复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
衍射花样与晶体结构的关系
衍射花样与晶体结构的关系衍射花样与晶体结构的关系1. 引言晶体结构与衍射花样是固体物理学中两个重要的概念。
晶体结构描述了固体内部的原子或离子排列方式，而衍射花样则展示了光或其他波在晶体上的散射过程。
衍射花样与晶体结构之间存在着密切的关系，理解这种关系对于深入理解物质的性质及其应用具有重要意义。
本文将从简单到复杂的方式逐步探讨衍射花样与晶体结构之间的联系，并分享我的个人观点和理解。
2. 衍射与晶体2.1 衍射的基本原理衍射是波穿过物体或通过物体缝隙后的偏折现象。
当波遇到晶体时，由于晶体内部原子或离子的排列方式，波的传播路径会发生改变，形成特定的衍射花样。
衍射花样可以通过衍射公式和晶体结构参数来计算和解释。
2.2 晶体结构的基本概念晶体是由周期性排列的原子或离子组成的结构。
晶体结构可由晶体学家通过实验和理论分析得到。
晶体结构通过晶胞和晶格来描述，其中晶胞是晶体中的最小重复单元，晶格是由晶胞在空间中平行堆叠形成的周期性结构。
3. 衍射花样与晶体结构之间的关系3.1 衍射花样的观察与分析通过使用衍射技术，可以观察和分析晶体的衍射花样。
通过X射线衍射实验可以解析出晶体的衍射花样，并推导出晶体的结构信息。
3.2 晶体结构参数与衍射花样的联系晶体结构参数直接影响着衍射花样的形状和强度分布。
晶格常数决定了衍射花样的缩放比例，晶胞的对称性决定了衍射花样的对称性等。
4. 我对衍射花样与晶体结构关系的理解在我的理解中，衍射花样与晶体结构之间的关系是一种相互依存的关系。
衍射花样可以提供晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
通过分析衍射花样，可以了解晶体内部的原子或离子排列方式，从而深入理解物质的性质和行为。
总结与回顾通过本文的探讨，我们可以得出以下结论：晶体结构与衍射花样密切相关，理解这种关系对于深入研究物质的性质及其应用具有重要意义。
衍射花样提供了晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
晶体学基础知识讲义导论X衍射
晶体结构 = 点阵 * 结构基元
点阵点或结点总和称为点阵(lattice)，具有平移对称性。
沿着一定方向按某种规则把 结点联结起来，则可以得到 描述各种晶体结构的几何图 象----晶体的空间格子(简 称为晶格)
二 晶 体点 阵
晶体结构最突出的特点是其结构基元(原 子、离子、分子或络合离子）在晶体所占有的 空间中作周期性的排列，构成了晶体点阵结构 图案。点阵总是由为数无限和周围相同点组成。
CsCl的晶胞图
Cs+ Cl-
CsCl晶体结构示意图
CsCl的晶体结构示意图
CsCl的晶胞图 Cl–
Cs+
Cl–
1.1.1 经典晶体学
1669年丹麦学者斯蒂诺，发现了晶面角守恒定律。
1801年法国结晶学家赫羽依，发表了有理指数定律。
1805–1809年间德国学者外斯总结出晶体对称定律。 随后又提出了晶带定律。
1809年乌拉斯顿设计了第一台反射测角仪。 1818–1839年间外斯和英国学者密勒先后创立了用
以表示晶面空间方位的晶面符号。
经典晶体学还包括了对天然矿物物理性质的研究。
1.2.2 近代晶体学
1912年德国科学家劳埃成功发现了X射线对晶体的衍 射现象，具体地证实了晶体结构点阵理论的正确性。
1913年英国晶体学家布拉格父子和俄国晶体学家吴 里弗分别独立地推导出X射线衍射基本公式。 20世纪20年代，完成了收集X射线衍射图谱和推引 空间群方法等工作。
◆ 晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律 ◆ 晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律晶体衍射是固体物理学中的重要概念，它通过分析光线或粒子在晶体结构上的散射和干涉现象，揭示了晶体的微观结构信息。
而布拉格定律则是晶体衍射的基础，它描述了入射光线或粒子在晶体上的散射条件。
本文将从晶体衍射的原理和特点出发，详细介绍晶体衍射与布拉格定律的相关内容。
一、晶体衍射的原理和特点晶体衍射是由于晶体的周期性结构导致的光线或粒子的散射和干涉现象。
当入射光线或粒子遇到晶体的原子或离子时，会受到晶体中的电场或电荷分布的相互作用，并发生散射。
与非晶体相比，晶体具有明显的周期结构，晶格中的原子或离子排列有序，因此晶体衍射呈现出一系列特点。
首先，晶体衍射具有干涉性质。
当入射光线或粒子的波长与晶体的晶格常数相当时，晶体中的每个原子或离子都可以看作是一种点源，它们发出的散射光线或粒子会相互干涉，形成一系列明暗相间的衍射斑图。
其次，晶体衍射具有角度选择性。
根据晶体的布拉格定律，只有满足一定散射角度的入射光线或粒子才能在晶体中发生衍射。
这意味着不同入射角度和不同衍射角度对应着不同的衍射条件，从而使得衍射斑图的位置和形状随着入射角度的变化而改变。
最后，晶体衍射具有信息衍射的特点。
根据衍射斑图的位置、形状和强度分布，可以反推出晶体的结构信息。
通过分析衍射斑图的间距和角度，可以确定晶体的晶格常数和晶体面的取向。
这为研究晶体结构和材料性质提供了重要的手段和依据。
二、布拉格定律的推导和应用布拉格定律是描述晶体衍射的基本规律，它通过分析散射光线或粒子在晶体中的干涉现象，给出了入射角度和衍射角度之间的定量关系。
布拉格定律的推导基于几何光学和干涉光学的原理，下面将对其进行简要介绍。
设晶体中的两个晶面之间的距离为d，入射光线或粒子与晶面的夹角为θ，入射光线或粒子在晶体上发生衍射后的干涉光线或粒子与晶面的夹角为φ。
根据布拉格干涉的条件，晶面散射的光线或粒子应满足相位差为整数倍的关系。
根据光的传播定律和几何关系，可以得到入射光线或粒子与晶面的夹角θ与衍射角度φ之间的关系：2dsinθ = nλ其中，d为晶面间的距离，θ为入射角度，φ为衍射角度，n为整数，λ为入射光线或粒子的波长。
1.7第一章总结 固体物理研究生课程讲义
三角 (4)
简单正交 (5)
底心正交 体心正交
(6)
(7)
面心正交 (8)
简单四角 (9)
体心四角 (10)
六角 (11)
简立方 (12)
体心立方 (13)
面心立方 (14)
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
其中 a1,a2 ,a3 是正格基矢，Ω a1 a2 a3
b2 2π a3 a1 是固体物理学原胞体积。 Ω
h1h2h3 若遇负数，则在该数上方加一横线h1 h 2 h 3 。
以布拉维原胞基矢 a, b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为 密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是： (1)基矢 a1,a2 ,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
