初中数学竞赛——几何变换——平移

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八年级数学竞赛例题专题讲解26：几何变换(含答案)

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 2F 1F 2F 2F 1α1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.BAOP【例2】如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是5:6:7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）ABCP解题思路：解本例的关键是如何构造以PA ，PB ，PC 为边的三角形，若把△PAB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把PA ，PB ，PC 有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.ACBD【例4】如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.A FEDC B【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.CD AB图2图1NMABC C BA MN能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）ABCAB CPyx BAOC(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，PA =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）D'OACB ABDC PABDCD A'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长为31-. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CBDACBA P9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）FDBCAE10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）GFED H KABC C'B'A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）PQAB C12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）yxOAB13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）lM L P Q NC HFEGA DB14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1MEMACBBCAEDD15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）23BCAD。

初中数学学会使用几何变换解决问题

初中数学学会使用几何变换解决问题数学是一门抽象而又实用的学科，几何变换是其中的一个重要概念和技巧。

几何变换是指通过平移、旋转、翻转或者放缩等操作，改变图形的位置、形状或者大小。

在初中数学学习中，掌握几何变换的原理和应用，能够帮助我们解决各种与图形有关的问题。

本文将介绍几何变换的基本知识和解决问题的方法。

一、平移变换平移变换是指沿着一定的方向将图形整体移动一段距离，而不改变图形的形状和大小。

常见的平移变换包括向上、向下、向左、向右平移等。

对于初学者来说，理解平移变换可以通过手动进行模拟。

用一张纸上画一个图形，然后用一个透明的塑料片将其盖住，再将塑料片上的图形沿着某个方向整体移动一段距离，将会发现图形仍然保持不变。

利用平移变换解决问题时，我们可以通过观察图形的对应部分，确定平移的方向和距离，从而找到问题的解决方法。

例如，两个图形之间的位置关系、距离关系等问题，可以通过平移变换将一个图形平移到另一个图形的位置来解决。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个固定点旋转一定的角度，使图形原来的样子变为新的样子，而不改变图形的形状和大小。

旋转变换常用的表示方法是通过旋转中心和旋转角度来描述。

初中数学中常见的是正方形（或长方形）、三角形的旋转变换。

在解决问题时，我们可以利用旋转变换来判断两个图形是否相似、是否全等，从而找到问题的解决方法。

三、翻转变换翻转变换是指将图形沿着某个轴线翻转，使图形原来的样子变为新的样子，而不改变图形的形状和大小。

常见的翻转变换有关于x轴、y 轴的翻转。

对于初学者来说，翻转变换可以通过将图形在镜子中的倒影来进行理解。

例如，将一张纸上画的图形放在镜子前，我们可以看到镜中的倒影，这就是图形的翻转变换。

利用翻转变换解决问题时，我们可以通过观察图形的对应部分，确定翻转的轴线，从而找到问题的解决方法。

例如，判断一个图形是否对称，可以通过翻转变换将一个图形翻转到另一个图形的位置，然后观察它们之间的对应部分是否完全一致。

初中数学总复习《几何三大变化—平移》讲义

教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题初中数学总复习——几何三大变化——平移学习目标教学内容初中数学总复习——几何三大变化——平移轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由移动的方向和距离决定。

经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。

【一、构造平移图形：】例1、（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1 绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）1、（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数ky x=与直线的交点A 、B 均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O 是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写．出点A 、B 的坐标后，把直线AB 向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画．出平移后的直线A ′B ′. （2）若点C 在函数ky x=的图像上，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，请写出点C 的坐标.【二、点的平移：】例1、（2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P （﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移 3个单位长度，得到点P 1，则点P 1的坐标为．例2、（2012安徽省4分）如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP= x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图像大致是【】例3、（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C →A 的路径运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是【】A ．B ．C ．D ．例4、（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x=图像上的两点，动点 P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)2例5、（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【】A.1B.2C.3D.4例6、（2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。

初中数学竞赛第三十六讲平移、对称、旋转

第三十六讲平移、对称、旋转内容提要1．平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中．例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换．2．一般地，把图形F 上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F ′．则由F 到F ′的变换叫做平移变换，简称平移．由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变．将平面图形F 变到关于直线l 成轴对称的图形F ′，这样的几何变换简称为对称；它可使线段、角大小不变．3．将平面图形F 绕着平面内的一个定点O 旋转一个定角α到图形F ′，由F 到F ′的变换简称为旋转．旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角．4．运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系．例题求解【例1】已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，过BC 中点E 作AD 的平行线交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF CG ACAB ==+2．思路点拨直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题．注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF 、CG ，使分出的两部分一部分是AB 的一半，余下的是AC 的一半，问题就解决了．由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线(EH 和EI)就产生了，H 、I 切分了BF 、CG ，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明．【例2】如图，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE=FD+BE ．思路点拨表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能．但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移(比如证某两个三角形全等，中位线的关系等)．此题中可将FD延长至G，使得DG=BE，于是易证△AGD≌△AEB，则将AE与AG，BE与GD联系了起来，转而只需证明AG=GF，即只要证明△AGF为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB∥CD即证得．【例3】已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上的点，则△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数．思路点拨如图18-4，若在OM上A点固定，不难在ON上找出点B(B为P关于ON 的对称点P''与A点的连线与ON的交点)，同样若在ON上B点巳固定，则点P关于OM'与OM、ON的交点，这时的对称点P'与B点的连线与OM交于A，，因此A、B应为PP''可求得∠A．【例4】如图，在△ABC中，BC=h，AB+AC=l，由B、C向∠BAC外角平分线作垂线，垂足为D、E，求证：BD×CE=定值．思路点拨BC=h是定值，AB+AC=l是定值，要证BD×CE是定值，设法使BD×CE 用h、l的代数式来表示，充分利用DE是∠BAC的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理．【例5】已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是形内一点，且有∠APB=∠APC．求证：∠PBC=∠PCB．思路点拨欲证∠PBC=∠PCB ，只需证PB=PC ，考察一下PB 与PC 便知，PB 、PC 分布在△ABP 和△ACP 中，且有AB=AC ，AP=AP ，∠APB=∠APC ，两三角形有两边和一边的原图难以奏效，这时我们联想到将原图的某些部分旋转，一般地，若条件中有等腰三角形，需要对图形进行变换，常以等腰三角形的顶点为旋转中心，顶角为旋转角，进行旋转变换．设∠BAC=α，以A 为旋转中心，将△ABP 绕A 点向右旋转α角至△ACS 的位置，连PS ，则∠APS=∠ASP ，∵∠APC=∠APB=∠ASC ，∴∠CPS=∠CSP ，∴CP=BP ，∴∠PBC=∠PCB ．【例6】如图，P 是正方形ABCD 内一点，PA=2，PB=1，PD=3，求∠APB 的度数．思路点拨 PA 、PB 、PD 条件不在同一个三角形内，而要求∠APB ，则∠APB 与三个条件无直接联系，因此考虑将△APB 绕点A 沿逆时针方向旋转90°，则AP 至AP ′，BP 与P ′D 重合，连P ′P ，则P P AP '=2，这样边PB 、AP 2、PD 在同一个三角形内，再由条件可得∠DP ′P=90°，则∠AP ′D 的度数即可求得．【例7】 (1998年山东竞赛题)如图，四边形ABCD 是矩形，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A →B →C →D →…顺序前进，乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲?又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲?请说明理由．思路点拨设ABCD 边长AD=BC=am ，AB=BC=bm ，由题意得：乙的速度比甲的速度快，所以乙第一次追上甲的时间是在出发后的92ba +min ，乙第一次追上甲所走的路程为7492⨯+ba (m)，设这时乙的绝对路程为p ，则)(94479)(9384)22(9)2(74b a b a b a b a b a b a p ++-=+++=++=，从而得：4<p<9．又当38a+b<9(a+b)，即b a 298<时，1)(938<++b a b a ，所以，乙至少在跑第五圈时，才能第一次追上甲，当7a+44b<9(a+b)．即b a 235>时，1)(9447<++b a b a ，所以乙至多在跑第九圈时一定能追上甲．【例8】如图，D 为锐角△ABC 内部一点，满足AC ×BD=AD ×BC ，及∠ADB=∠ACB+90°，试计算比值BDAC CDAB ⋅⋅．思路点拨将线段BD 绕B 点顺时针旋转90°至BE ，连接DE 、GE ．由∠ADB=∠1+∠2+∠ACB ，及∠ADB=ACB+90°，∠1+∠=90°．由∠2+∠3=90°，则∠1=∠3．而AC ×BD=AD ×BC ，BD=BE ，即BEADBC AC =，故△ADC ∽△BEC ，∠4=∠6，ECDCBC AC =从而有∠ACB=∠4+∠6=∠5+∠6=∠DCE ．故△ABC ∽△DCE ．于是有DC AC DE AB =，在Rt △BDE 中，BD=BE ，DE=2BD ，所以2=⋅⋅BDAC CDAB ．学历训练1．如图，求图中阴影部分面积S=（）2．如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作直角当形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点．求证：DM=EM．3．如图，已知矩形ABCD中，有一个内接平行四边EFGH，它的各边平行于长方形的对角线，若矩形的对角线长12cm，则平行四边EFGH的周长为( )cm．4．(2001年济南市) 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是看到万花筒的—个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD以A中心( )A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到5．(2001年山西省)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是．6．如图，在△ABC中，AB=3AC，AE是∠A的平分线，BD⊥AE交AE廷长线于D，求证：AE=ED．7．(南京市中考题)(1)阅读下面材料：如图18-14(1)，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△EDC的位置；如图18-14（2），以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图18-14(3)，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置；不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．(2)回答下列问题：①在图18-15中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置?②指出图18-15中线段BE与DF之间的关系．8．(1999年江苏省未面世竞赛试题) 如图，一个三角形的三条中线长分别为5、12、13，则该三角形的面积S=( )9．(1996年希望杯竞赛题)如图，在△ABC中，∠B=2AC，AD⊥BC，交BC于D，M 为BC的中点，AB=10，则DM的长为( )10．(第十五届江苏省数学竞赛试题)如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD、AC上，且DE⊥DF，则( )A．BE+CF>EF B．BE+CF=EFC．BE+CF<EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定11．(1998年全国初中数学竞赛题)如图，在矩形ABCD中已知AB=5，AD=12，P是AD上任一点，PF⊥BD，PE⊥AC，E、F分别为垂足，那么PE+PF=( )12．(2000年希望杯数学竞赛培训题)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则平行四边形ABCD的周长是( )13．已知：如图，△ABC为等腰三角形，AH为高，BD为∠B的平分线，DE⊥BC于E，DF⊥BD交BC于F．求证：BF=4HE．14．在矩形ABCD内任取一点M，求证：存在一个四边形，它的边长等于MA、MB、MC、MD，且它的对角线互相垂直且长度分别等于AB、BC．15．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且BE+DF=EF，求∠EAF 的大小．16．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，F为AD的中点，且∠DFE=n ∠AEF．求n的值．17．在△ABC中，∠A=20°，AB=AC=a，BC=b．求证：a3+b3=3a2b．18．如图，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动．试证：点M最后必能再经过原来的出发点．。

