高中数学定积分教案
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
一、课程概述
本课程是人教版高中选修2数学课程中的第21.5章，主要介绍定积分的概念及相关性质。
二、教学目标
1.掌握定积分的概念及其物理意义。
2.掌握定积分的基本性质及计算方法。
3.理解定积分与求导函数之间的关系。
4.能够应用定积分解决实际问题。
三、教学内容
1. 定积分的概念
•定积分的引入
•定积分的定义
•定积分的几何意义
•定积分的物理意义
2. 定积分的基本性质
•定积分的线性性质
•定积分的区间可加性
•定积分的估值定理
•定积分的中值定理
3. 定积分的计算方法
•利用定积分计算面积和体积
1。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
《定积分》教案
1.5.2《定积分》教案教学目标（1）定积分的定义（2）利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤 （3）定积分的几何意义（4）会用定积分表示阴影部分的面积 教学重点难点定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。
教学过程一、创设情景复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 情境导入：1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。
由此我们可以给定积分的定义。
二、数学建构1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分为n 个小区间，每个小区间的长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间上取一点，依次为123,,,n x x x x 。
作和12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =⋅∆+⋅∆++⋅∆++⋅∆，如果x ∆无限趋近于0（亦即n 趋向于)+∞时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为()baS f x dx =⎰其中，()f x 为被积函数，[,]a b 称为积分函数，a 称为积分下限，b 称为积分上限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，不是n S（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰【举例说明】1、由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x 轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.（321(1)x dx +⎰）2、22sin 3tdt -⎰中，积分上限是___,，积分下限是___，积分区间是______。
定积分应用 教案
定积分应用教案教案标题：定积分应用教学目标：1. 了解定积分的概念和基本性质。
2. 掌握定积分的应用方法，包括计算曲线下面积、计算物体体积等。
3. 培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学实例、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）1. 教师通过课件或者黑板，简要介绍定积分的概念和基本性质，如曲线下面积的计算、物体体积的计算等。
2. 引导学生思考，定积分与不定积分的区别和联系。
Step 2：计算曲线下面积（20分钟）1. 教师通过示例，详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积。
2. 引导学生理解定积分的几何意义，即曲线下面积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同曲线下面积的例子，巩固所学知识。
Step 3：计算物体体积（20分钟）1. 教师通过实例，讲解如何利用定积分计算物体的体积。
2. 引导学生理解定积分的物理意义，即物体体积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同物体体积的例子，巩固所学知识。
Step 4：应用实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如水池的蓄水量、材料的质量等，引导学生运用定积分解决问题。
2. 学生分组讨论，解决给定的实际问题，并展示解决过程和结果。
Step 5：总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调定积分的应用方法和意义。
2. 鼓励学生拓展思考，提出更多与定积分相关的实际问题，并探索解决方法。
教学要点：1. 定积分的概念和基本性质。
2. 计算曲线下面积的方法和几何意义。
3. 计算物体体积的方法和物理意义。
4. 运用定积分解决实际问题的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习，深入了解定积分的更多应用领域，如概率统计、经济学等。
2. 提供更多实际问题，让学生运用定积分解决，培养他们的应用能力。
3. 引导学生进行小研究，探索定积分的相关定理和性质，拓展他们的数学思维。
高等数学教案定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念;2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法;3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式;4、了解广义积分的概念并会计算广义积分;教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法;3、牛顿—莱布尼茨公式;教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法;4、变上限函数的导数;§5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数yfx在区间a b上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf x所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b 中任意插入若干个分点ax 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 x i 1 x i 上任取一点i 以x i 1 x i 为底、f i 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形i 1 2 n 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即A f 1x 1 f 2x 2 f n x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数 且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1 T 2分成n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点i 的速度v i 物体在时间间隔t i 内 运动的距离近似为S i v i t i 把物体在每一小的时间间隔t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2把T 1 T 