折叠问题的处理技巧

折叠问题的处理技巧
考点动向
折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．
方法范例
例１（2005·湖南）如图７－１，已知A B C D 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角．
（Ⅰ）证明：1AC BO ⊥；
（Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小．
A
B
O
C
O 1
D
解析 本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．
解法１ （I ）证明： 由题设知1O A O O ⊥，1OB OO ⊥．所以A O B ∠是所折成的直二面
角的平面角，即O A O B ⊥． 故可以O 为原点，
1,,O A O B O O 所在直线分别为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关
各点的坐标是(3,0,0)
A ，(0,3,0)B
，C ，1
(0,0,O ．从而(AC =-
，
几何精练
1(0,BO =-
，130AC BO ⋅=-+
=
．所以1AC BO ⊥．
（II
）解：因为130BO OC ⋅=-+
=
，所以1O C BO ⊥，由（I ）1AC BO ⊥，
所以1BO ⊥平面O AC ，1BO 是平面O AC 的一个法向量．设),,(z y x n =是平面1O A C 的
一个法向量，由1
030,0.0n AC x y y n O C ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩
取z =)3,0,1(=n ． 设二面角
1O AC O --的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，
所以
111cos cos ,4||||
n BO n BO n BO θ=<>==
．即二面角1
O A C O --
的大小是
a r c c o s 4
．
解法２（I ）证明： 由题设知1
O A O O ⊥，1OB OO ⊥，所以A O B ∠是所折成的直二面角的平面
角，即O A O B ⊥． 从而A O ⊥平面1O B C O ，O C 是
A C
在面1
O B
C O 内的射影．因
为
11
t
a n 3O B O O B O O ∠=
=
，111
tan 3
O C O O C O O ∠=
=
，所以13
O O B π
∠=
，16
O O C π
∠=
，
从而1O C BO ⊥，由三垂线定理得1AC BO ⊥．
（II ）解 由（I ）1OC BO ⊥，1AC BO ⊥，知1BO ⊥平面O AC ．设1O C O B E = ，过点E 作EF AC ⊥于F ，连结1O F （如图７－３），则E F 是1O F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得1O F AC ⊥．所以1O FE ∠是二面角1O AC O --
的平面角．由题设知113,1
OA OO O C ===，所
以
1O A ==
，
AC =
=
，从而13
32111=
⋅=
AC
C
O A O F O ，
又11sin
6
2
O E O O π
==
，
所以111sin 4
O E O FE O F
∠=
=
， 即二面角1O AC O --的大
小是arcsin
4
．
[规律小结]
折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．
考点误区分析
解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．
同步训练
１．（2005·浙江）设,M N 是直角梯形
A B C D 两腰的中点，D E AB ⊥于E （如图７
－４）．现将AD E △沿D E 折起，使二面角A D E B --为45︒，
此时点A 在平面B C D E 内的射影恰为点B ，则,M N 的连线与A E 所成角的大小等于_________．
２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形A B C D 中，22A B C D ==，60D A B ∠=︒，E 为A B 的中点，将A D E △与B E C △分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则P D C E -三棱锥的外接球的体积为（ ）．
()A 27
34π ()B 2
6π ()C 8
6π ()D 24
6π
３．（2006·江苏） 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图７－５）．将△AEF 沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P ．
A B
图７－４
图７－５
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）
［参考答案］
１．［解析］如图７－６，可知BEA ∠为二面角
A D E
B --的平面角，于是45B E A ∠=︒，又可知A B B E ⊥，则取A E 中点P ，有M P N B ∥，等腰直
角三角形A B E 中，有AE BP ⊥，则A E M N ⊥．
［答案］90︒．
２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的
外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方
体的棱长为
2
，则球半径为
4
．
［答案］()C ． ３．［答案］（Ⅱ）3
π
；（Ⅲ）8
7arccos
-π．
A
B
C
D
E
M
N
P
图７－６
A
P
F
E
C
B
A 1
E
F
C
P
B
图７－５。