初一平移题型归纳总结

初一平移题型归纳总结平移是初中数学中的重要概念之一，也是初一数学学习的基础内容。

通过对初一平移题型的归纳总结，可以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

本文将从不同题型的角度进行总结，以期对同学们的学习有所帮助。

一、平移定义及基本性质回顾在开始总结不同平移题型之前，我们需要回顾一下平移的定义及其基本性质。

平移是指将一个图形在平面上保持形状、大小不变地沿着某个方向移动一定距离的操作。

平移有以下基本性质：1. 平移的方向可以是任意方向，可以是水平方向、垂直方向或者斜向。

2. 平移不改变图形的大小、形状和内部的相对位置关系。

3. 平移的向量表示平移的方向和距离，可以用箭头表示。

二、图形的平移1. 点的平移点的平移是最简单的一种平移题型。

给定一个点P，沿着某个方向平移一定距离，得到一个新的点P'。

点的平移关系可以用向量表示。

如果平移向量是(a,b)，那么P'的坐标是(P.x+a, P.y+b)。

同学们可以通过练习题来加深对点的平移的理解。

2. 线段的平移给定一条线段AB，沿着某个方向平移一定距离，得到线段A'B'。

线段的平移也可以用向量表示。

如果平移向量是(a,b)，那么A'B'的坐标可以表示为(A.x+a, A.y+b)和(B.x+a, B.y+b)。

同学们可以通过画图和计算来加深对线段的平移的理解。

3. 三角形的平移给定一个三角形ABC，沿着某个方向平移一定距离，得到一个新的三角形A'B'C'。

三角形的平移也可以用向量表示。

如果平移向量是(a,b)，那么A'B'C'的顶点坐标可以表示为(A.x+a, A.y+b)、(B.x+a, B.y+b)和(C.x+a, C.y+b)。

同学们可以通过练习题来加深对三角形的平移的理解。

4. 图形的平移除了上述介绍的简单图形外，我们也可以平移复杂一点的图形，例如矩形、正方形和圆等。

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移例1、牧童在A处放牛, 家在B处, 天色将晚，需要回家了，但牛需要喝水。

则在何处饮水，所走路程最短？lABB解：作出A关于l的对称点C,连接CB,交l于P，则P就是所求的点。

证明：在l上任意取一点Q，只要证明QA+QB>PA+PB即可。

根据轴对称性，PC=PA,QC=QA,因此PA+PB=PC+PB=BC<QC+QB=QA+QB.说明：本题也可以换成以下物理背景：(1)l是一面镜子，A处的光线要想经过镜子反射以后照亮B处的物体，应如何选择入射点？(2)在A处击台球，要想经过桌子边缘反射以后击中B处的球，应如何选择入射点？这些问题的解决和上面是一样的。

例2、A、B在直线两侧，且到直线的距离不等，要在直线上找一点P,使得P到A、B的距离之差最大。

AB解：作B关于直线的对称点B’,连接AB’交直线于点P，则P就是所求的点。

证明：在直线上另外取点Q，连接QA、QB、QB’,那么QA-QB=QA-QB’<AB’=AP-B’P=AP-BP.说明：请你比较一下例1和例2的区别。

例3、锐角∠AOB内有一点P，求作△PEF，使E在OA 上，F在OB上，且使△PEF的周长最小.MC解：如图，分别作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB于E、F，则△PEF就是所求的三角形。

证明：在OA、OB上分别取异于E、F的点G、H，只要证明PG+GH+PH>PE+EF+PF即可。

事实上，PG+GH+PH=NG+GH+HM>NM=NE+EF+FM=PE+EF+PF.说明：(1)如果∠AOB是直角或钝角，那么图示的△PEF不复存在。

如果P看作一个锐角三角形的一边上的点，那么问题相当于求经过P点的△ABC的内接三角形，并使得周长最短。

(2)进一步的问题是：P在AC边上什么位置时，得到的内接三角形周长最短？答案是：当P 是AC边上的垂足时，内接三角形周长最短，这样的三角形叫做垂足三角形。

初中几何变换——平移

初中数学几何变换之平移一.常识梳理1.平移根本要素：平移偏向平移距离.2.基赋性质：（1）对应点所连的线段平行且相等（2）对应线段平行且相等（3）对应角相等3、运用：平行四边形消失性等二.常考题型类型一：平移性质 1.如图,矩形OABC的两条边在坐标轴上,OA=1,OC=2,现将此矩形向右平移,每次平移1个单位,若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点,它们的纵坐标之差的绝对值为,则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为（用含n的代数式暗示）第1题第2题2.如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上活动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( )3.如图①,在平面直角坐标系中,已知点A（2,0）,点B（0,4）,点E（0,1）,如图②,将△AEO沿x轴向左平移得到△A′E′O′,衔接A′B.BE′.（1）设AA′=m（m >0）,试用含m并求出E′的坐标;（2）当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.类型二：分解运用1.在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上（与点C.D不重合）,衔接AP,使点D移动到点C,过点Q H,衔接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1.①依题意补全图1;②断定AH与PH的数目关系与地位关系并加以证实;(2)若点P在线段CD的延伸线上,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思绪.（可以不写出盘算成果）2.,（1）概念懂得如图1,在四边形ABCD中,添加一个前提使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个前提.（2）问题探讨①小红猜测：对角线互相等分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜图备用图测准确吗？请解释来由.②如图2,小红画了一个Rt△ABC,个中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的等分线BB＇偏向平移得到△A＇B＇C＇,贯穿连接AA＇,BC＇.小红如果平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”,应平移若干距离（即线段BB＇的长）？（3）运用拓展如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°,AC,BD为对角线,AC=AB.试探讨BC,CD,BD的数目关系.3.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一路,个中∠A=60°,AC=1．固定△ABC不动,将△D EF进行如下操纵：（1）如图1,△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动）,衔接DC.CF.FB,四边形CDBF的外形在不竭的变更,它的面积是否变更？假如不变要求出其面积;假如变更,解释来由．（2）如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜测四边形CDBF的外形,并解释来由．（3）如图3,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针偏向扭转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点正好与B点重合,衔接AE,请你求出sin∠DEA的值．二.课后功课1.如图,两个全等的△ABC和△DFE重叠在一路,固定△ABC,将△DEF进行如下变换：（1）如图1,△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动）,衔接AF.AD.BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系;（2）如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应知足什么前提？请给出证实;（3）在（2）的前提下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延伸线上的点G处,衔接CG,请你在图3的地位画出图形,并求出sin∠CGF的值．。

初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点

初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。

它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。

一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。

平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。

二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。

旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。

3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。

三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。

对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。

综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。

它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。

通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。

当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。

通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。

中考数学专题21 几何三大变换问题之平移问题(含解析)

专题21几何三大变换问题之平移问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。

平移有如下性质：1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等；2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。

一.直线（线段）的平移问题1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；5（2）()()2m8m122m4d24m6<⎧-+-≤⎪=⎨≤≤⎪⎩（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=143【解析】解：（1）2；5。

（2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。

当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。

当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。

初中数学几何变换之平移

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠）（5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动）（5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒，易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ，可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=．在此基础上可求得EF 、AF 的长，进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=．（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △．易得PQR △的边长为1337++=，则7322EF =--=，7124FA =--=，故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积．易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=．在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点．下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠．在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =．在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =．连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。

