第五章_开环伯德图
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G jωr tg 1
ζ 1 2ζ 2 900 sin1 1 2ζ ζ
2
18
7. 二阶微分环节 G jω 1 2ζ T jω T 2 jω2 频率特性 2 2 Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω 对数幅频特性 相频特性 2ζ Tω ω tg 1
1 T 2ω2
即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振 荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时， 其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为 +40dB/dec而相频由0°（对应ω=0）经 1 90°ω ω T ，最后趋于180°（ω→∞）。
n
19
L( )
40 20
0
dB 40
0.7
o
o
n
r
16
振荡环节的幅频 特性为
G jω
1 T ω 2ζ
2 2 2
1
Tω
1 gω
2
其中 ：
gω 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
2
当出现揩振峰值时，G jω 有最大值，即 gω 有最小值。 dg ω d 得到 1 T ω 2ζ Tω 0
24
例：两个系统的开环传递函数分别为（T1>T2）
G1 S 1 T2S 1 T1S G 2 S 1 T2S 1 T1S
它们的对数幅频和相频特性为
L1 ω 20lg 1 ω T2
2
20lg 1 ω T1
2
1 ω tg1ω T1 tg1ω T2
3
2. 积分环节
1 G jω jω
1 Lω 20lgG jω 20lg 20lg dB ω jω
当ω=1时 当ω=10时
L 20lg1 0 dB ω
Lω 20lg10 20 dB
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴 上ω=1这一点，且斜率为-20的直线。
20lg 1 jω T 20lg 1 ω 2 T 2
ω tg1ω T
11
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T
45 0
1 10T
1 T
10 T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）
22
10 G( j ) j (0.1 j 1)
L ( ) 40 ① ④
20
1
20
②
10
100
③
( )
0
①
③
45
②
90
④ 180
23
三、最小相位系统
1. 定义： 在系统的开环传递函数中，没有位于S右半平 面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为 最小相位系统，反之为非最小相位系统。 七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。 2. 最小相位系统特征： a．在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位 系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式 的阶次。
o
分析表明：惯性环节具有低通特性，对低频输入能 精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。 因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
10
5. 一阶微分环节
G jω 1 jω T
一阶微分环节的频率特性（1+jωT） 与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此 其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。 即
ω e jω T ω T(rad) 57.3 T0
1 T 10 T
21
二、开环系统的伯德图
基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积 形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲 线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的 伯德图。
例1：
10 G( j ) j (0.1 j 1)
4
相频与ω无关，值为-90°且平行于横轴的直线。
L ( )
20 0 0.1
( )
20
1
10
0 90
0.1
1
10
5
3. 微分环节
G jω jω
微分环节是积分环节的倒数，它们的曲 线斜率和相位移也正好相差一个负号。
L ( )
20
0
20
0.1 Hale Waihona Puke Baidu20
1
10
( )
L 2 ω 20lg 1 ω T2
L ( ) dB
2
20lg 1 ω T1
2
2 ω tg1ω T1 tg1ω T2
1 T2
1
0
1 T 1 20
2
( )
0
G 1
90
G2
180
25
L ( ) dB
1
0
1 T 1 20
2
1 T2
( )
0
G1
90
G2
180
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 图可见， 2 ω 的变化范围要比 1 ω 大得多。 G1 ( s) ——最小相位系统 G 2 ( s ) ——非最小相位系统
26
b、当ω=∞时，其相角等于-90°（n-m），对 数幅频特性曲线的斜率为–20(n–m)dB/dec。有时 用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对 应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了 其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。 也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最 小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相 频特性。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能 差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用 非最小相位元件。
2 2 2
dω
dω
ωr
1 1 2ζ 2 ωn 1 2ζ 2 T
1 0 ζ 2
式中
ωn
1 T
17
将 ωr ωn 1 2ζ 2 代入 ，不难求得 。 因此，在ω=ωr处 gω 具有最小值，亦即 G jω 此刻具 有最大值。将 ωr ωn 1 2ζ 2 代入幅频特性 G jω r 中， 得谐振峰值Mr为
0. 2 0.3 0. 7
1
( ) 90
180 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8
1
2
4
6
8
15
10
/n
可见：当频率接近 ω ω n 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 0 相角 是ω和ζ的函数。在ω=0， ω ；当 ω ωn 90 时，不管ζ值的大小， ； ω当ω=∞ 180 ω。相频曲线对-90°的弯曲点是斜 时， 对称的。 1 ω 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 T 附近产生谐振峰值 Gjω 可通过下列计算得到：
M r G jωr 1 2ζ 1 ζ 2
d 2 g ω dω 2
d 2 gω 0 dω2
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。ζ越小, ωr越接近 ωn, Mr将越大。当>0.707时，r为虚数，说明不存在 谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0， Mr=1。<0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n， Mr∞。谐振时，G(jω)的相角为
1 T
时，是一条斜率为-20dB/dec的直线。
8
两条渐近线相交处的频率 或交接频率。
L ( )
ω
1 T
称为转折频率
dB
0
1 T
