空间向量线面角

练习 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1，∠ACB＝90°， AC＝2BC，A1B⊥B1C，求：B1C 与侧面 A1ABB1 夹角的正弦值．
若直线l与平面α的夹角为θ，用向量法求线面夹角： (1)利用法向量计算θ的步骤如下：
(2)利用定义计算θ的步骤如下：
在正方体AC1中，求对角线AC 1 与底面ABCD夹角的正弦值。 z
A1 B1 A B C x O
D1
C1 y D
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
第二课时 直线与平面的夹角
A
B

C
A B
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直线与平面的夹角

C
(1) 平面外 一条直线与它在该平面内的 投影 的夹角叫 作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的 π 夹角为 2 . (3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内， 这条直线 与平面的夹角为 0 .
直线AB与平面的夹角 和该直线的方向向量 s, 与该平面的法向量 n的夹角 s, n 是什么关系?
A
B

C
A
B


C
当 s, n

2
时,

2
s, n

B
A

C
当

2
s, n 时, s, n

2
(4)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，l 与 α 的夹角为 θ，则，
π π 当〈a，n〉≤ 时，θ＝ －〈a，n〉； 2 2
π π 当〈a，n〉> 时，θ＝〈a，n〉－2 2
.
即 sinθ＝ |cos〈a，n〉| .
π (1)直线与平面夹角范围是0，2 ；
(2)求直线与平面夹角 θ 时，可用定义求解；也可用 直线的方向向量 s、平面的法向量 n 的夹角进行求解，但 要注意 sin θ＝|cos〈s，n〉|.
几何法：作出A1B在平面A1B1CD上的投影，再求夹角
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质 及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或 法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为： (1)建立空间直角坐标系； → (2)求直线的方向向量AB； (3)求平面的法向量 n； → |n· AB| (4)计算：设线面角为 θ，则 sin θ ＝ . → |n|· |AB|