GPS 高程拟合中多项式与多面函数的比较

GS08 -133.018
-1.1094
-0.0587
-0.2079
GS09 -133.022
-0.6303
-0.0833
-0.1991
GS11 -133.039
1.52
1.3877
1.3136
GS13 -133.024
-0.6115
-1.35
-1.1314
GS17 -133.032
-0.8349
-0.7408
30 1 高程系统
似大地水准面是高程测量的基准面，其定义为地面点沿铅垂线(或正常重力线)向下量取
正常高所得的端点形成的连续曲面。大地高系统的大地高是以 WGS-84 参考椭球面为基准面
的高程系统,其定义是以参考椭球面为基准面的高程系统，地面某点 P 的大地高 H 是地面点
P 沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程
⎢M⎥
⎢⎥
⎣am-1 ⎦
=
⎡ ε1 ⎤
⎢ ⎢
ε2
⎥ ⎥
⎢M⎥ ⎢⎥ ⎣εn ⎦
(2-3) 式的误差方程为：
V=AX- ξ
(2-4)
55
当已知点个数 n 大于参数个数 m 时，用最小二乘法拟合出系数参数 ai ，进而由式（2-2）
求出测区内任意点的高程异常值。如果取未知数一次项，则称为平面拟合，即“最小二乘平
(2-2)
(2-1)，（2-2）式写成矩阵形式有：
50
ξ=AX+ε
(2-3)
式中
ξ
=
⎡ ξ1 ⎢⎢ξ2 ⎢M ⎢
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
A
=
⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢⎢L
⎣ξn ⎦ ⎢⎣ 1
x1 x2 L xn
y1 y2 L yn
x12 x22
L xn 2
L L⎥⎥⎤ L⎥⎥
X
L⎥⎦
=
⎡ a0 ⎤
⎢ ⎢
a1
⎥ ⎥ε
35 系统。某点的正常高 Hr 是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离。高
程异常则是似大地水准面与椭球面之间的高程差，,通常以 ξ 表示。其相对关系如图 1。在实
际工程应用中要把 GPS 大地高转换为正常高,其转换公式为[3]式（1-1）：
ξ=H-Hr
（1-1）
作者简介：杨建辉，（1985-），男，中国矿业大学硕士研究生，主要研究方向：GPS 理论及应用. E-mail: jhy0108.cool@163.com
-3-
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85
图 3 测区控制点分布
Fig. 3 Distribution of the surveyed area control point
3.1 三种拟合模型对比
本文利用测区的拟合点（14 个）和检核点（6 个），采用平面拟合（一次多项式），二 90 次多项式拟合和多面函数拟合，对比实测数据，拟合精度规律如下：
-0.4197 0.2855
-0.0402 -0.0159
GS10 -133.033
0.3434
0.1919
-0.0538
GS12
-133
-1.9225
-0.4088
-0.0213
GS14 -133.033
0.264
-0.3989
-0.0009
GS15 -133.031
1.1547
0.6748
0.023
面拟合”；取到二次项，称为二次多项式曲面拟合；取到三次项，称为三次多项式曲面拟合。
2.2 多面函数拟合法
多面函数拟合法, 1971 年由美国哈笛(Hardy)提出。它的基本思想是任何一个规则或不规 60 则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近[5]。
多面函数拟合的数学表达式：
n
∑ ξ = f(x,y) = aiQ(x,y,xi,yi )
多面函数光滑因子的选取对拟合结果影响较大，而且比较难确定。基于工程实例，分析 不同光滑因子对拟合精度的影响，如图 8，图 9(图中红线为±0.01m)： 115
-5-
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图 8 5000-45000 内符合精度/m Fig. 8 5000-45000 inside precision/m
(2-5)
i =1
式(2-5)中， ai 为待定系数，Q(x, y, xi , yi ) 为核函数， x, y 为待求点坐标， xi , yi 为已知
点坐标, n 为规则数学表面的总和。
65
本文核函数取倒双曲面函数[6]:
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[ ] Q(x, y, xi , yi )
-0.3985
图形如下：
-4-
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100
图 4 拟合点高程异常对比
Fig. 4 Fitting point abnormal height contrast
图 5 检核点高程异常对比 Fig. 5 Check point elevation abnormal contrast
图 9 5000-45000 外符合精度/m Fig. 9 5000-45000 outside precision/m
20 Keywords:height anomaly; polynomial fitting; multi-faceted function fitting; smoothing factor
0 引言
近年，随着 GPS 技术在测绘领域发展，GPS 技术以其全天候、高精度、高效率、多功 能、操作简便等特点得到越来越广泛应用。利用 GPS 定位技术已较好地解决了平面位置坐 25 标，精度能达 10-6~10-9 量级上甚至更高[1]，完全能满足工程测量的要求。而高程测量方面由 于受坐标系统不一致、观测误差等的影响，其高程精度较其平面精度约低 2~5 倍[2]，观测精 度较差。因此，如何充分利用和发挥 GPS 观测时获得的大地高数据，尽可能精确的转换为 工程应用的正常高，是多年来测绘工作者一直研究的课题。本文在此用多项式和多面函数进 行高程转换，并分析多面函数中不同光滑因子对精度影响。
2.1 多项式曲面拟合法
45
多项式曲面拟合法[4]是工程中使用的主要拟合方法，其一般模型为:
ξ = f(x,y) + ε
(2-1)
(2-1)式中，ξ 为高程异常， f(x,y) 为ξ 的趋势值，ε 为误差。 f(x,y) 可表示为：
f(x,y)=a0+a1 x+a2 y+a3x2+a4xy+a5 y2+......