精确曲线 20
10
( )
0 45 90
9
惯性环节的相频特性 ω tg1ω T
1 当ω=0时， ω 0o，当 ω T 时， ω -45 ；当 ω趋于 无穷时， ω 趋于-90°。 采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算 1 的。幅值的最大误差发生在转折频率 ω T 处，近似等 于3dB。 20lg 1 1 10lg2 3.01dB
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性 是与横轴相重合的直线。
7
在 时（高频段）： 幅频特性： 2 2
ω 1 T
ω
1 T
20lg 1 ω T 20lg T dB ω
——表示一条经过 横轴处，斜率为-20dB/dec的直线 方程。 1 ω 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在 T 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示： 1 ω 当 T 时，是一条0分贝的直线； 当 ω
典型环节的伯德图
一、对数坐标图
1. 幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
2.相频特性图 纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
1
( )
60 180
L( ) dB
40
90
90
0
0.1
1
10
6
4. 惯性环节
惯性环节的幅频特性为
G jω 1 1 jω T
惯性环节的幅频特性
20 lg 1 1 20 lg 20 lg 1 2T 2 1 jT 1 2T 2
1 在 ω T 时（低频段）：
20lg 1 ω2T 2 20lg1 0 dB
12
6. 振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G jω
1 2 T 2 jω 2ζ T jω 1
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 1 T 2ω2
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1 0 dB ＝
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
13
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
高频段，即ωT>>1时
L ( ) 20 lg( 2T 2 ) 40 lg( T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10T ω 40 40lgT ω
0.3 0.2
( )
180 90 0
1 10T 1 T 10 T
0.7
0.3 0.2
20
8．延迟环节
幅频特性 相频特性
( )
0 100 200 300 400
1 10T
e jω T
Lω 20lgG jω 20lg1 0 dB
20
0.1 -20 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 10
0
90
180
-60
2
6-3 典型环节的伯德图
1. 放大环节
L ( )
G(jω)=K
20
10
20 lg K
0
( )
10 0
10
100
10 100
放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分 贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重 合的直线。K>1时，20lgK>0dB；K<1时，20lgK<0dB。
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。 当 ωω 1 时
n
T
L( ) 40 lg T 40 lg 1 0(dB )
1 T
说明
ω ωn
为二阶系统(振荡环节)的转折频率。
14
。10
0
0.1
0.2 0. 3
L ( )
dB
0 .7 1
10
0
0.1
27
ζ 1 2ζ 2 900 sin1 1 2ζ ζ
2
18
7. 二阶微分环节 G jω 1 2ζ T jω T 2 jω2 频率特性 2 2 Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω 对数幅频特性 相频特性 2ζ Tω ω tg 1
1 T 2ω2
即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振 荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时， 其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为 +40dB/dec而相频由0°（对应ω=0）经 1 90°ω ω T ，最后趋于180°（ω→∞）。
n
19
L( )
40 20
0
dB 40
0.7
o
o
n
r
16
振荡环节的幅频 特性为
G jω
1 T ω 2ζ
2 2 2
1
Tω
1 gω
2
其中 ：
gω 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
2
当出现揩振峰值时，G jω 有最大值，即 gω 有最小值。 dg ω d 得到 1 T ω 2ζ Tω 0
24
例：两个系统的开环传递函数分别为（T1>T2）
G1 S 1 T2S 1 T1S G 2 S 1 T2S 1 T1S
它们的对数幅频和相频特性为
L1 ω 20lg 1 ω T2
2
20lg 1 ω T1
2
1 ω tg1ω T1 tg1ω T2
3
2. 积分环节
1 G jω jω
1 Lω 20lgG jω 20lg 20lg dB ω jω
当ω=1时 当ω=10时
L 20lg1 0 dB ω
Lω 20lg10 20 dB
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴 上ω=1这一点，且斜率为-20的直线。
20lg 1 jω T 20lg 1 ω 2 T 2
ω tg1ω T
11
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T
45 0
1 10T
1 T
10 T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）
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10 G( j ) j (0.1 j 1)
L ( ) 40 ① ④
20
1
20
②
10
100
③
( )
0
①
③
45
②
90
④ 180
23
三、最小相位系统
1. 定义： 在系统的开环传递函数中，没有位于S右半平 面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为 最小相位系统，反之为非最小相位系统。 七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。 2. 最小相位系统特征： a．在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位 系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式 的阶次。
o
分析表明：惯性环节具有低通特性，对低频输入能 精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。 因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
10
5. 一阶微分环节
G jω 1 jω T
一阶微分环节的频率特性（1+jωT） 与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此 其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。 即
ω e jω T ω T(rad) 57.3 T0
1 T 10 T
21
二、开环系统的伯德图
基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积 形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲 线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的 伯德图。