2分成n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n 1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n在时间间隔t i 1 t i 上任取一个时刻 i t i 1 i t i 以 i 时刻的速度v i 来代替t i 1 t i 上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即S i v i t i i 1 2 n于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ求精确值记 max{t 1 t 2 t n } 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ 设函数yfx 在区间a b 上非负、连续 求直线xa 、xb 、y 0及曲线yf x 所围成的曲边梯形的面积1用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n 记x i x i x i 1 i 1 2 n2任取i x i 1 x i 以x i 1 x i 为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ i 1 2 n 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ 3记max{x 1 x 2 x n } 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S1用分点T 1t 0t 1t 2 t n 1t n T 2把时间间隔T 1 T 2分成n 个小时间段 t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n 记t i t i t i 1 i 1 2 n2任取i t i 1 t i 在时间段t i 1 t i 内物体所经过的路程可近似为v i t ii 1 2 n 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 3记max{t 1 t 2 t n } 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义定义 设函数fx 在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n各小段区间的长依次为x 1x 1x 0 x 2x 2x 1 x n x n x n 1在每个小区间x i 1 x i 上任取一个点 i x i 1 i x i 作函数值f i 与小区间长度x i 的乘积f i x i i 1 2 n 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记 max{x 1 x 2 x n } 如果不论对a b 怎样分法 也不论在小区间x i 1 x i 上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f x 在区间a b 上的定积分 记作⎰b a dx x f )(即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ其中f x 叫做被积函数 f xdx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间定义 设函数fx 在a b 上有界 用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把a b 分成n 个小区间 x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n 记x i x i x i 1i 1 2 n任 i x i 1 x i i 1 2 n 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ记max{x 1 x 2 x n } 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b 的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数fx 在区间a b 上的定积分 记作⎰ba dx x f )(即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ根据定积分的定义 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰= 说明1定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(2和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f x 的积分和3如果函数f x 在a b 上的定积分存在 我们就说f x 在区间a b 上可积函数fx 在a b 上满足什么条件时 f x 在a b 上可积呢定理1 设f x 在区间a b 上连续 则f x 在a b 上可积定理2 设f x 在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在a b 上可积定积分的几何意义在区间a b 上 当fx 0时 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线yf x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积 当fx 0时 由曲线y f x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ当f x 既取得正值又取得负值时 函数fx 的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x 轴上方的图形面积赋以正号 在x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为 它是介于x 轴、函数fx 的图形及两条直线xa 、xb 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰解 把区间0 1分成n 等份分点为和小区间长度为n i x i =i 1 2 n 1 n x i 1=∆i 1 2 n 取n i i =ξi 1 2 n 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++= 因为n1=λ 当0时 n 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ 利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x解: 函数y 1x 在区间0 1上的定积分是以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x三、定积分的性质两点规定1当ab 时 0)(=⎰b a dx x f2当ab 时⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()( 性质1 函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差 即⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立 例如 当a <b <c 时 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()( 性质4 如果在区间a b 上f x 1 则a b dx dx ba b a -==⎰⎰1 性质5 如果在区间ab 上 f x 0 则⎰≥ba dx x f 0)(ab 推论1 