初中数学竞赛——几何变换——平移

初中数学竞赛——几何变换——平移(共9页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第1讲几何变换——平移典型例题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，已知3AD BC +=，AC =，BD ABCD 的面积．【例2】如图所示，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A B ︒∠+∠=，AB a =，CD b =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求EF 的长．【例3】求证：两中线相等的三角形都是等腰三角形．ACDB FDCBAE【例4】求证10条两两相交的直线所成的所有角中，至少有一个角不大于18︒．【例5】已知六边形ABCDEF 的三双对边分别平行并且AB ED =，求证：BC EF =，CD FA =．【例6】在六边形ABCDEF 中，AB DE BC EF CD AF ∥，∥，∥，且BC EF -=DE AB -=AF CD -0＞．求证：六边形ABCDEF 的各内角相等．【例7】如图，ABC △中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．【例8】如图，ABC △中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【例9】已知：ABCD 是凸四边形，且AC BD =．E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．【例10】求证：GMN GNM ∠=∠．ED CABABCFEE NGDCBAM【例11】已知，如图，四边形ABCD 中AD ＝BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF和BC 的延长线分别交于M N ，两点，求证：AME BNE ∠=∠．【例12】如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL AE ∥，且14KL AE =．【例13】已知：矩形ABCD 内有定点M ，求证：存在四边形，它的四条边分别等于MA 、MB 、MC 、MD ，对角线分别等于AB 和BC ，且两条对角线互相垂直．DAMN DCBEFE DCBAL NMKQP【例14】如图，已知ABC △中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE BC ＞．【例15】如图，在等腰三角形ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使得AE CF =．已知2BC =，求证：1EF ≥．【例16】已知：M 是三角形ABC 内的定点，从M 点出发沿平行于边BC 的直线运动，直到和AC 边交于1B 点，然后再沿平行于AB 边的直线运动，直到和BC 边交于1A 点，然后再沿平行于AC 边的直线运动，直到和AB 边交于1C 点，…如此继续下去．求证：若干步后，M 点的轨迹将是封闭的．CB【例17】已知ABC △的三条中线长分别为3，4，5，求ABC △的面积．【例18】已知：ABCD 是梯形，A ∠、B ∠的平分线交于M 点，C ∠、D ∠的平分线交于N ．【例19】求证：2MN AB CD BC AD =+--．【例20】如图所示，在ABC △中，90C ︒∠=，点M 在BC 上，且BM AC =，N 在AC 上，且AN MC =，AM 与BN 相交于P ．求证：45BPM ︒∠=．A作业1. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC BD ⊥．求证：222()AC BD AB DC +=+．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，BD DC =，AC BD ⊥于M ．求证：1()2CM AB DC =+．3. 四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B ∠=∠，若AD a =,AB b =，求CD 的长．AMDCB4. 叙述并证明梯形中位线的性质定理．5. 如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，DF BC ⊥于F ，MN 是梯形的中位线，求证：DF MN =．6. 在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，且EG FH ⊥，求证：EG FH =．7. ABCD 是四边形，N 是BC 中点，M 是AD 边中点，BA 、NM 的延长线交于P ，CD 、NM 的延长线交于Q ，如果BPN NQC ∠=∠，求证：AB CD =．EFN ND CBA8. ABC △中，BE 和CD 分别是B ∠和C ∠的角平分线，P 是DE 的中点，PQ BC ⊥于Q ，PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于N ．求证：PQ PM PN =+．。