(2)以 a1, a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8)
简单四角(9)，体心四角(10)
abc
6.六角晶系: 900 1200 六角(11)
abc
7.立方晶系: 900
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14)
简单三斜 (1)
简单单斜 (2)
底心单斜 (3)
原子散射因子：原子内所有电子的散射波的振幅的几何和 与一个电子的散射波的振幅之比称为该原子的散射因子。
f s
Aa Aeห้องสมุดไป่ตู้
ρr
e
i
2π
sr λ
d
几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向
上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。
Fhkl
f e in K hkl R j j
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
http://10.107.0.68/~jgche/
晶体结构衍射理论
2
第12讲、晶体结构衍射理论
1. Bragg定律 2. von Laue方程 3. 散射强度和结构因子 4. 例子
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晶体结构衍射理论
3
1、Bragg定律
• 光的反射定律
* 入射角等于反射角
K h R l 2 n
R l l1a1 l2a 2 l3a 3
K h h1b1 h2b 2 h3b 3
k K h k ' (k K h ) 2 k '2
弹性散射|k|=|k’| 讨论布里渊区时写成
k 'k K h
von Laue 条件： 波矢改变等于倒 格矢时，满足衍 射加强的条件
d
• Bragg假设入射波从原子平面作镜面反射，但每 个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反 射波发生相长干涉时，就出现衍射极大
* 只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射
• 两个面间光程差？ • 光程差：2d sinθ • 加强条件：层与层之间的光程差为波长的n倍 时，衍射极大Bragg定律（ Bragg 反射公式）
晶体结构衍射理论
23
例：蜂窝结构的结构因子
• 确定基元内原子位置矢量 • 用基矢表达
τ 0 0a1 0a 2
2 2 τ 1 a1 a 2 3 3
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
12-2固体物理第一章
布拉菲格子（简单晶格） 全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
例、
c
b
c
b
a
简单立方晶格
a
体心立方晶格
c b
c
a
底心立方晶格
b
a
面心立方晶格
c b
a
底心立方晶格原子的全同性
复式格子(complex crystal lattice)
原子
1.1.2 体心立方晶体结构（bcc）
(bcc: body-centered cubic)
1.1.3 面心立方晶体结构（fcc）、六角密堆积结构（hcp)
密堆积结构 将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个
球相切，形成密排面，密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结 构称为密堆积。
体积，
a1 a2 a3 a3
晶胞与原胞
晶胞含1个格点，体积，
a3
体心立方晶格 晶胞基矢，
a ai , b aj , c ak
a1 a2
a3
a b c
c
晶格常数，
a b c a
a
a2
a1
1.1.2 常见晶体结构的基矢、原胞、晶胞、晶格常数
简单立方晶格 晶胞基矢， 原胞基矢，
a ai b aj
c
a1 ai a2 aj a3 ak
c ak a b c
b
a
晶格常数，
a b c a
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a
a3 a2
a1
a3 a 2 a1
固体物理学 晶体衍射
（4）晶体点阵中一组点阵平面
( hkl
矢量
)，以晶面指数为指数的倒易点阵
Ghkl hA kB lC
与这组晶面正交，并且面间距(即相邻平
面之间的距离) d 2 。
G
第二章 晶体衍射
证明：
在若aa离、原b点、最cb三近个的晶( 轴hck上l 的)晶截面距为：
h 、k 、l ，
只需证明
GCA GCB
第二章 晶体衍射
考虑一个具有晶体点阵周期性的函数：
的付氏级数可用三角函数或指数函数来表示：
。
=
、 为实数， 为保证 周期性
具有晶体点阵的
第二章 晶体衍射
写成指数函数的形式：
=
每一个指数项叫做一个付里叶分量，是一个平
面波。波矢量为：
，p为整数。
第二章 晶体衍射
第二章 晶体衍射
倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易 点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周 期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空 间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于 晶体点阵的周期性质，一个给定的晶体点 阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶 体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体 点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]；倒 易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
把 n(r)展成傅氏级数：n(r) n eiGr G
G
(把 n(r)展成了傅氏级数)代入上式得:
u
dv n ei (Gk)r
G
G
第二章 晶体衍射
当
k
G
时(即等于某一倒易点阵矢量时)，
相因子为1，积分后这项为
n dv vn
G
G
为极大值，而对于 k ≠ G的其它各项基本上
晶体结构与衍射的物理学解释
晶体结构与衍射的物理学解释晶体结构与衍射是固体物理学中一门重要的研究领域。