例1：
10 G( j ) j (0.1 j 1)
4
相频与ω无关，值为-90°且平行于横轴的直线。
L ( )
20 0 0.1
( )
20
1
10
0 90
0.1
1
10
5
3. 微分环节
G jω jω
微分环节是积分环节的倒数，它们的曲 线斜率和相位移也正好相差一个负号。
L ( )
20
0
20
0.1 Hale Waihona Puke Baidu20
1
10
( )
L 2 ω 20lg 1 ω T2
L ( ) dB
2
20lg 1 ω T1
2
2 ω tg1ω T1 tg1ω T2
1 T2
1
0
1 T 1 20
2
( )
0
G 1
90
G2
180
25
L ( ) dB
1
0
1 T 1 20
2
1 T2
( )
0
G1
90
G2
180
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 图可见， 2 ω 的变化范围要比 1 ω 大得多。 G1 ( s) ——最小相位系统 G 2 ( s ) ——非最小相位系统
26
b、当ω=∞时，其相角等于-90°（n-m），对 数幅频特性曲线的斜率为–20(n–m)dB/dec。有时 用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对 应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了 其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。 也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最 小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相 频特性。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能 差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用 非最小相位元件。
2 2 2
dω
dω
ωr
1 1 2ζ 2 ωn 1 2ζ 2 T
1 0 ζ 2
式中
ωn
1 T
17
将 ωr ωn 1 2ζ 2 代入 ，不难求得 。 因此，在ω=ωr处 gω 具有最小值，亦即 G jω 此刻具 有最大值。将 ωr ωn 1 2ζ 2 代入幅频特性 G jω r 中， 得谐振峰值Mr为
0. 2 0.3 0. 7
1
( ) 90
180 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8
1
2
4
6
8
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10
/n
可见：当频率接近 ω ω n 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 0 相角 是ω和ζ的函数。在ω=0， ω ；当 ω ωn 90 时，不管ζ值的大小， ； ω当ω=∞ 180 ω。相频曲线对-90°的弯曲点是斜 时， 对称的。 1 ω 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 T 附近产生谐振峰值 Gjω 可通过下列计算得到：
M r G jωr 1 2ζ 1 ζ 2
d 2 g ω dω 2
d 2 gω 0 dω2
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。ζ越小, ωr越接近 ωn, Mr将越大。当>0.707时，r为虚数，说明不存在 谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0， Mr=1。<0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n， Mr∞。谐振时，G(jω)的相角为
1 T
时，是一条斜率为-20dB/dec的直线。
8
两条渐近线相交处的频率 或交接频率。
L ( )
ω
1 T
称为转折频率
dB
0
1 T
精确曲线 20
10
( )
0 45 90
9
惯性环节的相频特性 ω tg1ω T
1 当ω=0时， ω 0o，当 ω T 时， ω -45 ；当 ω趋于 无穷时， ω 趋于-90°。 采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算 1 的。幅值的最大误差发生在转折频率 ω T 处，近似等 于3dB。 20lg 1 1 10lg2 3.01dB
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性 是与横轴相重合的直线。
7
在 时（高频段）： 幅频特性： 2 2
ω 1 T
ω
1 T
20lg 1 ω T 20lg T dB ω
——表示一条经过 横轴处，斜率为-20dB/dec的直线 方程。 1 ω 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在 T 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示： 1 ω 当 T 时，是一条0分贝的直线； 当 ω
典型环节的伯德图
一、对数坐标图
1. 幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
2.相频特性图 纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
1
( )
60 180
L( ) dB
40
90
90
0
0.1
1
10
6
4. 惯性环节
惯性环节的幅频特性为
G jω 1 1 jω T
惯性环节的幅频特性
20 lg 1 1 20 lg 20 lg 1 2T 2 1 jT 1 2T 2
1 在 ω T 时（低频段）：
20lg 1 ω2T 2 20lg1 0 dB
12
6. 振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G jω
1 2 T 2 jω 2ζ T jω 1
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 1 T 2ω2
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1 0 dB ＝
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
13
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
高频段，即ωT>>1时
L ( ) 20 lg( 2T 2 ) 40 lg( T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10T ω 40 40lgT ω
0.3 0.2
( )
180 90 0
1 10T 1 T 10 T
0.7
0.3 0.2
20
8．延迟环节
幅频特性 相频特性
( )
0 100 200 300 400
1 10T
e jω T
Lω 20lgG jω 20lg1 0 dB
20
0.1 -20 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 10
0
90
180
-60
2
6-3 典型环节的伯德图
1. 放大环节
L ( )
G(jω)=K
20
10
20 lg K
0
( )
10 0
10
100
10 100
放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分 贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重 合的直线。K>1时，20lgK>0dB；K<1时，20lgK<0dB。
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。 当 ωω 1 时
n
T
L( ) 40 lg T 40 lg 1 0(dB )
1 T
说明
ω ωn
为二阶系统(振荡环节)的转折频率。
14
。10
0
0.1
0.2 0. 3
L ( )
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0 .7 1
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