向量加减法练习

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8.0.3 向量的加减法(含答案)

【课堂例题】课堂练习1.作图求,,,a b c d e f g h ----2. 平行四边形ABCD ，用向量,a b 表示下列向量.(1),AB a AD b == (2),AB a AC b ==AC = DA = DB = DB =3.作图验证：()a b a b -+=--4.化简计算：(1)AB AD -= ; (2)BA BC -= ; (3)BC BA -= ; (4)OA OB -= ; (5)OD OA -= ; (6)AB AC DB --= ; (7)AB AC BD CD -+-= .5.已知ABCD ，它的顶点,,,A B C D 相对于点O 的位置向量分别记作,,,a b c d ，求证：a c b d +=+abcdefghA A C【知识再现】1.若c b a +=，那么向量c 叫做向量a 与向量b 的，记作c = ，如果把向量,a b 的始点放在一起，那么c 就是以的向量. 2.向量的减法可以转化为向量的加法：a b -= + . 【基础训练】1.已知,a b ，求作a b -： (1)a b b a -=- ( ) (2)0a a -=- ( ) (3)()0a a +-= ( ) (4)OA OB BO AO -=- ( ) (5)AB AC BC -= ( )3.如上图，已知四边形ABCD 为边长为1的正方形,求下列向量的模：AB BC += ; AB AC BC -+= ; AB BD AC +-= ; AC BD -= ;4. 化简：(1)OB OA -= ; (2)BC BD -= ; (3)AB AC BD CD -+-= ; (4)OA OD AD -+= ; (5)AB AD DC --= ； (6)NQ QP MN MP ++-= . 5.如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,AB a DA b OC c ===，求证：b c a OA +-=6.作图验证：()a b c a b c --=-+a b abababACD A7. 一艘船从A 点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2/km h ，求该船的速度大小及航向(精确到0.1度)【巩固提高】8.已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠==，则下列哪几个等式是成立的？ (1)||||CA CB CA CB -=+； (2)||||AB AC BA BC -=-； (3)||||CA BA CB AB -=-；(4)222||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-.9.向量,a b 满足||2,||3,||3,a b a b ==+=求||a b -.(选做)10.在求作两个向量的和(或差)时，你可能选择不同的始点求和(或差)，你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和(或差)都相等吗？你可能认为，显然，作出的向量和(或差)都是相等的.当然，这里你的“显然”是对的. 你能根据下图逻辑地证明这个结论吗？【温故知新】11.在ABC ∆中，,||,||A AB m AC n θ∠===，则||BC = . (用,,m n θ表示)C'B'Ba b a b-a b -b【课堂练习答案】a b =-；(2)DB a b a =-+ 4.(1)DB ；(2)CA ；(3)AC ；(4)BA ； (5)AD ；(6)CB ；(7)0. 5.证：即证a b d c -=-a b OA OB BA -=-=，d c OD OC CD -=-=因为BA CD =，即a b d c -=-. 证毕【知识再现答案】1.差，a b -，向量b 的终点为始点，向量a 的终点为终点2.,()a b - 【习题答案】1.a b -错误；(2)正确； 3.2AB BC +=;0AB AC BC -+=;1AB BD AC +-=; AC BD -=2.4.(1)AB ;(2)DC ;(3)0;(4)0;(5)CB ;(6)05.证：()b c a DA OC AB +-=+-()OC CB AB OB AB OA =+-=-= 证毕6.如上图/h ，方向北偏西约21.8 8.(1)(2)(3)(4)均正确.abcdef ghab()a b -+a b--ABCDOadbcab a baba bab a b -cb c+a b c--提示：如图，记DAB θ∠= 由余弦定理可得:222||||||2||||cos(180)a b a b a b θ+=+-- 222||||||2||||cos a b a b a b θ-=+-两式相加即得222||||2(||||)a b a b a b ++-=+，其实就是定理：“平行四边形两条对角线长的平方和等于四边长的平方和”10.证：''//''a AB A B AB A B ==⇒⇒四边形''AA B B 是平行四边形'//'AA BB ⇒ 同理，''//''b AC A C AC A C ==⇒⇒四边形''AA C C 是平行四边形'//'AA CC ⇒ 因此'//'BB CC ⇒四边形''BB C C 是平行四边形⇒''CB C B = 证毕ab Ca b+b Ba b -。