如果在区间ab 上 f x gx 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(ab 这是因为g xf x 0 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()( 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|ab这是因为|f x | f x |f x |所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(||性质6 设M 及m 分别是函数fx 在区间ab 上的最大值及最小值 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(ab证明 因为 m f x M 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(性质7 定积分中值定理 如果函数fx 在闭区间ab 上连续 则在积分区间ab 上至少存在一个点 使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以ba 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1 再由连续函数的介值定理 在ab 上至少存在一点 使⎰-=b a dx x f a b f )(1)(ξ于是两端乘以ba 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 积分中值公式的几何解释应注意 不论a <b 还是a >b 积分中值公式都成立§5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在t 时刻所经过的路程为St 速度为vvtStvt 0 则在时间间隔T 1 T 2内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰上式表明 速度函数vt 在区间T 1 T 2上的定积分等于vt 的原函数St 在区间T 1 T 2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢二、积分上限函数及其导数设函数fx 在区间a b 上连续 并且设x 为a b 上的一点我们把函数fx 在部分区间a x 上的定积分dx x f xa )(⎰ 称为积分上限的函数 它是区间ab 上的函数 记为x dx x f x a )(⎰= 或x dt t f xa )(⎰定理1 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f x a )(⎰=在a b 上具有导数 并且它的导数为x )()(x f dt t f dx d x a ==⎰ax <b 简要证明 若xa b 取x 使xxa bxxx dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理 有f x其中在x 与xx 之间 x 0时 x 于是x )()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ 若xa 取x >0 则同理可证x fa 若xb 取x <0 则同理可证x fb定理2 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f xa )(⎰=就是f x 在a b 上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式这是因为Fx 和x dt t f x a )(⎰都是fx 的原函数所以存在常数C 使FxxC C 为某一常数由FaaC 及a 0 得CFa FxxFa由FbbFa 得bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 证明 已知函数Fx 是连续函数fx 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数x dt t f x a )(⎰也是fx 的一个原函数 于是有一常数C 使FxxC axb当xa 时 有FaaC 而a 0 所以CFa 当xb 时 FbbFa所以bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰为了方便起见 可把FbFa 记成b a x F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰ 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1. 计算⎰102dx x解 由于331x 是2x 的一个原函数 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例2 计算2311x dx +⎰- 解 由于arctan x 是211x +的一个原函数 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--= 例3. 计算⎰--121dx x解 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2 例4. 计算正弦曲线y sin x 在0 上与x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰112例5. 汽车以每小时36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a 5m/s 2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时 汽车速度v 036km/h 3600100036⨯=m/s 10m/s 刹车后t 时刻汽车的速度为vtv 0at 105t当汽车停止时 速度vt 0 从vt 105t 0得 t 2s于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t m 即在刹车后 汽车需走过10m 才能停住例6. 设fx 在0, 内连续且fx >0 证明函数⎰⎰=x xdt t f dt t tf x F 00)()()( 在0 内为单调增加函数证明 )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰ )()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x xdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f按假设 当0tx 时f t >0 xtf t 0 所以0)(0>⎰dt t f x 0)()(0>-⎰dt t f t x x从而F x >0 x >0 这就证明了F x 在0 内为单调增加函数例7. 