初中数学竞赛专题-第十八章几何变换的性质及应用

第十八章几何变换的性质及应用【基础知识】平面几何中的几何变换主要有合同（包括平移、旋轴、轴对称）、相似（包括位似）、仿射和反演变换．在平面到自身的一一变换下,如果任意线段的长和它的象的长总相等,那么这种变换叫做合同变换．合同变换具有下述基本性质：性质1在合同变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；两直线的平行性、垂直性,所成的角度都不变；共线点变为共线点,且保持顺序关系不变；直线上A 、B 、C 三点的简比ACBC不变．性质2在合同变换下,三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '连结的有向线段等于定向量a ,则这种变换叫做平移,记为()T a ．a 叫平移向量,a 的方向叫做平移方向,其长度叫平移距离．在平面到自身的一一变换下,若每对对应点A ,A '所连结的线段,都被定直线l 所垂直平分,则这种变换叫做关于直线l 的轴对称或轴反射,记为()S l ．直线l 叫做对称轴或反射轴,点A '叫做点A 关于轴l 的对称点．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '与平面上一定点O 的距离总相等,且AOA '∠等于定角θ,这种变换叫做关于点O 的旋转,记为(),R O θ．点O 叫做旋转中心,θ叫做旋转角．特别地,旋转角180θ=︒的旋转变换称为中心对称变换或点反射,记为()(),180C O R O =︒．性质3在平移变换下,直线（线段）变成与它平行（或重合）的直线（线段）；在轴对称变换下,P 为对称轴l 上任一点,则一对对应点所成的角APA '∠被l 所平分；在旋转变换下,对应直线的交角总等于旋转角；在中心对称变换下,对应点连线段过对称中心且被它平分,对应线段相等且反向平行或共线,不过对称中心的直线与其对应的直线平行．在平面到自身的一一变换下,若线段A B ''是AB 的象,且A B AB k ''=∶（k 为正的常数）,则这种变换叫做相似变换,记为()H k ．常数R 叫做相似系数或相似比．特别地,若1k =,则为合同变换；1k =-,则为中心对称变换．性质4在相似变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；点与直线的结合关系不变,点在直线上的顺序关系不变；直线上三点的简比不变,两直线的夹焦不变,两相似多边形面积比不变且等于相似比的平方．在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为非零常数）,则这种变换叫做位似变换,记为H （O ,k ）．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比．特别地,当0k >时,A ,A '在点O 同侧,这种变换叫顺（或正或外）位似；0k <时,A ,A '在点O 两侧,这种变换叫逆（或反或内）位似．性质5在位似变换下,对应线段之比相等,对应角相等且转向相同；不过位似中心的对应直线平行．在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为正的常数）,且AOA θ'∠=（θ为有向的定角）,则这种变换叫做位似旋转变换,记为(),,S O k θ．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比,θ叫做旋转角,且()()()()(),,,,,,S O k H O k R O R O H O k θθθ=⋅=⋅；()(),0,,S O k H O k =；()(),,,S O k H O k π=-；()(),,1,S O R O θθ=．性质6在位似旋转变换下,把两个相似形中的一个变到另一个；具有共同中心的两个位似旋转变换之积仍是一位似旋转,即有()()()11221212,,,,,,S O k S O k S O k k θθθθ⋅=+⋅．在平面到自身的一一变换下,若满足任意共线三点的对应点仍共线,且其三点的简比保持不变,则称此变换为仿射变换．显然,若建立平面坐标系,仿射坐标系与直角坐标系的差别就在于两轴间的夹角及轴上单位长度不相同．若两轴夹角仍为90︒,则称为伸缩变换：()()12,,x y k x k y →,其中10k >,20k >．性质7在仿射变换下,点变成点,直线变成直线；保持点和直线的结合关系；保持直线的平行关系；保持两平行（共线）线段的长度比；任一封闭凸曲线所围成的图形的面积S 和它对应图形所围成的面积S '之比为常数．性质8在仿射变换下,任一三角形变成正三角形；梯形变为等腰梯形；任一平行四边形变成正方形；任一椭圆变为圆,相应地椭圆中心变成圆心,椭圆直径变成圆的直径,椭圆的切线变成圆的切线．设O 是平面上一定点,对于一个变换,若任一对对应点A ,A '（异于O ）,都有OA OA k ⋅=（k 为非零常数）,则称此变换为反演变换,记为I O k （，）．O 点称为反演中心,k 为反演幂．显然,0k <时,A ,A '在点O 两侧,可经以O 为中心对称变换变成0k >的情形．故只考虑0k >的情形,且令2k r =．此时,反演变换的几何意义为,满足“以O 为圆心,r 为半径的圆中直角三角形的射影定理形式：22r OP OA OA '==⋅”的图形,并称这个圆叫反演变换的基圆．性质9在反演变换下,基圆上的点仍变为自己；基圆内的点（除中心外）变为基圆外的点．反之亦然．性质10在反演变换下,过反演中心的直线是不变直线（除中心）；过反演中心的圆变为不过反演中心的直线；过反演中心的相切两圆（或一圆一直线）变为不过反演中心的两平行直线；过反演中心的两相交圆变为不过反演中心的相交直线．反之亦然．性质11在反演变换下,不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆；以反演中心为圆心的圆变为同心圆；不过反演中心相切（交）的圆变为不过反演中心的相切（交）的圆；不共线的任意两对对应点必共圆；圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变．【典型例题与基本方法】例1如图18-1,设A ',B ',C '分别是ABC △的边BC ,CA ,AB 的中点,1O ,2O ,3O ,1I ,2I ,3I 分别是AB C ''△,A BC ''△,A B C ''△的外心和内心．求证：123123O O O I I I △≌△．证明由三角形中位线性质,知C B B A AC ''''==,故()T AC AB C C A B '''''−−−→△△．于是()12T AC O O '−−−→,()12T AC I I −−−→,所以1212O O AC I I '==．同理,1313O O I I =,2323O O I I =．故123123O O O I I I △≌△．例2设DPQ △是锐角ABC △的垂足三角形（即D ,P ,Q 分别为三条高线的垂足）．求证：DPQ △是ABC △中周长最短的内接三角形．证明由题设,如图18-2,AD ,BP ,CQ 分别是DPQ △的内角平分线．图18-2D "D 'R"R'F EDABCRQP ST令DEF △是ABC △中以D 为一顶点的任一内接三角形,且()S ABD D '−−−→,()S ACD D ''−−−→,则D ',D ''落在直线PQ 上,且D Q DQ '=,D P D P ''=,线段D D '''之长等于DPQ △之周长．连D E ',D F '',刚折线D EFD '''之长等于DEF △之周长,显然D D D E EF FD ''''''++≤．不难计算2sin D D AD BAC '''=⋅∠．若RST △是ABC △的任一内接三角形,则用类似方法可以证得RST △的周长大于或等于2sin AR BAC ⋅∠．由于AR AD ≥,从而RST △的周长DPQ ≥△的周长,即垂足三角形DPQ △的周长最短．例3在ABC △内有一点P ,满足120APB BPC CPA ∠∠=∠=︒=．求证：P 是到三顶点距离之和最小的点（即费马点）．图18-3Q Q 'P'ABCEP证明由120CPA BPC ∠=∠=︒,故对APC △施行旋转变换(),60R C -︒,则(),60R C APC EP C -︒'−−−−→△△．由于60P PC PP C ''∠=∠=︒,则B ,P ,P ',E 共线,且 BE BP PP P E BP CP AP ''=++=++．对于ABC △内任一点Q ,令(),60R C AQC EQ C -︒'−−−−→△△,则QQ QC '=,Q E QA '=,于是QA QB QC Q E QQ QB BF BP CP AP ''++=++=++≥,故P 点是到三顶点距离之和最小的点．例4如图18-4,在ABC △中,AB AC >,A ∠的一个外角的平分线交ABC △的外接圆于点E ,过E 作EF AB ⊥,垂足为F ．求证：2AF AB AC =-．（1989年全国高中联赛题）图18-4F EDA BCT证明1902AEF BAE BAC ∠=︒∠=∠-．作A 关于F 的对称点D ,则AED CAB ∠=∠,且EA ED =．又EB EC =（因EBC EAT EAB ∠=∠=∠）,则EB EC =,且CEB CAB AED ∠∠=∠=,所以可将AEC △绕E 点旋转AED ∠到DEB △处,从而AC DB =．故2AB AC AD AF -==．例5如图18-5,ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形,现固定ABC △,而将ADE △绕A 点在平面上旋转,试证：不论ADE △旋转到什么位置,线段EC 上必有点M 使BMD △为等腰直角三角形．（1987年全国高中联赛题）图18-5A'E 1C 1EDABCM证法1先证BMD △为等腰直角三角形,再证M 为EC 上．作A 关于BD 的对称点A ',则ADB AD B '∠∠=．由902ADE BDM ∠=︒-∠, 有|45|9045|EDM A DM A DB ADB ''∠∠=︒-∠︒-︒-∠==|．而DA DA DE '==,则A '是E 关于DM 的对称点．同理,A '也是C 关于BM 的对称点．从而EM D A M D '∠=∠,CMB A MB '∠∠=,而90BMD ∠=︒,故180CME ∠=︒,即M 在BC 上．证法2先取EC 中点M ,再证BMD △为等腰直角三角形．作AC 关于AB 的对称线段1AC ,连1BC ,1EC ,将1AC E △绕A 点顺时针方向旋转90︒到1ACE △的位置如图18-5,则11C E CE ⊥,11AC E ACE △≌△,且1190C AC EAE ∠=∠︒=,从而由1AE AE =有1ADE ADE ∠=∠,即知E ,D ,1E 三点共线且D 为1EE 中点．再由112BM C E ∥,112DM CE ∥及1C E 1CE ,即证．