(完整版)法向量加减法练习题

(完整版)法向量加减法练习题本练题旨在帮助研究者加深对法向量加减法的理解和应用。

下面是一些练题及其解答，供参考。

练题一设平面A的法向量为n1 = (1, -2, 3)，平面B的法向量为n2 = (4, 5, -6)，求平面C的法向量，其中平面C与平面A和B都垂直。

解答：由于平面C与平面A和B都垂直，所以平面C的法向量与平面A和B的法向量都正交。

因此，平面C的法向量可以通过求平面A和B法向量的叉乘得到：n3 = n1 × n2 = (1, -2, 3) × (4, 5, -6) = (-33, 6, 13)所以，平面C的法向量为n3 = (-33, 6, 13)。

练题二已知平面D的法向量为n4 = (2, 3, -1)，平面E的法向量为n5 = (4, -2, 5)，求平面D和E的夹角。

解答：平面D和E的夹角可以通过它们法向量的点乘来计算：cosθ = (n4 · n5) / (|n4| * |n5|)其中，·表示点乘，|n4| 和 |n5| 分别为向量 n4 和 n5 的模。

计算得到：cosθ = (2 * 4 + 3 * -2 + -1 * 5) / (sqrt(2^2 + 3^2 + -1^2) * sqrt(4^2 + -2^2 + 5^2)) ≈ -0.042所以，平面D和E的夹角θ ≈ acos(-0.042) ≈ 1.612 弧度（或约92.389度）。

练题三已知平面F的法向量为n6 = (2, 5, -3)，平面G的法向量为n7 = (3, 4, 1)，求平面F和G的法向量之和。

解答：平面F和G的法向量之和可以通过将向量 n6 和 n7 相加得到：n8 = n6 + n7 = (2, 5, -3) + (3, 4, 1) = (5, 9, -2)所以，平面F和G的法向量之和为n8 = (5, 9, -2)。

以上是关于法向量加减法的练题及解答，希望对您的研究有所帮助。

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。

向量的加减法练习题(打印版)

向量的加减法练习题（打印版）# 向量加减法练习题## 一、向量加法练习题目1：已知向量$ \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} $ 和向量$ \vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j} $，求向量$ \vec{A} +\vec{B} $。

解答：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 5)\hat{j} =5\hat{i} - \hat{j} \]题目2：若向量$ \vec{C} $ 与向量$ \vec{D} = 4\hat{i} +3\hat{j} $ 的和为$ \vec{E} = 7\hat{i} + 8\hat{j} $，求向量$ \vec{C} $。

解答：\[ \vec{C} = \vec{E} - \vec{D} = (7 - 4)\hat{i} + (8 -3)\hat{j} = 3\hat{i} + 5\hat{j} \]## 二、向量减法练习题目3：已知向量$ \vec{F} = 6\hat{i} - 2\hat{j} $ 和向量$ \vec{G} = 3\hat{i} + 4\hat{j} $，求向量$ \vec{F} -\vec{G} $。

解答：\[ \vec{F} - \vec{G} = (6 - 3)\hat{i} + (-2 - 4)\hat{j} =3\hat{i} - 6\hat{j} \]题目4：若向量$ \vec{H} $ 与向量$ \vec{I} = 5\hat{i} -3\hat{j} $ 的差为$ \vec{J} = 2\hat{i} + 7\hat{j} $，求向量$ \vec{H} $。

解答：\[ \vec{H} = \vec{I} + \vec{J} = (5 + 2)\hat{i} + (-3 +7)\hat{j} = 7\hat{i} + 4\hat{j} \]## 三、向量加减法综合应用题目5：在直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(5, -1)，求点A到点B 的向量$ \vec{AB} $。

平面向量的加减与数量积练习题

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

向量加减法练习题(打印版)

