统计学6.非参数假设检验(精)

(2) 大样本情况下, 正负号个数检验法的处理
在大样本情况下( 即 mp 10 ), 可以近似地用正态分布 来处理. 现在 p =0.5, 所以只要 m 20 即可. 用统计量:
Z U p ~ N (0,1) p(1 p) m
在计算统计量 Z 的值z 时, 在式中要用 u (即n+ /m)代替U.
如果我们把xi = yi 的个数记为n0, 并从样本总数 n 中扣 除, 则 m = n – n0 , 表示了n 个样本中 xi yi的个数。 m 个样本对中， 把xi - yi > 0的个数记为n+ , xi - yi < 0 的个数记为n- , 则有m = n+ + n- . 设整数 r 满足: 0 r m, 则可以由下式计算出 “xi - yi > 0的个数为n+ ” 的概率 :
n(n 1) U1 nm w1 2
m(m 1) U 2 nm w2 2
对给定 , 查U 值表, 得 U. 若U < U , 则总体分布相同. 注意: 方法 (1), (2), (3) 是两个总体分布的比较, 与分布的具 体形式无关, 所以, 理论上可以用来检验两个任意形式的分 布是否相同.
记 ni 为样本 x1，x2,· · · ,xn 中落在区间 i 中的个数（频次或频 数），那么，频率ni /n （n 至少为50， 最好100 以上）与 概率 pi 之差应当很小，否则就应当拒绝假设H0 (总体的累 积概率分布函数为 F(x) ).
可以证明 (K. Pearson), 在 H0 成立的条件下, 统计量:
1、检验两个总体的分布是否相同：符号检验法（正负号个 数检验法）
检验两个总体的分布是否相同的符号法又称正负号个数 检验法。它所要处理的问题是：假设两个总体的分布F（x） 与G（x）相同，用两个总体的容量相同的配对样本 x1，x2， · · · , xn 与y1，y2, · · · , yn 来检验它, 即检验假设H0 ： F(x) = G(x) 是否成立 . 设两个总体的样本相互独立, 当 H0 : F(x) = G(x) 成立时, 概 率P{Xi <Yi} 应当与概率 P{Xi >Yi}相同, i = 1,2, · · · ,n. 也就是说, 对于样本观测值而言, xi - yi > 0的个数(记为n+), 应 当与xi - yi < 0的个数(记为n- ) 基本相同 (从样本观测值角度, 不一定刚好相等). 如果两者相差很远, 我们就有理由, 拒绝假 设H0 : F(x) = G(x).
P(r k1 )

确保k1的外侧概率小于等于/2, 从而求出k1.
进而, 在假设p = 0.5 (H0假设) 的前提下, 按照B(m, p) 的概率计算公式, 对 r 从小到大, 求累积概率:
2
P( r k
2
)