晶体是由原子、离子或者分子有序排列形成的，具有高度规则的周期性结构。
通过衍射现象，我们可以了解晶体的内部结构和原子排列方式。
在本文中，我们将探讨晶体结构与衍射的物理学解释。
首先，让我们了解晶体的结构。
晶体的结构通常可以分为离子晶体和共价晶体两类。
离子晶体是由正负离子通过电磁相互作用力排列而成的。
常见的例子包括盐和氯化钠。
共价晶体则由共享电子成键的原子构成，如钻石和石英。
每种晶体都有其特定的晶格结构，这是因为原子、离子或者分子通过化学键的相互作用力形成了稳定的排列模式。
晶体结构的理论基础可以追溯到布拉维格点理论。
该理论认为晶体的结构由离散的点组成，这些点按照一定的规则排列。
晶格的形状可以是立方体、四方体、六方体等。
晶格决定了晶体的物理和化学性质。
而衍射现象则是通过射线经过晶体后发生偏折，形成干涉影像。
这一现象由尤凡·拉斯·冯·朗缪爵士在19世纪初首次发现并解释。
当入射光波的波长与晶体晶格的间距相当时，光波会与晶格相互作用，形成衍射图样。
衍射图样是由晶体上的原子、离子或者分子之间的构造激发出的相干光所产生的干涉效应。
这种干涉效应使得衍射光波向特定的方向发散或聚焦。
通过衍射图样，研究者可以确定晶体的晶格常数、晶胞的尺寸和原子排列方式。
要理解衍射现象，我们需要借助于波动光学的理论。
根据惠更斯原理，光波会在到达障碍物后扩展成球面波。
当光波遇到晶体的晶格时，球面波被透过晶格间隙的射线所限制，其中一些射线将受到相干干涉的影响。
干涉效应使得某些方向上的光波受到增强，而其他方向上的光波受到相消干涉的影响。
在X射线衍射实验中，入射的X射线通过晶体，与晶体中的原子相互作用后发生衍射。
根据衍射图样的形状和条纹的位置，可以确定晶体的晶格常数和晶胞的几何形状。
这对于进一步研究材料的物理化学性质和结构特征非常重要。
值得注意的是，晶体结构与衍射的研究领域一直在不断发展和改进。
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
固体物理第1课晶体结构 ppt课件
体心立方晶格（bcc）示意图3
R 3a 4
单个原子体积
V 4 R3 3 a3
3பைடு நூலகம்
16
由于晶胞中含两个原子，因此晶胞体积
为a3，两个原子占据体积为 3 a 3 8
面心立方晶格（fcc）示意图1
原子铺排方式：密排面，ABCABC…… 返回
面心立方晶格（fcc）示意图2
晶胞
中含 4个 原子
4. 解理性：当晶体受到敲打、剪切、撞击等外 界作用时，可有沿某一个或几个具有确定方 位的晶面劈裂开来的性质。劈裂的晶面称为 解理面 （示意图） (云母)。
5. 各向异性：晶体的物理性质随观察方向而变 的现象（示意图）
在不同带轴上，晶体的物理性质不一样。 其弹性常数、压力常数、介电常数、电阻率不再是 常数，需要用张量来表示。
a、c： 113°08′
返回
各项异性和对称性示意图
σx σz σx=σy
返回
均匀性示意图
a1 a a
2 3
a( 2 a
2 a
2
i (i (i
j j j
k) k) k)
返回
原胞的体积V
V a 1 ( a 2 a 3 ) a 3 /2
a是晶胞的边长，又称晶格常数。 可见原胞体积是晶胞体积的一半，一个晶胞
对应两个格点，一个原胞只对应一个格点。
复式晶格中格点不等价的原因：
格点本身代表不同的原子（见图）。 格点附近空间结构不对称（见图） 。
1.3.5 三维布拉菲晶格
❖ 简立方晶格（sc）（示意图）(演示) 原胞 晶胞 Li、Na、K、Rb、Cs、F
❖ 体心立方晶格（bcc）（示意图） (演示1) (演示2) 晶胞 原胞 体积 Li、Na、K、Rb、
精品课程《固体物理》ppt电子教案课件1.6晶体衍射
e 1.61019C
U 104 V, λ ~ 0.1nm
在晶体衍射中，常取U--40千伏，所以--0.03nm 。
2.电子衍射
h,
P
P2 eU ,
2m
P 2meU , h
2meU
h 6.621034 J s e 1.61019C m 9衍射斑 点分布
倒格点 的分布
倒格点 对称性
晶格的 对称性
当X光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄衍射斑点具 有对称性。
用劳厄法可确定晶体的对称性
2.转动单晶法 (1)X射线是单色的； (2)晶体转动。
CO为入射方向,晶体在O点处
晶体 转动
倒格 转动
反射球绕过 O的轴转动
向的单位矢量，则P点和O点散射波
r
S
O
之间的位相差为：
2π S S0 r 2π s r
λ
λ
设O处一个电子在观测点产生的振幅为Ae，则P点的一个
电子在观测点产生的振幅就是：Aeei
r 为电子分布函数(概率密度)， 在P点附近体积元d内的
电子个数为： r dτ 。
O nKh
4sin n2π ,
λ
d h1h2h3
2dh1h2h3 sin n
Rl S S0 (为整数) Rl k k0 2π μ
k k0 nK h
2dh1h2h3 sin n
4.反射球
若 k k0 nKh
§1.6 晶体衍射
1.6.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质上
而产生的一种电磁波。
固体物理 2.1 晶体衍射
德国物理学家伦琴1895年11月发现
12月22日伦琴为夫人的手拍下了第一 张 X 光照片
1901年伦琴获第一个诺贝尔物理学 奖
2
2.1 晶体衍射
第 2 章 晶体衍射和倒格子
• X射线的发现 伦琴是德国维尔茨堡大学的教授。1895年11月8 日，伦琴像平时一样把一只放电管用黑纸严严实
实地裹起来，把房间弄黑，接通感应圈，使高压放电通过放电管，黑纸没有漏光，一切正常后他截断 电流，准备做每天做的实验——放电实验。突然，眼前似乎闪过一丝微绿色荧光。刚才放电管是用黑 纸包着的，荧光屏也没有竖起，怎么会有荧光呢？
伦琴以为是自己的错觉，于是又重新做放电实验，但荧光又出现了。伦琴大为震惊，他一把抓过 桌上的火柴，嚓的一声划亮。原来离工作台 1米远处立着一个亚铂氰化钡小屏，荧光是从那里发出的。 但是由放电管阴极发出的射线——阴极射线是不能通过数厘米厚的空气的，怎么能使 1米远处的荧光 屏闪光呢？莫非是一种未发现的新射线？
有多个（存在多个晶面）.【此时勿需知道晶面的具体方向，只需知
道d的可能取值即可】
15
2.1 晶体衍射
第 2 章 晶体衍射和倒格子
布拉格方程的优缺点：
优点：布拉格方程将晶体的原子排列(对应的点阵) 等
效于一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的 推导，直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向。
固体物理第三章 晶体衍射