向量加减法练习题（打印版）### 向量加减法练习题题目一：给定两个向量 A = (3, 2) 和 B = (-1, 4)，计算以下向量加法和减法的结果。

1. A + B2. A - B3. B - A题目二：已知向量 C = (4, -1) 和向量 D = (-2, 3)，计算以下向量运算。

1. C + D2. 2C - D3. D - 3C题目三：向量 E = (1, 0) 和向量 F = (0, 1)，求以下结果。

1. E + F2. E - F3. -E + F题目四：向量 G = (-3, 5) 与向量 H = (2, -4)，计算以下向量运算。

1. G + H2. G - 2H3. 3G - H题目五：向量 I = (5, 7) 和向量 J = (-6, 8)，计算以下向量运算。

1. I + J2. I - 3J3. J - I题目六：向量 K = (1, 2, 3) 和向量 L = (4, -2, 1)，计算以下三维向量的加法和减法。

1. K + L2. K - L3. 2K - L题目七：向量 M = (2, 3, 4) 和向量 N = (-1, -2, -3)，计算以下三维向量运算。

1. M + N2. M - 2N3. N - M题目八：已知向量 O = (-1, 2, -3) 和向量 P = (3, -2, 1)，求以下结果。

1. O + P2. O - P3. -O + P题目九：向量 Q = (4, 5, 6) 与向量 R = (-7, -8, -9)，计算以下向量运算。

1. Q + R2. 2Q - R3. R - 3Q题目十：向量 S = (1, -1, 2) 和向量 T = (-2, 2, -3)，求以下结果。

1. S + T2. S - 2T3. T - S答案提示：在进行向量加法时，对应分量相加；进行向量减法时，对应分量相减。

对于标量乘以向量，只需将标量与向量的每个分量相乘。

19~22向量的加减法

向量的加减法⑴1、如图已知向量a 与b ，求作向量a b + ,a b -。

2、已知向量a b c ,,求作：⑴a b c -+ ； ⑵a b c --2、填空⑴−→−−→−+BC AB = ⑵++−→−−→−BC AB −→−−→−−→−++EF DE CD = ⑶++−→−−→−BC AB −→−−→−+DA CD = ⑷()()AB CD AC BD ---=⑸ AB AC BD CD -+-= ⑹ OA OD AD -+=⑺ AB AD DC --= ⑻ NQ QP MN MP ++-=向量的加减法⑵1、四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是。

A.AB 与CD 是共线向量B. AD 与CB是相反向量C. AB 与CD 模相等D.AC 与BD是相等向量2．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）。

A ．大小为4km/h ，方向与流速夹角为60° B ．大小为h km /32，方向与流速夹角为60° C ．大小为4km/4，方向垂直于对岸 D ．大小为h km /32，方向垂直于对岸ababab (1)(2)3、已知5AB = ，7CD = ，则AB CD +的取值范围是。

A ．[]2,12B ．()2,12C ．[]2,7D ．()2,74、知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中不正确的是。

A.AB CB AC +=B.AB AD AC +=C.AD CD BD +=D.0AO CO OB OD +++= 5、是平行四边形ABCD⑴+ =⑵++⑶EC CB DE ++= ⑷+++=6、a示“向东走了2公里”，表示“向南走了2公里”，表示“向西走了1公里”，表示“向北走了1公里”，则++表示向走了公里。

7、量a ，b 6=10=-的最大值是最小值是8、已知OA a = ，OB b = ，且3a b == ，60AOB ∠=，则a b += 。

向量的加减法及数乘运算

o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1．相反向量：
与做记作
a长aa度的相相等反，向方量向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注：（1） a a
（（32））如任即那果意：么，向：量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和，0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法，
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图，ar ,平uAuDu行r 四br边，形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur，和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另：（1） a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A

向量的加法与减法经典练习题

向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分） 1．下列命题中，正确的是（） A ． B ． C ．D ．若且，则2．化简以下各式：（1）；（2）；（3）（4）。

结果为零向量的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．若，且，则的值是（）A ．必小于5B ．必大于10C ．有可能为0D ．不可能为0 4．若，，则的取值范围是（）A ．[3，8]B ．（3，8）C ．[3，13]D ．（3，13）5．在平行四边形ABCD 中，若，则必有（）A ．ABCD 是菱形B ．ABCD 是梯形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是矩形6．把所有单位向量的起点平移到同一点P ，各向量终点的集合构成什么图形（） A ．点P B ．过点P 的一条直线C ．过点P 的一条射线D ．以点P 为圆心，1为半径的圆 7．下列有关零向量的说法正确的是（） A ．零向量是无长度，无方向的向量 B ．零向量是无长度，有方向的向量 C ．零向量是有长度，无方向的向量 D ．零向量是有长度，有方向的向量 8．已知，，则的取值范围是（）A ．[2，12]B ．（2，12）C ．[2，7]D ．（2，7）9．“”是“A ，B ，C 是三角形三个顶点的”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知两个向量，，则下列说法正确的是（） A ．向量可以比较大小B ．向量不可以比较大小，但是模可以比较大小C ．当，是共线向量时，可以比较大小D ．当，两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小11．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）A ．大小为4km/h ，方向与流速夹角为60°B ．大小为h km /32，方向与流速夹角为60°C ．大小为4km/4，方向垂直于对岸D ．大小为h km /32，方向垂直于对岸 12．已知向量，，则下列有关与的说法正确的是（）A ．两者必不相等B ．>C ．两者可能相等D ．无法比较大小二、填空题（每题4分，共16分） 13．如图5—5，在ABCD 中，已知=，，则=_______，=_______。

