的转动惯量。
解： JO J杆 J盘 J孔
J杆
1 mL2 3
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
y
1．先求截面的 形心轴
A2
取参考坐标系如图，则：
A1
zc
yc
60100 50 60 100
202 202
70
44.7mm
yc z 2．求截面对形心轴的惯性矩：
I yc
Iy
100 603 12
404 64
1.67 106 mm4
I zc
I A1 zc
zC
Sy A
2h 5
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
4．组合平面图形的形心与静矩
由
Sz Sy
yC zC
• •
A A
可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距
离大小。
当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图
形，其静矩和形心坐标分别为
S z
n
Szi
i 1
n
Ai yCi
i 1
S
y
n
I
x
I 2
y
)2
I
2 xy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
tg
2
0
2I xC yC I xC I yC
形心主惯性矩：
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
iy 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
材料力学(I)附录
ρ
O
y
πD 4
64
πD 4 64 D i y = iz = = 2 4 πD 4
D
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
组合图形的惯性矩： 组合图形的惯性矩：
I y = ∑ I yi
i =1 n
I z = ∑ I zi
i =1
n
空心圆截面： 空心圆截面：
I y = Iz =
d (α = ) D
π D4 − d 4
2 = ∫A ( y1 + 2by1 + b 2 )dA
y
∵ zc 为形心轴， S zc = Ayc = 0 为形心轴，
= I zc + 2bS zc + b 2 A
= Izc + b2 A
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
z
b
y zc
Iz = Izc + b2 A
y1
dA • C
同理： I y = I yc + a A
一、静矩 轴的静矩： 对 y 轴的静矩：
S y = ∫ z dA
A
z
y
dA
轴的静矩： 对 z 轴的静矩：
S z = ∫ y dA
A
z
O
大小： 大小：正，负，0。 。
y
量纲： 长度] 量纲：[长度]3
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、截面图形的形心
z
yc
几何形心= 几何形心=等厚均质薄片重心
∫ y dA
• C ( yc , z c )
C1
80
10
A1 y1 + A2 y2 yc = A1 + A2
常见均质刚体转动惯量的研究
常见均质刚体转动惯量的研究胡辰（陕西理工学院物理与电信工程学院物理学104班，陕西 汉中 72300）指导老师：王亚辉[摘要]本文通过对常见均质刚体转动惯量的研究，利用刚体在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。
通过对该模型转动惯量参量的变换，可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。
这将方便了我们对转动惯量的计算和使用。
[关键词]均质刚体；转动惯量；模型引言转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
其量值取决于刚体的形状、质量分布及转轴的位置。
对于转动惯量国内外主要集中于对其计算方法上的研究。
文献中，对于转动惯量的计算主要有一下几种方法：积分法、质量投影法[1]、垂直轴定理、平行轴定理、组合法[2]、标度变换法[3]、量纲分析法[4]等。
本文在刚体质量、转轴相同情况下，从形状入手。
首先对常见均质刚体转动惯量进行计算与分析，利用不同刚体间在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。
通过对该模型转动惯量参量的变换，便可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。
这将使在使用过程中，我们只需要记住几个刚体模型转动惯量的表达式，就可以在应用中很方便地推出其它相关刚体的转动惯量，减小了工作量，使转动惯量使用更加容易和方便。
1 转动惯量概念的导出及其物理意义若各质点绕共同的Z 轴作圆周运动，质点系对Z 轴角动量写作 i i i z v m r L ∑= （1.1）将该式用于刚体，则刚体对轴角动量为t v m L i i z ∑=，因i z i r t v ω=，故有 ()ziiz r m L ω∑=2等式右方括号内为各质元质量与其到转轴垂直距离平方成积之和，∑2ii rm 叫作刚体对它转动轴z 的转动惯量，用z I 表示[5]⎰∑==dm r r m I i i z 22（1.2）转动惯量的单位是：2m kg ⋅ ，量纲为2ML转动惯量的物理意义可从刚体对转动轴角动量与平动动量的对比中得出，转动惯量相当于惯性质量m ，转动角速度对应于平动速度v ，诸如此类的对应关系还有，如：转动动能22ωI E k =对应于平动动能22νm E k =，动量守恒定律∑=c mv （常量）对应于∑=c I ω（常量）[6]，定轴转动定理αI M =对应于牛顿第二定律ma F =[7]。
材料力学附录I
tg 2α 0 =−
2 I xCyC I xC − I yC
⎧ I x −I y 2 2 ⎪ I x0 I x + I y ± ( ) + I xy 主惯性矩： ⎨ = 2 2 ⎪ ⎩ I y0
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之 惯性矩，称为形心主惯性矩
2 A
y r z
dA
y
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I yz = ∫ yzdA
A
如果 y 或 z 是对称轴，则Iyz =0
附录 I.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
z y a r b
以形心为原点，建立与原坐标轴
zC dA C z y
平行的坐标轴如图 ⎧ y = yC + a ⎨ z = zC + b yC ⎩ 2
dA y1 x1 x
α
I x + I y ⎛ I x −I y ⎞ ⎟ +⎜ − I x1 = cos 2 α I sin 2 α xy ⎟ 2 ⎜ 2 ⎝ ⎠
