二元二次方程组及其解法

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大学二年级求解二元二次方程组

大学二年级求解二元二次方程组二元二次方程组是指含有两个变量的两个二次方程的方程组。

在大学数学中，求解二元二次方程组是一个基础且重要的知识点。

本文将介绍如何求解二元二次方程组，帮助大学二年级的学生更好地掌握这个知识。

一、二元二次方程组介绍二元二次方程组一般形式为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0,a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 0.其中，a₁、b₁、c₁、d₁、e₁、f₁、a₂、b₂、c₂、d₂、e₂、f₂为已知系数。

二、求解方法常用的方法有代入法和消元法两种。

下面将分别介绍这两种方法的步骤。

代入法的步骤如下：1. 选其中一个方程，用其中一个变量表示出另一个变量。

2. 将表示出的变量代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的一元二次方程。

3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。

4. 将得到的解代入刚才选定的方程中，求出另一个变量。

5. 得到方程组的解。

消元法的步骤如下：1. 直接或间接通过变换，使得两个方程的系数相等，或者相差一个常数倍。

2. 将两个方程相减，消去一个变量，得到一个一元二次方程。

3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。

4. 将得到的解代入其中一个原方程，求出另一个变量。

5. 得到方程组的解。

三、示例接下来，通过一个具体的例子来演示如何求解二元二次方程组。

例题：2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,3x² - 4xy + 6y² - 2x - 9y + 5 = 0.解法：1. 选取第一个方程，用它表示出x。

2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,移项得：2x² + (5y+4)x + (6-7y+3y²) = 0.则：x = (-5y-4 ± √((5y+4)²-4*2*(6-7y+3y²)))/(2*2).2. 将x代入第二个方程，得到一个一元二次方程。

二元二次方程组的解法

二元二次方程组的解法在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。

方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。

二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。

形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。

解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。

为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。

下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。

一、配准法配准法又称一般解法，它的步骤如下：1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。

2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。

3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。

4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。

5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。

示例：假设我们有以下二元二次方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 10x^2 - 2xy + 3y^2 = 14根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0通过对比系数，我们可以得到：a = 2,b = -3,c = 1,d = 1,e = -2,f = 3接下来，我们将两个方程相减并进行化简：(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0x^2 + 4y^2 - 2xy - 4 = 0继续简化，得到一个一元二次方程：x^2 - 2xy + 4y^2 - 4 = 0解决这个一元二次方程，我们得到一个解 x = -1。

将 x = -1 代入其中一个方程我们得到：2(-1)^2 - 3(-1)y + y^2 - 10 = 02 + 3y + y^2 - 10 = 0y^2 + 3y - 8 = 0解决这个一元二次方程，我们得到 y = 1 或 y = -4。

二元二次方程组的解法公式法

二元二次方程组的解法公式法二元二次方程组是一组有两个未知数的二次方程。

解法公式法是一种使用公式求解二元二次方程组的方法。

解法步骤1. 化成标准形式：将方程组化成以下形式：```ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0```2. 计算判别式：计算判别式Δ，它由以下公式给出：```Δ = b² - 4acAC + 4BDF - B²CE - CD²```3. 根据判别式确定解的性质：Δ > 0：方程组有两个相异的实数解。

Δ = 0：方程组有两个相同的实数解。

Δ < 0：方程组无实数解，但可能有两个复数解。

4. 计算解：Δ > 0：使用以下公式计算两个解：```x = (-b ± √Δ) / (2a)y = (-B ± √Δ) / (2A)```Δ = 0：使用以下公式计算两个相同的解：```x = -b / (2a)y = -B / (2A)```5. 验证解：将解代入方程组中以验证它们是否满足方程。

例子求解以下方程组：```x² + 2xy + y² = 25x - y = 2```解：1. 化成标准形式：```x² + 2xy + y² - 25 = 0x - y - 2 = 0```2. 计算判别式：```Δ = (2)² - 4(1)(1)(-1) = 8 > 0```3. 方程组有两个相异的实数解。