向量加减法练习题

向量加减法练习题本练题旨在帮助练者加强对向量加减法的理解和运用。

请根据题目要求完成下列练题。

题目一已知向量 $\mathbf{A} = (3, 2)$，$\mathbf{B} = (1, -4)$，求$\mathbf{A} + \mathbf{B}$ 和 $\mathbf{A} - \mathbf{B}$。

请将计算结果写下。

题目二已知向量 $\mathbf{C} = (5, -1)$，求 $\mathbf{C} -\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C} - \mathbf{B}$。

请将计算结果写下。

题目三已知向量 $\mathbf{D} = (2, 3)$，$\mathbf{E} = (4, -1)$，$\mathbf{F} = (-1, 2)$。

求 $(\mathbf{D} + \mathbf{E}) -\mathbf{F}$ 并化简结果。

请将计算步骤和结果写下。

题目四已知向量 $\mathbf{G} = (2, -5)$，$\mathbf{H} = (-3, 1)$，求$(\mathbf{G} - \mathbf{H}) + \mathbf{G}$。

请将计算步骤和结果写下。

题目五已知向量 $\mathbf{I} = (0, 1)$，$\mathbf{J} = (-1, 0)$，$\mathbf{K} = (3, 2)$。

求 $\mathbf{I} + \mathbf{J} - \mathbf{K}$ 并化简结果。

请将计算步骤和结果写下。

题目六已知向量 $\mathbf{L} = (1, 2)$ 和 $\mathbf{M} = (-2, 3)$，求满足 $\mathbf{N} - \mathbf{L} = \mathbf{M}$ 的向量 $\mathbf{N}$。

请将计算步骤和结果写下。

题目七已知向量 $\mathbf{P} = (3, -2)$ 和 $\mathbf{Q} = (4, -1)$，求满足 $\mathbf{P} + \mathbf{R} = \mathbf{Q}$ 的向量 $\mathbf{R}$。

向量加减法基础练习题(打印版)

向量加减法基础练习题（打印版）# 向量加减法基础练习题## 一、向量加法练习1. 题目一：已知向量 $\vec{A} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{B} = (1, -1)$，求向量 $\vec{A} + \vec{B}$。

2. 题目二：向量 $\vec{C} = (-2, 3)$ 和向量 $\vec{D} = (4, 1)$，计算 $\vec{C} + \vec{D}$。

3. 题目三：若向量 $\vec{E} = (x, y)$ 和向量 $\vec{F} = (2, -3)$，且 $\vec{E} + \vec{F} = (5, -1)$，求 $x$ 和 $y$的值。

## 二、向量减法练习4. 题目四：向量 $\vec{G} = (5, -4)$ 和向量 $\vec{H} = (2, 3)$，求 $\vec{G} - \vec{H}$。

5. 题目五：已知向量 $\vec{I} = (-1, 5)$ 和向量 $\vec{J} = (3, 1)$，计算 $\vec{I} - \vec{J}$。

6. 题目六：若向量 $\vec{K} = (a, b)$ 和向量 $\vec{L} = (-4, 2)$，且 $\vec{K} - \vec{L} = (3, -5)$，求 $a$ 和 $b$ 的值。

## 三、向量加法与减法的综合应用7. 题目七：向量 $\vec{M} = (2, -1)$，向量 $\vec{N} = (-1, 3)$ 和向量 $\vec{O} = (4, 1)$。

求 $\vec{M} + \vec{N} -\vec{O}$。

8. 题目八：向量 $\vec{P} = (1, 2)$，向量 $\vec{Q} = (0, -4)$ 和向量 $\vec{R} = (3, 5)$。

向量加减法的运算练习题(打印版)

向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。

3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。

二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。

5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。

6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。

三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。

8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。

9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。

四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。

11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。

向量的加减练习题精编版

向量的加减练习题精编版====================================题目一：已知向量 a = (3, -2) 和向量 b = (-1, 4)，求向量 a - b 的结果。

解答：首先，向量 a - b 等于向量 a 加上向量 b 的相反数。

因此，我们可以计算出向量 a - b 的结果为：a -b = (3, -2) - (-1, 4) = (3, -2) + (1, -4) = (3 + 1, -2 - 4) = (4, -6)。

题目二：已知向量 c = (5, 7) 和向量 d = (-2, 3)，求向量 c - d 的结果。

解答：向量 c - d 等于向量 c 加上向量 d 的相反数。

我们可以计算出向量 c - d 的结果为：c -d = (5, 7) - (-2, 3) = (5, 7) + (2, -3) = (5 + 2, 7 - 3) = (7, 4)。