Chapter 3晶 体 衍 射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。
在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。
实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。
如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。
这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。
由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。
3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。
格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。
晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。
在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。
例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。
这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。
对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。
从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。
另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。
（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。
《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。
庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。
蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。
） 波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。
复旦固体物理讲义-13晶体结构衍射实验
上讲回顾•晶体结构衍射理论*Bragg定律*von Laue方程*结构因子（消光条件）注意区分是晶面指数还是密勒指数http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法1本讲内容•晶体结构实验方法，晶体结构实验方法原理及其适用范围*倒易空间*实空间•准晶*不满足平移对称，比如具有五度转动对称*但可以看作是高维格子在低维的投影即，虽然不满足平移周期性，但也有一定的规律http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法2第13讲、晶体结构实验方法1.晶体结构衍射实验*原理：Ewald球*方法：von Laue方法、转动晶体法2.晶体结构其他实验方法*倒空间：电子衍射，中子衍射*实空间：FIM，STM*计算机（模拟）实验3.准晶——另类有序4.第二章小结5.例题http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法31、晶体衍射实验方法•原理*Ewald球构造法•实验*von Laue方法*转动单晶法http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法4Ewald construction 反射球•衍射斑点与衍射条件*可根据观察到的斑点与推断晶体结构的特征*理解衍射方法原理•CO= 2π/λ，入射方向，在C以CO为半径作圆，球面上的倒格点P满足衍射条件，将产生衍射，在PC方向可得衍射极大*K的两端都是倒格点ocphttp://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法52、其他晶体结构实验方法•倒空间→电子、中子衍射•实空间观察原子的位置*显微镜？*晶格典型间隔→10-10米*FIM（场离子显微镜）*STM（扫描隧道显微镜）http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法8http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法12bcc 结构W 针尖•结构可由球壳模型模拟，与图象对照•不同材料同样晶体结构的图象是不是相同？•亮度装饰线不同，反映不同材料的不同面的功函数不相同扫描隧道显微镜，STM•1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM) *G. Binnig与H. Rohrer*人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面的排列情况. 这是电子显微技术的一个重要里程碑*1986获诺贝尔物理奖•STM利用量子力学的隧道效应*将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，当针尖与样品距离非常接近时, 在外加电场作用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极*STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描模式http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法13Ni(110)http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法15http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法16Si(111) 7x7原子力显微镜，AFM •STM的局限*STM只能用于导电材料，绝缘体也须在样品表面镀上导电层*测量的是电子云分布•AFM (atomic force microscopy) *结构原理同STM，也可用于绝缘体*通过测量探针与样品之间的原子力来探测表面构型，通常保持原子力为一常数，记录探针位置•AFM操纵使铁原子在Cu(111)面上排列成“原子”字样！