求21cos 02lim x dte x t x ⎰-→解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则e x xe x dte x dt e x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰ 提示 设⎰-=Φx t dt e x 12)( 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cosx u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰§5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数fx 在区间a b 上连续 函数xt 满足条件1a b2t 在 或 上具有连续导数 且其值域不越出a b则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知 fx 在区间a b 上是连续 因而是可积的 f tt 在区间 或 上也是连续的 因而是可积的假设Fx 是f x 的一个原函数 则 dx x f ba )(⎰FbFa另一方面 因为{Ft }F tt f tt 所以Ft 是f tt 的一个原函数 从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰ F F FbFa因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 计算⎰-a dx x a 022a >0解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cos πtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+= 提示 t a t a a x a cos sin 22222=-=- dxa cos t 当x 0时t 0 当xa 时2π=t 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π解 令t cos x 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令 提示 当x 0时t 1 当2π=x 时t 0 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x ⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd 54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x 提示 |cos |sin )sin 1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上|cos x |cos x 在] ,2[ππ上|cos x |cos x 例4 计算dx x x ⎰++40122 解 ⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令 322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t 提示 212-=t x dxtdt 当x 0时t 1 当x 4时t 3 例5 证明 若f x 在a a 上连续且为偶函数 则 ⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00⎰⎰⎰+=--而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令 所以 ⎰⎰⎰+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([讨论若fx 在a a 上连续且为奇函数 问=⎰-aa dx x f )( 提示 若f x 为奇函数 则f xf x 0 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f例6 若f x 在0 1上连续 证明 1⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf证明 1令t x -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f2令xt 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dx x f解 设x 2t 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t提示 设x 2t 则dxdt 当x 1时t 1 当x 4时t 2 二、分部积分法设函数ux 、vx 在区间a b 上具有连续导数ux 、vx 由 uvuv u v 得u vu vuv 式两端在区间a b 上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][ 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][ 这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba 例1 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π 例2 计算⎰10dx e x 解 令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e 例3 设⎰=20sin πxdx I n n 证明1当n 为正偶数时 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n2当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n nn 1I n 2n 1I n 由此得02214342522232212Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m例3 设⎰=20sin πxdx I n n n 为正整数 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 0 1sin cos )1(]sin [cos ππxdx x n x x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n n 1I n 2n 1I n02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+特别地 2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m§5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1 设函数fx 在区间a 上连续 取b >a 如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间a 上的反常积分 记作dx x f a )(⎰+∞即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛如果上述极限不存在 函数fx 在无穷区间a 上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散类似地 设函数fx 在区间 b 上连续 如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→a <b 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间 b 上的反常积分 记作dx x f b)(⎰∞- 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-= 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛如果上述极限不存在 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散 设函数fx 在区间 上连续 如果反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数fx 在无穷区间 上的反常积分 记作dx x f )(⎰+∞∞- 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散 定义1 连续函数fx 在区间a 上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地 连续函数fx 在区间 b 上和在区间 