2
确保 k2 的外侧概率小于等于/2, 从而求出k2 .
如果实际的“xi - yi > 0的个数n+ ”在(k1 ,k2)中就接受 H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) ), 否则拒绝H0 ,认为p 0.5, 即 F(x) G(x) .
第六章
非参数假设检验
§ 6.1 总体分布的非参数假设检验
非参数假设检验（分布检验）所处理的问题是： （1）两个总体的分布未知，它们是否相同（用两组 样本来检验）； （2）（由一组样本）猜出总体的分布（假设），然 后用（另一组）样本检验它是否正确。
需要注意的问题是，两种分布是否相同，一般包 含了参数（均值、方差等）是否相同的问题。如果两 个总体的分布函数形式相同，而参数不同，也将被判 别为概率分布不同。
3. 检验两个总体的分布是否相同的第三种方法: Whitney 秩和检验法 ( 序号和检验法 )
Mann-
问题: 有两个总体的样本观测值 x1，x2,· · · ,xn 与y1,y2 ,· · · ,ym , 可能m n . 两组样本是可以各自独立颠倒顺序的. 检验这 两组样本是否来自同一个总体 (或两组样本的总体分布是 否相同). 同样, 把两组样本放在一起, 按样本观测值的大小重新排 序, 那么每个观测值就有一个序号( 秩 ). 把第一组样本x1， x2，· · · ，xn的序号(秩) 加总起来, 记为 w1 .把第二组样本y1 ，y2 ,· · · ，ym的序号(秩) 加总起来, 记为 w2 . Mann-Whitney U检验的统计量是: U = min {U1, U2 } 式中:
是由 n, m, (显著性水平)所决定的. 威尔可逊 ( Wilcoxon ) 给出了 W 的概率分布表, 对于给定 的显著性水平 , 可以由威尔可逊概率分布表, 依据n, m, 查出 W1 , W2 . 若W W1 或 W W2 , 则拒绝H0: F(x) = G(x) (认为两个 总体分布不同) 反之, 若W1 < W < W2 , 则接受H0: F(x) = G(x) (认为两 个总体分布相同).
(, t1 ], (t1 , t2 ],, (tk 1 ,)
t1 t2 …, tk-1
对随机变量取值数轴的分割
记 pi为总体在第 i 个区间上的概率值, 则有
p1 = P (X t1) = F(t1) p2 = P (t1 < X t2) = F(t2) - F(t1)
……
pk-1 = P (tk-2 < X tk-1) = F(tk-1) - F(tk-2) pk = P (X > tk-1) =1 - F(tk-1)
r r p( xi yi的个数 r) Cm p (1 p)mr
这是一个二项分布, 记为 U ~ B(m, p), 当 xi - yi > 0 时, Ui=1, 当 xi - yi < 0 时, Ui = 0. 如果 F(x) = G(x) 成立, 则上 式中 p 应与 0.5 没有本质区别. 也就是说, 非参数的假设 F(x) = G(x) 的检验问题, 转化成了参数 p = 0.5 是否成立 的检验问题. 于是, 可以根据上一章节5.3中关于参数 p 的 假设检验方法处理了.
根据上表, 算得正负号如下表:
+ + + + + + + + + + + 0 +
此时, 正负号的个数 m =19, 所要检验的参数 p =0.5 , mp10,我们这里按大样本类型来处理. 统计出正号的个数 n+ =12 . 设定随机变量 U , 若xi - yi > 0出现, 令U = 1 , 若xi - yi < 0出 现, 令 U = 0 . 于是可以计算出 z 统计量的值如下:
解：依据关于正负号的二项分布B（m，p）来检验 p 是 否为0.5 , 即 H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) ) H1 : p 0.5 ( 即 F(x) G(x) ) .
如果接受 p = 0.5 的假设, 就接受F(x) = G(x)的假设, 否则 就拒绝F(x) = G(x)的假设. 这种解决问题的思路是: 把非参数检验的问题转化为参 数检验问题来处理.
§ 6.2 一个总体分布的非参数假设检验
1、检验总体分布是否与猜想的分布 F(x) 相同: 拟合优度 2 检验法 问题: 假设(猜测)总体的概率密度函数为 f (x) ( 若总体 为离散型, 则假设总体的概率分布列为 P {X = xi}= Pi ), 用 一组样本 x1，x2,· · · ,xn来检验假设是否成立. 作法: (1) 零假设H0 ：总体的累积概率分布函数为 F(x) , 备择假设H1 ：总体的累积概率分布函数不是 F(x). (2) 在数轴上选取 k-1 个分点 t1，t2,· · · , t k-1 , 将数轴上分 为 k 个区间(可以是不等区间):
(1) 小样本情况下, 正负号个数检验法的处理
小样本情况下, 正负号个数检验法的处理, 与 5.3.1 小节 的处理原理相同, 只不过 5.3.1 节是单尾检验, 我们现在要做 双尾检验 (检验两个方向的备择假设). 以计算“xi - yi>0的个数为 r ”的概率为例, 对给定 的, 在假设p = 0.5 (H0假设)的前提下, 按照B(m, p) 的概率 计算公式, 对 r 从小到大, 求累积概率:
例: 用两种激励方法, 分别对同样工种的两个班组(每个班 组 7 个人)进行激励, 测得激励后业绩增长 (%), 数据如表:
两种激励法分别实施于不同组工人的效果 激励法 A 16.10 17.00 16.80 16.50 17.50 18.00 17.20
激励法 B 17.00
16.40
15.80
于是, 我们又假设检验:
H0 : p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) )
H1 : p 0.5 (即 F(x) G(x)) . 对于显著性水平, 只要判断 | z |是否大于 z /2 ( 或者z的显 著性水平是否小于), 就可以得出拒绝还是接受H0: p = 0.5 ( 即 F(x) = G(x) )了.
配对样本：
是按照问题本身的属性，“天然”配对的。也就是说， 不能各自独立地颠倒顺序。
例：用两套问卷测量 20 个管理人员的素质，两套问卷的满 分都是200分，两套问卷测得的结果如表：
卷A
卷B
147 150 152 148
146 151 154 147
155
152
146
147
149
148
148
146
151
z
up 12 19 0.5 1.1473 p (1 p ) 0.5 0.5 / 19 m
若取=0.05, 查表得z /2=1.96, 有-1.96 = - z /2 < z =1.1473 < z /2 = 1.96, 故接受 H0 : p = 0.5 , 即 接受 F(x) = G(x), 也就是两套问卷的结果的分布是相同的. 正负号检验法在下面问题中常见到应用: 如,消费者对两种 包装的评分, 或对两种产品品牌的评分; 学生对两门不同 课程的成绩的反映 ( 评分 ), 企业对两种政策的反映(评分) 等等, 都存在两个总体的分布是否相同的检验问题. 但有些问题是不适宜使用正负号检验法----“独立样本” 的问题. 如下例子。