4. 计算解：```x = (-2 ± √8) / 2 = -1 ± 2√2y = (-2 ± √8) / 2 = 1 ± 2√2```因此，方程组有两个解：(√2 - 1, √2 + 1) 和 (-√2 - 1, -√2 + 1)。

初二数学解二元二次方程组的方法与应用

初二数学解二元二次方程组的方法与应用二元二次方程组是数学中常出现的问题，解决这类问题需要运用特定的方法和技巧。

本文将介绍解二元二次方程组的常见方法以及其在实际问题中的应用。

1. 消元法消元法是解二元二次方程组常用的方法之一。

首先通过操作将其中一个方程的某一个未知数消去，然后将消去后的方程代入另一个方程中求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组1）①通过乘以适当的系数，使其中一个方程的两个未知数的系数相等；②将两个方程相减，消去一个未知数；③将求解得到的未知数的值代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

2. 代入法代入法是另一种用于解二元二次方程组的常见方法。

通过将其中一个方程解出一个未知数，然后将该解代入另一个方程求解另一个未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组2）①选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；②将该函数代入另一个方程，并解得未知数；③将求解得到的未知数代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

3. 矩阵法矩阵法是解二元二次方程组的另一种常见方法。

通过将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算方法求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组3）①将方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式；②对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；③根据行最简形求解未知数的值；④检验求解结果是否符合所有的方程。

二元二次方程组的解法不止以上三种，还有配方法、因式分解法等等。

在实际问题中，解二元二次方程组可以帮助我们解决很多与多个未知数相关的问题，例如：1. 阶梯问题：解二元二次方程组可以用来求解楼梯的台阶数和踏步数；2. 交通问题：解二元二次方程组可以用来求解汽车、火车等交通工具的速度和时间；3. 销售问题：解二元二次方程组可以用来求解商品的进货价和售价等。

总结起来，解二元二次方程组是数学中重要的一部分，可以通过消元法、代入法和矩阵法等多种方法来解决。

二元二次方程组的解法有哪些

二元二次方程组的解法有哪些二元二次方程组的解法有同学知道吗?小编想大部分学子可能都忘记了，为了同学们遇题不慌。

下面是由小编为大家整理的“二元二次方程组的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

二元二次方程组的解法有哪些由于解一般形式的二元二次方程组所涉及的系数颇多，故通常就实际问题来解。

e.g.1.解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①, 且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②. 提示: 解方程的基本思想是消元与降次。

仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。

②*3-①*4，得到一个新的方程。

再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。

就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:叉乘法及叉阵)，难度较大。

也可以运用函数的解析法。

在此，谨作点拨。

总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

拓展阅读：二元二次方程组怎么解对于第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程;而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形可以用一次和二次方程的方法来求解的：1、存在数m和n，使mF1(x，y)+nF2(x，y)是一元方程;或是一次方程;或是可约。

2、F1(x，y)和F2(x，y)均为对称多项式或反对称多项式。

例题：x+y=a ①x^2+y^2=b ②由1得 y=a-x ③将③代如②得：x^2+(a-x)^2=b即 2*x^2-2*a*x+(a^2-b) =0若2b-a^2>=0则解之得：x1=(a+根号(2b-a^2))/2x2=(a-根号(2b-a^2))/2再由③式解出相应的y1，y2。

二元二次方程组

二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。

求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。

二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。

下面将介绍两种常见的解法。

一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。

1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。

首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。

举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。

2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。

继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。

二元二次方程组的解法步骤

二元二次方程组的解法步骤一、介绍二元二次方程组是一种由两个二次方程组成的方程组，形式一般为：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1、b1、c1、d1、e1、f1为第一个方程的系数，a2、b2、c2、d2、e2、f2为第二个方程的系数。