题目三：已知向量 e = (2, 1) 和向量 f = (-3, -5)，求向量 e - f 的结果。

解答：向量 e - f 等于向量 e 加上向量 f 的相反数。

计算向量 e - f 的结果为：e -f = (2, 1) - (-3, -5) = (2, 1) + (3, 5) = (2 + 3, 1 + 5) = (5, 6)。

题目四：已知向量 g = (0, -4) 和向量 h = (7, -2)，求向量 g - h 的结果。

解答：向量 g - h 等于向量 g 加上向量 h 的相反数。

我们可以计算出向量 g - h 的结果为：g - h = (0, -4) - (7, -2) = (0, -4) + (-7, 2) = (0 - 7, -4 + 2) = (-7, -2)。

题目五：已知向量 i = (9, 3) 和向量 j = (4, 6)，求向量 i - j 的结果。

解答：向量 i - j 等于向量 i 加上向量 j 的相反数。

中职教育数学《平面向量加减法》练习题

向量概念加减法一、选择题1．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①｜a｜＞｜b｜；②a∥b；③｜a｜＞0；④｜b｜=±1b，其中正确的有（）A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（）A．是平行四边形B．是梯形C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（） A．0B．a C．b D．c不存在5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（）A．BC B．AB C．AC D．AM6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（）A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（AB-CD）+（BE-DE）的结果是（）A．CA B．0 C．AC D．AE8．在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则（）A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1，AB =a,AC=c, BC=b,则｜a+b+c｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（）A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM）C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD11．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）A．a与b的长度必相等 B．a∥bC．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量12．如果两非零向量a、b满足：｜a｜＞｜b｜,那么a与b反向,则（）A．｜a+b｜=｜a｜-｜b｜B．｜a-b｜=｜a｜-｜b｜C．｜a-b｜=｜b｜-｜a｜D．｜a+b｜=｜a｜+｜b｜二、判断题1．向量AB与BA是两平行向量．（）2．若a是单位向量，b也是单位向量，则a=b．（）3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（）b4．与任一向量都平行的向量为0向量．（）5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（）7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（）10．凡模相等且平行的两向量均相等．（）三、填空题1．已知四边形ABCD 中，AB =21DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是．2．已知AB =a ,BC =b , CD =c ,DE =d ,AE =e ,则a +b +c +d = ．3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． a =“向东走4km ”,b =“向南走3km ”,则｜a +b ｜= ．四、解答题1.作图。