http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法17计算机模拟•结构的实验观测*周期性结构——倒空间*周期或非周期性结构——实空间（表面）•材料性质不但与元素成分有关、还与结构有关•计算机模拟的必要性*细节难以确定*条件非常苛刻*代价十分昂贵*条约规定限制*…http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法18计算机模拟（实验）的主要任务•解释、了解、预言、…建立结构与性质之间关系的桥梁•http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法19http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法20计算机模拟例子：结构相变•Si 和Ge 最稳定的结构是金刚石结构，次稳定结构是六角金刚石结构：PRB26, 5668 (1982)*压力导致相变：金刚石 beta 锡，而不是六角金刚石http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法21计算机模拟例子：C 3N 4晶体•理论预言硬度超过金刚石（B=440GPa ）* 六角，B=427GPa ：Sience 245, 841 (1989)* 立方，B=496GPa ：Sience 271, 53 (1996)* 小晶粒已经实现，是目前世上最硬的材料http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法22计算例子：CrO 2(001)表面•计算:铁磁性半金属*但1987年实验发现是绝缘体！？•体CrO 2中Cr 是O 的八面体配位，在(001)，弛豫后Cr 成O 的四面体配位*Cr 4+离子的5度简并的d 轨道的分裂，在八面体和四面体晶体场中是不同的*八面体，2度>3度简并；四面体，3度>2度简并；中间无允许电子能级*体Cr 4+，2个电子填3度简并能级→金属*表面Cr 4+，2个电子填2度简并能级→绝缘(topological insulator)→解释了实验http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法23http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法243、准晶——另类有序•晶体，具有周期性，衍射的图样是明锐的斑点•非晶，无周期性，衍射图样弥散的环，而不是斑点•晶体中转动对称轴只可能是1、2、3、4、6度转动轴•Shechtman，PRL53, 2477 (1984)*发现Al-Mn合金具有五重对称的衍射斑点，其明锐程度不亚于晶体！？*有结构介于晶态和非晶态之间？*不能用基元填满整个空间http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法25http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法27•正六边形可排满整个空间，但正五边形却不行•将它们换成原子，那么原子按六重对称排列可密排成二维晶体，而五重对称性却不行•但是，有没有别的办法可以铺砌成具有五重对称性的无空隙地面呢？•早在1974年，牛津大学的R. Penrose(数学物理学家)找到一种办法，用两种形状的砖，可以无空隙地铺满整个空间，但铺砌不能只沿两个独立方向重复，即铺砌图案是非周期性的•这两种砖分别称为“瘦菱形”和“胖菱形”，二者边长相等但夹角不等http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法28•“瘦菱形”和“胖菱形”虽不是正五边形, 却可以从正五边形引伸出来. 这由右图和下图看得很清楚•由“瘦菱形”和“胖菱形”铺砌成的无空隙地面具有五重对称性(五重对称轴从下图五角星位置穿过并垂直于地面)•这是有一定位置序的准晶计算机模拟的衍射图样•既然没有平移周期性这样的准晶体为什么会有衍射图样？*倒格矢？*衍射极大？•实际可看作高维周期结构在低维空间的投影*无平移周期的周期性http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法29晶体结构实验方法30二维晶格的一维限制投影 一维准晶•一维准晶：基矢分别为a 和b 的2D 格子，作平行斜线(斜率是无理数)，其间的格点在实线上的投影就是一种一维准晶•即一维准晶可以看作是二维晶格以某种方式在一维空间的投影*而投影得到的点构成有序排列，但无平移周期性4、第二章小结正（坐标）空间•晶格（格子、点阵）*格点→基元代表点•原胞*最小基本结构单元→确定原胞的原则*→原胞基矢、格矢，原胞内原子位矢•晶胞*→保持晶体宏观对称性的基本结构单元*→含一个或以上Bravias格子的格点*→晶胞基矢，晶胞位矢，晶胞内原子位矢•晶面、晶列*→注意，都是相对于格点而言http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法33倒（动量）空间•倒格子*倒格子基矢、倒格矢、布里渊区•晶体结构衍射理论*von Laue方程*Bragg定律•倒格矢与晶面关系•结构因子*消光条件总是相对于某晶面方向而言#注意区分方向晶面指数还是密勒指数#如不特别指明时，都是用密勒指数表示方向http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法34晶体结构认识•简立方•面心立方•体心立方•简单六角•六角密堆积•二维蜂窝结构http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法355、例题http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法37例题•A 原子构成体心立方结构，立方体边长为a ；在A 原子构成的体心立方结构的面心上再加上B 原子，如图。
固体物理(2011) - 第1章 晶体结构 5 晶体X射线衍射
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构 晶体的结合 晶格动力学 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 晶格的描述 2 倒格子 3 晶体的宏观对称性、群定义 4 点群、空间群与晶格分类 5 晶体X射线衍射 6 准晶
X 射 线
记 录 干 板
衍射斑纹（劳 厄 斑）
衍射图样举例
NaCl 单晶的 X 射线衍射斑点
石英 (SiO2) 的 X 射线衍射斑点
DNA的衍射图
DNA的X射线衍 射图 DNA结构 图
其他晶格结构实验方法
电子衍射 中子衍射 场离子显微镜，FIM 扫描隧道显微镜，STM 原子力显微镜，AFM
问题思考