上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=反常积分的计算 如果Fx 是fx 的原函数 则b a b bab ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→可采用如下简记形式)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰ 例1 计算反常积分dx x211+⎰+∞∞-解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt p 是常数 且p >0 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→ 提示 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te 例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞a >0的敛散性解 当p 1时dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x当p <1时dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p当p >1时1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa因此 当p >1时 此反常积分收敛 其值为11--p a p当p 1时 此反常积分发散二、无界函数的反常积分定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点a 的右邻域内无界 取>0 如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散类似地 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散 设函数fx 在区间ab 上除点ca <c <b 外连续 而在点c 的邻域内无界 如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=否则 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散瑕点 如果函数fx 在点a 的任一邻域内都无界 那么点a 称为函数fx 的瑕点 也称为无界 定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 点a 为fx 的瑕点 函数fx 在a b 上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地函数fx 在a bb 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f ta b t b a )(lim )(⎰⎰-→= 函数fx 在a cc b c 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f b t c t t a c t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+= 反常积分的计算如果Fx 为fx 的原函数 则有b t at b t a t b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax a t ++→→-=-= 可采用如下简记形式)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 类似地 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当a 为瑕点时)(lim )()]([)(x Fb F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 当b 为瑕点时)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当c acb 为瑕点时)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x b c c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰ 例4 计算反常积分⎰-a dx x a 0221 解 因为+∞=--→221lim x a a x 所以点a 为被积函数的瑕点a a a x dx x a 0 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性 解 函数21x在区间1 1上除x 0外连续 且∞=→201lim x x 由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100 1012x x dx xx 即反常积分⎰-0121dx x 发散 所以反常积分⎰-1121dx x发散 例6 讨论反常积分⎰-b aq a x dx )(的敛散性 解 当q 1时+∞=-=-=-⎰⎰b a b a b a q a x a x dx a x dx )][ln()( 当q 1时 +∞=--=--⎰b a q b a q a x qa x dx 1])(11[)( 当q 1时q b a q b a q a b q a x q a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)( 因此 当q <1时 此反常积分收敛 其值为q a b q ---1)(11 当q 1时 此反常积分发散。
高中数学教学定积分教案
高中数学教学定积分教案1. 理解定积分的概念；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念；2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分计算中的技巧问题；2. 定积分的应用问题。
教学内容：一、定积分的概念1. 定积分的定义；2. 定积分的性质。
二、定积分的计算方法1. 定积分的基本性质；2. 定积分的计算公式；3. 定积分的计算方法。
三、定积分的应用1. 定积分的几何意义；2. 定积分的物理意义；3. 定积分的应用举例。
教学过程：一、导入教师引入积分的概念，介绍定积分的定义及意义，激发学生对定积分的兴趣。
二、讲解1. 讲解定积分的性质和基本概念；2. 分步讲解定积分的计算方法，包括不定积分的转换和定积分的计算公式。
三、示范教师展示一些定积分的计算例题，让学生跟随计算步骤进行练习。
四、练习学生进行练习，巩固定积分的计算方法，提高解题能力。
五、应用教师介绍定积分在几何和物理问题中的应用，引导学生进行实际问题的解决。
六、总结对本节课的内容进行总结，强调定积分的重要性和应用价值。
七、作业布置相关的定积分作业，检验学生对定积分的掌握程度。
教学反思：本节课针对高中学生的实际情况，通过梳理定积分的基本概念、计算方法和应用，帮助学生理解和掌握定积分的内容，提高解题能力和问题应用能力。
应灵活运用多种教学方法，引导学生参与课堂互动，激发学生的学习兴趣，达到教学目标。
高中数学积分教案
高中数学积分教案
课题：定积分的概念与性质
一、教学目标
1. 掌握定积分的定义与几何意义；
2. 掌握定积分的性质；
3. 能够灵活运用定积分解决实际问题。
二、教学重点难点
1. 掌握定积分的定义和计算方法；
2. 理解定积分的性质，能够灵活应用；
3. 能够将实际问题转化为定积分计算。
三、教学过程
1. 引入（5分钟）
通过一个简单的例子引入，讲解積分的概念，并介绍定积分的定义。
2. 定积分的概念与性质（15分钟）
讲解定积分的概念，并阐述定积分的性质，如线性、恒等性、区间可加性等。
3. 定积分的计算与应用（30分钟）