初二数学平面向量及其加减运算试题答案及解析

初二数学平面向量及其加减运算试题答案及解析1.如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵，∴，∵，∴=+=．故选B．2.下列关于向量的说法中，不正确的是（）A．B．C．若，则或D．【答案】C【解析】由平面向量的定义与运算，可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．解：A、，故本选项正确；B、，故本选项正确；C、若，无法判定与的关系，因为向量有方向性；故本选项错误；D、，故本选项正确．故选C．3.下列命题中，正确的是（）A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个D．相似三角形的中线的比等于相似比【答案】C【解析】定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；相似三角形的对应中线的比等于相似比．解：A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．故选C．4.已知矩形的对角线AC、BD相交于点O，若，，则（）A． B．B．C． D．【答案】B【解析】首先由矩形的性质，即可求得=，然后根据三角形法则，即可求得=+=﹣，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴=，∵，，∴=﹣，∴=+=﹣，∴=（﹣）．故选B．5.下列关于向量的说法中，不正确的是（）A．B．C．若（k为实数），则∥D．若，则或【答案】D【解析】根据平面向量的性质分别进行解答，即可判断出正确答案．解：A、根据数与向量的乘积的模等于该数与向量的模的乘积，即，故本选项正确；B、根据数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，即，故本选项正确；C、若（k为实数），可得与的方向相同或相反，均有∥，故本选项正确；D、向量既有大小又有方向，假如且，则或且，故本选项错误；故选D．6.如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设=，=，用、表示，下列结果中正确的是（）A． B．﹣ C． D．【答案】B【解析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量AB，又知题中EF为中线，所以只要准确把AB表示出来，向量EF即可解决．解：∵=、，∴==，∴．故选B．7.下列四个命题中，错误的是（）A．对于实数m和向量，，则有m（﹣）=m﹣mB．对于实数m、n和向量，则有（m﹣n）=m﹣nC．如果向量和非零向量平行，那么存在唯一实数m，使得=mD．如果m=0或者=，那么m=0【答案】D【解析】分别根据平面向量的运算法则及平面向量的概念判断各选项即可．解：A、对于实数m和向量，，则有m（﹣）=m﹣m，本选项正确；B、对于实数m、n和向量，则有（m﹣n）=m﹣n，本选项正确；C、如果向量和非零向量平行，那么存在唯一实数m，使得=m，本选项正确；D、如果m=0或者=，那么m=，故本选项错误．故选D．8.已知在△ABC中，点D、点E分别在边AB和边AC上，且AD=2DB，AE=2EC，，，用、表示向量正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先根据题意画出图形，由AD=2DB，AE=2EC，可得DE∥BC，△ADE∽△ABC，则可知DE=BC，又由，，求得的值，则问题得解．解：∵AD=2DB，AE=2EC，∴，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=2：3，∴DE=BC，∵，，∴=﹣=﹣，∴=（﹣）=﹣．故选D．9.下列关于向量的等式中，正确的是（）A．B．C．2（）=2D．【答案】A【解析】根据平面向量的加减法运算、乘法运算法则进行解答．解：A、根据向量加法﹣交换律运算法则知，故本选项正确；B、根据向量的加法计算法则知，，故本选项错误；C、由数乘向量的运算法则知，2（）=2，故本选项错误；D、由向量的三角形法则，知，故本选项错误．故选A．10.已知向量，，满足，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将原方程去分母、去括号、移项即可求解．解：去分母，得﹣=4（+），去括号，得﹣=4+3，移项，得=4+4．故选B．11.已知C是直线AB上一点，且，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据C是直线AB上一点，且，可知与方向相同，但长度是其的一半，故可判断与的关系．解：∵C是直线AB上一点，且，∴与方向相同，||=||，又点A、B和C在同一直线上，∴=﹣．故选A．12.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．【答案】【解析】由梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，又由=+，即可求得答案．解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．13.已知在△ABC中，=，=，M是边BC上的一点，BM：CM=1：2，用向量、表示=．【答案】+【解析】根据三角形法则表示出，再表示出，然后根据三角形法则表示出即可．解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵BM：CM=1：2，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+﹣=+．故答案为：+．14.已知：=3﹣，=+，则﹣4=．【答案】2﹣【解析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时的符号变化．解：∵=3﹣，=+，∴﹣4=（3﹣）﹣4（+）=3﹣﹣2﹣=2﹣．故答案为：2﹣．15.如图，△ABC中，D为边AC的中点，设BD=，BC=，那么用、可表示为．【答案】2﹣2【解析】根据三角形法则表示出，再根据D为AC的中点可得=2．解：∵BD=，BC=，∴=﹣，∵D为边AC的中点，∴=2=2（﹣）=2﹣2．故答案为：2﹣2．16.如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么=．【答案】【解析】由向量，，可求得的长，又由，即可求得，然后由三角形法则，求得．解：∵向量，，∴=﹣=﹣，∵，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=．故答案为：．17.如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，如果=，=，那么=．【答案】﹣【解析】由=，=，利用三角形法则，可求得的长，又由在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，即可求得的长，再利用三角形法则求解即可求得答案．解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD=2CD，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=﹣．故答案为：﹣．18.在矩形ABCD中，|AB|=，|BC|=1，则向量（AB+BC+AC）的长度为（）A．4 B． C．或 D．【答案】A【解析】首先求得的模，然后由：向量（AB+BC+AC）的长度=2||，即可求得向量（AB+BC+AC）的长度．解：∵在矩形ABCD中，|AB|=，|BC|=1，∴||==2，∴向量（AB+BC+AC）的长度=2||=4．故选A．19.下列判断中，不正确的是（）A．B．如果，则C．D．【答案】A【解析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为，故本选项错误；B、，则向量与的方向相同，大小相等，∴，故本选项正确；根据向量的加法满足所有的加法运算定律，C、是向量的加法交换律，故本选项正确；D、是向量的加法结合律，故本选项正确．故选A．20.如果平行四边形ABCD对角线AC与BD交于O，，，那么下列向量中与向量相等的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据平行四边形的性质可知，则，则，依此即可作答．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴．∴．故选D．21.如图，点G是△ABC的重心，GF∥BC，，，用、表示= ．【答案】【解析】根据图示知．然后根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得||与||的数量关系，然后再根据平面向量与的方向来确定它们之间的关系．解：如图，，即．∵GF∥BC，∴AG：AD=GF：BC；又∵点G是△ABC的重心，∴AG：AD=2：3，∴GF：DC=2：3；即：=2：3；∵，∴．故答案是：．22.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2AD，点E是AC的中点，，，试用向量，表示向量，那么= ．【答案】【解析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2AD，点E是AC的中点，，，∴，，∴．故答案为：．23.已知非零向量、、，其中=2+．下列各向量中与是平行向量的是（）A．=﹣2B．=﹣2C．=4+2D．=2+4【答案】C【解析】由=4+2=2（2+）=2，根据平行向量的定义，可求得答案．解：∵=4+2=2（2+）=2，∴与是平行向量．故选C．24.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由BD=2DC，，可求得，又由三角形法则，即可求得．解：∵，BD=2DC，∴==，∵，∴=﹣=．故选C．25.若、均为非零向量，且∥，则在下列结论中，一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由、均为非零向量，且∥，即可得与方向相同，但大小不一定相等，继而可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解：∵、均为非零向量，且∥，∴与方向相同，但大小不一定相等，∴=m（m≠0）．故选A．26.下列说法中不正确的是（）A．如果m、n为实数，那么B．如果k=0或=0，那么C．长度为1的向量叫做单位向量D．如果m为实数，那么【答案】B【解析】由平面向量的性质，即可得A与D正确，又由长度为1的向量叫做单位向量，可得C 正确，注意向量是有方向性的，所以B错误．解：A、∵m、n为实数，∴（m+n）=m+n，故本选项正确；B、∵如果k=0或=0，那么k=，故本选项错误；C、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项正确；D、∵如果m为实数，那么m（+）=m+m，故本选项正确．故选B．27.计算：=．【答案】5﹣【解析】直接利用整式加减的运算法则求解可求得答案．解：=2+2+3﹣3=5﹣．故答案为：5﹣．28.化简：=．【答案】【解析】直接利用三角形法则求解，即可求得答案．解：=+=．故答案为：．29.如图，在△ABC中，D是BC的中点，设，，则=．【答案】﹣【解析】由，，利用三角形法则可求得，又由在△ABC中，D是BC的中点，即可求得答案．解：∵，，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D是BC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．30.已知点A、B、C是直线l上不同的三点，点O是直线外一点，若m+n，则m+n=．【答案】1【解析】根据平面向量三点共线的定理解答即可．解：∵m+n，∴m+n=1．故答案为：1．。