例6如图18-6,在锐角ABC △的BC 边上有两点E ,F ,满足BAE CAF ∠∠=,作FM AB ⊥于M ,作FN AC ⊥于N ,延长AE 交ABC △的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与ABC △的面积相等．图18-6LFE DABC M NK（2000年全国高中联赛题）证明作DK AB ⊥于K ,作DL AC ⊥于L ,则只需证明 FBM FCN FDM FDN S S S S +=+△△△△．利用FDM FKM S S =△△,FDN FLN S S =△△,只需证明FBM PCN FKM FLN S S S S +=+△△△△,即FM BM FN CN FM MK FN NL ⋅+⋅=⋅+⋅．因此,只需证明()()FM BM MK FN NL CN -=-,即FM BK FN CL ⋅=⋅．设BAE CAF α∠=∠=,利用BKD CLD △∽△,有 ()sin sin BK DK FNCL DL A FM αα===-．故结论成立．例7如图18-7,1O 与2O 外切于点A ,半径分别为1r 和2r ,PB ,PC 分别为1O ,2O 的切线,B ,C 为切点,且12PB PC r r =∶∶,又PA 交2O 于E 点．求证：PAB PEC △∽△．图18-7证法1（相似证法）连线1BO ,1PO ,2PO ,2EO ,2CO ．注意到1O ,A ,2O 三点共线,由12PB PC r r =∶∶有12Rt Rt PBO PCO △∽△,从而1212PO PO O A O A =∶∶．由角平分线性质定理的逆定理,知12BPO O PA ∠=∠．又22O AP O EA ∠=∠,有12O AP O EP ∠=∠,从而12O AP O EP △∽△,则12PA PE r r =∶∶,即PA PE PB PC =∶∶．而BPA CPE ∠=∠,故PAB PEC △∽△．证法2（位似证法）考虑以A 为位似中心的变换,把1O 变到2O ,PAB △变到P AC ''△,则P C ''切2O 于C '．由12PB P C r r PB PC ''==∶∶∶,知P C PC ''=．延长P C ''与PC 的延长线相交于点Q ,如图18-7,由QC QC '=,知PQP '△为等腰三角形．连2QO 并延长交AE 于F ,则QF AE ⊥,故QF 平分AE ,则AP PE '=．由此知PEC P AC PAB '△≌△∽△．例8如图18-8,设H 为ABC △的垂心,L ,M ,N 分别是BC ,CA ,AB 边的中点．D ,E ,F 分别是三条高的垂足,P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中心,试证：L ,M ,N ,D ,E ,F ,P ,Q ,R 九点共圆（九点圆定理）．图18-8BC证明由于P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中点,故以H 为位似中心,位似比为2的位似变换把PQR 变成ABC ．因此,要证L ,M ,N ,D ,E ,F 在PQR 上,只要证明这些点在上述位似变换下的象点均在ABC 上即可．作()C D H D '−−−→,()C L H L '−−−→,则D ',L '在ABC 上．同理E ,M ,F ,N 的象点也在ABC 上．再由上述位似变换之逆即证得结论成立．例9如图18-9,2AB CD ∥,1AC BD ∥,A 在12D D 上．求证：122ABC ABCD ACD S S S =⋅△△△．图18-945°45°MD 2'D 1'C 'B'A'D 2ABCD 1证明因为梯形是仿射不变形,所以题设中的两个梯形可由两个特殊梯形经仿射变换后得到,设梯形2C B A D ''''和梯形1C B D A ''''皆为直角梯形,且221C D D A MB '''''===．梯形2A D C B ''''−−−→仿射梯形2AD CB ,梯形1A C B D ''''−−−→仿射梯形1ACBD ,则112A B C S A B MC ''''''=⋅=△,11122A B D S A B A D '''''''=⋅=△,212A C D S '''=△．从而122A B C A B D A C D S S S '''''''''=⋅△△△．故122ABC ABD ACD S S S ⋅△△△=．例10在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ,使线段DE 和DF 把AC 三等分,已知ADE △和CDF △的面积等于四边形面积的14．求证：ABCD 是平行四边形．（第16届全俄竞赛题）证明题中条件与结论均满足仿射变换不变性特性．将ABC △变换成图18-10所示直角三角形,设3AB BC ==,则()3,0A ,()0,3C ,()2,1P ,()1,2Q ．图18-10DO ABCEFP Qxy设(),D a b 为所求,则直线DE 的方程为()1122b y x a --=--．令0y =得221E ax b -=+-．于是11232221ADE D a S AE y b b -⎛⎫=⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭△ 1321a b b b +-=⋅⋅-．同理,得1321CDF a b S a a +-=⋅⋅-△．()11333222ABD BCD ABCD S S S b a a b =+=⋅⋅+⋅⋅=+△△四边形．由已知易得()131313212142a b a b b a a b b a +-+-⋅⋅=⋅⋅=⋅+--．解得3a b ==．即33D （，）,故ABCD 为平行四边形．例11如图18-11,H 是ABC △的垂心,P 是ABC △内任一点,由H 分别向PA ,PB ,PC 引垂线HL ,HM ,HN 与BC ,CA ,v 的延长线相交于X ,Y ,Z ,其中L ,M ,N 为垂足．求证：X ,Y ,Z 三点共线．图18-11PXYZ L DH AC EF MN证明由于H 是一特殊点,将其作为反演中心,则只须证X ,Y ,Z 的象点（或反点）与H 共圆．设ABC △的高线分别交BC ,CA ,AB 的垂足为D ,E ,F ,则HA HD HB HE HC HF ⋅=⋅=⋅．又A ,D ,L ,X 共圆,有HL HX HA HD ⋅=⋅．同理,H M H Y H B H E ⋅=⋅,HN HZ HC HF ⋅=⋅．以H 为反演中心,则L 与X ,N 与Z ,M 与Y 均为反点．又L ,P ,N ,H 共圆,L ,P ,M ,H 共圆,有L ,N ,M ,H 共圆,故X ,Z ,Y 三点共直线．例12如图18-12,四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ,BCP ,CDP 和DAP 的外接圆心分别是1O ,2O ,3O ,4O ．求证：OP ,13O O ,24O O 三直线共点．图18-12（1990年全国高中联赛题）证明由于本题涉及的圆很多,于是可考虑反演变换．取P 为反演中心,P 关于圆O 的幂为反演基圆半径,则圆O 反演为本身,()1,2,3,4i O i =反演为四边形ABCD 各边所在直线,过点P 的直线也反演为本身．由直线2PO 与2O 正交,可知它们的反形也正交,即2PO AD ⊥．又易知4O O AD ⊥,所以24PO O O ∥．同理,42PO O O ∥．所以24PO OO 为平行四边形,PO ,24O O 互相平分．同理,PO ,13O O 也互相平分,命题得证．【解题思维策略分析】1．注意同一类变换的多次运用例13如图18-13,凸四边形ABCD 的边是位于形外的、两两相似的等腰APB △、BQC △,CRD △、DSA △的底边．已知PQRS 是矩形,且PQ QR ≠．证明：ABCD 是菱形．图18-13FSPQRD OABCE（第15届全俄第三阶段赛题）证明设这些相似的等腰三角形的顶角为θ（90≠︒）．考虑一系列的旋转变换：点A 绕点P 转θ角到点B ,点B 绕点Q 转θ角到点C ,合成为点A 绕点E 转2θ角到点C ．同理点C 绕点F 转2θ角到点A ,其中12EPQ PQE FRS RSF θ∠=∠=∠=∠=．从而EA EC =,FA FC =,2180AEC AFC θ∠=∠=≠︒．于是AEC AFC △≌△,AECF 是菱形．又由于PQ SR =,则PEQ SFR △≌△．因此,E ,F 在矩形PQRS 的中位线上,从而AC 被该中位线垂直平分于矩形中心O 点．同理BD 也被矩形PQRS 的另一中位线垂直平分于矩形中心O 点．故ABCD 是菱形．若90θ=︒,则E ,F 都与矩形PQRS 的中心O 重合,且90POQ ROS ∠=∠=︒,从而知PQRS 是正方形,矛盾．所以90θ≠︒．例14设ABCDEF 是凸六边形,AB BC CD ==,DE EF FA ==,60BCD EFA ∠=∠=︒,G ,H 是六边形内两点,使120AGB DHE ∠=∠=︒．求证：AG GB GH DH HE CF ++++≥．（IMO -36试题）证明如图18-14,分别以AB ,DE 为边向六边形外作正ABM △和DEN △,将AGB △绕A 逆时针方向旋转60︒到AG M '△,则AGG '△为正三角形．故AG GG '=,GB G M '=．图18-14FCH 'ENH DG 'MABG同样,将EHD △绕E 点顺时针方向旋转60︒到EH N '△,则EHH '△为正三角形,于是EH HH '=,HD H N '=．连MN ,则多边形AMBCDEF 关于轴BE 对称,MN CF =．另一方面,由“两点间线段最短”有 AG GB GH DH HE MG G G GH HH H N MN CF '''''++++=+++=+≥． 2．注意几类变换的配合运用例15平面上有两个直角三角形,其斜边上的中线互相平行,证明：一个三角形的一条直角边与另一个三角形的某条直角边之间的（小于直角的）夹角小于两条斜边之间的夹角．（第19届全俄竞赛题）证明平行移动两个给定的Rt ABC △和Rt A B C '''△中的一个,使两三角形的直角顶点C 与C '重合,并以点C 为中心,作位似变换,使得两三角形的中线重合,如图18-15．那么以E 为圆心,CE 为半径的圆将外接这两个三角形,并且它们斜边之间的夹角是圆心角,而它是相应的圆周角的两倍,这圆周角是直角边之间（小于直角）的夹角（图中2AEA ACA ''∠=∠）,注意到上述的平移及位似变换均不改变直线间的夹角,于是结论获证．图18-15A BC =C 'EB'A'例16如图18-16,ABC LMN △∽△,且AC BC =,LN MN =,顶点按逆时针顺序排列,并在同一平面内,而且AL BM =．证明：CN 平行于AB 和LM 中点的连线．