在解二元二次方程组时，我们的目标是找到一组满足上述方程组的x和y的解。

二、解法步骤1. 消元法为了解二元二次方程组，我们首先需要将其中一个方程中的一个变量消去。

这可以通过两个方程的相减或相加来实现。

情况一：消去x的平方项为了消去x的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去x的平方项，得到一个新的一次方程：(b2 * c1 - b1 * c2) * y + (d2 * c1 - d1 * c2) * x + (f2 * c1 - f1 *c2) = 0这就得到了一个关于x和y的一次方程。

情况二：消去y的平方项类似地，为了消去y的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去y的平方项，得到一个新的一次方程：(a2 * d1 - a1 * d2) * x + (a2 * f1 - a1 * f2) = 0这就得到了一个关于x的一次方程。

2. 解一次方程通过消元法，我们得到了一个关于x和y的一次方程。

现在，我们需要解这个一次方程来求得x或y的值。

首先，我们可以根据方程的形式，将一次方程写成一般的标准形式，即Ax +By + C = 0，其中A、B、C为常数。

然后，我们可以使用线性代数的方法或代数方法来解这个一次方程。

如果该方程有唯一的解，则我们可以得到x或y的值。

二元二次方程组的解法技巧

二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。

一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。

二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。

其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。

例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。

通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。

2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。

对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。

对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。

例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。

3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。

例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。

二元二次方程组的解法与应用

二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。

解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。

一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。

下面将逐一进行介绍。

1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。

首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。

再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。

例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。

将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。

1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。

通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。

消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。

以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。

1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。

二元二次方程组及其解法

二元二次方程组及其解法二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。

如：05422=-+y xy x ，5=xy ，0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等。

2、注意点：（1）二元二次方程是整式方程。

（2）二元二次方程含有两个未知数。

（3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式：220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了。

“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零”，因为它们的意义是不一样的。

4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。

5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。

如：6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解。

例1、在方程组①==-132xy y x 、②()=-=-12232xy x x y x 、③=-=-32232y y x 、④??=-=+57xy x xy x 、⑤??-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析：抓住关键（1）组内方程是整式方程。

（2）方程组中含有两个未知数。

（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。

②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。

④中方程不是整式方程。

⑤方程组中含有3个未知数。

限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是（） +xy=5 +y 2=3 +2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是==21y x和-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。

二元二次方程组解法例说

二元二次方程组解法例说1.消元法：通过将其中一个方程的两边进行相减或相加，消去其中一个未知数，从而得到另一个含有一个未知数的一次方程。

然后带入到另一个方程中，即可求得另一个未知数的值。

最后再将求得的值带回原方程组中，即可求得两个未知数的值。

例如，考虑以下二元二次方程组：{x^2+y^2=25(1){x+y=7(2)首先，我们可以通过将式(2)两边乘以2，得到2x+2y=14然后，将这个式子与式(1)相减，得到：x^2+y^2-(2x+2y)=25-14，即x^2-2x+y^2-2y=11、化简后，得到：x^2-2x+y^2-2y-11=0。

接下来，我们可以将这个方程进行配方法，得到：(x-1)^2-1+(y-1)^2-1-11=0。

化简后，得到：(x-1)^2+(y-1)^2=13于是，我们得到了一个含有未知数x和y的一次方程。

我们可以选择将解析几何的知识来解决这个方程。

或者，我们也可以通过将这个方程与式(2)相减，得到(x-1)^2+(y-1)^2-(x+y)=0。

化简后，得到：(x-1)^2-x-(y-1)^2-y=0。

最后，我们可以将这个方程展开，得到：x^2-2x+1-x-y^2+2y-1-y=0。

化简后，得到：x^2-3x-y^2+y=0。

现在我们得到了一个新的只含有x和y的二次方程，我们可以使用求解一元二次方程的方法，求解这个方程，从而得到x和y的值。

最后，将求得的值带回原方程组中，即可求得方程组的解。

2.代入法：通过将其中一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的二次方程。

求解这个二次方程，可以得到一个未知数的值。

然后将这个值带回到原方程组中，可以求得另一个未知数的值。

例如，考虑以下二元二次方程组：{ x^2 - 2xy + y^2 = 4 (1){x+y=4(2)我们可以将式(2)表示为x=4-y，然后将其代入式(1)中，得到：(4-y)^2-2(4-y)y+y^2=4化简后，得到：16-8y+y^2-8y+2y^2+y^2=4、合并同类项，得到：4y^2-16y+12=0。