简单方法有时候是非常对的！ 更量子力学一点的推演有没有？ ( r R l ) ( r ) ( r ) von Laue的初衷并非晶体结构衍射， 1914年得到了诺贝尔物理学奖
2
原子散射因子 和 几何结构因子
来自于对散射强度分布问题的微观量子力学理解
晶胞内多个原子（请考虑复式晶格）具体位置决定了散射 的位相 ——几何结构因子(geometrical structure factor)，热振动 对此有影响
X射线
5 晶体X射线衍射
Bragg定律 von Laue方程
原子散射因子、几何结构因子、消光条件
X射线晶体学实验方法 晶体结构其他实验测量方法介绍
倒空间：电子衍射，中子衍射 实空间：FIM(场离子显微镜)，STM(扫描隧道显微镜)
X射线
Bragg定律
Bragg假设入射波从原子平面作镜面反射，但每 个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反 射波发生相长干涉时，就出现衍射极大
固体物理讲义第二章
固体物理讲义第二章2.1 晶体结构的实验确定晶体的结构可以通过衍射的方法来确定，即利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射产生衍射。
目前常用的衍射方法有X射线衍射、电子衍射和中子衍射。
其中，X射线衍射是最常用的方法，可以用于测量晶体内部结构，而电子衍射则适用于表面结构的测量，中子衍射则适用于磁性物质结构的测量。
晶体衍射的条件是波长与晶格常数同数量级。
现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描透射电子显微镜直接观察原子排列和晶格结构。
虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区晶体的倒格子是通过___格子的基矢量定义三个新的基矢量得到的，它们之间的关系为：b1 = 2π(a2×a3)/Ω，b2 =2π(a3×a1)/Ω，b3 = 2π(a1×a2)/Ω。
其中，a1、a2、a3为构成晶体正格子的基矢，Ω为正格子的体积。
倒格子中每个格点的位置为：Kh = h1b1 + h2b2 + h3b3，其中Kh称为倒格矢量，简称倒格矢。
倒格子空间也叫倒易点阵，每一个___正格子都有与之对应的倒格子。
正格子中的一族晶面(h1h2h3)和倒格矢Kh = h1b1 + h2b2+ h3b3正交，即d(h1h2h3)·Kh = 2π。
晶面族(h1h2h3)面间距d(h1h2h3)的长度正比于倒格矢Kh的倒数：d(h1h2h3) = 2π/|Kh|。
正格子原胞体积与倒格子原胞体积之间的关系为Ω = b1·b2×b3.倒格点与晶体中的一晶面相对应。
晶体中任一处r的物理量具有晶格周期性，可以展开为___级数。
比较展开式可得，周期为l的函数的倒格矢量一定是GG。
倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
每个晶体结构都有两套格子与之相联系，倒格子是与真实空间相联系的傅立叶空间中的格子，一定是___点阵。
固体物理学讲义.（ＰＤＦ）
绪论一固体物理的研究对象固体物理是研究固体的结构及其组成粒子原子离子电子等之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科 固体按结构分类取向对称晶体学上不允许的长程平移序和同时具有长程准周期性准晶准晶体短有序程无明确周期性非晶态非晶体长程有序规则结构晶态晶体:)(,:)(,:)( 二固体物理的发展过程人们很早注意到晶体具有规则性的几何形状还发现晶体外形的对称性和其他物理性质之间有一定联系因而联想到晶体外形的规则性可能是内部规则性的反映十七世纪C Huygens 试图以椭球堆集的模型来解释方解石的双折射性质和解理面十八世纪RJH 认为方解石晶体是由一些坚实的y ua &&相同的平行六面体的小基石有规则地重复堆集而成的到十九世纪费多洛夫熊夫利巴罗等独立地发展了关于晶体微观几何结构的理论系统为进一步研究晶体机构的规律提供了理论依据1912年劳埃首先提出晶体可以作为X 射线的衍射光栅索末菲发展了固体量子论费米发展了统计理论在这些研究的基础上逐渐地建立了固体电子态理论能带论和晶格动力学固体的能带论提出了导电的微观机理指出了导体和绝缘体的区别并断定有一种固体它们的导电性质介乎两者之间叫半导体四十年代末五十年代初以锗硅为代表的半导体单晶的出现并以此制成了晶体三极管进而产生了半导体物理这标志着固体物理学发展过程的又一次飞跃为了适应微波低噪音放大的要求曾经出现过固体量子放大器脉泽1960年出现的第一具红宝石激光器就是由红宝石脉泽改造而成的可以说固体物理学尖端技术和其他学科的发展相互推动相辅相成的作用反映在上述的固体新材料与新元件的发现和使用上新技术和其他学科的发展也为固体物理学提供了空前有利的研究条件三固体物理的学科领域随着生产及科学的发展固体物理领域已经形成了象金属物理半导体物理晶体物理和晶体生长磁学电介质包括液晶物理固体发光超导体物理固态电子学和固态光电子学等十多个子学科同时固体物理的本身内核又在迅速发展中主要有1研究固体中的元激发及其能谱以更深入更详细地分析固体内部的微观过程揭示固体内部的微观奥妙2研究固体内部原子间结合力的综合性质与复杂结构的关系掌握缺陷形成和运动以及结构变化相变的规律从而发展多功能的复合材料以适应新的需要3研究在极低温超高压强磁场强辐射条件下固体的性质4表面物理----在研究体内过程的基础上进入了固体表面界面的研究5非晶态物理----在研究晶态的基础上开始进入非晶态的研究即非晶体中原子电子的微观过程四固体物理的研究方法固体物理主要是一门实验性学科但是为了阐明所揭示出来的现象之间的内在的本质联系就必须建立和发展关于固体的微观理论实验工作与理论工作之间要相互密切配合以实验促进理论以理论指导实验相辅相成相得益彰第一章晶体结构固体的结构决定其宏观性质和微观机理本章主要阐明晶体中原子排列的几何规则性1-1 一些晶格的实例晶体组成微粒具有空间上按周期性排列的结构基元当晶体中含有多种原子多种原子构成基本的结构单元格点结点结构中相同的位子图1-1-1 结构中相同的位子点阵晶体中格点的总体又称为布拉菲点阵布拉菲格子这种格子的特点是每点周围的情况都一样如果晶体由完全相同的一种原子组成则这种原子所组成的网格也就是布拉菲格子和结点所组成的相同如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原子则每个基元中相应的同种原子各构成和结点相同的网格不过这些网格相对地有位移而形成所谓的复式格子显然复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成晶格通过点阵中所有节点的平行直线簇和平行平面簇构成的网格元胞反映晶格周期性的最小重复单元侧重最小重复单元每个元胞中只有一个格点晶胞晶体学单胞既反映晶格周期性又反映晶格的空间对称性的最小重复单元侧重空间对称性每个元胞可能不止一个格点一单原子组成的元素晶格1简单立方晶格图1-1-2 