讲解定积分的计算方法，包括基本积分公式、定积分的换元积分法、定积分的分部积分法等，并通过一些实际问题或数学模型进行应用实例。
4. 拓展练习（20分钟）
让学生在课堂上完成一些拓展练习题，巩固所学内容，并引导学生思考更深入的问题。
5. 总结（5分钟）
对本节课的内容进行简单总结，并展望下一节课的学习内容。
四、教学手段
1. 教师课件展示；
2. 学生课本参考；
3. 黑板、彩色粉笔。
五、教学评价
1. 课堂表现评价：根据学生在课堂上的参与度和表现给予评价；
2. 练习题评价：根据学生完成的练习题情况评价。
六、教学反思
通过本节课的教学，我发现学生在理解定积分的概念和性质方面普遍存在困难，需要更多的案例讲解和练习。
下一次教学我将增加更多的实际运用案例，同时加强与学生的互动，提高课堂教学效果。
定积分教案
定积分概念与性质一、教学目标分析1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.理解变上限定积分定义的函数。
二、学情/学习者特征分析本节主要给学生介绍有关定积分的概念与性质，因为之前学生对定积分有一定的涉及，故积极调动学生的探索与思维能力，使其充分掌握定积分的概念与性质，做到在以后的应运中轻松自如。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
2.本节主要内容1.定积分的概念。
2.定积分的性质及定积分中值定理。
3.重点难点分析教学重点：定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的有关知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解定积分的概念与性质。
五、教学策略在课堂中尽量避免死板的教学方法，使课堂气氛活跃化，通过实际问题的引人让学生了解定积分的概念，并通过举例讲解使其性质浮现再加以引导理解。
六、教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i ii x f A 10)(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆n i i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x . 三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有 ⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
定积分教案高中数学
定积分教案高中数学教学目标：1. 了解定积分的概念和性质；2. 熟练掌握定积分的计算方法；3. 应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 理解定积分的定义和性质；2. 掌握不定积分与定积分的关系；3. 熟练运用定积分计算函数的面积。
教学难点：1. 熟练灵活运用定积分的计算方法；2. 解决实际问题时灵活运用定积分。
教学准备：1. 教师备课教案；2. 教学教材；3. 教学投影仪。
教学过程：一、导入教师通过举例引入定积分的概念，让学生了解在数轴上通过函数曲线与坐标轴围成的区域与曲线下的面积之间的关系。
二、讲解1. 定积分的定义与性质：引入定积分的概念，解释定积分的定义及其性质，包括面积有界、积分上限和下限、积分线性性质等。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的计算方法，包括分部积分法、换元法、分式分解法等。
3. 定积分与不定积分的关系：讲解定积分与不定积分的关系，引导学生从不定积分角度理解定积分。
4. 定积分的实际应用：通过实例讲解定积分在求曲线下的面积、求旋转体体积等实际问题中的应用。
三、练习教师布置练习题，让学生巩固定积分的计算方法，并引导学生探究解决实际问题时如何运用定积分。
四、总结教师总结本节课所学内容，强调定积分的重要性和应用价值，激发学生对数学的兴趣和求知欲。
五、作业布置相关作业，让学生巩固定积分的基本概念和计算方法，提高解决实际问题的能力。
六、拓展引导学生查阅相关资料，了解定积分在物理、经济学等领域的应用，拓展对定积分的认识和理解。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握定积分的基本概念和计算方法，能够灵活运用定积分解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重培养学生的思维能力和实际应用能力，引导学生主动探究定积分的意义和应用，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教学内容：定积分概念教学教学目标：1.了解定积分的定义与概念；2.理解定积分的几何意义；3.掌握定积分的计算方法。
教学重点：1.理解定积分的概念；2.理解定积分的几何意义。
教学难点：1.掌握定积分的计算方法。
教学准备：白板、笔、相关的教学图表。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）教师在黑板上写出“定积分”的定义：设f(x)是定义在[a, b]上的函数，如果对于任意划分ξ: a = x0 < x1 < ... < xn = b，任取ξi ∈ [xi-1, xi]，存在数ξi*，使得极限limξ→0 Σ f(ξi*)Δxi存在，且与ξ的取法无关，则称该极限为f(x)在[a, b]上的定积分，记为∫(a, b) f(x)dx。
Step 2：定积分的几何意义（20分钟）1.教师画出函数f(x)与x轴围成的曲边梯形，并解释这个曲边梯形的面积就是定积分的几何意义。
2.教师对不同类型的函数进行讨论，如常数函数、正函数、负函数、奇函数、偶函数等，以帮助学生更好地理解定积分的几何意义。
Step 3：定积分的计算方法（40分钟）1.教师通过例题演示定积分的计算方法，包括不定积分、定积分与导数的关系、基本公式等，并强调定积分的性质。
2.学生进行相关练习，巩固所学的定积分计算方法。
Step 4：讨论与拓展（30分钟）1.学生提问与讨论：可以让学生提问一些与定积分相关的问题并进行讨论，如定积分存在的条件、定积分与不定积分的关系等。
2.拓展学习：可以对定积分进行扩展学习，如定积分的应用、定积分的意义等。
Step 5：总结与反思（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并让学生进行反思：对定积分的概念有了更深的理解吗？掌握了定积分的计算方法吗？教学延伸：1.学生可以通过阅读相关的课外资料，深入了解定积分的应用与历史背景；2.学生可以完成一些定积分的练习题，进一步巩固所学的知识。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
高二数学《定积分的概念》教案
高二数学《定积分的概念》教案高二数学《定积分的概念》教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高二数学《定积分的概念》教案，希望能给大家带来帮助!学习目标1、知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线 =1， =0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为 ( )，在每根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 (定积分的线性性质)性质2 (定积分的线性性质)思考(用定积分的概念解释)：性质3 (其中 )(定积分对积分区间的可加性)思考(用定积分的几何意义解释)：_四、课堂练习巩固提高1、从几何上解释：表示什么?2、计算的值。
五、知识整理，纳入系统1、今天你学到的知识点：2、数学方法：观察、比较、概括、归纳、概括，从有限到无限。