图18-16N LM（第19届全俄第3阶段竞赛题）证明平移线段AB 到QM ,因AL BM =,BM AQ =,则AL AQ =,即ALQ △为等腰三角形．若F 为LQ 的中点,则AF LQ ⊥．设E 为LM 的中点,D 为AB 的中点,则FE 是QLM △的中位线,1122FE QM AB AD ===及FE QM AD ∥∥,因此AFED 是平行四边形,即AF DE ∥,AF DE =．又AF LQ ⊥,故DE LQ ⊥．平移ABC △,使A 点重合于F 点,D 点重合于E 点,则C 点移到G 点,ADC FEG △≌△,AF CG DE ∥∥及CG DE =．由ADC LEN △∽△,得FEG LEN △∽△且FE CELE NE=．又因90GEF NEL ∠=∠=︒,故GEN LEF ∠=∠,进而FEL ∠可由GEN ∠绕E 点逆时针旋转90︒并经位似变换而得到．由此得GN LF ⊥,即GN LQ ⊥．又GC LQ ⊥,即G ,C ,N 都在垂直于LQ 的一条直线上,因此,CN AF ∥,亦即CN DE ∥,原命题得证．【模拟实战】习题A1．给定以O 为圆心,AB 为直径的半圆周,在其上取点K 和M ,在直径上取点C ,使得KCA MCB ∠=∠．证明：K ,C ,O ,M 四点共圆．（第18届全俄竞赛题）2．在ABC △中,AB AC =．任意延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使AP BQ =．求证：ABC △的外心O 与A ,P ,Q 四点共圆．（1994年全国初中联赛题） 3．在半径为1的圆周上给定弦AB ,不与圆相交的直线l 与弦AB 成45︒．用圆规和直尺在直线l 上作出点C ,使得线段DE 与AB 垂直（C ,E 分别是CA ,CB 与圆的交点）．（第16届全俄竞赛题） 4．ABC △中,2AB AC ==,BC 边—上有100个不同的点1P ,2P ,…,100P ,记2(1,2,,10)i i i i m AP BP PC i =+⋅=,求12100m m m +++的值．（1990年全国初中联赛题）5．从以AD 为直径的半圆周上的点B ,C 分别作BE ,CF 垂直于AD 于E ,F ．线段AC 与BD 相交于P ,线段BF 与CE 相交于Q ．求证：直线PQ AD ⊥．（第17届全俄第3阶段竞赛题）6．设两个等圆相交,由其对称中心引出两条射线,它们交圆周于不在同一直线上的四点．证明：这四点共圆．（第19届全俄竞赛题） 7．在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上分别取异于顶点的点K ,L ,M ,N ．已知KL MN ∥,KM NL ⊥于O ．证明：KM 和LN 的交点在矩形的对角线BD 上．（第25届全苏竞赛题）8．ABC △的中线AE ,BF 和CD 相交于M ．已知E ,C ,F 和M 共圆,且CD n =．求线段AB 的长度．（第18届全俄竟赛题）9．等边ABC △和KMN △（顶点按逆时针顺序）在同一平面内,且AK NB =．证明：线段CM 和AN 互相垂直,且CMAN=（第19届全俄竞赛题） 10．运用位似旋转变换证明例5． 11．四边形ABCD 中,以一对对边的比AB CD ∶内分另一对对边AD ,BC 于E ,F ,延长BA ,CD 与EF 的延长线分别相交于G ,Q ．试证：BGF FQC ∠=∠． 12．四边形ABCD 的对边AD ,BC 延长交于E ,AB ,CD 延长交于F ．O 为其对角线交点,过O 作AB 的平行线OQ 交EF 于Q ．求证：OG GQ =．习题B1．已知平面上三个半径相等的圆1O ,2O ,3O 两两相交于A ,B ,C ,D ,E ,F ,如图18-17．证明：弧AB ,CD ,EF 的和等于180︒．图18-172．如图18-18,111A B C △,在ABC △内,且111ABC A B C △∽△．作1B D AC ⊥于D ,1C E AB ⊥于E ,1A F BC ⊥于F ．求证：1112ABC A F BC B D AC C E AB S ⋅+⋅+⋅=△．图18-18D A BCE C 1B 1A 13．设D 是锐角ABC △内部的一点,使得90ADB ACB ∠∠+︒=,并有AC BD AD BC ⋅=⋅．（1）计算比值AB CDAC BD⋅⋅；（2）求证：ACD △的外接圆和BCD △的外接圆在C 点的切线互相垂直．（IMO34-2试题）4．BK 是锐角ABC △的高,以BK 为直径作圆分别交AB ,BC 于E ,F ．过E ,F 分别引所作圆的切线．证明：两切线的交点在过顶点B 的ABC △的中线所在的直线上．（第21届俄罗斯竞赛题）5．在梯形ABCD 中,腰AB CD =．将ABC △绕点C 转过一个角度,而得到A B C ''△．证明：线段A D ',BC 和B C '的中点共线．（第23届全苏竞赛题） 6．111A B C △是不等边锐角ABC △的垂足三角形,2A ,2B ,2C 是111A B C △的内切圆分别切11B C ,11C A ,11A B 的切点．证明：222A B C △与ABC △的欧拉线重合．（第7届巴尔干地区竞赛题）7．在钝角ABC △（C ∠为钝角）的BC 边上选取点D （异于B ,C 点）．过线段BC （异于D ）的内点M 引直线AM ,交ABC △的外接圆S 于点N ．经过点M ,D 和N 作圆,交圆S 于N 及另一点P ,问点M 在何位置时,线段MP 的长度最短？（第22届全苏竞赛题）8．ABCD 是一个四边形,且BC AD ∥,M 是CD 的中点,P 是MA 的中点,Q 是MB 的中点,直线DP ,CQ 交于点N ．求证：点N 不在ABM △外部的充要条件是上下底边长之比在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．（IMO -35预选题）9．在ABC △中,12AB =,16AC =,M 是BC 的中点,E ,F 分别在AB ,AC 上,EF 交AM 于G ,且2AE AF =．求比值EFGF．（IMO -29预选题） 10．三个全等的圆有一个公共点Q ,并且都在一个已知三角形内,每一个圆与三角形的两条边相切,求证：三角形的内心I ,外心O 与已知点Q 共线．（IMO -22试题） 11．123A A A △是一个非等腰三角形,它的边长分别为1a ,2a ,3a ,其中i a 是i A 的对边（123i =，，）,i M 是边i a 的中点,123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点,i S 是i T 关于i A ∠的平分线的对称点．求证：11M S ,22M S ,33M S 三直线共点．（IMO -23试题）12．设A 是两个不相等的,分别以1O 与2O 为圆心而共面的圆1C 与2C 的两个不同交点之一,一条外公切线切1C 于1P ,切2C 于2P ；另一条公切线切1C 于1Q ,切2C 于2Q ．设1M 是11PQ 的中点,2M 是22P Q 的中点．证明：1212O AO M AM ∠∠=．（IMO -24试题）13．已知两相切圆1C ,2C ,点P 在根轴上,即与两圆连必线垂直的公切线上．试用圆规和直尺作所有的圆C ,使得C 与1C ,2C 相切,且过P 点．（1991年亚太地区竞赛题）14．给定两个圆,其中一个圆在另一个内部,且两圆相切于点N ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．设不包含点N 的弧AB 和BC 的中点分别是Q 和P ．BQK △和BPM △的外接圆的第二个交点为1B ．证明：1BPB Q 为平行四边形．（第26届俄罗斯竞赛题）15．四边形ABCD 外切于圆ω,边AB 和CD 所在的直线相交于点O ．圆1ω与边BC 相切于点K ,且与边AB 和CD 所在的直线都相切；圆2ω与边AD 相切于点L ,且亦与边AB 和CD 作在的直线都相切,现知点O ,K ,L 共线,证明：边BC 和AD 的中点以及圆ω的圆心三点共线．（第26届俄罗斯竞赛题）第十八章几何变换的性质及应用习题A1．若C 与O 重合,则结论显然成立．今设C 与O 不重合,将半圆以直径为轴,对称变换成整圆,设K ',M '为K ,M 关于AB 的对称点,则K ',C ,M 共线,K ,C ,M '也共线．1(2M KCM KM ∠=+)K M KOM ''=∠．故K ,C ,O ,M 共圆．2．等腰ABC △的外心O 在顶角平分线上,而顶角平分线又是ABC △的对称轴,以AO 为轴作AOQ △的对称AOR △,则,OQA ORA AQ AR ∠=∠=．由AB AC =,有CR AR AC AQ AB BQ AP =-=-==．连OC ,OP ,设OM 是等腰OAC △的对称轴,则OM 垂直平分AC （M 为垂足）．于是MR MC CR MA AP MP =+=+=,从而OMR △与OMP △关于OM 为轴对称,所以OPA ORA ∠=∠．又已证ORA OQA ∠=∠,所以OPA OQA ∠=∠,故O ,A ,P ,Q 四点共圆．3．设直线AB 与l 的交点为P ,过P 作直线m AB ⊥,分别作出A ,B 关于l 的对称点1A ,1B ,则1A ,1B 在m 上．连1AB 交l 于C ,则C 点为所求．设CB ,CA 与圆的交点为E ,D ．由对称性,知11A B C ABC ∠=∠．又CDE ABC ∠=∠,所以,11A B C CDE ∠=∠,DC m ∥,从而DE AB ⊥．4．将i ABP △绕A 点逆时针旋转i ACP '△处,使AB 重合于AC ．因180i i APC APC '∠+∠=︒,故A ,i P ,C ,i P '共圆．设AC ,i i PP '交于D 点．由i APD △∽i ACP △∽i PCD '△,知2i AP AD AC =⋅,i i PCPC '⋅= DC AC ⋅,于是22()4i i i i m AP BP PC AD DC AC AC =+⋅=+⋅==,故12100400m m m +++=．5．易知90ABD ACD ∠=∠=︒．分别过P ,Q 引KL ,MN 垂直于BE 交BE 于K ,N ,交CF 于L ,M ．显然,它们也垂直于,CF MN KL =．由BKP △∽AEB △,KP BP BE AB =；ABP △∽DCP △,BP CPAB DC=；PCL △∽CDF △,CP PL DC CF =．于是KP PL BE CF =,即KP BEPL CF=．又BQE △∽FQC △,有BE MQ CF QN =（相似三角形对应高的比等于相似比）,于是KP MQ PL QN =,故11KP MQ PL QN +=+,即KL MNPL QN =,故PL QN =．因此PQ AD ⊥．注：此题中,若P 为直线AB 与DC 的交点,可类似证明,得到PQ AD ⊥．6．设这两个等圆的对称中心为O ．从O 引出的两条射线分别交圆周于1A ,2A 及1B ,2B ,如图所示．