原子球的正方排列及其各层球完全对应层叠形成的简单立方晶格2体心立方晶格的典型单元及堆积方式图1-1-3体心立方晶格的典型单元及体心立方晶格的堆积方式3原子球最紧密排列方式与面心立方晶格和六角密排晶格图1-1-4原子球最紧密排列方式当层叠是ABABAB方式则构成六角密排晶格当层叠是ABCABCABC方式则构成面心立方晶格4金刚石类晶格金刚石类晶格是由面心立方单元的中心到顶角引8条对角线在其中互不相邻的4条对角线的中点各加一个原子就得到金刚石类晶格结构也可看成面心立方沿体对角线平移1/4体对角线套购而成除金刚石外半导体硅和锗也具有类似金刚石类晶格结构图1-1-5金刚石类晶格结构的典型单元二化合物晶体的结构1NCl类晶格结构其好似于简单立方晶格只是每一行相间地排列着正的和负的离子N a+和Cl-碱金属和卤族元素的化合物都具有类似的结构Cl类晶格结构2C其好似体心立方晶格只是体心和顶角是不同的离子3闪锌矿ZS类晶格结构和金刚石类晶格结构相仿只要在金刚石晶格立方单元的对角线位置上放置一种原子在面心立方位置上放置另一种原子441-2晶格的周期性对于晶格的周期性通常用元胞和基矢来描述图1-2-1 中除4外均为最小单元由此元胞的选取并不是唯一的但各种晶格元胞都有习惯的选取方式并用元胞的边矢量作晶格的基矢基矢之间并不都相互正交图1-2-1平面元胞示意图1 简单立方晶格的元胞三个基矢分别zy x e a a e a a e a v v v v v v ===32,,为a 13321a a a a =×⋅vv r2 面心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321j i a a j i a a j i a a v v v v v v v v v +=+=+=43321a a a a =×⋅vv r3体心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321k j i a a k j i a a k j i a a v v v v v v v v v v v v −+=+−=++−=23321a a a =×⋅v v r a)3322a l a l ++}设为元胞中任意一处的位子矢量r vQ代表晶体中的任一物理量则Q ()(11a l r Q r +=vv l 1l 2l 3为整数即任意两元胞中相对应的点的物理性质相同我们可以用表示一种空间点阵{a l a l a l v v v 321++即一组l 1l 2l 3的取值表示格子中的一个格点l 1l 2l 3所有可能的集合就表示一个空间格子实际晶体可以看成在上述空间格子的每个格点上放置一组基元可为多种原子这个空间格子表征了晶格的周期性称为布拉菲格子Cu 的面心立方晶格Si 的金刚石晶格和NaCl 晶格均具有相同的布拉菲格子—面心立方格子它们的晶格结构虽然不同但具有相似的周期性自然界中晶格的类型很多但只可能有十四种布拉菲格子。
固体物理讲义第二章
第二章 晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。
● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射 衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。
本课程的核心－周期结构中传播的波。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区 倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以 为基矢构成的格子称为正格子以 为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。
[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数 倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
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• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
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3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
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晶体结构衍射理论
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• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
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讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
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晶体结构衍射理论
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讨论：衍射强度？
• 非弹性散射 • 热振动：能量变化很小，~1eV，忽略
* 设问：周期性被破坏，衍射条件还满足吗？
• 实验结果：温度升高，衍射强度减弱，但衍射 束的宽度不受影响
* 对微小的无规偏移作热平均，就可以知道热振动偏 移只影响散射强度！
• 设问：为什么热振动偏移只影响散射强度？
(hkl) ：Miller指数，用晶胞 xj, yj, zj：分数
2 * hkl
散射强度
I hkl | S hkl | S hkl S
结构因子有可能使von Laue条件允许的某些 衍射斑点消失！
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4、例：bcc结构因子
s
S K j (r τ j )e iK r dr e
j
j
iK τ j
j
SK f j e
j
iK τ j
f j j (r )e iK r dr
• 几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在 所考虑的方向上的振幅与一个电子作为点电荷 的散射振幅之比
9
1 2 k Kh Kh 2
2