向量的加减和数乘基础专项练习含解析

向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。

高一数学必修4向量的加减法练习题含解析

2.2.1课时作业1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 B2．下列各式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③ 答案 B3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3D ．5 答案 A解析由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →答案 C8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心D ．外心答案 B9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝______．答案 OD →10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________．答案 2 2解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．答案 82 北偏东45°解析如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. ∵|a |＝8，|b |＝8，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴|a ＋b |＝|OB →|＝8 2.方向是北偏东45°.12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .解析如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB →＝a＋b ，DC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c .∴向量DC →即为所作向量．13．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解析由向量加法的三角形法则，得AC →＝AB →＋BC →. ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ∥BC 且|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形． 14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反，所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.2.2.2课时作业1．给出下列3个向量等式：①AB →＋CA →＋BC →＝0；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C 解析 ①③对．2．如右图，▱ABCD 中，下列等式中错误的是( ) A.AD →＝AB →＋BD → B.AD →＝AC →＋CD → C.AD →＝AB →＋BC →＋CD →D.AD →＝DC →＋CA → 答案 D解析 DC →＋CA →＝DA →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4．下列命题中，正确的是( )A ．差向量的方向是由被减向量的终点指向减向量的终点B ．若a 、b 是任意两个向量，则|a |－|b |＝|a －b |C ．与a 方向相反的向量叫做a 的相反向量D ．从一个向量减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量答案 D5．在下列各等式中，正确的个数为( )①a －b ＝b －a; ②a ＋b －c ＝a －c ＋b ；③b －(－a )＝b ＋a; ④0－a ＝－a ；⑤|a －b |＝|b ＋a |; ⑥|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．5 B ．4 C ．3 D ．1答案 C6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D7．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)答案 C解析 BC →＝AC →－AB →(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13.9．已知△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，则在下列各等式中不成立的为( ) A ．|AC →－AB →|＝|AC →＋AB →| B ．|AC →－AB →|＝|CB →| C ．|AB →－AC →|2＝|AB →|2＋|BC →|2 D ．|BC →＋CA →|2＋|AC →|2＝|BC →|2答案 C10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．答案 CA →11．判断正误．(1)设非零向量a 、b ，则|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .(2)AB →＋BC →＋CA →＝0⇔A 、B 、C 是某个三角形三个顶点．答案 (1)正确 (2)不正确12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，求|a －b ＋c |.答案 |a －b ＋c |＝213．如图四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)(∵EA →＋ED →＝0) 14．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.∴BA 綊CD. 故四边形ABCD 是平行四边形． ►重点班·选做题15．任给向量a ，b ，则下列各项中正确的是( ) A ．|a ＋b |＝|a |＋|b | B ．|a －b |＝|a |－|b | C ．|a －b |≤|a |－|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b |答案 D16．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．1 B. 3 C.32D ．2答案 B分析根据向量的平行四边形法则，以a 和b 为邻边表示向量a ＋b 和a －b ，再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解．解析如右图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b|＝1， ∴△ABD 为正三角形．∴∠ABD ＝60°.容易得出|a －b|＝|CB →|＝2|OB →|＝2|AB|2－|AO|2＝2·12－（12）2＝ 3.。