(完整版)二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。

“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。

当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

注意：不要丢掉一个解。

此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。

以上两种是比较常用的解法。

除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。

注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。

二元二次方程组的解法

二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

解决这种方程组的关键是找到方程组的解。

一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。

5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。

二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。

例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。

二元二次方程的解法有哪些

二元二次方程的解法有哪些二元二次方程解法是什么，典型有效的方法是什么？想知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“二元二次方程的解法有哪些”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!二元二次方程的解法有哪些1、代入消元法(1)概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法。

(2)代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.);③解这个一元一次方程,求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值;⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。

2、加减消元法(1)概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.(2)加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法);③解这个一元一次方程,求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值;⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。

二元二次方程和方程组及其解法

21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；　③解这个一元二次方程，求得未知数的值；　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次代入【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ，把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3，把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7，即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③　得:y=1把x=94代入④　得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。

人教版初二数学二元二次方程组的解法

人教版初二数学二元二次方程组的解法二元二次方程组是初中数学中的重要知课题之一，它是一组含有两个未知数和二次项的方程组。

解决二元二次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和图解法等。

本文将以人教版初二数学教材中的内容为基础，介绍不同解法的步骤和思路。

一、代入法代入法是解决二元二次方程组常用的一种方法。

通过将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，可进一步求解。

例如，我们考虑以下的二元二次方程组：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过将第一个方程中的 y 表示成 x 的函数，即 y = f(x)，然后将其代入第二个方程中，得到只含有 x 的方程。

具体步骤如下：1. 由第一个方程得到：y = -3x ± √(9x^2 - 12x^2 + 4) / 2简化为：y = -3x ± √(x^2 - 4x^2 + 1) / 2化简得：y = -3x ± √(-3x^2 + 1) / 22. 将 y 代入第二个方程中：4x^2 + 3x (-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2) - 2(-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2)^2 = 10化简并整理得到只含有 x 的方程：(3 ± √(-3x^2 + 1))^2 - 30x + 10 = 0我们可以通过解这个一元二次方程得到 x 的值，再将 x 的值代回原方程组中，求得 y 的值。

二、消元法消元法是另一种常用的解决二元二次方程组的方法。

通过将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的一元二次方程，可进一步求解。

继续以上述的方程组为例，我们可以通过消元法解决它：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过乘以合适的系数，使得方程组中的二次项系数相等，从而方便消元。