六、分层作业，巩固提高1、必做题：课本P80习题第1、2、3题2、选做题：课后探究题：(1)用定积分的几何意义说明下列不等式：(2)求曲线，与直线，所围成平面图形的面积。
七、学习评价1、自我评价：你完成本节学案的情况为( )A 很好B 较好C 一般D 较差2、你对本节知识未弄明白的地方：。
人教版高中数学定积分的计算教案2023
人教版高中数学定积分的计算教案2023这是一份人教版高中数学定积分的计算教案，旨在帮助学生更好地掌握定积分的计算方法。
I. 前置知识在学习定积分之前，需要掌握以下的前置知识：1. 导数和微积分基本概念；2. 重要的微积分公式，例如牛顿-莱布尼兹公式，微积分基本定理等。
II. 定积分的定义定积分的定义为一个区间内一个函数的面积值，并可用无穷小量的极限定义该值。
表示为：∫ab f(x)dx = limΔx→0 Σf(xi)Δx其中，a、b为积分区间上下限，f(x)为积分函数，Δx为取得区间长度的无穷小量，i为计算面积时分割区间的个数。
III. 定积分计算方法1. 待定系数法待定系数法适用于含有代数式的积分中，可以通过对代数式进行恰当的分拆，再求出每一部分的积分，最后组合起来求出原积分。
例如：∫x^2e^xdx = xe^x - 2∫xe^xdx2. 分部积分法分部积分法适用于积分中含有多项式乘以指数函数、三角函数、对数函数等形式的积分。
例如：∫x sinxdx = x(-cosx) - ∫(-cosx) dx3. 有理函数分解法有理函数分解法适用于积分中含有有理函数的情况。
例如：∫(x+2)/(x^2+3x+2)dx = ∫1/(x+1)dx + ∫1/(x+2)dx将有理函数分解之后，各个部分可使用倒代换法或分式积分法求出。
4. 替换法替换法适用于积分中含有根式、三角函数、指数函数等形式的积分，通过代入一些特殊的函数值，将原积分转化为待求函数的积分。
例如：∫sinx/(1+cosx)dx，可通过令u = 1 + cosx进行代换求解。
IV. 实战演练1. 计算∫0^π sin2xdx解：∫0^π sin^2xdx = ∫0^π (1-cos2x)/2 dx= 1/2(Π - 0)= Π/22. 计算∫1^4 xlnxdx解：∫1^4 xlnxdx = [1/2(x^2lnx - x^2)]1^4= [1/2(4^2ln4 - 4^2)] - [1/2(1^2ln1 - 1^2)]= 15ln2 - 7V. 总结通过本教案的学习，我们可以掌握定积分的基本定义和计算方法，并了解不同形式积分的求解策略。
(完整版)定积分教案
《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。
第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。
则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。
数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。
定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。
作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。
定积分的概念教案
定积分的概念教学目标：知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。
能力目标：1、理解定积分概念中归纳思维的运用；2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。
素质目标：提升分析与解决问题的能力教学重点和难点：教学重点 ：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想教学方法：1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。
2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。
3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。
4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。
教学过程：一、引入新课我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课实例1曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.曲边梯形面积的确定步骤：推 广 为 yO M P Q N B x CAA 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： Oxy y = f (x )(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间[]21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 );,,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-(2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积i A ∆的近似值为i i i x f A ∆≈∆)(ξ (n i ,,2,1 =);(3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值i ni i n n x f x f x f x f ∆=∆++∆+∆∑=)()()()(12211ξξξξ ;(4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i ni x ∆=≤≤1max λ 趋于零,则和式ini ix f ∆∑=)(1ξ的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 ini ix f A ∆=∑=→1)(limξλ实例2 路程问题解决变速运动的路程的基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限路程的精确值2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。
定积分的概念 说课稿 教案 教学设计
写出面积求和式。老师①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影
③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。
数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
二．二．合作探究
问题一曲边梯形的面积
如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
重点目标
定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义
难点目标
定积分的概念、定积分的几何意义．
导入示标
一．创设情景
问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。
学做思二：课堂练习
例题示范：汽车行驶路程问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s=vt。如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 ，那么它在 这段时间行驶的路程是多少？
解答：略。
学做思三：归纳总结
通过以上练习，我们归纳总结如何和曲边梯形面积和路程问题的步骤：
（1）分割
（2）代替
课题名称
定积分的概念
三维目标
知识与技能：
⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