Kh Kh k http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构衍射理论 2 2
讨论：两种条件的等价关系
2 Kh d • 从von Laue条件即可得Bragg反射公式
a1 K h 2 d h1 K h Kh
上讲回顾
• 倒易空间、倒格子
* 与实空间、正格子的对应 倒格子基矢、倒格矢 Brillioun区(倒空间原胞)
• 正、倒格子之间的关系
* 互为倒、正 * 晶面方向矢量与倒格点之间的关系
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晶体结构衍射理论
1
本讲内容
• 观察晶体结构的理论
* * * Bragg定律 von Laue方程 结构因子
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2晶体结构衍射理论 d sin n
4
讨论
2d sin n
d
• 波长与面间距关系
* 满足什么条件才发生Bragg反射？
• 不能用可见光！
* 因为只有λ<2d才能发生Bragg反射 * 对同一簇反射面，要求θ和λ相匹配，因此，反射 受严格限制，只有θ和λ的特殊耦合才会有同相位 相加效应，产生衍射斑点
K 1 (r )e iK r dr 1SK http://10.107.0.68/~jgche/
晶体结构衍射理论
几何结构因子
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几何结构因子
S K (r )e
iK r
dr
(r ) j (r τ j )
j 1
iK τ j iK r ( r ) e dr f j e j
21
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晶体结构衍射理论
bcc(001)面反射？
• 在体心立方的(001)面， • (001)(hlk)，奇数，结构 因子为零 • 思考：? • 相邻晶面产生的相位差都 是π，所以产生的反射振 幅之和为零，不产生衍射 光斑！
1 e i 1 1 0
d
• Bragg假设入射波从原子平面作镜面反射，但每 个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反 射波发生相长干涉时，就出现衍射极大
* 只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射
• 两个面间光程差？ • 光程差：2d sinθ • 加强条件：层与层之间的光程差为波长的n倍 时，衍射极大Bragg定律（ Bragg 反射公式）
晶体结构衍射理论
6
讨论
2d sin n
• Bragg定律结论正确
* 但问题是，其物理图象是否清 楚？ * 有哪些问题？
d
• 原子平面能否当作X射线的 反射镜面？ • d是原子平面间距；原子平 面间距都相等吗？ • 预言出现衍射极大的地方都 会出现衍射极大？ • Bragg父子在1915年因Bragg 定律而得诺贝尔物理学奖
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晶体结构衍射理论
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例：fcc结构因子
τ j : (0.0,0.0,0.0) ; (0.0,0.5,0.5); (0.5,0.5,0.0); (0.5,0.0,0.5)
a3
τ j x ja y jb z jc
SK f j e
h
* 几何结构因子反映原胞内原子的具体分布对散射的 影响
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原子形成因子atomic form factor
f j j (r )e
K 0 f j j (r )dr Z j
• 原子形成因子：原子j的电荷分布对散射的影响
K h R l 2 n
R l l1a1 l2a 2 l3a 3
K h h1b1 h2b 2 h3b 3
k K h k ' (k K h ) 2 k '2
弹性散射|k|=|k’| 讨论布里渊区时写成
k 'k K h
von Laue 条件： 波矢改变等于倒 格矢时，满足衍 射加强的条件
a2
iK h τ
j
j
a1
K h τ j 2 ( hx j ky j lz j )
SKh f (1 ei (k l ) ei (hl ) ei (hk ) ) SKh 0
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h, k, l全为奇数或偶数
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幸运总是眷顾有准备的脑袋
• von Laue的初衷并非晶体结构衍射
* 还得益于一个向他请教问题的博士生 * 他的初衷实际是X射线的波长——因为用普通光 栅衍射来测X射线波长波长不行，X射线波长太短 * Sommerfeld的博士生Ewald因研究晶体双折射 象，向von Laue请教问题。von Laue这才得知， 晶体中的原子间距是1A数量级。他意识到这是X 射线的天然光栅！结果所得比初衷还要丰厚。 von Laue随后得到了硫酸铜晶体的衍射斑，并给 出了正确的理论解释 * 从此揭开了晶体分析的序幕，也为固体物理学奠 定了基础，这个事件是固体物理学发展史上的重 要里程碑。1914年得到了诺贝尔物理学奖
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例：蜂窝结构的结构因子
• 确定基元内原子位置矢量 • 用基矢表达
τ 0 0a1 0a 2
2 2 τ 1 a1 a 2 3 3
iK r
dr
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散射强度——消光条件
• 几何结构因子
SK f j e
h
iK h τ
j
j
K h hu kv lw τ j x ja y jb z jc K h τ j 2 (hx j ky j lz j )
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讨论： von Laue方程的物理图象
• 非常清楚。对Bragg定律提出的所有疑问全都 迎刃而解，或在此基础上全都可以解决
* 而Bragg定律实际上只是von Laue方程中满足衍射 极大的条件特例
• 注意：当时量子力学还未完全建立，但是von Laue方程物理图象就是在今天看来也是正确的
* X射线被电子在各个方向散射 * 由于原子核的周期性排列的，围绕着原子核的电子 也可以被认为是周期性分布的 所以在某些方向上，散射波相消干涉；在某些方 向上，散射波相长干涉，产生衍射极大