又3A ,3B 及4B 分别是2B ,1A 及2A 关于O 点的对称点,由对称性知2313B B A A =,从而321312A A A B B B ∠=∠,即122211A A B B B A ∠=∠,所以1A ,1B ,2A ,2B 四点共圆．对于右图情形,有1323A A B B =,从而321213A A A B B B ∠=∠．而122321180A A B A A A ∠=︒-∠,因此,312B B B ∠122180A A B +∠=︒,故1A ,1B ,2B ,2A 四点共圆．7．由MN KL ∥,有MNO OLK ∠=∠,NMO LKO ∠=∠,从而ONM △∽OLK △,即有MO NOOK OL=．又OMD OKB ∠=∠,OND OLB ∠=∠,因此OMDN 和OKBL 关于O 点为中心位似,所以点D ,O ,B 在一直线上．结论证毕．注：题中条件KM NL ⊥可省略；当ABCD 为平行四边形时结论亦成立．8．以C 为位似中心,2为位似比作位似变换,则E B →,F A →．四边形ECFM 的外接圆变为ABC △的外接圆,并且点M 变为点G 在ABC △的外接圆上．由CM ∶2MD =∶1,CM MG =,知MD DG ==3n ．由相交弦定理及BD DA =,有BD DA CD DG ⋅=⋅,即23n BD n =⋅,即BD =亦即AB =． 9．由AK NB =知ANBK 是平行四边形．因此,等边三角形的边AB ,NK 互相平分于点P ,从而CP PA ⊥,CD 及PM NP ⊥,PM =．今以P 点为中心,先作按顺时针方向旋转90︒的变换,再作位似比为的位似变换,于是A 点变为C点,N 点变为M 点,从而线段AN 变为线段CM ．因此AN CM ⊥且CM ．10．设ADE △在旋转过程中的任一位置如图195-．考虑这样两个位似旋转变换：(,45,S E ︒和(,45,S C ︒．在前一个变换下,点D 变到A ,EC 的中点M 变到M '．在第二个变换下,点A 变到点B ,点M '变到M ．因此M 是两个变换的复合的不变点．由于(,45,(,45,S E S C ︒⋅︒= (,90,1)S M ︒．在这个复合变换下点D 变到B ,所以90DMB ∠=︒．又DM BM =,由此即证得命题成立．11．由于要证明的两角在两个三角形中,且题设中有线段的比内分不在一条直线上两线段,条件较分散,须作辅助线将条件集中．不妨连BD ,则(,)(,),CDCDH B H D AB CDAB CDC F A E ++−−−−−→−−−−−−→．假设(,)ABH B AB CDD P +−−−−−→,则,BP AB DP CD BD AB CD DB AB CD==++．（*）故(,)CDH D AB CDB P +−−−−−−→．因为在位似变换下,直线变成与它平行的直线,则,PF CD PE AB ∥∥,从而PEF BGF ∠=∠,PFE ∠=FQC ∠．又,BF BP PF DE DP PE BC BD CD DA DB AB ====,由此两式相除,得AB PF BP CD PE DP ⋅=．又BP AE ABPD ED CD==,则1PFPE=,从而PEF PFE ∠=∠．故BGF FQC ∠=∠． 12．设直线QGO 交AD 于R ,交EB 于P ,作位似变换：(,),,,,ER H E EAA B F R P Q −−−−→；(,),,COH C CAA B F O −−−−→,,P G ；(,),,,,DB H D DAA B F R O G −−−−→,则RQ RP AF AB =,RO RG AB AF =,OP OGAB AF=．由GO RQ RG RQ RG RP RO OP OGAF AF AF AF AB AB AB AF -==-=-==,故OG GQ =．习题B 1．连1AO ,2AO ,1BO ,2CO ,2DO ,3EO ,3FO ,易知21AO DO 为平行四边形,即21O D AO ∥．同理,有31O E BO ∥,32O F CO ∥．于是,分别将2O ,3O 平移使之与1O 重合．设21()O O CD C D ''−−−−→平移,31()O O EF E F ''−−−−→平移,则1,,A O D '共线,1,,B O E '共线,1,,C O F ''共线,由此即知12AO B CO D ∠+∠3111180EO F AO B C O D E O F ''''+∠=∠+∠+∠=︒．即证．2．将111A B C △绕1A 点旋转α角到1A B C ''△的位置,使1AC AB '∥,则111sin C E C E AC α''=+⋅,1B D = 11sin B D A B α''-,于是11111111(sin )(A F BC B D AC C E AB A F BC B D A B AC C E AC α''''⋅+⋅+⋅=⋅+-⋅++⋅ 111111sin ()sin AB A F BC B D AC C E AB AC AB A B AC αα'''')⋅=⋅+⋅+⋅+⋅-⋅⋅．由ABC △∽111A B C △,有1111AB ACA B A C =,即11110AC AB A B AC ⋅-⋅=．又因为1B D A D ''''=,1E C A E ''''=,从而11A F BC B D AC ⋅+⋅+ 11112ABC C E AB A F BC A D AC A E AB S ''''⋅=⋅+⋅+⋅=△（其中C E AB ''⊥于E ',1A E AB ''⊥于E '',1A D AC''⊥于D '',B D AC ''⊥于D '）．3．（1）由ADB ACB CAD CBD ∠=∠+∠+∠,知90CAD CBD ∠+∠=︒．将D 、B 旋转90︒到E ,则由ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠及已知90ADB ACB ∠=∠+︒知CBE ∠= 90CBD CAD ︒-∠=∠．又BC BC AC BE BD AD ==（因AC BD AD BC ⋅=⋅）,知BCE △∽ACD △,从而ACBC=CD CE ,ACD BCE ∠=∠,则ACB DCE ∠=∠,于是又有ABC △∽DEC △,即有AB ACDE CD =,而2BE BD =,则2AB CD AC BD ⋅=⋅,故2AB CDAC BD⋅=⋅．（2）ACD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CAD ∠（弦切角与圆周角）,BCD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CBD ∠,且两切线在CD 不同侧,故它们的夹角等于90CAD CBD ∠+∠=︒,即两切线互相垂直．4．若证踢类似结论：对于以B力位似中心,与以BK 为直径的圆位似的圆也有类似的性质,则原命题的结论即可成立．设ABC △的三条高AM ,BK ,CL 相交于点H ,则以BH 为直径的O 与以BK 为直径的圆位似,且O 过点M ,L ．由OM OM =,有90OMB OBM ACB ∠=∠=︒-∠．设N 为AC 的中点,连MN ,则90AMN MAN ACB ∠=∠=︒-∠,从而AMN OMB ∠=∠．于是OMN ∠= 90OMA AMN OMA OMB AMB ∠+∠=∠+∠=∠=︒,所以MN 是O 的切线．同理可证LN 也是O 的切线．由位似图形性质的对称性,以BK 为直径的圆也有同样的性质．5．将BCB '△沿DC 平移至EFG △,那么以D 为中心,位似比为2,将BC ,B C '和A D '的中点变到E ,G 到A '．由图形的对称性可知,EC CA ECB CAD BCA =∠=∠=∠,所以BC EA ⊥,从而EA EF ⊥．1(1802)2AEG FEG ∠=︒-∠（因EA EF ⊥）12EFG =∠（因EF BC B C GF '===）1122BCB ACA ''=∠=∠（因BCB B CA ACA B CA ''''∠+∠=∠+∠）AEA '=∠（因E ,A ,A '在以C 为圆心的同一圆上）．所以E ,G ,A '共线,因而在上述位似变换下,它们的原象：BC 的中点,B C '的中点,DA '的中点也共线． 6．设H 为ABC △的垂心,由11190BA H BC H CB H ∠=∠=∠=︒,知1A ,B ,1C ,H 和1A ,C ,1B ,H 分别四点共圆,因此,111111BAC BHC B HC B AC ∠=∠=∠=∠,从而1111119090C A H BAC B AC ∠=︒-∠=-∠= 11B A H ∠,即1A H 平分111B AC ∠．同理,11,B H C H 也平分111111,A B C AC B ∠∠,故H 是111A B C △的内心（此可由垂心性质直接得H 为其内心）．从而H 也是222A B C △的外心．由1212,A B AC 分别是111A B C △内切圆的切线,22,B H C H 分别是内切圆的半径,所以1212A B AC =,2B H 2C H =,从而122A H B C ⊥,但1A H BC ⊥,从而22B C BC ∥．同理,22A B AB ∥,22A C AC ∥．由于ABC △与222A B C △的边对应平行,因此它们是位似形．于是这两个三角形的欧拉线（对应的线）或者平行或者重合．由于ABC △的垂心即222A B C △的外心,而这一点分别在这两个三角形的欧拉线上,所以这两个三角形的欧拉线重合．7．过点A 引AK CB ∥,交圆S 于点K ,延长KD ,交圆S 于点0P ．现证明：对每一个符合条件的点M ,点P 和0P 重合．（i ）当点0N P ≠时,设点N 在00()P B CP 内,由A ,K ,N ,0P 共圆,知0ANP ∠与0AKP ∠相等（相补）,由CB AK ∥,有00MDP AKP ∠=∠,则0MNP ∠与0MDP ∠相筹（相补）,因此,M ,D ,N ,0P 共圆,0P P =．（ii ）当点0N P =时,以点0P 为位似中心,将点K 变为点D ,直线0AP 变换为自身．由CB AK ∥,所以线段AK 变换为线段MD ,即点A 变换为点M ,于是圆S 就变换为三角形NMD 的外接圆,因为0P 为位似中心,所以这两圆只有一个公共点,0P P =．所以,所要求的点M 的位置应是点0P 在BC 的射影．因为A ∠是锐角,所以该射影在线段BC 内．又因为KDC KBC ACB ∠>∠=∠,所以KDC ∠为钝角,故点0P 在BC 上的射影不会与点D 重合．8．题中条件及结论均满足伸缩变换的不变特性．设AB 中点为R ,将AMR △变换为以R 为直角顶点的等腰直角三角形,建立仿射坐标系,(0,0)M ．可设(2,2)A ,(2,0)R ,(2,2)B -,(,2)C a --,(,2)D a ,则(1,1),(1,1)P Q -．由直线DP ：211(1)1y x a --=--和CQ ：2(1)1(1)1y x a ---+=---的方程联立,解得2(2,)N a a --,点N 在ABM △之外的充要条件是：。