15 Abstract: The irregular distribution of height anomaly, in a small area will be converted to a normal high ground have to rely on a number of models to fit the surface height anomaly. In this paper, polynomial fitting model and the multi-faceted function fitting model to comparative studies, and have achieved satisfactory accuracy, and analysis of multi-faceted function of smoothing factor on the accuracy of model fitting.
Tab. 2 Different fitting model to review some abnormal height of fitting results
点号
高程异常 一次多项式 二次多项式 多面函数残
/m
残差/cm
残差/cm
差/cm
GS02 -133.039
-0.1781
-0.5946
-0.1588
=
(x
−
xi )2
+(y
−
yi )2
+δ2
−1 2
(2-6)
式(2-6)中，δ 为光滑因子。
由此可列出误差方程式：
V=QA-ξ
(2-7)
70
式(2-7)中：Hale Waihona Puke Baidu
⎡V1 ⎤ ⎡Q11 Q12 L Q1m ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎡ξ1 ⎤
V
=
⎢⎢V2 ⎢M
⎥ ⎥⎥Q
=
⎢⎢Q21 ⎢L
Q22 L
L L
Q2m
⎥ ⎥
-0.8546
0.4736
-0.1386
GS01 -133.041
-0.5017
-0.6379
0.0225
GS03 -133.052
1.235
0.4385
-0.1684
GS04 -133.051
1.1274
0.3845
0.1168
GS05 GS07
-133.047 -133.037
0.035 -0.1794
GS16
-133.03
-0.0553
-0.502
-0.0842
GS18 -133.035
-0.5576
0.1153
0.1951
GS19 -133.029
-0.2146
-0.1356
-0.1201
GS20 -133.022
0.126
-0.0613
-0.018
95
表 2 不同拟合模型对检核点高程异常的拟合结果
图 6 拟合点残差对比
图 7 检核点残差对比
Fig. 6 Fitting point residual contrast
Fig. 7 Check point residuals contras
105
拟合精度如下，由测区概况可知，几种模型完全能满足四等水准的精度，且由表 3 可知，
在地形平缓地区，二次多项式拟合也能取得较好精度。
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GPS 高程拟合中多项式与多面函数的比较
与分析
杨建辉*
（中国矿业大学江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏 徐州 221116） 5 摘要：由于高程异常分布的无规律性，在小范围内将大地高转换为正常高必须借助一些模型
来拟合出高程异常曲面。本文利用多项式拟合模型和多面函数拟合模型来对比研究，且都取 得较满意精度，并且分析了光滑因子对多面函数模型拟合精度影响。 关键词：高程异常；多项式拟合；多面函数拟合；光滑因子
表 1 不同拟合模型对拟合点高程异常的拟合结果
Tab. 1 Different fitting model for fitting point abnormal height of fitting results
点号
高程异常/m
一次多项式 残差/cm
二次多项式 残差/cm
多面函数残 差/cm
G004 -133.039
L⎥
A
=
⎢ ⎢
a2
⎢M
⎥ ⎥⎥ξ
=
⎢⎢ξ
2
⎥ ⎥
⎢M ⎥
⎢⎥ ⎣Vn ⎦
⎢ ⎣Qn1
Qn2
L
⎥ Qnm ⎦
⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣am ⎦ ⎣ξn ⎦
当已知点数 n 大于带球系数 m 时，应用最小二乘原理：
A = (QT Q)−1QT ξ
(2-8)
多面函数拟合的理论相对严密，但是函数节点的选择，核函数的选择以及光滑因子δ 的
表 3 不同拟合模型拟合精度
110
Tab. 3 Different fitting model fitting precision
精度/cm 一次多项式 二次多项式 多面函数
内符合精度 ±0.8506
±0.4238 ±0.1362
外符合精度 ±1.0041
±0.9655
±0.809
3.2 分析光滑因子对多面函数拟合模型精度影响
75 选取有一定难度，不同的选择会带来不同的结果，甚至造成结果严重失真。
3 工程实例
本实例数据来自某矿区，选取 GPS 控制网中 20 个点与水准点重合。测区南北长约 2km， 东西宽约 0.9km，最大高差约为 150m，水准路线长约 4.5km，测区地形如图 2，测区控制点 分布如图 3。
80
图 2 测区地形图 Fig. 2 Topographic survey area
10
GPS elevation fitting polynomial functions with the
multi-faceted Comparison and Analysis
Yang Jianhui
(China University of Mining and Technology, Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, JiangSu XuZhou 221116)
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40
图 1 高程异常图示（H 为 WGS-84 大地高，Hr 为正常高）
Fig. 1 Height anomaly icon（H is the WGS-84 geodetic height, Hr is normal）
2 GPS 高程转换模型