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高中数学定积分教案【篇一：《定积分》教学设计与反思】《定积分》教学设计与反思学习目标2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习：1．定积分的定义：，2．定积分记号：思想与步骤几何意义．3．用微积分基本定理求定积分二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
探究问题1：变速直线运动中位置函数s(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为s(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的位移记为，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移 =另一方面：通过位移函数s（t）在的图像看这段位移还可以表示为探究问题2：位移函数s(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为上述两个方面中所得的位移可表达为上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。
例1．计算下列定积分：新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：若求新知3：用定积分求平面图形的面积1、计算函数在区间的积分2、计算函数在区间的积分3、求与在区间围成的图形的面积通过此题的计算你发现了什么？教学反思本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。
从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。
在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下：1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。
根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。
本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。
并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。
2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
同时，例题的教学注重让学生自主学习，合作探究，充分发挥了学生的学习主动性，也培养了学生的创新能力。
3、创设民主氛围，鼓励解决问题策略的多样化。
民主、自由、开放的学习氛围是学生主动参与、敢于发表自己独特见解的前提条件。
学生卸下了包袱、教师思维的束缚，大胆设想、讨论，从实际效果来看，不同的学生就有不同的思考方式和解决方法，使学生的个性学习发挥的淋漓尽致。
更培养了学生自己收集已有知识，解决实际问题的能力。
因此，我觉得在教学中应对学生多一份“放手”的信任，少一点“关爱”的指导，大胆地让学生在学习的海浪中自由搏击，让学生自己寻找问题解决的策略、学习的方法，有头脑、有个性、有能力的学生才能应运而生。
败笔之处：1、有些题目说的太快，部分学生没有跟上，没有让不会的学生先说出存在的问题。
2、没有掌握好时间，整节课前松后紧。
3、没有很好的发挥组内合作探究作用。
4、指导太多，有些地方没有大胆的交给学生。
5、没有充分调动了学生的积极性。
课堂气氛有些沉闷。
【篇二：高中数学人教版选修2-2教学设计：1.5.3《定积分的概念》教案】1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？111115s1??f(x)dx??x2dx? s2??v(t)dt??(?t2?2)dt? 0000333. 你能说说定积分的几何意义吗？例如b?baf(x)dx的几何意义是什么?4.4. 定积分?f(x)dx是直线x?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的曲边a梯形的面积根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.?204?x2dx的大小14?x2所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，4由直线x=0，x=2，y=0及y?2. 204?x2dx??. ?11x3dx05. 例：利用定积分的定义，计算?10x3dx?0的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系 ?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx 和差的积分推广到有限个也成立区间和的积分等于各段积分和7练习：计算下列定积分3?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx aaacbacbbb?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b) 2?(2x?x)dx 1【篇三：高中数学定积分知识点】数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?fx?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0)?y，则?limx0xx0x称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f(x0)或y|x?x0，即f(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?limx0xx0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f(x)②令f(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f(x)0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f(x) (3)求方程f(x)=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在?a,b?上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质11dxbaababbbbb性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0①推广：?[f1(x)?f2(x)fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?fm(x)aaaa②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dxf(x)dxaac1ckbc1c2b11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识（1）速度的导数为加速度。
（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
14.归纳推理的思维过程大致如图：15.归纳推理的特点:①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：①大前题：m是p②小前提：s是m ③结论：s是p。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。