21.5-21.6二元二次方程(组)及其解法(分层作业)(3种题型基础练+提升练)解析版

21.5-21.6二元二次方程（组）及其解法（3种题型基础练+提升练）题型一：二元二次方程1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．【详解】解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.2．（2022秋·上海·八年级校考期中）二元二次方程2560x xy y --=可以化为两个一次方程，它们是______．【答案】x -6y =0或x +y =0【分析】把y 看成常量，方程就是关于x 的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．【详解】解：x 2-5xy -6y 2=0，（x -6y ）（x +y ）=0，∴x -6y =0或x +y =0．故答案为：x -6y =0或x +y =0．【点睛】本题考查了二元二次方程，把y 看成常量，方程看成关于x 的一元二次方程是解决本题的关键．题型二：二元二次方程组1．下列方程组中，是二元二次方程组的是（）A ．51x y x y +=ìí-=îB ．210618x y x y ì+=ïïíï-=ïîC ．716xy x =ìí=îD ．312x y xy x yì+=í=+î【答案】C 【分析】根据二元二次方程组的定义进行解答即可．【详解】解：A 项为二元一次方程组，故本选项错误；B 项二元一次分式方程组，故本选项错误；C 项的第一个方程为二元二次方程，故为二元二次方程组，故本选项正确；D 中未知数的最高次数为3，故不是二元二次方程组，故本选项错误．故选：C【点睛】本题主要考查二元二次方程组的定义，解题的关键是根据二元二次方程组的定义逐个分析判断．2．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）方程组212x y x y k ì-=í-=î有实数解，则k 的取值范围是（）A ．2k ³B ．2k =C ．2k <D ．2k £【答案】D【分析】①-②得出221x x k -=-，求出2210x x k -+-=，根据方程组有实数解得出()()224110k D =--´´-³，再求出k 的取值范围即可．【详解】解：212x y x y k ì-=í-=î①②，①-②，得221x x k -=-，即2210x x k -+-=，∵方程组212x y x y k ì-=í-=î有实数解，∴一元二次方程2210x x k -+-=有实数根，∴()()224110k D =--´´-³，解得：2k £，故选：D ．【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键．3．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是34x y =ìí=î和34x y =-ìí=-î．【答案】2277x y x y +=ìí-=î（答案不唯一）【分析】根据方程组的解可得71x y x y +=-=，，再由平方差公式得到227x y -=，则可写出满足条件的一个方程组为2277x y x y +=ìí-=î．【详解】解：Q 方程组的解为34x y =ìí=î和34x y =-ìí=-î，71x y x y \+=-=，，227x y x y x y \-=+-=（）（），\方程组可以是2277x y x y +=ìí-=î，故答案为：2277x y x y +=ìí-=î（答案不唯一）．【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键．4．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组()()210x y m y x ì-+=í=î的解只有一组，则m 的取值范围是______．【答案】0m >【分析】根据条件表示方程组的解，再求m 的范围．【详解】解：()()210x y m y x ì-+=í=î①②，由①，得10x -=或0y m +=，1x \=，y m =-．当1x =时，代入②得：1y =，\原方程组的一组解为：11x y =ìí=î，当y m =-时，代入②得：2m x -=，Q 原方程只有一组解，2m x \-=无解，0m \-<．0m \>．故答案为：0m >．【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得1x =，y m =-是解题的关键．题型三：二元二次方程组的解法5．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程组：2226444y x x xy y -=ìí++=î①②【答案】1114x y =-ìí=î或2222x y =-ìí=î【分析】由②得22x y +=±从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可．【详解】解：由②得：()224x y +=，∴22x y +=±，即22x y +=或22x y +=-，∴原方程组可化为两个二元一次方程组()Ⅰ2622y x x y -=ìí+=î ，()Ⅱ2622y x x y -=ìí+=-î，解()Ⅰ得：1114x y =-ìí=î 解()Ⅱ得：2222x y =-ìí=î所以原方程组的解是1114x y =-ìí=î，2222x y =-ìí=î．【点睛】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键．6．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）222209x y x xy y ì-=í--=î．【答案】1133x y =ìí=-î，2233x y =-ìí=î．【分析】①-②得9xy =-③，由①得0x y +=或0x y -=，和③组成方程组，再得出答案即可．一、填空题1．（2022春·上海·八年级专题练习）把二元二次方程22560x xy y --=化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________．【答案】 60x y -= 0x y +=【分析】把方程则左边分解因式，根据两个式子的积是0，则至少有一个因式是0，即可转化成两个一次方程．【详解】解：x 2﹣2xy ﹣3y 2＝0即（x ﹣6y ）（x ＋y ）＝0，则这两个一次方程分别是：x ﹣6y ＝0和x ＋y ＝0．故答案是：x ﹣6y ＝0和x ＋y ＝0．【点睛】本题考查了高次方程通过分解因式的方法转化成两个一次方程，降次是高次方程的基本思想．2．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是24x y =ìí=î和24x y =-ìí=-î，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）．【答案】28y x xy =ìí=î【分析】从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.【详解】解：根据方程组的解可看出：xy =8，y =2x ，∴符合要求的方程组为28y x xy =ìí=î.【点睛】根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.二、解答题3．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）解方程组：22222241929x xy y x x xy y y ì+++=í++-=î5411222x y x y íï+=ï+-î5．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：22220290x y x xy y --=ìí++-=．6．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）解方程组：2232032x xy yx yì-+=í+=î7．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：2222449560x xy yx xy yì++=í+-=î．8．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）解方程组：22240 40x xyx yì-+=í-=î．【答案】1124x y =ìí=î或2224x y =-ìí=-î．【分析】把第二个方程通过因式分解化为2x+y ＝0或2x−y ＝0，与第一个方程组成方程组，解方程组即可．【详解】解：原方程组为：2224040x xy x y ì-+=í-=î①②由②得，(2x+y )(2x−y )＝0，则2x+y ＝0或2x−y ＝0，∴可得（1）24020x xy x y ì-+=í+=î，此方程组无解，（2）24020x xy x y ì-+=í-=î，解得，1124x y =ìí=î，2224x y =-ìí=-î，则原方程组的解为：1124x y =ìí=î或2224x y =-ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程（组）的解法，解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．9．（2023春·八年级单元测试）k 为何值时，方程组242102y x y y kx ì--+=í=+î．（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解．【答案】（1）k =1；（2）k <1且k ≠0；（3）k >1【分析】（1）将方程组转化为k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，用根的判别式，列出方程求解即可；（2）同（1）用根的判别式，列出不等式求解即可；（3）通过讨论k ＝0和k ≠0，根据方程无实根，确定k 的范围即可．10．解方程组：21238438 xy x yyz z yzx z x=+-ìï=+-íï=+-î11．（2022秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程12111x x+=-+=“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x ，y 的方程：224928x y -=和234x y -=，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程：()14y k x =+-和3y x k =-（其中k 为常数）是“相伴方程”，求k 的值.。

