数学建模变分法建模

J [ y ( x )] =
最简泛 函的形 式
S = {y(x) y(x)∈C ([x0, x1]), y(x0 ) = y0, y(x1) = y1}
∫
x x0
F ( x , y , y ′ )dx , y ( x ) ∈ S
泛函的变分 函数 y ( x ) 在 y0(x) 的增量 δy( x) = y( x) − y0 ( x) 函数 的 变分
∫
x1
1 + ( y ') 2 gy
2
x0
dx
问题 求解
2 x1 1 + ( y ') m in ∫x 0 2 g y d x s. t . y ( x ) ∈ S
S = y(x) y(x)∈C1 ([x0, x1]), y(x0) = y0, y(x1) = y1
{
}
变分问题
二 变分法的基本概念
{
y∈s
0
}
解
Fy = −2 cos x , F y′ = 2 y′
y′′ + cos x = 0
y = cos x + c1 x + c2
y ( 0 ) = y (π ) = 0
y = cos x +
2
π
x−1
四 条件极值
J ( u ( x )) = min
u∈ U
∫
x1 x0
F ( x , y ( x ), u ( x ) ) dx
x0
x1
x
y0
y1
A( x 0 , y 0 )
B ( x 1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 由能量守恒定律， 轨道上任意一点处的速度为
ds v = = 2gy dt
′ )2 1+ (y 2 gy dx
ds dt = = 2 gy
物体从A到B的 物体从A 滑行时间为
T [ y ( x )] =
欧拉 方程
注：此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有 两个及两个以上未知函数
J ( y ( x ), z ( x )) =
欧拉方程组
∫
x1
x0
F ( x , y , y ′ , z , z ′ )dx
d F y − dx F y ′ = 0 F = d F = 0 z′ z dx
∆J = J( y0(x) +δy(x)) − J( y0(x))
= L( y0 ( x ), δy( x )) + r ( y0 ( x ), δy( x ))
泛函 J 在
而 的线性项， 其中L是δ y 的线性项， r 是 δ y的高阶项 其中L
δ J ( y 0 ( x )) = L ( y 0 ( x ), δ y ( x ))
s . t . y ′ ( x ) = f ( x , y ( x ), u ( x ) )
拉格朗 日乘子 法
化条件极值为无条件极值
I ( y ( x ), u ( x )) =
∫
x1 x0
[ F ( x , y , u ) + λ ( f ( x , y , u ) − y ′ )]dx
H(x, y,u) = F(x, y,u)+λf (x, y,u)
最速下降问题的求解
F ( x , y , y′ ) = 1 2g ′ )2 1+ (y y
d ( F − y ′ F y ′ ) = 0, 或 F − y ′ F y ′ = C dx
1 + ( y′ y
)2
−
( y ′ )2 ~ = C1 2 y (1 + ( y ′ ) )
y 1 + ( y ′) = C 1
泛 函 设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有 为一函数集合，若对S 一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S 一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S 上的一个泛函，记作J[y(x)] 上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函 J[y(x)]的定义域 的定义域。 J[y(x)]的定义域。
)
其中任意常数 C1 ,C 2 由边界条件 y(x0) = y0, y(x1) = y1 确定
例
J [ y ] = min ∫ [( y / ) 2 − 2 y cos x ]dx
π
S = y(x) y(x)∈C1 ([0,π]), y(0) = 0, y(π) = 0
F ( x , y , y′ ) = ( y / ) 2 − 2 y cos x
I ( y( x ), u( x )) = ∫
x
x0
(H − λy )dx
哈密尔顿函数
(H − λ y (H − λ y
)y )u
+ =
d − dx d − dx
(H (H
− λy − λy
)y )u
0
= 0 = 0
∂ H ∂ y ∂ H ∂ u
λ ′( x ) =
0
条件极值 满足的方程
y0 ( x) 的变分
泛函的极值 取得极小值(极大值)是指： 泛函 J( y( x))∈ s 取得极小值(极大值)是指： 对于任意一个与 y0 ( x) 接近的 y( x)∈ s 都有
J( y(x) ) ≥ J( y0(x)) (J( y(x))≤ J( y0(x))
变分与极值的关系
∂ δJ ( y0( x ) ) = J ( y0( x ) + αδy( x ) ) ∂α α =0
泛函数极值的必要条件 若 J( y0 ( x)) 在 y0 ( x) 达到极值 极小或极大 ，则 达到极值(极小或极大 极小或极大)，
δ J ( y 0 ( x )) = 0
三 最简泛函取得极值的必要条件
d Fy − F y′ = 0 dx
或 Fy − Fy′x − y Fy′ y − y" Fy′y′ = 0
2
(
)
y'= ctgt y 1 + ctg 2 t = C 1
dy = c 或 dy dx = ctgt
2 t
C 1 x − C 2 = 2 (2 t − sin y = C 1 (1 − cos 2 t ) 2
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题 • 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介 一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y ( x ) ∈
S ，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A( x0 , y0 ) 沿着该曲线轨道滑到 B( x1 , y1 ) 不计摩擦力) 所需的时间最少(见图1)。 所需的时间最少(见图1)。 1)