I x + I y ⎛ I x −I y ⎞ −⎜ I y1 = cos2α −I xy sin2α ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ I x −I y ⎞ I x1 y1 =⎜ ⎜ 2 sin2α + I xy cos2α ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
dS z = dA ⋅ y
y z y dA
S y = ∫ dS y = ∫ zdA
A A
S z = ∫ dS z = ∫ ydA
A A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
yd m ∫ m y=
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
转动惯量知识讲解
正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
z
J z Jx Jy
y
o
例如：薄盘绕直径的转动
惯量
Jz
Jx
Jy
1 2
mR2
x
Jx
Jy
1 4
mR2
组合定理
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转
动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。
即
z
J Ji
m1 l
例如：有质量为 m1 ,长 为 l 的均质细杆和质
量为m2 ，半径为R 的
Jo mR2
（2）圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m 、半径为 R 、厚为 l 的均匀圆盘
取半径为 r 宽为 dr的薄圆环，则有
Z
dm 2 rdr l
dJ r2dm 2lr3dr
O r dr
lR
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
0
2
由于
m
R2l
则有 J 1 mR2 2
Nx 0
Ny
5 2
mg
mg
例5.3.2 粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘
一半径为R 的匀质圆盘，以初角速度0在摩擦系 数为 的水平桌面上,绕光滑质心轴转动。若转动过
程中盘面与桌面始终紧密接触，求：
1）从开始到停止所经历 的时间；
2）圆盘转动几圈后停止。
m oR
解： （1）以圆盘为研究对象，将圆盘分割
节始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直
线称作转轴。 Z
只有一个转动自由度。
各质元的线速度、加速
度一般不同，但角量（角 位移、角速度、角加速度） 都相同。
P X
Q
X
描述刚体整体的运动用角量最方便。
大学物理刚体部分知识点总结
一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
•刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
•刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
•角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。
角速度也可以用矢量表示，。
•角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示，。
•绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
•传动比。
二．转动定律转动惯量转动定律力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同与牛顿定律比较：转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。
定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量； (2)质量分布； (3)转轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关几种典型的匀质刚体的转动惯量刚体转轴位置转动惯量J平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。
三 角动量 角动量守恒定律2c I I md =+1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念一质量为m 的质点，以速度v运动，相对于坐标原点O 的位置矢量为r，定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即v m r P r L⨯=⨯=角动量是矢量，大小为 L=rmv sin α式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
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附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
物体简图质心位置转动惯量与惯性矩
细直杆z
l
x
C
y
C为杆的中
点
任意三角板A
B
C
x
y
z
a
b
h
AC为中线
AB的2/3
直角三角板A
B
C
x
y
z
a
h
AC为中线
AB的2/3
矩形板C
x
y
z
a
b
C为对角线
的中点
物体 C
x
质心位置转动惯量与惯性矩
圆板C为圆心
半圆板C x y z r yC O
四分之一圆板yC r C x y z O xC
椭圆板b
C
x
y
z
a
C为椭圆中
心
物体简图质心位置转动惯量与惯性矩
圆柱体z
r
C
y
x
h
C为上、下
底圆的圆
心连线的
中点
中空圆柱
体R
z
r
C
y
x
h
C为上、下
底圆的圆
心连线的
中点
细圆环() a
z
y
x
r
C
C为圆环中
心线的圆
心
物体简图质心位置转动惯量与惯性矩
粗圆环(R > r) r
z
y
x
R
C
C为圆环中心
线的圆心
圆锥体zC y r
球形体C
y
z
x
r
C为球心
椭球体y
C
b
z
x
a
c
C为椭球心
物体简图质心位置转动惯量与惯性矩
半圆柱体z r C y x h xC h/2
半圆锥体z r C y x h zC xC
半球
形壳
zC
C
y
z
x
r
物体简图质心位置转动惯量与惯性矩
四分
之一
椭圆
板
b
C
x
y
xC
a
yC
扇形
板
O
C
x
y
xC
r
（的单位为
弧度）
（的
单位为弧度）
任意三角板
细直杆
直角三角板
矩形板a
r
O
xC
c
h
C
h
h
C
c
r
h/2 xC
r
zC
yC。