怎么解二元二次方程组

怎么解二元二次方程组一、方程组的定义与性质1.1 方程组的定义方程组是由多个方程组成的集合。

1.2 方程组的分类•线性方程组：方程的最高次数为1。

•非线性方程组：方程的最高次数大于1。

1.3 二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

二、解二元二次方程组的一般步骤2.1 消元法通过消元法将方程组化简为更简单的形式，通常可以使用以下两种方法： 1. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而消去一个未知数。

2. 相减法：将两个方程相减，从而消去一个未知数。

2.2 二次方程的求根公式对于一元二次方程 Ax^2 + Bx + C = 0，其求根公式为： x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)2.3 解二元二次方程组的步骤1.化简方程组：将方程组化简为更简单的形式，通常通过消元法实现。

2.求解一元二次方程：将化简后的方程组中的一个未知数表示为另一个未知数的表达式。

3.代入求解：将求解得到的未知数的表达式代入另一个方程中，求解另一个未知数。

4.检验解：将求解得到的两个未知数分别代入方程组中，验证是否满足原方程组。

三、例题解析3.1 例题一解方程组： { 2x^2 + 3y = 7, x + y^2 = 5 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。

2.求解一元二次方程：根据第二个方程得到 x = 5 - y^2。

3.代入求解：将 x = 5 - y^2 代入第一个方程，得到 2(5 - y2)2 + 3y = 7。

4.化简方程：展开并整理方程，得到 2y^4 - 20y^2 + 3y - 3 = 0。

5.求解二次方程：根据二次方程的求根公式，解得y ≈ -0.867 或y ≈1.476。

6.求解另一个未知数：将求解得到的 y 代入 x = 5 - y^2，求得相应的 x 值。

7.检验解：将求解得到的 x、y 值代入原方程组，验证是否满足。

3.2 例题二解方程组： { x^2 - y = 4, x^2 + y = 10 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。

(完整版)二元二次方程组的解法

2 二元二次方程的解法一、内容综述：1. 解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2. 二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。