专题30 几何变换之平移模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)

专题30几何变换之平移模型【理论基础】一、平移1.平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2.平移的两个要素：(1)平移方向；(2)平移距离。

3.对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4.平移方向和距离的确定(1)要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移。

若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成(有特殊要求例外)，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。

具体给出从某点P 到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。

给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)(2)图形平移后，平移方向与平移距离的确定。

图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。

5.平移性质图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。

平移后的图形与原图形①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等；②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等；③图形的形状与大小都不变(全等)；④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。

6.判别平移图形：除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具备以下三条：(1)这两个图形必须是全等形；(2)这两个全等形的对应线段必须互相平行或者在同一条直线上)(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。

以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二：(1)这两个图形必须是全等形；(2)这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同(同位顺时针或同为逆时针)；(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。

八年级数学竞赛讲座图形的平移与旋转附答案

第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】如图，等边△ABC 的边长为31225+=a ，点P 是△ABC 内的一点，且PA 2+PB 2＝PC 2，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA 2+PB 2＝PC 2的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题)5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6 (2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ． 15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ． (1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。

12-2-1 几何变换之平移.讲义教师版

内容基本要求略高要求较高要求平移了解图形平移，理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离能运用平移的知识解决简单的计算问题；能运用平移的知识进行图案设计一、几何变换几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中．几何变换可以分为以下几类：1．平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换．平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形全等．2．轴对称：将图形沿直线翻折．轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保持几何图形全等．3．中心对称：将图形关于一个点对称．中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等．4．旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度．旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等．5．位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换．初中几何暂时不涉及这部分内容．二、平移变换1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据． ⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等．平移变换前后的图形具有如下性质： ⑴对应线段平行(或共线)且相等； ⑵对应角的两边分别平行且方向一致； ⑶对应的图形是全等形．注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．中考要求例题精讲几何变换之平移⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．４．平移变换的方法应用⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来．⑵平移法在应用时有三种情况：①平移条件：把条件中的某条线段或角平移；②平移结论：把结论中的线段或角平移；③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移．5．平移变换的主要功能：把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．板块一平移的基本概念及性质【例1】观察图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案的平移得到的是()A B C D【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】C，平移后，对应点的连线平行且相等．【答案】C【例2】在下面的六幅图中，⑵⑶⑷⑸⑹中的图案_________可以通过平移图案⑴得到的．【考点】图形的平移【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】⑷A ．1个 A ．2个 A ．3个 A ．4个【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】D ，在平移中，图形的各项性质都保持不变．【答案】D【例4】平行四边形ABCD 中，4AB =，6BC =．O 是对角线交点，将OAB ∆平移至EDC ∆位置．⑴说出平移的方向与距离．⑵四边形OCED 是什么四边形，为什么？⑶若平行四边形ABCD 的面积是20，求五边形ABCED 面积．OE DCBA【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】⑴沿BC 方向平移了6个单位．⑵由平移的基本概念可知，DE AC ∥，CE BD ∥，根据平行四边形定义可知，其为平行四边形．⑶1254ABCED ABCD CED ABCD ABO ABCD ABCD S S S S S S S =+=+=+=．【例5】如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA【考点】图形的平移【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，QD PC B A易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，且它的对角线恰好等于平行四边形的两条邻边．【例6】如图，三角形ABC 的底边BC 长3厘米，BC 边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平形移动2秒，这时，该三角形扫过的面积(阴影部分)．A'C'B'CB【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】第15届希望杯2试【解析】三角形ABC 扫过面积相当于矩形''BCC B 的面积，当然也可直接计算，为18平方厘米．【例7】一个水平放置的半圆，直径为10cm ，向上平移6cm ，求其扫过的面积．【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】面积为210660cm ⨯=．【答案】260cm【例8】如图所示，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC =，4AC =，现将ABC ∆沿CB 方向平移到A B C '''∆的位置．⑴若平移的距离为3，求ABC ∆与A B C '''∆重叠部分的面积；⑵若平移的距离为a 4(0)a ≤≤，求ABC ∆与A B C '''∆重叠部分的面积S 的取值范围．CB'【考点】图形的平移【难度】3星【题型】解答【解析】⑴由已知得1BC C D ''==，所以1122BCD S BC DC ∆''=⨯=； ⑵8S 0≤≤【答案】（1）13；（2）08S ≤≤【例9】如图，在平行四边形ABCD 中，AE 垂直于BC ，垂足为E ．试画出将ABE ∆平移后的图形，使其平移的方向为点A 到点D 的方向，平移的距离为线段AD 的长．E DCB A【考点】平移几何作图【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图，DCF ∆为将ABE ∆以点A 到点D 的方向，以线段AD 的长为平移距离，平移后得到的图形．AB CDE【例10】在公园的一块长方形草地上，准备辟一条小径，现有三种设计方案．三种方案中小径(阴影部分)各处夹在小径间且平行于草地较长边的线段长都是a 米，试比较三种情况下草地面积的大小，并简单说明理由．⑴⑵⑶【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】将图形中右边的草地向右水平平移a ，可得下面的矩形，所以三种情况下草地面积大小一样．【例11】请证明：七条直线两两相交，所得的角中至少有一个小于26︒．【考点】图形的平移【难度】5星【题型】解答【关键词】【答案】在平面上任取一点P ，将已知7条直线都平移过P 点，成为交于P 点的7条直线，则它们将以P 点为顶点的圆周角分成彼此相邻的14个角，不妨设为1α，2α，…，14α，它们都和某两条直线的夹角中的一个相等，因此我们只要证明它们之中至少有一个小于26︒即可．事实上，1214360ααα+++=︒…，故必有一个3602614i α︒≤<︒，这就是所要证明的结果．【点评】因为在平移变换下，角的大小乃至角的两边的方向都不会改变，所以，凡是结论是几个角的和的平面几何问题，我们都可以考虑通过实施若干平移变换移动所有的角(一般有几个角就作平移几次)，使这些角具有公共的顶点，从而将这些角集中在一起考虑．如凸多边形的外角和定理(即凸多边形的外角和等于360︒)就可以用平移变换直接证明．【例12】如图，已知ABC ∆（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+.CBA【考点】平移类全等问题，三角形的三边关系【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，北京中考23题【解析】略【答案】⑴如图1，BD CE DE =≠，ABD ∆和ACE ∆，ABE ∆和ACD ∆图1EDABC⑵解法一：如图2，分别过点D B ，作CA EA ，的平行线，两线交于F 点，DF 与AB 交于点G 所以ACE FDB AEC FBD ∠=∠∠=∠，在AEC ∆和FBD ∆中，又CE BD = 可证AEC FBD ∆∆≌，所以AC FD AE FB ==，，在AGD ∆中，AG DG AD +>，在BFG ∆中，BG FG FB +>，所以00AG DG AD BG FG FB +->+->，所以0AG DG BG FG AD FB +++-->即AB FD AD FB +>+，所以AB AC AD AE +>+GFCBADE图2连结BF ，则四边形FECA 是平行四边形所以FE AC AF CE ==，因为BD CE =，所以BD AF =，所以四边形FBDA 是平行四边形所以FB AD =在AGE ∆中，AG EG AE +>，在BFG ∆中，BG FG FB +> 可推出AG EG BG FG AE FB +++>+ 所以AB AC AD AE +>+F GCBADE图3解法三：如图4，取DE 的中点O ，连结AO 并延长到F 点，使得FO AO =，连结EF CF ，在ADO ∆和FEO ∆中，又AOD FOE DO EO ∠=∠=，可证ADO FEO ∆∆≌，所以AD FE =，因为BD CE DO EO ==，，所以BO CO = 同理可证：ABO FCO ∆∆≌，所以AB FC =，延长AE 交CF 于G 点在ACG ∆中，AG CG AE EG +>+ 在EFG ∆中，EG FG EF +>可推得AC CG EG FG AE EG EF +++>++ 即AC CF AE EF +>+ 所以AB AC AD AE +>+FGOCBAD E图41.如图，由三角形⑴变换到三角形⑵，下列说法错误的是( )． A ．先向右平移2个单位长度，再往上平移3个单位长度； B ．先向上平移3个单位长度，再往右平移2个单位长度； C ．三角形⑴移动5个单位长度得到三角形⑵ D ．三角形⑴可以通过轴对称得到三角形⑵(2)课后练习【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】Ｄ2.以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行；③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是( )A ．②③B 、②④C ．①②D ．①④【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】C ，①②是平移，③④是旋转．【答案】C3.如上右图所示，Rt ABC ∆沿AC 边所在的直线向上平移2cm ，若4cm BC =，求Rt ABC ∆扫过的面积．A'C'B'CBA【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】Rt ABC ∆扫过的面积相当于矩形''CBB C 的面积为28cm ．【答案】28cm。

初中数学知识归纳平移旋转对称

初中数学知识归纳平移旋转对称平移、旋转和对称是初中数学中常见的几何变换，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称进行归纳总结。

1. 平移：平移是指将图形沿着直线方向上的某个距离移动。

在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生变化。

平移可以表示为向量形式，其中平移向量表示了图形沿着横坐标和纵坐标方向上的移动距离。

平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状。

（2）平移保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）平移是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形还原到原来的位置。

2. 旋转：旋转是指将图形绕一个点或一个轴进行转动，旋转的中心点称为旋转中心。

旋转可以是顺时针或逆时针方向，旋转的角度可以为正数或负数。

旋转的性质：（1）旋转不改变图形的大小。

（2）旋转保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）旋转是可逆的，即可以通过逆向旋转将图形还原到原来的位置。

3. 对称：对称是指图形相对于某个轴、点或中心呈现镜像关系。

对称分为对称轴对称和中心对称两种类型。

对称的性质：（1）轴对称：图形相对于对称轴对称，对称轴上的任意一点与其相对称点距离对称轴的距离相等。

（2）中心对称：图形相对于中心对称，中心对称点是图形的中心，对称图形的任意一点与其相对称点之间的距离相等。

4. 平移、旋转和对称的应用：（1）平移：平移常用于几何问题的解决和图形的构造，如将一个图形精确移动到另一个位置。

（2）旋转：旋转常用于解决图形的排列、对称和判断两个图形是否相似等问题。

（3）对称：对称广泛应用于图案的设计、建筑设计等领域，通过对称可以使图案更具美感和平衡感。

在初中数学学习中，平移、旋转和对称是重要的数学概念和技巧。

通过学习和掌握这些几何变换的性质和应用，可以提高图形思维能力，解决几何问题，并在日常生活中运用数学的知识。

因此，初中数学学习中的平移、旋转和对称对培养学生的几何直观和创造力起着重要的作用。

初中数学竞赛——几何变换——平移

八年级数学竞赛例题专题讲解26：几何变换(含答案)

初中数学学会使用几何变换解决问题

初中数学总复习《几何三大变化—平移》讲义

初中数学竞赛第三十六讲平移、对称、旋转

初一平移题型归纳总结

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移

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