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向量加
、选择题（5X 12=60分）
1.
下列说法中错.误.的是（）
A .零向量是没有方向的 C .零向量与任一向量平行
2. 设e,e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是（
）
一一
一一
一一
uu u
A. e e 2
B . e 〃e 2
C . e i
e ?
D . e e
3. 下列判断正确的是（）
uuu uuu
A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；
B. 单位向量都相等；
C. 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
D. 模为0的向量的方向是不确定的。

4.
若0，E ， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（
）
A . uuu EF Luu OF uju OE
B . uur
EF uur OF
uu
OE C . uuu EF uu u uu OE D . uju EF uur OF uu OE
5.已知向量a 表示"向东航行1km ”，向量b 表示"向南航行 1km ”，则向量a b 表示（
）
A.向东南航行.2 km
B .向东南航行 2km
C.向东北航行.2 km D .向东北航行2km
B.零向量的长度为0
D.零向量的方向是任意的
U 1
山
A D
7. 化简下列各式结果是AB 的是（）
A. AM MN MB
B. AC BF CF
C. AB DC CB
D.
AB FC BC
uur uuu uuiu
8. 设O 是正△ ABC 勺中心，则向量AO ，BO ，CO 是（ A 、相等向量 B 、模相等的向量 C 、共线向量
D 共起点的向量
6.如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，贝U
urnr uiu ULU A.
AD BE CF r uju uuu uur r 0 B. BD CF DF 0
C. |a| |b| |a b|
D
uuur mu
10.若四边形ABCD 满足AD CB
二、填空题(5X 4=20分)
>
>
uur uur
13.已知 |OA|= 3, |OB 匸3, / AOB = 90° 贝则 OA OB =
14. _______________________________________ 化简下列式子，其结果为零向量的
是 ______________________________________________ 。

① AB BC CA ； ② AB AC BD CD ； ③ OA OD AD ;
④ NQ QP MN MP
15. 对于菱形ABCD 下列各式正确的为 _______________ 。

① AB BC
② |AB| |BC|
③ | AB CD| |AD BC|
④ | AC |2
| BD |2
4| AB|2
16. 两个大小相等的共点力 R 、F 2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时，合力的大小为
uuu uur iuu
uuu iuu A . AB DC
B . AD
AB AC
uuu uuur uuu
uur uuu uuu C . AB AD BD D . AD
CD BD
12. 如图，
,正六边形 ABCDE 中: iuu AF uuu ED
uuu CB (
r
uuur
uuu
uuu A. 0 B. AD C. CF
D. BE A .梯形
B .菱形
C .矩形 11.在平行四边形ABC
D 中，下列结论中错误的是
)
A. |a| |b| |a b|
B . |a b| | a b|
|a| |b| |a b|
则该四边形一定不是 (
D .正万形
( )
班级：______________ 姓名：__________________ 学号：__________________ 分数：__________________ 一、选择题（5X 12=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
、填空题（5X 4=20 分）
13、 _______ 、______________________________________________________________
三、解答题（70分）
17.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a , r r r r r
b , c,试用向量a , b , c表示OD.
18.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1,
r r r
AB= a , BC= b , AC= c,试作出下列向量并分
别求出其长度，
uuu r urnr 20.平行四边形ABCD 中，AB a,AD 21•如图，ABCD 是一个梯形，A B //CD
，AUU
2
CDU ，M
，N 分别是DC ,AB 的中点，已知AB a,AD b,试用a,b 表示BC 和MN
22.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且|AB| = |AD 匸1,
r i
OA + OC = OB + OD = 0 , cos / DAB =2.求|DC + BC|与|CD
+ BC|.
19.如图所示，在平行四边形 ABCD 的对角线BD 长线和反向延长线上取点F, E ，使BE = DF •试用方法证
明：四边形AECF 是平行四边形.
的延向量
B。